專題0 2平面圖形的認(rèn)識(shí)（二)——平移、三角形、多邊形














一、圖形的平移性質(zhì)
性質(zhì):①把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．②新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等。
二、平移作圖
平行線之間的距離性質(zhì)：平行線間的距離處處相等

1. 把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同（△ABC與△DEF相等）。
2.新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等（①AD=CF；②AC∥DF；④∠DAE=∠AEB）

三、認(rèn)識(shí)三角形
（2）按邊分：
1.三角形的分類
底和腰不等的等腰三角形
三角形
不等邊三角形
等腰三角形
等邊三角形
銳角三角形
直角三角形
鈍角三角形
（1）按角分：

三角形


2.三角形的三邊關(guān)系
三角形的任意兩邊之和大于第三邊; 三角形任意兩邊之差小于第三邊.
要點(diǎn)詮釋：（1）判斷給定三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形：看較小兩邊的和是否大于最長(zhǎng)邊.（2）已知三角形的兩邊長(zhǎng),確定第三邊的范圍：兩邊之差的絕對(duì)值＜第三邊＜兩邊之和.
3.三角形的三條主要線段
線段名稱
三角形的高
三角形的中線
三角形的角平分線
文字語(yǔ)言
從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．
三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．
三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．
圖形語(yǔ)言



作圖語(yǔ)言
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．
取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．
作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．
標(biāo)示圖形



符號(hào)語(yǔ)言
1．AD是△ABC的高．
2．AD是△ABC中BC邊上的高．
3．AD⊥BC于點(diǎn)D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
1．AD是△ABC的中線．
2．AD是△ABC中BC邊上的中線．
3．BD＝DC＝BC
4．點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．
1．AD是△ABC的角平分線．
2．AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．
3．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理語(yǔ)言
因?yàn)锳D是△ABC的高，所以AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．
因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途舉例
1．線段垂直．
2．角度相等．
1．線段相等．
2．面積相等．
角度相等．
注意事項(xiàng)
1．與邊的垂線不同．
2．不一定在三角形內(nèi)．
—
與角的平分線不同．
重要特征
三角形的三條高(或它們的延長(zhǎng)線)交于一點(diǎn)．
一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．
一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．
4.三角形的角
（1）三角形的內(nèi)角和為180°.
(2) 三角形的一邊與他的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角.
要點(diǎn)詮釋：（1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余；
（2）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和；
（3）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)不相鄰的內(nèi)角.
四、多邊形的內(nèi)角和與外角和
1. 多邊形的內(nèi)角和：邊形的內(nèi)角和為(－2)·180°(≥3)．
要點(diǎn)詮釋：(1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)； (2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于.
2. 多邊形的外角和：任意多邊形的外角和都為360°.
要點(diǎn)詮釋：多邊形的外角和為360°．邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).
五、 拓展方法
1. 三角形的高與角平分線夾角公式

AE是角平分線、AD是高：
2. 中線平分面積
E為AD的中點(diǎn)：

3. 三角形的折疊公式



圖1：折邊上、∠1＝2∠A

圖2：折邊內(nèi)、∠1+∠2=2∠A

圖3：折邊外、∠1-∠2=2∠A
4. 角平分線公式（兩內(nèi)、兩外、一內(nèi)一外）

OB平分∠ABC、OC平分∠ACB——





BP平分∠CBD、CP平分∠BCE——








BD平分∠ABC、CD平分∠ACE——

5. 三角形n等分角
的等分線分別交于點(diǎn)
∵分別是和的n等分線，
，
，

6. 三角形八字型




圖1.∠A+∠B=∠C+∠D
圖2.∠B+∠D=2∠E
7. 三角形的五心


重心：中線交點(diǎn)

內(nèi)心：角平分線交點(diǎn)

垂心：高的交點(diǎn)

外心：中垂線的交點(diǎn)

旁心：兩個(gè)外角平分線和另一個(gè)內(nèi)角平分線



8. 多邊形截角
三種截法：
1. 延兩邊截
2. 延一邊一頂點(diǎn)截
3. 延兩頂點(diǎn)截
【專題過(guò)關(guān)】
類型一、平移網(wǎng)格畫圖
【解惑】
（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中有一個(gè)，按要求進(jìn)行下列作圖（只能借助于網(wǎng)格）．

(1)畫出中AB邊上的高CH（要求用鉛筆作圖，加黑加粗，并標(biāo)出點(diǎn)H的位置）；
(2)畫出向右平移4格、向上平移2格后的（A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)依次為D、E、F）；
(3)連接AD、BE，那么AD與BE的關(guān)系是________；
(4)若點(diǎn)P是正方形網(wǎng)格內(nèi)異于點(diǎn)B的格點(diǎn)，則滿足和的面積相等的P點(diǎn)有____個(gè)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)平行且相等
(4)4
【分析】（1）根據(jù)三角形的高的定義畫出圖形即可；
（2）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)即可；
（3）利用平移變換的性質(zhì)判斷即可；
（4）利用等高模型作出點(diǎn)P即可．
（1）
如圖，線段CH即為所求
（2）
如圖，△DEF即為所求
（3）
，，
故答案為：，
（4）
如圖，滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)，
故答案為：4．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖—平移變換三角形的面積等知識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握平移變換的性質(zhì)，利用等高模型解決面積問(wèn)題.
【融會(huì)貫通】
1．（2022春·江蘇常州·七年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┤鐖D，兩個(gè)直角三角形重疊在一起，將其中一個(gè)三角形沿著點(diǎn)B到點(diǎn)C的方向平移到的位置，，平移距離為3，則陰影部分的面積為（　?。?br />
A．20 B．18 C．15 D．26
【答案】B
【分析】由，推出即可解決問(wèn)題．
【詳解】解∶平移距離為3，





∴陰影部分的面積為．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移的基本性質(zhì)，掌握①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
2．（2022春·甘肅武威·七年級(jí)?？计谥校┫铝袔追L魚的圖案，由圖中所示的圖案通過(guò)平移后得到的圖案是（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圖形平移的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
【詳解】解：A、由圖中所示的圖案通過(guò)旋轉(zhuǎn)而成，不符合題意；
B、由圖中所示的圖案通過(guò)翻折而成，不符合題意；
C、由圖中所示的圖案通過(guò)旋轉(zhuǎn)而成，不符合題意；
D、由圖中所示的圖案通過(guò)平移而成，符合題意；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)；熟練掌握平移前后圖形的形狀、大小不變，只是改變了位置是解題的關(guān)鍵．



3．（2023春·福建莆田·七年級(jí)期中）如圖，是由通過(guò)平移得到，且點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，若，，則的長(zhǎng)度是_____．

【答案】5
【分析】根據(jù)平移可知，即可證，則有，問(wèn)題得解．
【詳解】根據(jù)平移可知：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，根據(jù)平移的性質(zhì)得到是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2021春·江蘇泰州·七年級(jí)校考期中）如圖，的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，將向左平移1格，再向上平移3格，其中每個(gè)格子的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度．

(1)在圖中畫出平移后的．
(2)若連接從，，則這兩條線段的關(guān)系是______．
(3)過(guò)點(diǎn)作直線，將分成兩個(gè)面積相等的三角形，在圖中畫出直線．
(4)若點(diǎn)是網(wǎng)格上一點(diǎn)（不與重合），且與面積相等，則滿足條件的點(diǎn)共有______個(gè)．
【答案】(1)答案見解析
(2)平行且相等
(3)答案見解析
(4)4

【分析】（1）首先確定、、三點(diǎn)平移后的位置，再順次連接即可；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等可得，；
（3）根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積可得就是中線所在直線，因此根據(jù)網(wǎng)格圖可得的中點(diǎn)位置，再畫直線即可；
（4）以為鄰邊作平行四邊形，分別過(guò)、作平行線，即可得到點(diǎn)．
【詳解】（1）解：如圖所示；

（2）解：如圖所示，

根據(jù)平移的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等可得，，
故答案為：平行且相等；
（3）解：如圖所示；

（4）解：如圖所示，滿足條件的點(diǎn)共有4個(gè)．

【點(diǎn)睛】本題考查的是平移變換作圖以及平移的性質(zhì)，三角形的中線性質(zhì)，三角形的面積，正確地作圖是解題的關(guān)鍵．
5．（2022春·河北保定·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形網(wǎng)格中，經(jīng)過(guò)平移后得到，圖中標(biāo)出了點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．根據(jù)下列條件，利用網(wǎng)格點(diǎn)和無(wú)刻度的直尺畫圖并解答相關(guān)的問(wèn)題（保留畫圖痕跡）：

(1)畫出；
(2)畫出的高BD；
(3)若連接、，那么與的關(guān)系是______，的面積為______．
(4)在AB的右側(cè)確定格點(diǎn)Q，使的面積和的面積相等，這樣的Q點(diǎn)有______個(gè)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)平行且相等，7.5；
(4)8個(gè)

【分析】（1）分別作出，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，即可．
（2）根據(jù)三角形高的定義畫出圖形即可．
（3）利用分割法求解即可．
（4）構(gòu)造菱形，利用等高模型解決問(wèn)題即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求作．

（2）解：如圖，BD即為所求作．

（3）解：∵△ABC經(jīng)過(guò)平移后得到，
∴，；
的面積．
故答案為：平行且相等，7.5．
（4）解：滿足條件的點(diǎn)Q有8個(gè)．

【點(diǎn)睛】本題主要考查平移作圖、平移的性質(zhì)、三角形的面積、三角形的高等知識(shí)，靈活掌握平移作圖及其性質(zhì)是解答本的關(guān)鍵．
類型二、無(wú)刻度尺作圖
【解惑】
（2022秋·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）圖①、圖②均是44的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△OABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求
畫圖，不要求寫出畫法，保留作圖痕跡．

(1)在圖①中畫△ABC的角平分線BD，標(biāo)出點(diǎn)D；
(2)在圖②中的邊BC上找到格點(diǎn)E，連接AE，使AE平分△ABC的面積
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）由圖可知∠ABC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，連接格子的對(duì)角線即可，
（2）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，找到BC邊的中點(diǎn)即可．
【詳解】（1）如圖：

（2）如圖：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的角平分線和中線，熟練掌握三角形的角平分線和中線的定義是解題的關(guān)鍵．

【融會(huì)貫通】
1．（2023·浙江金華·?？家荒＃┤鐖D是由小正方形組成的的網(wǎng)格，的三個(gè)頂點(diǎn)、、均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求在給定的網(wǎng)格中，僅用無(wú)刻度的直尺，分別按下列要求作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法．

(1)在圖1中的上畫出的高線；
(2)在圖2中的上找出一點(diǎn)，畫線段，使得將分成面積比為兩部分；
(3)在圖3中的上找一點(diǎn)，畫，使得．
【答案】(1)答案見解析，即為所求
(2)答案見解析，，即為所求
(3)答案見解析，點(diǎn)即為所求

【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格中橫向?qū)蔷€與縱向?qū)蔷€垂直，作圖求解；
（2）在線段上截取或，連接，即可；
（3）由網(wǎng)格判斷出，取格點(diǎn)，連接，使且交于點(diǎn)，利用等腰三角形角度關(guān)系及互余定義即可得到點(diǎn)即為所求作．
【詳解】（1）解：如圖所示：

即為所求；
（2）解：如圖所示：

，即為所求；
（3）解：如圖所示：

，
，
，
，
點(diǎn)即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-應(yīng)用和設(shè)計(jì)作圖，熟悉網(wǎng)格中的垂直作圖規(guī)則、三角形角度關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在如圖所示的方格紙中，

(1)僅用無(wú)刻度的直尺，過(guò)點(diǎn)C作的平行線、過(guò)點(diǎn)C作的垂線，垂足為F（其中D、E為格點(diǎn)）；
(2)比較大?。篲_________，理由是：____________________；
(3)連接和，若圖中每個(gè)最小正方形的邊長(zhǎng)為1，則的面積是__________．
【答案】(1)見詳解
(2)，垂線段最短
(3)4
【分析】（1）如圖，取格點(diǎn)D、E，連接，，與交于點(diǎn)F，問(wèn)題得解；
（2）根據(jù)垂線段最短即可作答；
（3）采用割補(bǔ)法即可求解．
【詳解】（1）取格點(diǎn)D、E，連接，，與交于點(diǎn)F，如圖，

即滿足：，，
證明：網(wǎng)格點(diǎn)M、N，連接、、，如圖，

∵根據(jù)網(wǎng)格圖可知：，，
∴，
∴，
∴，
同理可證明：，
∴．
（2）∵，
∴根據(jù)垂線段最短，可得，
故答案為：，垂線段最短；
（3）如圖，

結(jié)合網(wǎng)格圖，
可得：，
即的面積為4，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本作圖，割補(bǔ)法求圖形的面積，垂線段最短等知識(shí).解題的關(guān)鍵是利用方格紙的特點(diǎn)正確的作出圖形．


3．（2022秋·江蘇淮安·七年級(jí)校考期末）按下列要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：
(1)如圖1，利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，連接并延長(zhǎng)至C，使得．

(2)如圖2，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形，A、B、C三點(diǎn)都是格點(diǎn)（每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)）．

①找出格點(diǎn)D，畫的平行線；
②找出格點(diǎn)E，畫的垂線；
③計(jì)算格點(diǎn)的面積為___________．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②見解析；③

【分析】（1）連接并延長(zhǎng)，以點(diǎn)B為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)C，則此時(shí)；
（2）①根據(jù)方格特點(diǎn)，找出格點(diǎn)D，連接即可；
②根據(jù)方格特點(diǎn)，找出格點(diǎn)E，連接即可；
③用所在長(zhǎng)方形的面積減去四周三個(gè)直角三角形的面積即可得出答案．
【詳解】（1）解：線段即為所求作的線段，如圖所示：

（2）解：①如圖，即為所求作的平行線；
②如圖，即為所求作的垂線；

③，
即格點(diǎn)的面積為；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作一條線段等于已知線段，在方格中作垂線和平行線，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖方法．
4．（2023秋·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、Q在格點(diǎn)上，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺用連線的方法畫出如下圖形（保留畫圖痕跡）．

(1)在圖1中，找一個(gè)格點(diǎn)P，連接，使為直角三角形；
(2)在圖2中，找一個(gè)格點(diǎn)H，連接，使．
【答案】(1)見解析
(2)見解析

【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和直角三角形的概念求解即可；
（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)求解即可．
【詳解】（1）如圖1所示，即為所要求作的直角三角形，
（2）如圖2所示，點(diǎn)H即為所要求作的點(diǎn)，

【點(diǎn)睛】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，直角三角形的概念，正確借助網(wǎng)格分析是解題關(guān)鍵．
5．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？计谀﹫D①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C、D、E、F均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，與要求寫出做法．

(1)在圖①中以線段為邊畫一個(gè)，使其面積為6．
(2)在圖②中以線段為邊畫一個(gè)，使其面積為6．
(3)在圖③中以線段為邊畫一個(gè)四邊形，使其面積為6，．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析

【分析】（1）直接利用三角形的面積的計(jì)算方法得出符合題意的圖形；
（2）直接利用三角形面積求法得出答案；
（3）根據(jù)三角形的面積的求法進(jìn)而得出答案．
【詳解】（1）解：如圖①所示，即為所求；

（2）解：如圖②所示，即為所求；

（3）解：如圖③所示，四邊形即為所求；
【點(diǎn)睛】此題主要考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，以及三角形面積求法，正確掌握三角形面積求法是解題關(guān)鍵．
6．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）在如圖所示的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C在小正方形的頂點(diǎn)上．請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求完成以下作圖．（保留作圖痕跡）

(1)如圖1，作出中邊上的中線．
(2)如圖2，作出中邊上的高．
【答案】(1)見解析
(2)見解析

【分析】（1）利用網(wǎng)格找到的中點(diǎn)D，連接即可．
（2）延長(zhǎng)，利用網(wǎng)格，作即可．
【詳解】（1）如圖1，即為所求．

（2）如圖2，即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、三角形的中線與高線，熟練掌握三角形的中線與高線的定義是解答本題的關(guān)鍵．
類型三、三角形三邊關(guān)系
【解惑】
（2022秋·安徽馬鞍山·八年級(jí)?？计谥校┤鬭、b、c表示的三邊長(zhǎng)，則____________．
【答案】
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，判斷絕對(duì)值內(nèi)的代數(shù)式的符號(hào)，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．
【詳解】∵a，b，c是的三邊，
∴，，，
∴，，，
∴

．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】題目主要考查的是三角形的三邊關(guān)系及去絕地值，熟練掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

【融會(huì)貫通】
1．（2022秋·廣西南寧·八年級(jí)?？计谥校┮韵麻L(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（????）
A．2，2，2 B．2，3，5 C．2，3，6 D．2，2，4
【答案】A
【分析】三角形的三條邊必須滿足：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
【詳解】解：A、，故能組成三角形，符合題意；
B、，不能組成三角形，不符合題意；
C、，不能組成三角形，不符合題意；
D、，不能組成三角形，不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)三角形三邊關(guān)系的理解應(yīng)用．判斷是否可以構(gòu)成三角形，只要判斷兩個(gè)較小的數(shù)的和大于最大的數(shù)就可以．
2．（2022秋·貴州銅仁·八年級(jí)統(tǒng)考期中）以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（　?。?br /> A．1，1，2 B．3，4，5
C．1，4，6 D．2，3，7
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)，并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度，即可判定這三條線段能否組成一個(gè)三角形．
【詳解】解：A、因?yàn)?，所?，1，2不能組成三角形；
B、因?yàn)椋?，4，5能組成三角形；
C、因?yàn)椋?，4，6不能組成三角形；
D、因?yàn)椋?，3，7不能組成三角形；
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．
3．（2022秋·江西宜春·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若長(zhǎng)度分別是a、2、6的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可以是（　?。?br /> A．2 B．3 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，求出的取值范圍，再進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：由三角形三邊關(guān)系定理得：，
即，
∴a的值可以是7，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，是解題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·浙江紹興·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，若長(zhǎng)為整數(shù)，則長(zhǎng)為（　?。?br /> A．3 B．6 C．3或6 D．3或4或5或6
【答案】D
【分析】分三種情況：①A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)B在線段上，；②A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)B在的延長(zhǎng)線上，；③A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上時(shí)，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．
【詳解】解：當(dāng)A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)B在線段上時(shí)，
；
當(dāng)A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)B在的延長(zhǎng)線上時(shí)，
；
A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上時(shí)，
，即，
，
長(zhǎng)為整數(shù)，
或，
綜上可知，長(zhǎng)為3或4或5或6．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差關(guān)系、三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是注意分情況討論．
5．（2022秋·廣東惠州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和5，則第三邊長(zhǎng)c的取值范圍是___________．
【答案】
【分析】根據(jù)三角形的第三邊大于兩邊之差，小于兩邊之和，即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：∵三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和5，
∴第三邊長(zhǎng)c的取值范圍是，即．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用，熟記三角形的第三邊大于兩邊之差，小于兩邊之和是解題的關(guān)鍵．
6．（2022秋·青海西寧·八年級(jí)?？计谥校┮粋€(gè)三角形的三邊分別是x，3，5，那么這個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的取值范圍是______．
【答案】
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊即可求解．
【詳解】解：∵三角形的三邊分別是x，3，5，
∴，即．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，記住兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，屬于基礎(chǔ)題．

類型四、三角形三條重要線段關(guān)系
【解惑】
（2022秋·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，是的高．

(1)如圖1，是的平分線，若，，求的度數(shù)．
(2)如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，和的平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得，由角平分線的定義可得的度數(shù)，利用三角形的高線可求得度數(shù)，進(jìn)而求解即可得出結(jié)論；
（2）由三角形外角的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可求解，根據(jù)三角形的高線可求解的度數(shù)．
【詳解】（1）解：，，，
，
是的角平分線，
，
是的高，
，
，
，
；
（2）解：和的角平分線交于點(diǎn)，
，，
，，
，
即，
是的高，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的高線，角平分線等知識(shí)的綜合運(yùn)用．
【融會(huì)貫通】
1．（2023春·重慶九龍坡·七年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，，，，則點(diǎn)到直線的距離等于（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)等積法求出點(diǎn)到直線的距離即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
即點(diǎn)到直線的距離為，故C正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積計(jì)算，點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等積法求出．




2．（2023春·新疆烏魯木齊·八年級(jí)烏市八中?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，是邊上的高，平分交邊于E，，，則的大小是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，然后根據(jù)計(jì)算即可得解．
【詳解】解：平分，
，
是邊上的高，
，
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·廣西百色·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在銳角三角形中，和分別是和邊上的高，且和相交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)是（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，高線，即可推出，然后由為的外角，根據(jù)外角的性質(zhì)即可推出結(jié)果．
【詳解】解：，，
，
，
，
為的外角，
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查垂線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于根據(jù)相關(guān)的定理推出和的度數(shù)．
4．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，，，且的面積為12，則底邊上高的長(zhǎng)度為______．

【答案】4
【分析】先利用的面積求出其邊上的高，再利用平行線間距離處處相等，得到C到的距離為4．
【詳解】解：如下圖，過(guò)A作于E，

∵的面積為12，，
∴，
∴，
過(guò)C作于F，
∵，
∴，
∴點(diǎn)C到的距離是4．
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線間的距離處處相等．
5．（2023春·江蘇·七年級(jí)?？贾軠y(cè)）如圖，已知分別是的高線、角平分線和中線，

(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，的面積為30，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)；
(2)．

【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和得到，再根據(jù)角平分線與高線的定義計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意求得，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得的長(zhǎng)．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是的中線，
∴，
∴，
∵的面積為30，
∴，即，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高、角平分線和中線的定義，三角形內(nèi)角和為．也考查了三角形的面積．
類型五、中線平分面積
【解惑】
（2022秋·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，若的面積為，則四邊形的面積為______．

【答案】
【分析】根據(jù)三角形一邊上的中線，把三角形分成面積相等的兩部分，即可求解．
【詳解】解：點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，的面積為，
，
，
四邊形的面積為：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用三角形的中線求面積問(wèn)題，熟練掌握和運(yùn)用利用三角形的中線求面積的方法是解決本題的關(guān)鍵．
【融會(huì)貫通】
1．（2023秋·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，E是的中點(diǎn)，連結(jié)，．若的面積是8，則圖中陰影部分的面積為（????）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】A
【分析】根據(jù)是的中線得，根據(jù)E是的中點(diǎn)得，，然后根據(jù)求解即可．
【詳解】∵是的中線，
∴，
∵E是的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，熟練掌握三角形中線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．三角形的中線把三角形分成面積相同的兩部分．
2．（2022秋·河南漯河·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，已知點(diǎn)D、E、F分別為邊的中點(diǎn)且的面積是，則陰影部分面積等于（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因?yàn)辄c(diǎn)F是的中點(diǎn)，所以的底是的底的一半，高等于的高；同理，D、E分別是、的中點(diǎn)，可得的面積是面積的一半；利用三角形的等積變換可解答．
【詳解】解：如圖，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，

∴的底是，的底是，即，而高相等，
∴，
∵E是的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴，且的面積是，
∴，
即陰影部分的面積為．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積的等積變換，熟練掌握三角形的中線平分三角形的面積是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·廣西百色·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，D為上一點(diǎn)，，E為上一點(diǎn)，，，則為（　?。?br />
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】根據(jù)得到，根據(jù)得到，從而可得結(jié)果．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握等底同高的三角形面積的關(guān)系．
4．（2022秋·河南焦作·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知D、E、F分別為的中點(diǎn)，且的面積等于，則陰影部分面積為______．

【答案】
【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴，
∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，
∴，
陰影部分面積為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查求三角形的面積，熟練掌握三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·安徽蚌埠·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)是的邊上的點(diǎn)，，是上任意一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，已知的面積為，則的面積為______．

【答案】
【分析】根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得出，繼而得出，則，根據(jù)，得出，即可求解．
【詳解】解：∵是的中點(diǎn)，
∴，
則，
∴，
∵的面積為，
∴，
∵，
∴，
∴，
則的面積為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．




6．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校考期中）如圖，在中E是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，設(shè)，，的面積分別為，，，且，則______．

【答案】##
【分析】利用三角形面積公式，等高的三角形的面積比等于底邊的比，點(diǎn)D是的中點(diǎn)則
，則，然后利用
即可得到答案．
【詳解】解：∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，






；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】題目主要考查求解三角形面積；結(jié)合圖形，利用高相同，底的比即為面積比計(jì)算是解題關(guān)鍵．
類型六、三角形的折疊
【解惑】
（2021秋·遼寧營(yíng)口·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，將沿直線折疊后，點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，若，則的度數(shù)為_____．

【答案】##110度
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，由折疊的性質(zhì)得到，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵，，
∴，
由折疊的性質(zhì)得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【融會(huì)貫通】
1．（2022秋·廣東惠州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把紙片沿折疊，則（????）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由折疊的性質(zhì)得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得到．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得，，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟記折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·甘肅定西·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在，將點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿和折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合，則的度數(shù)為（??????）

A．22° B．21° C．20° D．19°
【答案】C
【分析】根據(jù)，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿和折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合，得到，結(jié)合代入計(jì)算即可．
【詳解】因?yàn)?，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿和折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
解得．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中， ，將沿翻折后，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)處．若，則的度數(shù)為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，，結(jié)合，得到，再根據(jù)，利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
【詳解】．根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，，
因?yàn)椋?br /> 所以，
因?yàn)椋?br /> 所以．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

4．（2022春·江蘇常州·七年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┤鐖D，中，，點(diǎn)、在、上，沿向內(nèi)折疊，得，則圖中等于 _____．

【答案】##120度
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于求出的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求出的度數(shù)，然后根據(jù)平角等于解答．
【詳解】解：，
，
沿向內(nèi)折疊，得，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·江蘇蘇州·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，則______．

【答案】##
【分析】由可得，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后分兩種情況畫圖，結(jié)合三角形的內(nèi)角和和三角形的外角性質(zhì)，即可解答．
【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)落在AC上方時(shí)，如圖，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵將沿翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，
∴，
∴；

當(dāng)點(diǎn)落在AC下方時(shí)，如圖，

由翻折的性質(zhì)可得：，
∴，
∴；
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，正確分類、熟練掌握翻折的性質(zhì)是關(guān)鍵．





類型七、三角形的角平分線
【解惑】
（2022秋·廣東云浮·八年級(jí)新興實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）綜合與探究：小新在學(xué)習(xí)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)課本有一道習(xí)題，他在思考過(guò)程中，對(duì)習(xí)題做了一定變式，讓我們來(lái)一起看一下吧，在中，與的平分線相較于點(diǎn)P．

(1)如圖1，如果，求的度數(shù)．
(2)在（1）的條件下，如圖2，作的外角，的平分線交于點(diǎn)Q，求的度數(shù)．
(3)如圖3，作的外角，的平分線交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)線段，交于點(diǎn)E，在中，是否存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，若存在，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)當(dāng)或或時(shí)，中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍

【分析】（1）先求，然后根據(jù)角平分線定義可求，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求的度數(shù)；
（2）在（1）的條件下，可求，然后根據(jù)角平分線定義可求，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求的度數(shù)；
（3）在中，可求，，，所以如果中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么分四種情況進(jìn)行討論：①；②；③；④；求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵與的平分線相較于點(diǎn)P，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如圖，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵的外角，的平分線交于點(diǎn)Q，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知：，
∵，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
如果中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么分四種情況：
①當(dāng)時(shí)，則，∴；
②當(dāng)時(shí)，則，∴，∴；
③當(dāng)時(shí)，，∴；
④當(dāng)時(shí)，，∴；
故當(dāng)或或時(shí)，中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識(shí)；靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵
【融會(huì)貫通】
1．（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，、、分別平分，外角，外角，以下結(jié)論：①，②，③，④，其中正確的結(jié)論有（????）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、平行線的判定一一判定即可．
【詳解】解：①設(shè)點(diǎn)A、B在直線上，
∵、分別平分的內(nèi)角，外角，

∴平分的外角，
∴，
∵，且，
∴，
∴，故①正確．
②∵、分別平分的內(nèi)角、外角，
∴，
∴，故②正確．
③∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正確．
④∵
∴，
∴，故④正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、平行線的判定等，熟悉各個(gè)概念的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·安徽馬鞍山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，和相交于點(diǎn)O，分別平分和，若，則____．

【答案】70
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，設(shè)，則，再由分別平分和，可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，從而得到，然后根據(jù)得到關(guān)于x的方程，即可求解．
【詳解】解：如圖，

∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵分別平分和，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
解得：，
即．
故答案為：70
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，一元一次方程的應(yīng)用，利用參數(shù)思想構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·安徽蚌埠·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，的兩條角平分線和相交于點(diǎn)，若，則_____．

【答案】
【分析】由，，得，由得，由的兩條角平分線和相交于點(diǎn)得，從而得到，由，從而可得到的度數(shù)．
【詳解】解：，，
，
，
，
的兩條角平分線和相交于點(diǎn)，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和為和角平分線的定義解答．

4．（2022秋·江西宜春·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，和的平分線交于點(diǎn)D，，_____________．

【答案】##50度
【分析】首先根據(jù)角平分線的定義得到，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】∵的平分線與的外角的平分線相交于點(diǎn)D，
∴，
∵是的外角，
∴
∵，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義和性質(zhì)定理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理和三角形外角的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·新疆烏魯木齊·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D①，在中，與的平分線相交于點(diǎn)．

(1)如果，求的度數(shù)；
(2)如圖②，作外角，的角平分線交于點(diǎn)，試探索、之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)
(2)，理由見解析

【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，由此利用三角形內(nèi)角和定理求出答案即可；
（2）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義得到，再由三角形內(nèi)角和定理得到，則．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵與的平分線相交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，的角平分線交于點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

類型八、三角形的n等分角
【解惑】
（2020·全國(guó)·九年級(jí)統(tǒng)考專題練習(xí)）探究與發(fā)現(xiàn)：
如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請(qǐng)你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問(wèn)題：

(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：
①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若，則_____°；
②如圖3，平分，平分，若，，則______°；
③如圖4，，的10等分線相交于點(diǎn)，，…，，若，，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)①40，②90，③70°

【分析】（1）根據(jù)題意觀察圖形連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，根據(jù)一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可證明；
（2）①由（1）的結(jié)論可得，然后把，代入上式即可得到的值；②結(jié)合圖形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的結(jié)論可知，易得答案．③由②方法，進(jìn)而可得答案．
【詳解】（1），理由如下：
連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，

由外角定理可得，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）①由（1）的結(jié)論易得：，
∵，，
∴，
故答案是：40；
②由（1）的結(jié)論易得，，
∵，，
∴；
∵平分，平分，
∴，，
∴；
③由②知，，
∵，
∴設(shè)為，
∵，
∴，
∴，
∴為70°．
故答案是：70°．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出是解答的關(guān)鍵，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．

【融會(huì)貫通】
1．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，的三等分線交于點(diǎn)E，D．若，則的度數(shù)為（????）

A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】A
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)三等分線求出即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：在中，
∵，
∴，
∵，的三等分線交于點(diǎn)E、D，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識(shí)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)開學(xué)考試）已知中，．在圖1中的平分線交于點(diǎn)，則可計(jì)算得；在圖2中，設(shè)的兩條三等分角線分別對(duì)應(yīng)交于，則_______．

【答案】
【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，再由三等分角線可得，由三角形內(nèi)角和定理即可求得．
【詳解】解：∵，
∴，
∵的兩條三等分角線分別對(duì)應(yīng)交于，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）如圖，已知中，，如圖：設(shè)的兩條三等分角線分別對(duì)應(yīng)交于則_____；請(qǐng)你猜想，當(dāng)同時(shí)n等分時(shí)，條等分角線分別對(duì)應(yīng)交于，則______（用含n和的代數(shù)式表示）．

【答案】???? 60°+α????
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根據(jù)三等分的定義求出（∠O2BC+∠O2CB），在△O2BC中，利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根據(jù)n等分的定義求出（∠On-1BC+∠On-1CB），在△On-1BC中，利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解．
【詳解】解：在△ABC中，∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵O2B和O2C分別是∠B、∠C的三等分線，
∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=120°-α；
∴∠BO2C=180°-（∠O2BC+∠O2CB）=180°-（120°-α）=60°+α；
在△ABC中，∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵On-1B和On-1C分別是∠B、∠C的n等分線，
∴∠On-1BC+∠On-1CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=，
∴∠BOn-1C=180°-（∠On-1BC+∠On-1CB）=180°-（）=，
故答案為：60°+α，．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，以及三等分線，n等分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．
4．（2022春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知△ABC中，∠A=x°，如圖1，若∠ABC和∠ACB的三等分線相交于點(diǎn)，則用x表示______°，如圖2，若∠ABC和∠ACB的n等分線相交于點(diǎn)，則用x表示______°

【答案】???? ????
【分析】根據(jù)角的n等分線的定義和三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】解：如圖1所示，在△ABC中∠A=x°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-x°，
∵∠ABC和∠ACB的三等分線相交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
如圖2所示，同理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-x°，
∵∠ABC和∠ACB的n等分線相交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
故答案為：；．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角n等分線的定義，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
5．（2021春·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：在中，．
【感知】在圖中、的角平分線交于點(diǎn)，則可計(jì)算的角度，請(qǐng)寫出計(jì)算過(guò)程；

【探究】（1）在圖中，設(shè)、的兩條三等分角線分別對(duì)應(yīng)交于、，請(qǐng)你計(jì)算出的度數(shù)；

（2）請(qǐng)你猜想，當(dāng)/、同時(shí)被n等分時(shí)，條等分角線分別對(duì)應(yīng)交于、…，如圖，則_________（用含n和a的代數(shù)式表示）．

【拓展】如圖，在四邊形ABCD中，，當(dāng)、同時(shí)被n等分時(shí)，條等分角線分別對(duì)應(yīng)交于、…，如圖，則的度數(shù)是_______．

【答案】感知：，過(guò)程見解析；探究：（1）；（2）；拓展：
【分析】（感知）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，用a表示出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義算出，最后再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；
（探究）（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，用a表示出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)三等分角線的定義算出，最后再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，用a表示出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)n等分角線的定義算出，最后再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；
（拓展）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°，∠A+∠D=200°，則∠ABC+∠DCB=160°，再根據(jù)n等分角線的定義算出，最后再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；
【詳解】解：（感知）∵，分別平分，
∴，

，
∴
?????????????????????????
（探究）（1）,的兩條三等分角線分別對(duì)應(yīng)交于，
，


（2），
∴
∵，分別是，的n等分角線
∴
∴

（拓展）∵∠A+∠D=200°
∴∠ABC+∠DCB=160°
，分別是，的n等分角線


【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，以及三等分線，n等分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．
6．（2020春·貴州畢節(jié)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖，在中，的等分線分別交于點(diǎn)根據(jù)等分線等分角的情況解決下列問(wèn)題：

（1）求的度數(shù)．
（2）求的度數(shù)．
（3）直接寫出的度數(shù)．
【答案】（1）100°；（2）60°；（3）．
【分析】（1）根據(jù)已知條件可知，根據(jù)分別是和的二等分線，可知，由此即可求解；
（2）根據(jù)分別是和的四等分線，可知，由此即可求解；
（3）根據(jù)（1）（2）題找到規(guī)律，得到，然后求出n-1=2020時(shí)的值即可．
【詳解】（1）∵，
∴，
∵分別是和的二等分線，
，
∴．
（2）∵分別是和的四等分線，
，
，
（3）∵分別是和的n等分線，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角n等分線的計(jì)算、三角形內(nèi)角和定理，理解題意找到規(guī)律，求得、的度數(shù)是解題關(guān)鍵．

類型九、八字型
【解惑】
（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知線段、相交于點(diǎn)，連接、，則我們把形如這樣的圖形稱為“字型”．

(1)求證：．
(2)如圖所示，，則的度數(shù)為______．
(3)如圖，若和的平分線和相交于點(diǎn)，且與，分別相交于點(diǎn)，
①若，，求∠的度數(shù)．
②若角平分線中角的關(guān)系改成“，”，試直接寫出與，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明理由．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)①；②，見解析

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；
（2）三角形外角的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，繼而得出結(jié)論．
（3）①根據(jù)“字型”模型得出，，兩等式相減得到，即，然后把，代入計(jì)算即可．
②根據(jù)“字型”模型得出，，繼而得出，從而得出．
【詳解】（1）證明：在圖中，有，，
，
；
（2）解：如圖所示，

，，
，
，，
，
，
，
．
故答案為：．
（3）①以為交點(diǎn)“字型”中，有，
以為交點(diǎn)“字型”中，有
，
、分別平分和，
，，
，
，，
．
②，其理由是：
∵，，
∴，，
以M為交點(diǎn)“8字型”中，有，
以N為交點(diǎn)“8字型”中，有
∴，
．
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，利用三角形外角的性質(zhì)轉(zhuǎn)化角的關(guān)系是解題關(guān)鍵，同時(shí)也考查了角平分線的定義．

【融會(huì)貫通】
1．（2021秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知線段、相交于點(diǎn)，連接、，我們把形如圖的圖形稱之為“字形”試解答下列問(wèn)題：

(1)在圖中，寫出、、、之間關(guān)系；
(2)如圖，在（1）的結(jié)論下，和的平分線和相交于點(diǎn)，并且與、分別相交于點(diǎn)、．
仔細(xì)觀察，在圖中有______個(gè)以線段為邊的“字形”；
若，，試求的度數(shù)；
和為任意角時(shí)，其他條件不變，試直接寫出與、之間數(shù)量關(guān)系，不需說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)①；②；③

【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理表示出與，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得，然后整理即可得解；
（2）①根據(jù)圖像，即可得到答案；
②根據(jù)（1）的關(guān)系式求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，然后利用“8字形”的關(guān)系式列式整理即可得解；
③根據(jù)“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根據(jù)角平分線的定義可得，然后整理即可得證．
【詳解】（1）解：，，
而，
；
（2）解：①由圖可知，以為交點(diǎn)的“字形”有個(gè)，以為交點(diǎn)的“字形”有個(gè)；
②，，
，
，
、分別是和的角平分線，
，，
又，
，
故答案為：；
③根據(jù)“8字形”數(shù)量關(guān)系，，，
所以，，，
、分別是和的角平分線，
，，
，
整理得，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，多邊形的內(nèi)角和定理，對(duì)頂角相等的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．










2．（2020·浙江杭州·八年級(jí)專題練習(xí)）（2017公益周考卷）已知：線段AB，CD相交于點(diǎn)O，連接AD，CB，和的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，與CD，AB相交于M，N，如圖2：
（1）在圖1中，直接寫出，，，之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）圖中有幾個(gè)八字模型？
（3）在圖2中，與為任意角，試探究與，之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系，若存在，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

【答案】（1）；（2）6個(gè)；（3），證明見詳解.
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（2）可以以三角形的公共點(diǎn)為中心尋找；
（3）利用（1）中所得到得結(jié)論，列出兩組關(guān)系式，然后結(jié)合角平分線性質(zhì)即可得證；
【詳解】（1） 在和中：
, ,且

（2）一共有6組，分別是：和,和,和，和，和，和；
（3） ,證明如下：
由（1）得：


又 和分別是和的平分線


【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的“8”字模型，充分理解“8”字模型的結(jié)論，并利用它進(jìn)行角度的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.
3．（2019春·江蘇泰州·七年級(jí)校考期中）解讀基礎(chǔ)：
（1）圖1形似燕尾，我們稱之為“燕尾形”，請(qǐng)寫出、、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）圖2形似8字，我們稱之為“八字形”，請(qǐng)寫出、、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由：
應(yīng)用樂(lè)園：直接運(yùn)用上述兩個(gè)結(jié)論解答下列各題
（3）①如圖3，在中，、分別平分和，請(qǐng)直接寫出和的關(guān)系　??；
②如圖4，　　．
（4）如圖5，與的角平分線相交于點(diǎn)，與的角平分線相交于點(diǎn)，已知，，求和的度數(shù)．

【答案】（1），理由詳見解析；（2），理由詳見解析：（3）①；②360°；（4）； .
【分析】（1）根據(jù)三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及對(duì)頂角相等即可得出結(jié)論；
（3）①根據(jù)角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；
②連結(jié)BE，由（2）的結(jié)論及四邊形內(nèi)角和為360°即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)（1）的結(jié)論、角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）．理由如下：
如圖1，，，
，
；
（2）．理由如下：
在中，，
在中，，
，
；
（3）①，，
、分別平分和，
，
．
故答案為．
②連結(jié)．
∵，
．
故答案為；

（4）由（1）知，，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和；熟練掌握角平分線的性質(zhì)，進(jìn)行合理的等量代換是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)靖江市靖城中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖①，線段相交于點(diǎn)O，連接．我們把形如圖①的圖形稱之為“8”字形．如圖②，在圖①的條件下，和的平分線和相交于點(diǎn)P，并且與分別相交于點(diǎn)M、N．解答下列問(wèn)題：

(1)在圖①中，、、、之間的數(shù)量關(guān)系為______；
(2)仔細(xì)觀察，在圖②中“8字形”有______個(gè)；
(3)在圖②中，若，，試求的度數(shù)；
(4)若圖②中和為任意角，其他條件不變，則與、之間的數(shù)量關(guān)系為______．
【答案】(1)
(2)6
(3)35°
(4)

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出；
（2）根據(jù)“8字形”的定義，仔細(xì)觀察圖形即可得出“8字形”共有6個(gè)；
（3）先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律，可得①，②，再根據(jù)角平分線的定義，得出，，將①②，可得，進(jìn)而求出的度數(shù)；
（4）同（3），根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義，即可得出．
【詳解】（1），，
；
故答案為；
（2）①線段、相交于點(diǎn)，形成“8字形”；
②線段、相交于點(diǎn)，形成“8字形”；
③線段、相交于點(diǎn)，形成“8字形”；
④線段、相交于點(diǎn)，形成“8字形”；
⑤線段、相交于點(diǎn)，形成“8字形”；
⑥線段、相交于點(diǎn)，形成“8字形”；
故“8字形”共有6個(gè)；
故答案為6．
（3），①
，②
和的平分線和相交于點(diǎn)，
，，
①②得：
，
即，
又，，
，
；
（4）關(guān)系：．
如圖2，

由①
由，②
①②得：
，
和的平分線和相交于點(diǎn)P，
,
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義及閱讀理解與知識(shí)的遷移能力．（1）中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出“8字形”中的角的規(guī)律；（2）是考查學(xué)生的觀察理解能力，需從復(fù)雜的圖形中辨認(rèn)出“8字形”；（3）（4）直接運(yùn)用“8字形”中的角的規(guī)律解題．


類型十、多邊形角度與邊數(shù)
【解惑】
（2022秋·河南安陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)多邊形如果內(nèi)角都相等，并且滿足其一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是其相對(duì)應(yīng)外角度數(shù)的整數(shù)倍，就稱這個(gè)多邊形為“整數(shù)多邊形”，已知一個(gè)“整數(shù)多邊形”一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是其相對(duì)應(yīng)外角度數(shù)的5倍，求這個(gè)“整數(shù)多邊形”的邊數(shù)．
【答案】
【分析】根據(jù)一個(gè)外角和對(duì)應(yīng)的內(nèi)角和為180度，列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)“整數(shù)多邊形”的一個(gè)外角度數(shù)為，則它的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，由題意，得
．
解得．
∴這個(gè)“整數(shù)多邊形”的邊數(shù)為．
【點(diǎn)睛】此題考查了求多邊形的邊數(shù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出一個(gè)外角和內(nèi)角和為180度列方程求解．

【融會(huì)貫通】
1．（2023秋·云南西雙版納·八年級(jí)西雙版納州第一中學(xué)校考期中）如圖，小亮從A點(diǎn)出發(fā)前進(jìn)5m，向右轉(zhuǎn)，再前進(jìn)5m，又向右轉(zhuǎn)…，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了（????）m．

A．24 B．60 C．100 D．120
【答案】D
【分析】由題意可知小亮所走的路線為正多邊形，根據(jù)多邊形的外角和定理即可求出答案．
【詳解】∵小亮從A點(diǎn)出發(fā)最后回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)正好走了一個(gè)正多邊形，
∴根據(jù)外角和定理可知正多邊形的邊數(shù)為，
則一共走了米．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的外角和定理．任何一個(gè)多邊形的外角和都是，用外角和求正多邊形的邊數(shù)可直接讓除以一個(gè)外角度數(shù)即可．
2．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)期中）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的2倍，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（????）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理列出方程，然后求解即可．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，
根據(jù)題意得，，
解得．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，多邊形的外角和與邊數(shù)無(wú)關(guān)，任何多邊形的外角和都是．


3．（2020秋·浙江杭州·八年級(jí)杭州市杭州中學(xué)?？计谥校┤鐖D三角形紙片，剪去角后，得到一個(gè)四邊形，則（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求三角形除去角后的度數(shù)和則根據(jù)多邊形的內(nèi)角和等于即可求得的度數(shù)．
【詳解】解：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：
三角形除去角后的度數(shù)和：，
則根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得：．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握四邊形的內(nèi)角和為及三角形的內(nèi)角和為．
4．（2021秋·廣東江門·八年級(jí)江門市江海區(qū)外海中學(xué)?？计谥校┤缦聢D，的度數(shù)為（????）

A．540° B．500° C．460° D．420°
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)平角的定義和四邊形內(nèi)角和可得，同理可得，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，

∵，
∴，
∵，，
∴
∵
∴，
同理可得：，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理，熟知四邊形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于， 則這個(gè)多邊形是_________邊形；如果一個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)是條，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是____________
【答案】???? ##十二???? ##900度
【分析】多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于，可求出對(duì)應(yīng)角的外角，根據(jù)外角和定理即可求解；一個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)是條，根據(jù)多邊形的邊數(shù)為，則對(duì)角線的條數(shù)為，由此即可求解．
【詳解】解：（1）多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于，
∴對(duì)應(yīng)的外角為，
∵多邊形的外角和為，
∴多邊形的邊數(shù)為，
故答案為：；
（2）設(shè)多邊形的邊數(shù)為，
∴對(duì)角線的條數(shù)為，解方程得，（舍去），，
∴多邊形的邊數(shù)是，
∴該七邊形的內(nèi)角和為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的知識(shí)，理解并掌握多邊形的內(nèi)角和定理，外角和定理，對(duì)角線的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
6．（2022秋·河南漯河·八年級(jí)統(tǒng)考期中）求圖形中x的值為_________ °．

【答案】
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列方程求解即可得到答案．
【詳解】解：，
，
，
．
故答案為：115．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，解一元一次方程，屬于基礎(chǔ)題型，解題關(guān)鍵是熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式：變形內(nèi)角和等于．
7．（2022秋·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，七邊形中，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O，若，，，的和等于，則的度數(shù)為______．

【答案】##50度
【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，根據(jù)，得到，結(jié)合，得到，結(jié)合計(jì)算即可．
【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，

因?yàn)椋?br /> 所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
因?yàn)椋?br /> 所以．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握多邊形的外角和定理是解題的關(guān)鍵．


類型十一、多邊形截角
【解惑】
（2022春·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校⒁粋€(gè)多邊形截去一個(gè)角后所得的多邊形內(nèi)角和為2880°，則原多邊形的邊數(shù)為 _____．
【答案】17或18或19
【分析】因?yàn)橐粋€(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：多邊形的內(nèi)角和可以表示成（n-2）?180°（n≥3且n是整數(shù)），一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，
根據(jù)（n-2）?180°=2880°解得：n=18，
則多邊形的邊數(shù)是17或18或19．
故答案為：17或18或19．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，注意要分情況進(jìn)行討論，避免漏解
【融會(huì)貫通】
1．（2022秋·北京西城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將一個(gè)五邊形沿虛線裁去一個(gè)角后得到的多邊形的內(nèi)角和為（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式求解即可．
【詳解】解：將一個(gè)五邊形沿虛線裁去一個(gè)角后得到的多邊形的邊數(shù)是6，
則，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形外角與內(nèi)角．此題比較簡(jiǎn)單，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440°．則原來(lái)多邊形的邊數(shù)是（　?。?br /> A．9 B．10 C．8或9或10 D．9或10或11
【答案】D
【分析】首先求得內(nèi)角和為1440°的多邊形的邊數(shù)，即可確定原多邊形的邊數(shù)．
【詳解】解：設(shè)內(nèi)角和為1440°的多邊形的邊數(shù)是n，則（n-2）?180=1440，
解得：n=10．
∵截去一個(gè)角后邊上可以增加1，不變，減少1，
∴原多邊形的邊數(shù)是9或10或11．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，求出原來(lái)多邊形的邊數(shù)是關(guān)鍵．
3．（2022春·湖南懷化·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)做對(duì)角線，可把這個(gè)n邊形分成（n﹣3）個(gè)三角形
B．三角形的穩(wěn)定性有利用價(jià)值，而四邊形的不穩(wěn)定性沒(méi)有利用價(jià)值
C．將一塊長(zhǎng)方形木板鋸去一個(gè)角后，剩余部分的內(nèi)角和為540°
D．一個(gè)多邊形的邊數(shù)每增加一條，則這個(gè)多邊形內(nèi)角和增加180°，外角和不變
【答案】D
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，三角形的穩(wěn)定性，多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理即可得到結(jié)論．
【詳解】A、過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)做對(duì)角線，可把這個(gè)n邊形分成(n-2)個(gè)三角形，故不符合題意；
B、三角形的穩(wěn)定性有利用價(jià)值，而四邊形的不穩(wěn)定性也有利用價(jià)值，故不符合題意；
C、將一塊長(zhǎng)方形木板鋸去一個(gè)角后，剩余部分的內(nèi)角和為540°或180°或360°，故不符合題意；
D、一個(gè)多邊形的邊數(shù)每增加一條，則這個(gè)多邊形內(nèi)角和增加180°，外角和不變，故符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，三角形的穩(wěn)定性，多邊形的內(nèi)角與外角，掌握多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2022春·山東泰安·六年級(jí)?？计谥校⒁粋€(gè)多邊形按圖所示減掉一個(gè)角，所得多邊形的內(nèi)角和為，那么原多邊形的邊數(shù)是（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n?2）?180°求出截去一個(gè)角后的多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)圖中截去一個(gè)角后邊數(shù)增加1進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)多邊形截去一個(gè)角的邊數(shù)為n，
則（n?2）?180°＝1800°，
解得n＝12，
∵截去一個(gè)角后邊上增加1，
∴原來(lái)多邊形的邊數(shù)是11，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，本題難點(diǎn)在于多邊形截去一個(gè)角后邊數(shù)有增加1，不變，減少1三種情況．
5．（2021春·浙江紹興·八年級(jí)紹興市元培中學(xué)?？计谥校┮阎粋€(gè)多邊形的內(nèi)角和是900°，把這個(gè)多邊形剪去一個(gè)角，則剩下多邊形的內(nèi)角和可以是___________．
【答案】或或
【分析】先求出原多邊形是七邊形，剪掉一個(gè)角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可以知道，邊數(shù)增加1，相應(yīng)內(nèi)角和就增加180度，由此即可求出答案．
【詳解】解：∵多邊形的內(nèi)角和是，
∴，
解得：，即原多邊形是七邊形，
因?yàn)榧舻粢粋€(gè)角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，
當(dāng)多邊形的邊數(shù)減少了1條邊，內(nèi)角和；
當(dāng)多邊形的邊數(shù)不變，內(nèi)角和；
當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加一條邊，內(nèi)角和．
答：將這個(gè)多邊形剪去一個(gè)角，剩下多邊形的內(nèi)角和是或或，
故答案為：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，在理解剪掉多邊形的一個(gè)角的含義時(shí)，確定其剩余幾邊形是關(guān)鍵．
6．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┮粋€(gè)多邊形剪去一個(gè)角后，內(nèi)角和為，則原多邊形是___________邊形．
【答案】或或
【分析】先求出新多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個(gè)角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)相等，多，少三種情況進(jìn)行討論．
【詳解】解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)是，則，
解得，
截去一個(gè)角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)可以相等，多或少，
原多邊形的邊數(shù)是或或．
故答案是：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，難點(diǎn)在于截去一個(gè)角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)相等，多，少，有這么三種情況．
7．（2022春·山東煙臺(tái)·六年級(jí)?？计谥校?）每個(gè)內(nèi)角都相等的十邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為 _____；
（2）一個(gè)多邊形過(guò)頂點(diǎn)剪去一個(gè)角后，所得多邊形的內(nèi)角和為720°，則原多邊形的邊數(shù)是 _____．
【答案】???? 36°##36度???? 6或7
【分析】（1）根據(jù)正多邊形的每一個(gè)外角相等且所有的外角的度數(shù)和為360度求解即可．
（2）求出新的多邊形為6邊形，則可推斷原來(lái)的多邊形可以是6邊形，可以是7邊形．
【詳解】解：（1）一個(gè)十邊形的每個(gè)外角都相等，
∴十邊形的一個(gè)外角為360÷10＝36°．
故答案為：36°；
（2）設(shè)內(nèi)角和為720°的多邊形的邊數(shù)是n，則（n﹣2）×180＝720，
解得：n＝6．
∵多邊形過(guò)頂點(diǎn)截去一個(gè)角后邊數(shù)不變或減少1，
∴原多邊形的邊數(shù)為6或7．
故答案為：6或7．


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