?專題03冪的運(yùn)算














一、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)
（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.
（2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，
即（都是正整數(shù)）.
（3）逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.
二、冪的乘方
（1）公式的推廣： (，均為正整數(shù))
（2）逆用公式： ，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問題.
三、積的乘方
（1）公式的推廣： (為正整數(shù)).
（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊?jiǎn)化運(yùn)算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更簡(jiǎn)便.如：

四、同底數(shù)冪的除法
（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運(yùn)算.
（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式.
（3）當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì).
（4）底數(shù)可以是一個(gè)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.
（5）底數(shù)不能為0，無意義.任何一個(gè)常數(shù)都可以看作與字母0次方的積.因此常數(shù)項(xiàng)也叫0次單項(xiàng)式.
（6）是的倒數(shù)，可以是不等于0的數(shù)，也可以是不等于0的代數(shù)式.例如（），（）.
五、科學(xué)記數(shù)法
，
六、 拓展方法：
1. 同底數(shù)冪的新定義
初級(jí)：以模仿為主，難度偏低
中級(jí)：理解題意，根據(jù)學(xué)過的知識(shí)舉一反三
高級(jí)：自己能創(chuàng)造題目，給出定義
2. 同底數(shù)冪中比較大小
比較355，444，533的大小．
方法:55，44，33都是11的倍數(shù)，于是把這三個(gè)數(shù)都轉(zhuǎn)化為指數(shù)為11的冪，然后通過比較底數(shù)的方法，比較了這三個(gè)數(shù)的大?。?∵，，，∴．
3. 積的乘方湊整

方法：1.化為同指——
2. 將湊整，再求解
4.同底數(shù)冪除法逆用

已知求的值.
方法：1.同底數(shù)冪相除，底數(shù)相同，指數(shù)相減——=96
2.把當(dāng)成整體轉(zhuǎn)化成一元一次方程，求解即可
5.同底數(shù)冪歸納演繹推理
求l+2+22+23+24+…+22019的值．
方法：設(shè)S=l+2+22+23+24+…+22018+22019…①
則2S=2+22+23+24+25+…+22019+22020…②
②-①，得2S﹣S=22020-l即S=22020-l∴1+2+22+23+24+…+22019=22020-l

【專題過關(guān)】
類型一、冪的簡(jiǎn)單運(yùn)算
【解惑】
（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)直接寫出字母、、之間的數(shù)量關(guān)系為______．
【答案】(1)9
(2)
(3)

【分析】（1）根據(jù)冪的乘方法則解答即可；
（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘、除法逆運(yùn)算進(jìn)行解答即可；
（3）根據(jù) ，結(jié)合冪的乘方，同底數(shù)相乘法則即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵=3，
∴；
（2）解：∵=3，=8，=72，
∴；
（3）解：∵，
∴，
即．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)的乘法，冪的乘方，同底數(shù)冪的除法等知識(shí)，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵．
【融會(huì)貫通】
1．（2021秋·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若且，則的值為（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】逆用同底數(shù)冪的除法，進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的除法的逆用．熟練掌握同底數(shù)冪的除法法則，是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期中）計(jì)算的結(jié)果是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】積的乘方和冪的乘方的運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【詳解】解：．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是積的乘方和冪的乘方的運(yùn)算法則，掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2022春·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)?？计谥校┫铝羞\(yùn)算正確的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法，積的乘方，冪的乘方的計(jì)算法則求解即可．
【詳解】解：A、，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，計(jì)算正確，符合題意；
D、，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法，積的乘方，冪的乘方，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┫铝羞\(yùn)算正確的是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變；同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．
【詳解】解：A、，故原題計(jì)算錯(cuò)誤；
B、，故原題計(jì)算正確；
C、，故原題計(jì)算錯(cuò)誤；
D、，故原題計(jì)算錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方，關(guān)鍵是掌握各計(jì)算法則．
5．（2022春·山東濟(jì)南·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：_____．
【答案】
【分析】根據(jù)負(fù)指數(shù)冪運(yùn)算法則直接計(jì)算即可得到答案；
【詳解】解：原式，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查負(fù)指數(shù)冪運(yùn)算：．
6．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校?）?????
（2）
【答案】（1），（2）
【分析】（1）先計(jì)算冪的乘方、再計(jì)算乘，最后計(jì)算減法；
（2）先計(jì)算積的乘方，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后按照乘法分配律計(jì)算 ．
【詳解】解：（1）原式

（2）原式

【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方、積的乘方，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
7．（2023秋·上海浦東新·七年級(jí)校考期中）計(jì)算：．
【答案】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則及合并同類項(xiàng)法則即可得解．
【詳解】解：


【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算、冪的乘方法則及合并同類項(xiàng)，掌握相關(guān)運(yùn)算公式是關(guān)鍵．
類型二、科學(xué)記數(shù)法
【解惑】
空氣的密度是，用小數(shù)把它表示出來．
【答案】0.001293
【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行運(yùn)算即可．
【詳解】解析：，
答：用小數(shù)表示為0.001293．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則．

【融會(huì)貫通】
1．（2023秋·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）細(xì)胞是一切生物體結(jié)構(gòu)和功能的基本單位，細(xì)胞的結(jié)構(gòu)主要有細(xì)胞膜、細(xì)胞質(zhì)和細(xì)胞核三個(gè)部分．在電子顯微鏡下觀察細(xì)胞，可以區(qū)分為膜相結(jié)構(gòu)和非膜相結(jié)構(gòu)．細(xì)胞膜是細(xì)胞表面的一層薄膜，它的厚度大約是納米（即米）．將用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)寫成（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【詳解】解：，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．解題關(guān)鍵是正確確定a的值以及n的值．



2．（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）據(jù)《經(jīng)濟(jì)日?qǐng)?bào)》報(bào)道：目前，世界集成電路生產(chǎn)技術(shù)水平最高已達(dá)到，主流生產(chǎn)線的技術(shù)水平為，中國(guó)大陸集成電路生產(chǎn)技術(shù)水平最高為．將用科學(xué)記數(shù)法可表示為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．
【詳解】解：因?yàn)椋?br /> 所以
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要確定a的值以及n的值．
3．（2023秋·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某物質(zhì)的密度a用科學(xué)記數(shù)法表示為，則數(shù)a用小數(shù)表示為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于10的數(shù)，“還原”成原數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位所得到的數(shù)．若科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)，還原為原來的數(shù)，需要把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)n位得到原數(shù)．
【詳解】解：；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，把一個(gè)數(shù)表示成科學(xué)記數(shù)法的形式及把用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)進(jìn)行還原是兩個(gè)互逆的過程，這也可以作為檢查用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù)是否正確的方法，熟練掌握此方法是解題關(guān)鍵．
4．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）某微生物的直徑為，則原數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為整數(shù)，據(jù)此判斷即可．
【詳解】解：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的的個(gè)數(shù)所決定，確定與的值是解題的關(guān)鍵．
5．（2023秋·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用科學(xué)記數(shù)法表示是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由科學(xué)記數(shù)法的定義：“把一個(gè)數(shù)記為：的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法”可知．
【詳解】．
故選∶C．
【點(diǎn)睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是把一個(gè)絕對(duì)值較小的數(shù)（純小數(shù)）用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)，我們要注意兩點(diǎn)：① 必須滿足： ；② 等于原數(shù)中從左至右第1個(gè)非0數(shù)字前0的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的0）．
6．（2023秋·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期末）花粉的質(zhì)量很小，一粒某種植物花粉的質(zhì)量約為克，將用科學(xué)記數(shù)法表示為______．
【答案】
【分析】絕對(duì)值小于1的數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
7．（2022·湖南湘潭·?？寄M預(yù)測(cè)）兩年多來，新冠肺炎給人類帶來了巨大災(zāi)難，經(jīng)科學(xué)家研究，冠狀病毒多數(shù)為球形或近似球形，其直徑約為0.0000011米．將0.0000011用科學(xué)記數(shù)法表示為 _____．
【答案】
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
【詳解】解：0.0000011用科學(xué)記數(shù)法表示為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
類型三、積的乘方
【解惑】
（2022春·陜西西安·七年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：．
【答案】
【分析】直接利用合并同類項(xiàng)法則以及積的乘方運(yùn)算法則分別判斷得出答案．
【詳解】解：原式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項(xiàng)以及積的乘方運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．

【融會(huì)貫通】
1．（2022春·安徽馬鞍山·七年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)校考期中）已知，那么的值為（????）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方法則，得到，進(jìn)而得到，從而代入代數(shù)式中求解．
【詳解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方與積的乘方法則，代數(shù)式求值，求出，，兩式相乘得到是解答關(guān)鍵，
2．（2022春·安徽合肥·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，則x、y、z三者之間關(guān)系正確的是（?????）
A．xy=2z B．x+y=2z C．x+2y=2z D．x+2y=z2
【答案】C
【分析】根據(jù)冪的乘方和積的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，從而作出判斷．
【詳解】∵
∴
∵
∴
∴
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查冪的運(yùn)算，掌握冪的乘方，積的乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
3．（2020春·浙江·七年級(jí)期中）若，，則_________．
【答案】±6
【分析】先利用冪的乘方公式的逆運(yùn)算，求出an=±2，bn=±3，再利用積的乘方公式，求解即可．
【詳解】∵，，
∴，，
∴an=±2，bn=±3，
∴=±6，
故答案是：±6
【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的乘方公式和積的乘方公式，熟練掌握上述公式，是解題的關(guān)鍵．
4．（2020秋·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：___________；若，則___________．
【答案】???? ???? 4
【分析】原式利用冪的乘方和積的乘方即可得到結(jié)果；根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算求解即可．
【詳解】==；由，∴，
故答案為：，4．
【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方和積的乘方及同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則．
5．（2022秋·上?！て吣昙?jí)上海市民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)校考期中）已知：，求的值；
【答案】25
【分析】原式利用冪的乘方和積的乘方法則可得出，再根據(jù)冪的乘方的逆用即可求出結(jié)果．
【詳解】解：∵


，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方和其逆用，積的乘方，有理數(shù)的乘方運(yùn)算．掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
6．（2022秋·內(nèi)蒙古通遼·八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由積的乘方進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后合并同類項(xiàng)，即可求出答案；
（2）由同底數(shù)冪乘法，冪的乘方進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后合并同類項(xiàng)，即可求出答案．
【詳解】（1）解：

；
（2）解：

；
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪乘法，冪的乘方，積的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的進(jìn)行化簡(jiǎn)．
7．（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：
(1)．
(2)
(3)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，；
(4)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)(或)

【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算，然后合并同類項(xiàng)即可求解；
（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（3）根據(jù)冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算，然后將字母的值代入進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（4）逆用冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】（1）

；
（2）

．
（3）


當(dāng)，時(shí)，
原式．
（4）∵
∴．(或256)
【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算，代數(shù)式求值，掌握同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

類型四、同底數(shù)冪新定義
【解惑】
（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果10b=n，那么b為n的“勞格數(shù)”，記為b=d（n）．由定義可知：10b=n與b=d（n）表示b、n兩個(gè)量之間的同一關(guān)系．
(1)根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______；
(2)“勞格數(shù)”有如下運(yùn)算性質(zhì)：
若m、n為正數(shù)，則d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：=________．（a為正數(shù)）
(3)若d（2）=0.3010，分別計(jì)算d（4）；d（5）．
【答案】(1)1，﹣2
(2)3
(3)0.6020，0.699．

【分析】（1）由“勞格數(shù)”的定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪解答即可；
（2）根據(jù)冪的乘方公式轉(zhuǎn)化求解即可；
（3）根據(jù)積的乘方公式、冪的乘方轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】（1）解：∵10b＝10，
∴b＝1，
∴d（10）＝1；
10b＝10﹣2，∴b＝﹣2，
∴d（10﹣2）＝﹣2；
故答案為1，﹣2；
（2）解：∵d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）
∴
故答案為3；
（3）解：∵d（2）＝0.3010，
∴d（4）＝2d（2）＝0.6020，
d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.699．
【點(diǎn)睛】本題考查新定義，有理數(shù)的運(yùn)算；理解題意，將新定義轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方與積的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.
【融會(huì)貫通】
1．（2022春·江蘇淮安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義運(yùn)算： ，若，則_____．
【答案】或
【分析】根據(jù)新定義得出，根據(jù)零次冪，偶數(shù)次冪進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：，，，
∴，
解得或或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，記為，那么這個(gè)數(shù)叫做虛數(shù)單位，把形如（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部．它的加、減、乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類似．
例如計(jì)算：．
根據(jù)以上信息，下列各式：
①；
②；
③
④．
其中正確的是______（填上所有正確答案的序號(hào)）．
【答案】①②③④
【分析】理解的含義以及運(yùn)算，再對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：，①正確；
，②正確；
，③正確；
∵，
∴，
∴，④正確；
故答案為：①②③④
【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，乘方運(yùn)算，本題是閱讀型題目，理解并熟練應(yīng)用其中的定義與公式是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀以下材料：
指數(shù)與對(duì)數(shù)之間有密切的聯(lián)系，它們之間可以互化．
對(duì)數(shù)的定義：一般地，若 (且)，那么叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式，可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式．
我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：
，理由如下：
設(shè)，，則，
∴，由對(duì)數(shù)的定義得
又∵，
∴．
請(qǐng)解決以下問題：
(1)將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式_______；
(2)求證：；
(3)拓展運(yùn)用：計(jì)算______．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系求解．
（2）根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系求證．
（3）利用（1）、（2）中的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)關(guān)系得：．
故答案為：．
（2）解：設(shè)，則，
∴．
∴．
∴．
（3）解：原式

．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的知識(shí)解題，理解新定義，找到指數(shù)和對(duì)數(shù)的關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·湖南永州·七年級(jí)?？计谥校┮?guī)定兩數(shù)，之間的一種運(yùn)算，記作，如果．我們叫為“雅對(duì)”．
例如：因?yàn)?，所以．我們還可以利用“雅對(duì)”定義說明等式成立．證明如下：
設(shè)，，則，，故，
則，即．
(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：_________；_________；_________．
(2)計(jì)算___________，并說明理由．
(3)利用“雅對(duì)”定義證明：，對(duì)于任意自然數(shù)都成立．
【答案】(1)2；0；3
(2),理由見解析
(3)見解析

【分析】（1）由于，，根據(jù)“雅對(duì)”的定義可得；
（2）設(shè)，利用新定義得到，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法得到，然后根據(jù)“雅對(duì)”的定義得到，從而得到；
（3）設(shè)：，利用新定義得到，根據(jù)冪的乘方得到，從而得到，所以，對(duì)于任意自然數(shù)n都成立．
【詳解】（1）∵ ，
∴；
∵，
∴；
∵ ，
∴
故答案為：2；0；3；
（2）；
理由如下：
設(shè)，則，
∴，
∵，
∴；
故答案為：；
（3）設(shè)，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
即，對(duì)于任意自然數(shù)n都成立．
【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方：冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即 是正整數(shù)）．
5．（2022秋·廣東東莞·八年級(jí)東莞市東莞中學(xué)初中部?？计谥校┪覀兘o出以下兩個(gè)定義：
①三角形；②3×3的方格圖
請(qǐng)你根據(jù)上面兩個(gè)定義，解答下列問題：
(1)填空：=__________
(2)填空：=____________
(3)若，求
【答案】(1)16
(2)48
(3)18

【分析】（1）根據(jù)①中所給公式直接進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)②中所給公式直接進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)題中所給公式直接代值求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得：
；
故答案為16；
（2）解：由題意得：
；
故答案為48；
（3）解：由題意得：，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法及冪的乘方，熟練掌握冪的運(yùn)算及題中所給新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
6．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）數(shù)學(xué)活動(dòng)
在上個(gè)月，我們學(xué)習(xí)了“有理數(shù)乘方”運(yùn)算，知道乘方的結(jié)果叫做“冪”，下面介紹一種有關(guān)“冪”的新運(yùn)算．定義：與（，、都是正整數(shù)）叫做同底數(shù)冪，同底數(shù)冪除法記作．
運(yùn)算法則如下：
．
解決問題
根據(jù)“同底數(shù)冪除法”的運(yùn)算法則，回答下列問題：
(1)填空：___________，___________；
(2)如果，求出的值；
(3)如果，請(qǐng)直接寫出的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)或

【分析】（1）根據(jù)定義的運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）逆用運(yùn)算法則列一元一次方程求解；
（3）分兩種情況討論：，求解可知； ，求解可得，即可獲得最終答案；
【詳解】（1）解：

（2）解：原等式可化為：

所以：
解得：
（3）解：當(dāng)時(shí)，
解得：
當(dāng)時(shí)，
解得：
所以：或
【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算，掌握乘方運(yùn)算法則、分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．

類型五、同底數(shù)冪比較大小
【解惑】
（2022秋·四川達(dá)州·八年級(jí)校考期中）由冪的運(yùn)算法則逆向思維可以得到，，，在解題過程中，根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征，逆向運(yùn)用冪的運(yùn)算法則，?？苫睘楹?jiǎn)，化難為易，使問題巧妙獲解，收到事半功倍的效果．請(qǐng)解決以下問題：
(1)計(jì)算：；
(2)若，求m的值；
(3)比較大?。?，，，，請(qǐng)確定a，b，c，d的大小關(guān)系．
【答案】(1)25
(2)2
(3)

【分析】（1）根據(jù)積的乘方公式，進(jìn)行逆運(yùn)算，即可解答；
（2）轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
（3）轉(zhuǎn)化為指數(shù)相同，再比較底數(shù)的大小，即可解答．
【詳解】（1）解：
故答案為：25；
（2）∵，
∴，
∴，即，
∴，解得；
（3）由題可得：，，，，
∵，
∴，
即．
【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方和積的乘方，解決本題的關(guān)鍵是公式的逆運(yùn)用．

【融會(huì)貫通】
1．（2023春·江蘇·七年級(jí)?？贾軠y(cè)）比較大小：___________（ 填“＜”或“>”或“=”）
【答案】＞
【分析】先利用冪的乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算對(duì)兩個(gè)式子進(jìn)行變形，再進(jìn)行比較．
【詳解】解：∵，，
又∵，
∴，
故答案為：＞．
【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算，解題關(guān)鍵是正確運(yùn)用公式進(jìn)行變形．
2．（2022春·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）比較大?。篲_______．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零次冪分別計(jì)算出兩個(gè)式子，即可判斷．
【詳解】解：∵，，且，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的大小比較，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零次冪，熟練掌握有理數(shù)的大小比較方法是解本題的關(guān)鍵．
3．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀：已知正整數(shù)顯然，當(dāng)同底數(shù)時(shí)，指數(shù)大的冪也大，若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪和，當(dāng)時(shí)，則有，根據(jù)上述材料，回答下列問題．
(1)比較大小：520　　420（填寫＞、＜或＝）．
(2)比較與的大?。▽懗鼍唧w過程）．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)603979776


【分析】（1）根據(jù)同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪和，當(dāng)時(shí)，則有，即可進(jìn)行解答；
（2）將根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算，將與轉(zhuǎn)化為同指數(shù)的冪，再比較大小即可；
（3）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)積的乘方的逆運(yùn)算，整理為含有和的形式，進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：
，
故答案為：．
（2）



（3）






．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算法則和逆運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算法則及其逆運(yùn)算法則．
4．（2023春·湖南常德·七年級(jí)校考階段練習(xí)）在比較和的大小時(shí)，我們可以這樣來處理：
∵，
又∵，
∴，即．
你能類似地比較下列各組數(shù)的大小嗎？
(1)與；
(2)，與．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，利用冪的乘方運(yùn)算及其逆運(yùn)算，將各數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)相同的形式比較大小即可得到答案；
（2）根據(jù)閱讀材料，利用冪的乘方運(yùn)算及其逆運(yùn)算，將各數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)相同的形式比較大小即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵，
又∵，
∴，即；
（2）解：∵，
又∵，
∴，即．
【點(diǎn)睛】本題考查冪的大小比較，讀懂題中材料，靈活運(yùn)用冪的乘方運(yùn)算及其逆運(yùn)算按材料中的方法求解是解決問題的關(guān)鍵．
5．（2023春·廣東茂名·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀下列材料：下面是底數(shù)大于1的數(shù)比較大小的兩種方法．
①比較，的大小；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)同底數(shù)相同時(shí)，指數(shù)越大值越大；
②比較和的大小，，，，．可以將其先化為同指數(shù)，再比較大小，指數(shù)相同時(shí)，底數(shù)越大值越大；
根據(jù)上述材料，回答下列問題．
(1)比較大小____________（填寫>、

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