【學習目標】
1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.
2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根.
3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大為實數(shù)后，概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化.
4.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.
【知識網(wǎng)絡】
【要點梳理】
要點一、平方根和立方根
要點二、實數(shù)
有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).
1.實數(shù)的分類
按定義分：
實數(shù)
按與0的大小關(guān)系分：
實數(shù)
要點詮釋：（1）所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．
（2）無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等；
②有特殊意義的數(shù)，如π；
③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…
（3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.
（4）實數(shù)和數(shù)軸上點是一一對應的.
2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一 一對應.
數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.
3.實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)：
在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)。我們已經(jīng)學習過的非負數(shù)有如下三種形式：
（1）任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即||≥0；
（2）任何一個實數(shù)的平方是非負數(shù)，即≥0；
（3）任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即 ().
非負數(shù)具有以下性質(zhì)：
（1）非負數(shù)有最小值零；
（2）有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；
（3）幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.
4.實數(shù)的運算：
數(shù)的相反數(shù)是－；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.
有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.
5.實數(shù)的大小的比較：
有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.
法則1. 實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù) 大；
法則2．正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而?。?br> 法則3. 兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.
【典型例題】
類型一、有關(guān)方根的問題
1、（2015春?仙桃校級期末）一個正數(shù)的x的平方根是2a﹣3與5﹣a，求a和x的值．
【思路點撥】根據(jù)平方根的定義得出2a﹣3+5﹣a=0，進而求出a的值，即可得出x的值．
【答案與解析】
解：∵一個正數(shù)的x的平方根是2a﹣3與5﹣a，
∴2a﹣3+5﹣a=0，
解得：a=﹣2，
∴2a﹣3=﹣7，
∴x=（﹣7）2=49．
【總結(jié)升華】此題主要考查了平方根的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】已知，求的平方根。
【答案】
解：由題意得：
解得＝2
∴＝3，，的平方根為±3.
【變式2】若和互為相反數(shù),試求的值。
【答案】
解：∵和互為相反數(shù),
∴3－7＋3＋4＝0
∴3（）＝3，＝1.
2、已知M是滿足不等式的所有整數(shù)的和，N是滿足不等式的最大整數(shù)．求M＋N的平方根．
【答案與解析】
解：∵的所有整數(shù)有－1，0，1，2
所有整數(shù)的和M＝－1＋1＋0＋2＝2
∵≈2，N是滿足不等式的最大整數(shù)．
∴N＝2
∴M＋N＝4，M＋N的平方根是±2.
【總結(jié)升華】先由已知條件確定M、N的值，再根據(jù)平方根的定義求出M＋N的平方根．
類型二、與實數(shù)有關(guān)的問題
3、已知是的整數(shù)部分，是它的小數(shù)部分，求的值．
【思路點撥】一個數(shù)是由整數(shù)部分＋小數(shù)部分構(gòu)成的.通過估算的整數(shù)部分是3，那么它的小數(shù)部分就是，再代入式子求值.
【答案與解析】
解：∵是的整數(shù)部分，是它的小數(shù)部分，
∴
∴.
【總結(jié)升華】可用夾擠法來確定，即看介于哪兩個相鄰的完全平方數(shù)之間，然后開平方.這個數(shù)減去它的整數(shù)部分后就是它的小數(shù)部分.
舉一反三：
【變式】 （2015?杭州）若k＜＜k+1（k是整數(shù)），則k=（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D．
解：∵k＜＜k+1（k是整數(shù)），9＜＜10，∴k=9．
4、閱讀理解，回答問題.
在解決數(shù)學問題的過程中，有時會遇到比較兩數(shù)大小的問題，解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)命題的題設和結(jié)論特征，采用相應辦法，其中巧用“作差法”是解決此類問題的一種行之有效的方法：若－＞0，則＞；若－＝0，則＝；若－＜0，則＜.
例如：在比較與的大小時，小東同學的作法是：
∵
∴
請你參考小東同學的作法，比較與的大小.
【思路點撥】仿照例題，做差后經(jīng)過計算判斷差與0的關(guān)系，從而比較大小.
【答案與解析】
解：∵
∴＜
【總結(jié)升華】實數(shù)比較大小常用的有作差法和作商法，根據(jù)具體情況加以選擇.
舉一反三：
【變式】實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的大小關(guān)系是： ；
【答案】；
類型三、實數(shù)綜合應用
5、已知、滿足，解關(guān)于的方程。
【答案與解析】
解：∵
∴2＋8＝0, －＝0,解得＝－4, ＝，代入方程：
【總結(jié)升華】先由非負數(shù)和為0，則幾個非負數(shù)分別為0解出、的值，再解方程.
舉一反三：
【變式】設、、都是實數(shù)，且滿足，
求代數(shù)式的值。
【答案】
解：∵
∴，解得
∴.
【高清課堂：實數(shù)復習，例6】
6、閱讀材料：
學習了無理數(shù)后，某數(shù)學興趣小組開展了一次探究活動：估算的近似值.
小明的方法：
∵，設（）.∴.
∴.∴.解得 .∴.
問題：（1）請你依照小明的方法，估算的近似值；
（2）請結(jié)合上述具體實例，概括出估算的公式：已知非負整數(shù)、、，若，且，則_________________(用含、的代數(shù)式表示)；
（3）請用（2）中的結(jié)論估算的近似值.
【答案與解析】
解：（1）∵，設（）.
∴.
∴.∴.
解得 .
∴.
（2）∵，設（）.
∴.
∴.
∴.
對比，
∴
（3）
∴，
∴6.083.
【總結(jié)升華】此題比較新穎，關(guān)鍵是通過閱讀材料快速掌握估值的方法.（2）問中要對比式子，找準和，表示出. 類型
項目
平方根
立方根
被開方數(shù)
非負數(shù)
任意實數(shù)
符號表示
性質(zhì)
一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；
零的平方根為零；
負數(shù)沒有平方根；
一個正數(shù)有一個正的立方根；
一個負數(shù)有一個負的立方根；
零的立方根是零；
重要結(jié)論

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