?專(zhuān)題06 二元一次方程組——認(rèn)識(shí)、解方程組














一、 二元一次方程
二元一次方程滿(mǎn)足的三個(gè)條件：
（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù).
（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1.
（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.
二元一次方程的解：
(1)二元一次方程的解都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值，一般用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，如：．
(2)一般情況下，二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，即有無(wú)數(shù)多對(duì)數(shù)適合這個(gè)二元一次方程．
二、二元一次方程組
組成方程組的兩個(gè)方程不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù)，例 也是二元一次方程組三、解二元一次方程組
形式：
（1）二元一次方程組的解是一組數(shù)對(duì)，必須同時(shí)滿(mǎn)足方程組中每一個(gè)方程一般寫(xiě)成的形式．
(2)一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無(wú)解，而方程組的解有無(wú)數(shù)個(gè)．
消元：
1.消元思想：二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求出另一個(gè)未知數(shù). 這種將未知數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知數(shù)由多變少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.
代入：
(1)代入消元法的關(guān)鍵是先把系數(shù)較簡(jiǎn)單的方程變形為：用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)的形式，再代入另一個(gè)方程中達(dá)到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①當(dāng)方程組中含有一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式時(shí)，可以直接利用代入法求解；
②若方程組中有未知數(shù)的系數(shù)為1(或-1)的方程．則選擇系數(shù)為1(或-1)的方程進(jìn)行變形較簡(jiǎn)便；
③若方程組中所有方程里的未知數(shù)的系數(shù)都不是1或-1，選系數(shù)絕對(duì)值較小的方程變形比較簡(jiǎn)便．
加減：
(1)方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不互為相反數(shù)，又不相等，那么就用適當(dāng)?shù)臄?shù)乘方程的兩邊，使同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；
(2)把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；
(3)解這個(gè)一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；
（4)將這個(gè)求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，并把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用“大括號(hào)”聯(lián)立起來(lái)，就是方程組的解．
四、三元一次方程組
方法：
（1）觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)特點(diǎn)，確定先消去哪個(gè)未知數(shù)；
（2）利用代入法或加減法，把方程組中的一個(gè)方程，與另外兩個(gè)方程分別組成兩組，消去同一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組；
（3）解這個(gè)二元一次方程組，求得兩個(gè)未知數(shù)得值；
（4）將這兩個(gè)未知數(shù)得值代入原方程組中較簡(jiǎn)單得一個(gè)方程中，求出第三個(gè)未知數(shù)得值，從而得到原三元一次方程組得解。

五、 方法拓展
1. 二元一次方程取整
已知關(guān)于x的方程有整數(shù)解，求滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)k的值？
方法：1.先移項(xiàng)使；2.x和k都是整數(shù)，（9-k）是17的因數(shù)（分正負(fù)）；3.即可求解。
2. 二元一次方程組取整
方程組有正整數(shù)解，則正整數(shù)a的值為_(kāi)_______．
方法：1.解方程組；2.x和y為正整數(shù)，a+4為13的正因數(shù)；3.求解即可。

3. 二元一次方程的新定義
同以前的類(lèi)型中的新定義
4. 二元一次方程組中換元思想
用換元法解方程組時(shí)，如果設(shè)＝a，＝b，那么原方程組可化為二元一次方程組 ___．
方法：1.把題中的二元一次方程組轉(zhuǎn)化成；2.解出a和b的值，再代入求x和y的值即可。
5. 二元一次方程組中的誤解
已知方程組，甲正確地解得，而乙粗心地把C看錯(cuò)了，得，試求出a，b，c的值．
方法：1.由甲的條件可代入得，c已求；2.由乙的條件得3a+6b=3，構(gòu)造新的二元一次方程組，求出ab即可。
6. 二元一次方程組中代換思想
善于思考的小明在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法：
方法：1.將方程變形：， 即;2.把方程代入得：，求出x和y即可。
7. 二元一次方程組中有、無(wú)、無(wú)數(shù)解
若方程組無(wú)解，則值是（???）
A． B．1 C． D．2
方法：1.把第二個(gè)方程整理得到；2.然后利用代入消元法消掉未知數(shù)x得到關(guān)干y的一元一次方程；3.再根據(jù)方程組無(wú)解，未知數(shù)的系數(shù)等于0列式計(jì)算即可得．
8. 二元一次方程組中相反解求參
若滿(mǎn)足方程組的x與y互為相反數(shù)，則m的值為（???????）
A．2 B． C．11 D．
方法一：直接用代入或加減消元求出x、y與m的關(guān)系式，構(gòu)造關(guān)于m的一元一次方程
方法二：直接構(gòu)造x+y或其倍數(shù)，一步到位，構(gòu)造關(guān)于m的方程為0.
9. 二元一次方程組中消元求參
若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿(mǎn)足2x+y＝3，求k的值．
方法：運(yùn)用消元法求出x、y和k的關(guān)系式，代入后面的二元一次方程，構(gòu)造關(guān)于k的一元一次方程。
10. 二元一次方程組中換組求參
方程組和方程組的解相同，則____________
方法：1.由解相同整理得；2.求出x和y的解，代入，求出a和b即可。
【專(zhuān)題過(guò)關(guān)】
類(lèi)型一、認(rèn)識(shí)二元一次方程與它的解
【解惑】
（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)東北師大附中?？茧A段練習(xí)）下列方程中，二元一次方程的個(gè)數(shù)為（????）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【分析】先判斷選項(xiàng)中方程是否含有兩個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)都是1用排除法求出答案．
【詳解】解：① 屬于二元二次方程，故不符合題意；
②符合二元一次方程的定義，故符合題意；
③不屬于整式方程，故不符合題意；
④屬于二元二次方程，故不符合題意；
⑤符合二元一次方程的定義，故符合題意；
⑥屬于三元一次方程，故不符合題意．
故選．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二元一次方程的概念，解題過(guò)程中需要注意的是熟練掌握二元一次方程的形式和特點(diǎn)：含有2個(gè)未知數(shù)以及未知數(shù)的次數(shù)都是1的整式方程．
【融會(huì)貫通】
1．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）下列方程中，屬于二元一次方程的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義判斷逐項(xiàng)分析即可，方程的兩邊都是整式，含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1次的方程叫做二元一次方程.
【詳解】解：A、 ，含有三個(gè)未知數(shù)，不是二元一次方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B、 ，次數(shù)不為1，不是二元一次方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C、 ，不是整式方程，不是二元一次方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D、 ，是二元一次方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程組的定義是解答本題的關(guān)鍵.
2．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列是二元一次方程的解為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將各選項(xiàng)代入方程的左邊計(jì)算，看是否等于5，如果等于5就是方程的解，如果不等于5，就不是方程的解．
【詳解】解：A．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．把代入得：，即是二元一次方程的解，故本選項(xiàng)符合題意；
C．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時(shí)成立的未知數(shù)的值是方程的解是解題的關(guān)鍵．
3.（2023春·浙江·七年級(jí)期中）若是關(guān)于，的方程的一個(gè)解，則的值為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】把代入方程求出m，即可．
【詳解】解：把代入方程，得：，
解得：；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，屬于基本題型，熟練掌握二元一次方程的解的概念是解題的關(guān)鍵．
4.（2023秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若方程是關(guān)于，的二元一次方程，則的值為 ______ ．
【答案】
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可知：未知數(shù)的系數(shù)不能等于零，未知數(shù)的最高次數(shù)為，然后進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得且，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的定義問(wèn)題，掌握定義是解題的關(guān)鍵．
5.（2023春·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)長(zhǎng)沙麓山外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是二元一次方程的一個(gè)解，則代數(shù)式的值是_________．
【答案】
【分析】根據(jù)是二元一次方程的一個(gè)解，得到，利用整體思想代入代數(shù)式求值即可．
【詳解】解：∵是二元一次方程的一個(gè)解，
∴，
∴


；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解，代數(shù)式求值．熟練掌握二元一次方程的解是使等式成立的未知數(shù)的值，利用整體思想代入求值，是解題的關(guān)鍵．
6.（2022春·廣東佛山·七年級(jí)期中）把方程改寫(xiě)成用含的式子表示的形式是 _____．
【答案】
【分析】通過(guò)移項(xiàng)，化系數(shù)為1的步驟將方程改寫(xiě)成用含的式子表示的形式，即可求解．
【詳解】解：，
，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，根據(jù)等式的性質(zhì)變形是解題的關(guān)鍵．
類(lèi)型二、二元與三元一次方程組的計(jì)算
【解惑】
（湖南省婁底市2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中考試作業(yè)（二）數(shù)學(xué)試題）解下列方程組：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）將代入，然后將的值代入，可求出的值，進(jìn)一步即可確定二元一次方程組的解；
（2）由①得，根據(jù)加減消元法得，求出的值，代入③可求出的值，即可確定二元一次方程組的解．
【詳解】（1）將代入，
得，
解得，
將代入，
∴方程組的解為；
（2），
由①得③，
②③得，
解得，
將代入③，得，
解得，
∴方程組的解．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元和代入消元法是解題的關(guān)鍵．
【融會(huì)貫通】
1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）解下列二元一次方程組：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）利用加減消元法進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）利用加減消元法進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）先利用去分母把方程組化簡(jiǎn)，再利用加減消元法進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：，
由可得：，
把代入②可得：，
所以原方程組的解為：．
（2）解：原方程組整理得：，
由可得：，解得：，
把代入①得：，
所以原方程組的解為：．
（3）解：，
得：③，
得：④，
得：，
解得：，
把代入①得：
解得：，
故原方程組的解是．
【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的方法是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·浙江·七年級(jí)期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）利用加減消元法求解即可；
（2）利用加減消元法求解即可；
（3）利用代入消元法求解即可；
（4）方程組整理后，利用加減消元法求解即可．
【詳解】（1）解：，
得：，
解得：，代入中，
解得：，
∴所以原方程組的解為；
（2），
得：，
解得：，代入中，
解得：，
∴所以原方程組的解為；
（3），
由得：，代入中，
得：，
解得：，
代入中，
解得：，
∴所以原方程組的解為；
（4）方程組整理得：，
得：，
解得：，代入中，
解得：，
∴所以原方程組的解為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的解法，方程組中未知數(shù)的系數(shù)較小時(shí)可用代入法，當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)用加減消元法較簡(jiǎn)單．
3．（2023春·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解下列方程組：
(1)（代入消元）
(2)（加減消元）
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用代入消元法計(jì)算即可；
（2）利用加減消元法計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：，
由可得：，
把代入，可得：，
解得：，
把代入，可得：，
∴原方程組的解為；
（2）解：，
整理可得：，
把得：，
由，可得：，
解得：，
把代入，可得：，
解得：，
∴原方程組的解為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握加減消元法和代入消元法．
4．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）解下列方程或方程組：．
【答案】
【分析】方程組利用加減消元法求解即可．
【詳解】解：，
①②得：，
解得：，
②③得：，
解得：，
①③得：，
解得：，
原方程組的解為．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三元一次方程組的方法，要熟練掌握，注意代入消元法和加減消元法的應(yīng)用．
5．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，則__．
【答案】
【分析】將看成已知數(shù)，解二元一次方程組即可
【詳解】解：方程組整理得：，
②①得：，即，
把代入②得：，即，
則．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，將看成已知數(shù)，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
6．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）解方程組：．
【答案】
【分析】根據(jù)x、y、z的關(guān)系，設(shè)，則，，然后代入求出k值即可解題．
【詳解】解：設(shè)，
，，
將，，代入中得：，
解得：，
，，，
原方程組的解為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解三元一次方程組，解此題的關(guān)鍵是利用比的意義，設(shè)中間元解題代入簡(jiǎn)化解題過(guò)程．

類(lèi)型三、二元一次方程與方程組取整
【解惑】
（2023春·浙江·七年級(jí)期中）方程的非負(fù)整數(shù)解有（）
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
【答案】C
【分析】把x看作已知數(shù)求出y，即可確定出非負(fù)整數(shù)解．
【詳解】解∶，
，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，，
則方程的非負(fù)整數(shù)解為或或
故選∶C．
【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將x看作已知數(shù)求出y．
【融會(huì)貫通】
1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）方程的正整數(shù)解有（????）
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
【答案】A
【分析】先將方程化為，再根據(jù)均為正整數(shù)進(jìn)行分析即可得．
【詳解】解：方程可化為，
∵，均為正整數(shù)，
∴，且是的倍數(shù)，
，且為偶數(shù)，
則當(dāng)時(shí)，，
即方程的正整數(shù)解為，共有1組，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，熟練掌握方程的解法是解題關(guān)鍵．
2．（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）二元一次方程2x＋3y＝11的正整數(shù)解有（????）
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
【答案】B
【分析】把x看做已知數(shù)求出y，即可確定出正整數(shù)解．
【詳解】解：方程2x＋3y＝11，
解得：y＝，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3；x＝4時(shí)，y＝1，
則方程的正整數(shù)解有2組，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是將x看做已知數(shù)求出y．
3.（2019春·福建福州·七年級(jí)福建省福州第十六中學(xué)?？计谥校┮阎猘為正整數(shù)，關(guān)于x、y的方程組的解都是整數(shù)，則a2＝（　?。?br /> A．1或16 B．4或16 C．1 D．16
【答案】D
【分析】根據(jù)加減法，可得（a+2）x＝6，根據(jù)a是正整數(shù)，x、y的值是整數(shù)，可得答案．
【詳解】，
①+②得，
（a+2）x＝6，
∵a為正整數(shù)，x為整數(shù)，
∴a＝1，x＝2或a＝4，x＝1，
又∵y是整數(shù)，
∴a＝4，，
∴a2＝16．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
4.（2019春·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）使方程組有自然數(shù)解的整數(shù)m（??????）
A．只有6個(gè)? B．只能是偶數(shù)?? C．是小于12的自然數(shù)?? D．是小于10的自然數(shù)
【答案】A
【分析】先解出含m的二元一次方程組，再根據(jù)有自然數(shù)解即可得到m的取值.
【詳解】解 得
∵x,y為自然數(shù)解，故6+m=1，2,3,4,6,12，
對(duì)應(yīng)的m有6個(gè)，故選A.
【點(diǎn)睛】此題主要考查二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是熟知二元一次方程組的求解.
5.（2022秋·云南文山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若是關(guān)于x、y的二元一次方程的正整數(shù)解，則的值為_(kāi)_________．
【答案】4或5或6．
【分析】根據(jù)題意求出a、b，然后代入求解即可．
【詳解】解：∵是關(guān)于x、y的二元一次方程的正整數(shù)解，
∴，且a、b為正整數(shù)，
∴符合條件的整數(shù)解為：
或或
∴或或，
故答案為：6或5或4．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解、代數(shù)式求值；理解二元一次方程的解，正確求出a，b值是解答的關(guān)鍵．
6.（2022春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）為正整數(shù)，已知二元一次方程組有整數(shù)解，則為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】利用加減消元法易得、的解，由、均為整數(shù)可解得的值．
【詳解】解：解方程組，可得，
方程組有整數(shù)解，
或，
解得或或，
又為正整數(shù)，
，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法，熟悉相關(guān)解法是解題的關(guān)鍵．
類(lèi)型四、二元一次方程的新定義
【解惑】
（2023春·浙江·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）定義新運(yùn)算：，其中，為常數(shù)．若，，則a，b的值分別為（????）
A．2，3 B．2， C．，3 D．，
【答案】C
【分析】利用新運(yùn)算列出二元一次方程組，進(jìn)行解方程即可．
【詳解】解：由題意列方程組為：，
①×2+②得：5b=15，
解得：b=3，
將b=3代入①得：a=-2，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是利用新運(yùn)算構(gòu)造二元一次一次方程組并解方程組，利用合適的方法解方程組即可．

【融會(huì)貫通】
1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于有理數(shù)，，定義一種新運(yùn)算： ，其中，為常數(shù)．已知，，則__．
【答案】20
【分析】先根據(jù)新定義得出方程組，解之求出a、 b值，再代入求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
則原式．
故答案為：20．
【點(diǎn)睛】本題考查新定義，解二元一次方程組，根據(jù)新定義得出方程組是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·浙江·七年級(jí)階段練習(xí)）定義運(yùn)算“*”，規(guī)定x*y＝，其中a，b為常數(shù)，且1*2＝5，2*3＝10，則4*5＝_____．
【答案】26
【分析】根據(jù)已知定義得出方程，，整理后得出關(guān)于a、b的方程組，求出a、b的值，再根據(jù)定義得出算式，最后求出答案即可．
【詳解】解：∵1*2＝5，2*3＝10，
∴，，
即，
解得：a＝1，b＝2，
∴4*5＝，
故答案為：26．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組和有理數(shù)的混合運(yùn)算，能得出關(guān)于a、b的方程組是解此題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·重慶·七年級(jí)重慶市楊家坪中學(xué)?？计谥校┒x：對(duì)任意一個(gè)兩位數(shù)，如果滿(mǎn)足個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱(chēng)這個(gè)兩位數(shù)為“互異數(shù)”．將一個(gè)“互異數(shù)”的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后得到一個(gè)新的兩位數(shù)，把這個(gè)新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記為．例如：，對(duì)調(diào)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)21，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為，和與11的商為，所以．
根據(jù)以上定義，回答下列問(wèn)題∶
(1)下列兩位數(shù)30，52，77中，“互異數(shù)”為 ；________．
(2)若“互異數(shù)”滿(mǎn)足，求所有“互異數(shù)”．
【答案】(1)52，6
(2)14或23或32或41

【分析】（1）根據(jù)題目中“互異數(shù)”的定義進(jìn)行判斷；再根據(jù)的定義計(jì)算即可；
（2）設(shè)“互異數(shù)”b的個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，根據(jù)題目中“互異數(shù)”的定義列式求出，即可得到所有“互異數(shù)”b的值；
【詳解】（1）解：由“互異數(shù)”的定義得，兩位數(shù)30，52，77中，“互異數(shù)”為52，
，
故答案為：52，6；
（2）解：設(shè)“互異數(shù)”b的個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，
則，
整理得：，
∴或或或，
∴所有“互異數(shù)”b的值為14或23或32或41．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義、二元一次方程的整數(shù)解、整式的加減運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是理解新定義及其運(yùn)算方法．
4．（2022春·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：數(shù)對(duì)經(jīng)過(guò)一種運(yùn)算可以得到數(shù)對(duì)，將該運(yùn)算記作：
，其中（，為常數(shù)）．
例如，當(dāng)，時(shí)，．
(1)當(dāng)，時(shí)，__________；
(2)若，求和的值；
(3)如果組成數(shù)對(duì)的兩個(gè)數(shù)，滿(mǎn)足二元一次方程時(shí)，總有，則__________，__________．
【答案】(1)；
(2)
(3)；-1

【分析】（1）根據(jù)新定義運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)新定義運(yùn)算列出二元一次方程組，解方程組即可求解；
（3）根據(jù)題意可得，然后根據(jù)新定義運(yùn)算列出二元一次方程組，解方程組即可求解．
（1）
解：依題意，當(dāng)，時(shí)，


（2）
∵，
∴，
解得．
∴和的值分別為，-1；
（3）
∵



即
解得
故答案為：；-1．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，二元一次方程組的解，解二元一次方程組，理解新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
5．（2022春·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解：
已知，為有理數(shù)，且，若關(guān)于的一元一次方程的解為，我們就定義該方程為“和解方程”．
例如：方程的解為，因?yàn)椋苑匠淌恰昂徒夥匠獭保?qǐng)根據(jù)上述定義解答下列問(wèn)題：
(1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”）
(2)已知關(guān)于的一元一次方程是“和解方程”，求的值；
(3)已知關(guān)于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值．
【答案】(1)不是
(2)m=
(3)

【分析】（1）根據(jù)定義計(jì)算判斷即可；
（2）根據(jù)定義列方程求出m即可；
（3）根據(jù)定義列方程組求解即可．
（1）
解：方程3x=-6的解為x=-2，
∵-2≠-6+3，
∴方程3x=-6不是“和解方程”，
故答案為：不是；
（2）
由題意得，
解得m=；
（3）
由題意得，
解得，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，解二元一次方程組，正確理解題意中的定義列得方程或方程組解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
6．（2022春·江西新余·七年級(jí)統(tǒng)考期末）我們定義：若整式M與N滿(mǎn)足（k為整數(shù)）則稱(chēng)M與N為關(guān)于的平衡整式．例如，若，我們稱(chēng)與為關(guān)于4的平衡整式．
(1)若與為關(guān)于1的平衡整式，求a的值；
(2)若與y為關(guān)于2的平衡整式，與為關(guān)于5的平衡整式，求的值．
【答案】(1)
(2)3

【分析】（1）根據(jù)平衡整式的定義列出方程，解一元一次方程得到答案；
（2）根據(jù)平衡整式的概念列出二元一次方程組，對(duì)方程組變形求解即可．
(1)
解：由題意得：，
解得：；
(2)
由題意得：，
①＋②得：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次方程，解二元一次方程組，掌握加減消元法是解題的關(guān)鍵．
類(lèi)型五、二元一次方程組中的換元
【解惑】
（2023春·全國(guó)·七年級(jí)階段練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組的唯一解是，則關(guān)于m，n的方程組的解是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先將關(guān)于的方程組變形為，再根據(jù)關(guān)于的方程組的解可得，由此即可得出答案．
【詳解】解：關(guān)于的方程組可變形為，
由題意得：，
解得，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了求二元一次方程組的解，正確發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程組之間的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．
【融會(huì)貫通】
1．（2023春·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀探索：
材料一：解方程組時(shí)，采用了一種“換元法”的解法，解法如下：
解：設(shè)，，原方程組可化為
解得，即，解得
材料二：解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法，解法如下：
解：將方程②，變形為③，把方程①代入③得，，則；把代入①得，，所以方程組的解為：
根據(jù)上述材料，解決下列問(wèn)題：
(1)運(yùn)用換元法解求關(guān)于，的方程組：的解；
(2)若關(guān)于，的方程組的解為，求關(guān)于，的方程組的解．
(3)已知、、，滿(mǎn)足，試求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）用換元法替換和，解方程組即可；
（2）用換元法替換和，根據(jù)已知條件解方程組即可；
（3）仿照題意將方程①變形為，然后把將方程②代入③得到關(guān)于z的方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：設(shè)，，
∴原方程可以化為，
用得：，解得，
把代入到①得：，解得，
∴方程組的解為，即，
解得，
∴原方程組的解為；
（2）解：設(shè)，則方程化為：，
即，
解得；
（3）解：將方程①，變形為，
將方程②代入③得：，解得．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用換元法解二元一次方程組；換元法：如果方程或方程組由某幾個(gè)代數(shù)式整體組成，那么可以引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量來(lái)代替它們，使之轉(zhuǎn)化為新的方程或方程組，然后求解，進(jìn)而求原方程的解．
2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀探索
解方程組
解：設(shè)a-1+x，b+2=y，原方程組可變?yōu)?br /> 解方程組得，即，所以．此種解方程組的方法叫換元法．
(1)拓展提高
運(yùn)用上述方法解下列方程組：
(2)能力運(yùn)用
已知關(guān)于，的方程組的解為，直接寫(xiě)出關(guān)于、的方程組的解為_(kāi)__________．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）設(shè)，，可得出關(guān)于、的方程組，即可求出、的值，進(jìn)而可求出、的值；
（2）設(shè)，，根據(jù)已知方程組的解確定出、的值即可．
【詳解】（1）解：設(shè)，，
原方程組可變形為，
解得：，即，
解得：．
（2）設(shè)，，
原方程組可變形為：，
關(guān)于，的方程組的解為，
∴，
解得：．
故答案為
【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，二元一次方程組的解，正確理解并熟練掌握換元法是解題關(guān)鍵．
3．（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀下列材料：
小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：解方程組，小明發(fā)現(xiàn)如果用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，容易出錯(cuò)．如果把方程組中的看成一個(gè)整體，把看成一個(gè)整體，通過(guò)換元，可以解決問(wèn)題．以下是他的解題過(guò)程：
令，．
原方程組化為，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程組的解為．
請(qǐng)你參考小明同學(xué)的做法解方程組：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】(1) 令，，原方程組變形為，解得，還原方程組得，求解即可．
(2)令仿照原題的解法求解即可．
【詳解】（1）令，，
方程組變形為，
解得，
所以，
解得
∴原方程組的解為．
（2）令
原方程組化為
解得，
把代入
得,
解得·
【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解方程組，熟練掌握換元法解方程組的意義是解題的關(guān)鍵．
類(lèi)型六、二元一次方程組中的誤解
【解惑】
（2023春·湖南常德·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知方程組，由于甲看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為，乙看錯(cuò)了方程②中的b，得到方程組的解為，試求出a，b的值．
【答案】，
【分析】由于甲看錯(cuò)了①，但甲的解仍滿(mǎn)足②；乙看錯(cuò)了②，但乙的解仍滿(mǎn)足①，分別代入即可求出．
【詳解】解：把，代入②，得
，
∴
把，代入①，得
，
∴，
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查了含參二元一次方程的錯(cuò)解問(wèn)題，熟練掌握二元一次方程的解與方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【融會(huì)貫通】
1．（2023春·浙江金華·七年級(jí)校考階段練習(xí)）在解方程組時(shí)，甲同學(xué)因看錯(cuò)了b的符號(hào)，從而求得解為，乙同學(xué)因看漏了c，從而求得解為，試求的值．
【答案】64
【分析】把方程組的兩組解分別代入原方程組，把所得到的等式聯(lián)立組成三元一次方程組，求出a、b、c的數(shù)值，問(wèn)題得以解決．
【詳解】由題意得方程組，解得．
∴．
【點(diǎn)睛】此題主要考查二元一次方程組的解的問(wèn)題，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在解方程組時(shí)，由于粗心，甲看錯(cuò)了方程組中的，得解為，乙看錯(cuò)了方程組中的，得解為．
(1)甲把錯(cuò)看成了什么？乙把錯(cuò)看成了什么？
(2)求出原方程組的正解．
【答案】(1)甲把錯(cuò)看成了1，乙把錯(cuò)看成了1；
(2)．

【分析】（1）已知甲看錯(cuò)了方程組中的，得解為，所以把代入，得到；乙看錯(cuò)了方程組中的，得解為，所以把代入，得到，即可解答；
（2）將代入，得到，將代入，得到，將與的值代入方程組，求解即可．
【詳解】（1）∵解方程組時(shí)，由于粗心，甲看錯(cuò)了方程組中的，得解為，
∴把代入，得：
，
解得：，
解方程組時(shí)，由于粗心，乙看錯(cuò)了方程組中的，得解為，
∴把代入，得：
，
解得：，
∴甲把錯(cuò)看成了1，乙把錯(cuò)看成了1
（2）由題意得：
將代入，得：
，
解得：，
將代入，得：

解得：，
∴原方程組為：，
即，
得：，
解得：，
將代入①得：，
解得：，
∴原方程組的解為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解及二元一次方程組的錯(cuò)解問(wèn)題，理解方程組的解是使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·浙江·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）解方程組時(shí)，小盧由于看錯(cuò)了系數(shù)a，結(jié)果得到的解為，小龍由于看錯(cuò)了系數(shù)b，結(jié)果得到的解為，求的值．
【答案】4
【分析】把把代入求出，把代入求出，然后求出值即可．
【詳解】解：∵小盧由于看錯(cuò)了系數(shù)a，
∴把代入得：，
解得：，
∵小龍由于看錯(cuò)了系數(shù)b，
∴把代入得：，
解得：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握方程組解的定義，準(zhǔn)確計(jì)算．
4．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）甲乙兩名同學(xué)在解方程組時(shí)，由于粗心，甲看錯(cuò)了方程組中的a，而得解為；乙看錯(cuò)了方程組中的b，而得解為．
(1)甲把a(bǔ)看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)請(qǐng)你根據(jù)以上兩種結(jié)果，求出原方程組的正確解．
【答案】(1)甲把a(bǔ)看成了5，乙把b看成了6
(2)

【分析】（1）把代入得出關(guān)于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a(bǔ)看成了什么，把代入得出關(guān)于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么；
（2）把代入得出關(guān)于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出關(guān)于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a(bǔ)，b代入原方程組得出關(guān)于x，y的方程組，解方程組即可得出原方程組的正確解．
【詳解】（1）解：把代入，
可得：，
解得：，
把代入，
可得：，
解得：，
∴甲把a(bǔ)看成了5，乙把b看成了6；
（2）解：把代入，
可得：，
解得：，
把代入，
可得：，
解得：，
把，代入原方程組，
可得：，
由②得：③，
由①+③，可得：，
∴，
把代入①，可得：，
解得：，
∴原方程組的解．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解、解二元一次方程組，理解二元一次方程組的解，掌握解二元一次方程組的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
類(lèi)型七、二元一次方程組中的代換
【解惑】
（2016秋·山東日照·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：喜歡看書(shū)的劉翔在看一本數(shù)學(xué)課外讀物，發(fā)現(xiàn)一種解二元一次方程組的方法叫“整體代換”法：例：解方程組
解：將方程②變形：4x+6y+y=3，即2（2x+3y）+y=3…③
把方程①代入③得2×1+y=3，
∴y=1．
把y=1代入①得，x=﹣1，
∴方程組的解為
請(qǐng)你模仿這種方法，解下面方程組：
．
【答案】
【詳解】試題分析：將方程組中第二個(gè)方程變形后，把第一個(gè)方程代入求出y的值，進(jìn)而求出x的值，得到方程組的解．
解：，
將方程②變形得：9x﹣6y+y=13，即3（3x﹣2y）+y=13③，
把方程①代入③得：12+y=13，
解得：y=1，
把y=1代入方程①得，x=2，
∴方程組的解為．
考點(diǎn)：解二元一次方程組．

【融會(huì)貫通】
1．（2016秋·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，善于思考的小軍在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法：
解：將方程②變形：4x+10y+y=5
即2（2x+5y）+y=5③
把方程①代入③得：2×3+y=5
∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4
∴方程組的解為
請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：
（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組
（2）已知x、y滿(mǎn)足方程組
①求x2+4y2的值；
②求的值．
【答案】（1）；（2）①18；②±．
【詳解】試題分析：（1）方程組中第二個(gè)方程變形后，將第一個(gè)方程代入求出x的值，進(jìn)而求出y的值，得到方程組的解；
（2）①方程組第一個(gè)方程變形表示出x2+4y2，第二個(gè)方程變形后代入求出xy的值，進(jìn)而求出x2+4y2的值；
②利用完全平方公式及平方根定義求出x+2y的值，再由xy的值，即可求出所求式子的值．
解：（1）由②得：3x+6x﹣4y=19，即3x+2（3x﹣2y）=19③，
把①代入③得：3x+10=19，即x=3，
把x=3代入①得：y=2，
則方程組的解為；
（2）①由5x2﹣2xy+20y2=82得：5（x2+4y2）﹣2xy=82，即x2+4y2=，
由2x2﹣xy+8y2=32得：2（x2+4y2）﹣xy=32，即2×﹣xy=32，
整理得：xy=4，
∴x2+4y2===18；
②∵x2+4y2=18，xy=4，
∴（x+2y）2=x2+4y2+4xy=18+16=34，即x+2y=±，
則原式==±．
考點(diǎn)：解二元一次方程組．
2.（2022春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀材料：小聰在解方程組時(shí)，發(fā)現(xiàn)方程組中①和②之間存在一定的關(guān)系，他發(fā)現(xiàn)了一種“整體代換”法，具體解法如下：
解：將方程②變形為：4x+10y+y＝5即2(2x+5y)+y＝5③
把方程①代入方程③得：2×3+y＝5解得y＝-1
把y＝-1代入方程①得x＝4
∴方程組的解是
（1）模仿小聰?shù)慕夥?，解方程組；
（2）已知x，y滿(mǎn)足方程組，解答：求xy的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）模仿小聰?shù)摹罢w代換法”，求出方程組的解即可
（2）方程組整理后，模仿小聰?shù)摹罢w代換法”，求出所求的式子的值即可.
【詳解】解：（1）
把方程②變形為：3（3x?2y）-y＝17③
把①代入③得：15-y＝17，得y＝-2
把y＝-2代入①得x＝，
則方程組的解為；
（2）由①得：3（x2＋4y2）＝48＋3xy，即x2＋4y2＝16＋xy ③，
②式整理得2（x2＋4y2）＋xy＝36 ④
將③代入④得2×（16＋xy）＋xy＝36，
解得xy＝.
【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的特殊解法．先將方程整理，再整體代入求解，運(yùn)用代入消元法是解二元一次方程組常用的方法．
3．（2018·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法：
解：將方程②變形：，即，
把方程①代入③得：，
把代入方程①得：x＝4，所以，方程組的解為
請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：
(1)模仿小軍的“整體代換”法解方程組
(2)已知滿(mǎn)足方程組???模仿小軍的“整體代換”法
（Ⅰ）求的值．
（Ⅱ）求的值．
【答案】(1)
(2)（Ⅰ）17；（Ⅱ）6

【分析】（1）先將方程組中第二個(gè)方程變形后，將第一個(gè)方程代入求出x的值，進(jìn)而求出y的值，得到方程組的解；
（2）（Ⅰ）方程組第二個(gè)方程變形表示出4x2+2xy+16y2=72，與第一個(gè)方程相加可得7x2+28y2=119，方程兩邊同除以7即可得x2+4y2的值；
（Ⅱ）第一個(gè)方程可變?yōu)椋眩á瘢┑慕Y(jié)果代入即可求得xy的值，從而求得3xy的值．
（1）
由②得：，即3x+2（3x－2y）＝19③，
把①代入③得：3x+10=19，即x=3，
把x=3代入①得：y=2，
則方程組的解為 ；
（2）
（Ⅰ）由可得；
與第一個(gè)方程相加可得，
方程兩邊同除以7即可得；
（Ⅱ）第一個(gè)方程可變?yōu)椋?br /> 把代入得，，解得，
∴3xy＝6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，理解整體思想是解題的關(guān)鍵．
類(lèi)型八、二元一次方程組中的有、無(wú)、無(wú)數(shù)解
【解惑】
（2020春·河北滄州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）二元一次方程的解的情況是（????）
A．有且只有一個(gè)解 B．有無(wú)數(shù)個(gè)解 C．無(wú)解 D．有且只有兩個(gè)解
【答案】B
【分析】x任意取一個(gè)值，都能夠求得一個(gè)y值，故此可判斷出方程的解得個(gè)數(shù)．
【詳解】解：∵x每取一個(gè)值，都能夠得到位置數(shù)y的值，
∴方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二元一次方程的解得定義，掌握方程的解得定義是解題的關(guān)鍵．

【融會(huì)貫通】
1．（2022秋·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)二元一次方程組，使該方程組無(wú)解．你寫(xiě)的方程組是______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義，結(jié)合方程組的解即可得到結(jié)論．
【詳解】解：根據(jù)二元一次方程組的定義，結(jié)合方程組無(wú)解得
，
故答案為：（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的定義及方程組無(wú)解的理解，熟練掌握二元一次方程組的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x，y的方程（m﹣1）x+4y＝2和3x+（n+3）y＝1，下列說(shuō)法正確的有_____．（寫(xiě)出所有正確的序號(hào)）
①當(dāng)m＝1，n＝﹣3時(shí)，由這兩個(gè)方程組成的二元一次方程組無(wú)解；
②當(dāng)m＝1且n≠﹣3時(shí)，由這兩個(gè)方程組成的二元一次方程組有解；
③當(dāng)m＝7，n＝﹣1時(shí)，由這兩個(gè)方程組成的二元一次方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解；
④當(dāng)m＝7且n≠﹣1時(shí)，由這兩個(gè)方程組成的二元一次方程組有且只有一個(gè)解．
【答案】②③④
【分析】把m，n的值代入原方程，解方程組即可．
【詳解】解：①當(dāng)m＝1，n＝﹣3時(shí)，
原方程為4y＝2，3x＝1，
此時(shí)組成方程組的解為，不符合題意；
②當(dāng)m＝1且n≠﹣3時(shí)，
原方程為4y＝2，3x+（n+3）y＝1，
組成方程組，解得：，符合題意；
③當(dāng)m＝7，n＝﹣1時(shí)，
方程組為，
第一個(gè)方程化簡(jiǎn)得3x+2y＝1，與第二個(gè)方程相同，
所以有無(wú)數(shù)個(gè)解，符合題意；
④當(dāng)m＝7且n≠﹣1時(shí)，
方程組為，
消去x，解得：y＝0或n＝﹣1，
∵n≠﹣1，
∴y＝0，此時(shí)x＝，
∴有且只有一個(gè)解，符合題意；
故答案為：②③④．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程是解題得關(guān)鍵．
3.（2017·七年級(jí)單元測(cè)試）已知方程組，試確定a、c的值，使方程組：
(1)有一個(gè)解；
(2)有無(wú)數(shù)解；
(3)沒(méi)有解．
【答案】(1)，c為任意實(shí)數(shù)
(2)，
(3)，

【分析】對(duì)于方程組的根，有如下情況：
（1）當(dāng)時(shí)，方程組有一個(gè)解；
（2）當(dāng)時(shí)，兩個(gè)方程是一個(gè)方程，方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解；
（3）當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解．
【詳解】（1）要使方程組有唯一解，
則有：，
即，且c為任意實(shí)數(shù)，方程有唯一解；
（2）要使方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解，
則有：時(shí)，此時(shí)有、，
即、，此方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解；
（3）要使方程組無(wú)解，
則有：時(shí)，此時(shí)有、，
即、，此方程組無(wú)解．
【點(diǎn)睛】此題考查二元一次方程組解的個(gè)數(shù)問(wèn)題．熟練掌握二元一次方程組根的個(gè)數(shù)與各方程中未知數(shù)系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)學(xué)樂(lè)園：解二元一次方程組，得：，
當(dāng)時(shí)，，同理：；
符號(hào)稱(chēng)之為二階行列式，規(guī)定：，
設(shè)，，，那么方程組的解就是
(1)求二階行列式的值；
(2)解不等式：；
(3)用二階行列式解方程組；
(4)若關(guān)于、的二元一次方程組無(wú)解，求的值．
【答案】(1)的值是
(2)不等式的解集為
(3)
(4)

【分析】（1）根據(jù)，即可求出；
（2）根據(jù)，得，解出，即可；
（3）根據(jù)，，，那么方程組的解就是，即可求出的解；
（4）根據(jù)無(wú)解，得，即可求出的值．
【詳解】（1）∵
∴
∴的值是．
（2）∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴的解集為．
（3）∵方程組
∴方程組中，，，，，，
∴


，
∴方程組的解為：．
（4）∵
∴方程組中，，，，，，
∴
∵無(wú)解
∴
∴
解得．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解法，解題的關(guān)鍵是理解題意新定義算法，根據(jù)二階行列式計(jì)算．
類(lèi)型九、二元一次方程組中的相反解
【解惑】
（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若方程組的解中與互為相反數(shù)，則的值為（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】先解二元一次方程組求出x、y的值，再把x、y的值代入方程m?x＋（m＋1）y＝4，最后求出m的值．
【詳解】解：∵方程組的解中x與y互為相反數(shù)，
∴．
解這個(gè)方程組，得．
把代入方程m?x＋（m＋1）y＝4，
得m＋1＋（m＋1）×1＝4．
解這個(gè)方程，得m＝1．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，掌握二元一次方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵．
【融會(huì)貫通】
1．（2022春·四川德陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x，y的方程組的解互為相反數(shù)，則m的值等于（????）
A．1 B．0 C． D．2
【答案】C
【分析】由方程組的解互為相反數(shù)可知y=-x，代入方程組可求出m．
【詳解】解：∵方程組的解互為相反數(shù)，
∴y=-x，
∴，
解得m=-1．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解和解二元一次方程組，解題關(guān)鍵是熟知解二元一次方程組的步驟．
2．（2022春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？计谀┮阎獂、y滿(mǎn)足方程組，且x與y互為相反數(shù)，則m的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可得x+y=0，由方程組的解法可得3x+3y=2m+4，代入計(jì)算即可．
【詳解】解：，
①+②得，3x+3y=2m+4，
即3（x+y）=2m+4，
又∵x與y互為相反數(shù)，
∴x+y=0，
即2m+4=0，
解得m=-2，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解法以及相反數(shù)的定義是正確解答的前提．
3．（2022春·河南商丘·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果方程組的解中x與y互為相反數(shù)，那么k的值是______．
【答案】－
【分析】根據(jù)二元一次方程組的解的定義解決此題．
【詳解】解：由題意知，y=-x．
∴3x-7x=12．
∴x=-3．
∴這個(gè)方程組的解為，
∴kx+y=-3k+3=5．
∴k=-．
故答案為：k＝?．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解的定義，熟練掌握二元一次方程組的解的定義是解決本題的關(guān)鍵．
類(lèi)型十、二元一次方程組中的消元求參
【解惑】
（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如果方程組的解中的與的值相等，那么的值是（???）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由與的值相等，可得，解得，再代入即可求出的值．
【詳解】解：與的值相等，
，
解得：，
把代入，
得：，
解得：．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是正確求出x，y的值．
【融會(huì)貫通】
1.（2022春·山東濰坊·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若與互為相反數(shù)，則______．
【答案】
【分析】由題意，得到，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出x、y的值，再代入計(jì)算，即可得到答案．
【詳解】解：∵與互為相反數(shù)，
∴，
∴，，
聯(lián)合兩個(gè)方程，解得，
∴
故答案為：-1．
【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，絕對(duì)值的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題．
2.（2021春·重慶北碚·七年級(jí)重慶市朝陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知方程組的解x和y的值互為相反數(shù)，則k＝_____．
【答案】-6
【分析】根據(jù)方程組的解x和y的值互為相反數(shù)，可得關(guān)于k的方程，根據(jù)解方程，可得到答案．
【詳解】解：∵方程組的解x和y的值互為相反數(shù)，
∴x+2x＝3，
解得x＝1，
∴y＝﹣1，
把x＝1，y＝﹣1代入方程2x+ky＝8，得2﹣k＝8，
解得k＝﹣6．
故答案為：﹣6．
【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．
3．（2023秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于，的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則的值為_(kāi)__________．
【答案】2
【分析】先求出方程組的解，將解代入二元一次方程中，進(jìn)行求解即可
【詳解】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程組的解是，
關(guān)于，的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)方程組的解的情況，求參數(shù)的值．正確求出方程組的解，是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·重慶九龍坡·七年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組的解也是方程的解，則m的值為_(kāi)_____．
【答案】8
【分析】由可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：，
由得：，
∵二元一次方程組的解也是方程的解，
∴，
解得：．
故答案為：8
【點(diǎn)睛】本題考查利用二元一次方程組解的情況求參數(shù)，觀察所給方程的特征，考慮用整體代入法求解是解題的關(guān)鍵．
5．（2023春·重慶南岸·八年級(jí)重慶市廣益中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）關(guān)于x、y的方程組的解滿(mǎn)足，則m的值為_(kāi)_____．
【答案】5
【分析】先解出方程組的解，再將方程組的解代入即可求解．
【詳解】，
，得：③
得：
解得，
將代入①得：
解得，
將代入得，

解得，．
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用了整體思想．
6．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）關(guān)于x，y的方程組的解的和為2，則a的值為_(kāi)_______．
【答案】2
【分析】先由方程組，利用加減法由①＋②×2，解得4x－7y＝－3，然后與x＋y＝2，組成新方程組求解得出，，然后代入代入②，即可求出a值．
【詳解】解：，
由①＋②×2，得4x－7y＝－3，
由題意知x＋y＝2，
聯(lián)立，得
解得，
將代入②，得3－5＋a＝0，
解得a＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握用加減消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
類(lèi)型十一、二元一次方程組中的換組求參
【解惑】
（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組和有相同的解，則的值是（????）
A．－3 B．3 C．0 D．－4
【答案】B
【分析】根據(jù)方程組解的定義，先求出方程組的解，再把方程組的解代入含a、b的方程組，求出a、b，最后求出a2-b2．
【詳解】解：∵關(guān)于x，y的方程組和有相同的解，
∴方程組和有相同的解，
解方程組可得，
把代入方程組可得，
解得和，
∴a2-b2=（-2）2-12=3，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組，掌握方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵
【融會(huì)貫通】
1．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組和的解相同，則a，b的取值為（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】A
【分析】既然兩個(gè)方程組的解相同，那么兩個(gè)方程組的解也應(yīng)與方程組的解相同．將此方程組的解代入含有a、b的另兩個(gè)方程，就得關(guān)于a、b的二元一次方程組，解之即得a、b的值．
【詳解】解：由題意，組成新方程組
解得，
把x＝3，y＝1分別代入ax＋by＝－1和2ax＋3by＝3，得
，
解這個(gè)方程組，得，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了同解方程組，解二元一次方程組，正確理解同解方程組的題意列得方程組進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．
2．（2022春·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若關(guān)于x、y的二元一次方程組和有相同的解，則的值為（????）
A． B． C．1 D．5
【答案】B
【分析】首先聯(lián)立兩個(gè)方程組不含a、b的兩個(gè)方程求得方程組的解，然后代入兩個(gè)方程組含a、b的兩個(gè)方程從而得到一個(gè)關(guān)于a，b的方程組求解得出a、b值，再代入a-b計(jì)算即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組與有相同的解，
∴可得新方程組，
解這個(gè)方程組得：．
把x=3，y=-1代入ax-by=-5，bx-ay=-1，得
，解得：，
∴a-b=，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，能使方程組中每個(gè)方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值即是方程組的解．解題的關(guān)鍵是要知道兩個(gè)方程組之間解的關(guān)系．
3．（2023春·浙江·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀以下內(nèi)容：
已知x，y滿(mǎn)足x+2y=5，且，求m的值．
三位同學(xué)分別提出了以下三種不同的解題思路：
甲同學(xué)：先解關(guān)于x，y的方程組再求 m的值．
乙同學(xué)：先將方程組中的兩個(gè)方程相加，再求m的值．
丙同學(xué)：先解方程組 再求m的值．
你最欣賞上面的哪種思路?先根據(jù)你所選的思路解答此題，再簡(jiǎn)要說(shuō)明你選擇這種思路的理由．
【答案】丙同學(xué)的解題思路，，理由見(jiàn)詳解
【分析】分別根據(jù)甲、乙、丙三位同學(xué)的思路分別進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：∵方程組含有變量m，根據(jù)甲同學(xué)的方法，方程組的解含有變量m，
∴不推薦甲同學(xué)的方法；
∵根據(jù)乙同學(xué)的方法，由+得，無(wú)法根據(jù)結(jié)果得到m的值，
∴故不推薦乙同學(xué)的方法；
∵根據(jù)丙同學(xué)的方法：
由得，代入得，
解得，再將代入，得，
將 代入得，
解得，
∴推薦丙同學(xué)的方法，且．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的解法．
4．（2022春·四川瀘州·七年級(jí)?？计谥校┤絷P(guān)于，的方程組與有相同的解．
(1)求這個(gè)相同的解；
(2)求，的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）因?yàn)閮蓚€(gè)方程組同解，所以將兩個(gè)方程組的沒(méi)有參數(shù)的方程聯(lián)立，解方程組即可求解．
（2）將（1）所得相同的解代入原方程組，并將含參數(shù)a、b的兩個(gè)方程聯(lián)立可得方程組，解方程組即可求解．
（1）
解：依題意可聯(lián)立方程組：????
解這個(gè)方程組可得相同的解為：；
（2）
將（1）所得相同的解代入原方程組，并將含參數(shù)a、b的兩個(gè)方程聯(lián)立可得方程組：????
解得
【點(diǎn)睛】本題考查了同解方程組，加減消元法解二元一次方程組，二元一次方程組的解的定義，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
5．（2022春·陜西安康·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組和的解相同，求的平方根．
【答案】
【分析】先解，求出x＝2，y＝?2，然后代入得，求出a，b，即可求出a?b的平方根．
【詳解】解：由題意得,
①+②，得，解得，
將代入①，得，解得，
∴，
③＋④得：，解得：，
把代入③得：，
解得：，
∴，
∴，
∴的平方根為．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解及解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握“消元”的方法．
6．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀下列文字，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想：
(1)解方程組，我們利用加減消元法，很快可以求得此方程組的解為_(kāi)_____；
(2)如何解方程組呢，我們可以把，分別看成一個(gè)整體，設(shè)，，很快可以求出原方程組的解為_(kāi)_____；
由此請(qǐng)你解決下列問(wèn)題：
(3)若關(guān)于，的方程組與有相同的解，求，的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，

【分析】（1）利用加減消元法解二元一次方程組即可；
（2）由（1）可得，求解即可；
（3）由題意可得和有相同的解，先求出am＝6，bn＝7，再求a、b的值即可．
（1）
，
，得，
解得，
將代入得，，
方程組的解為，
故答案為：；
（2）
由可得，
，
故答案為：；
（3）
由題意可得和有相同的解，
，
，得，
將代入可得，，
，
解得，
，
解得，
，，
解得，．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解法，理解同解方程組的意義，并用整體思想解題是關(guān)鍵．


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