?專題01 平面圖形的認(rèn)識(shí)（二)——平行判定與性質(zhì)





一、判斷三線八角

同位角：∠1與∠5、∠2與∠6、∠3與∠7、∠4與∠8；
內(nèi)錯(cuò)角：∠3與∠6、∠4與∠5；
同旁內(nèi)角：∠3與∠5、∠4與∠6.
二、平行線的判定
根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：
（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行.
（2）如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行（平行線的傳遞性）.
（3）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.
（4）平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.



三、平行線的性質(zhì)
根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：
（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)．
（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直．
【專題過關(guān)】
類型一、判斷三線八角
【解惑】
（2022春·河北秦皇島·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（????）

A．與是同位角 B．與是內(nèi)錯(cuò)角
C．與是同旁內(nèi)角 D．與是內(nèi)錯(cuò)角
B【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義依次判斷即可解答.
【詳解】A. 與是同位角，該結(jié)論正確，故不符合題意.
B. 與既不是同位角，也不是內(nèi)錯(cuò)角，也不是同旁內(nèi)角，該結(jié)論錯(cuò)誤，故符合題意.
C. 與是同旁內(nèi)角，該結(jié)論正確，故不符合題意.????
D. 與是內(nèi)錯(cuò)角，該結(jié)論正確，故不符合題意.
【融會(huì)貫通】
1．（2023春·全國·七年級(jí)期中）如圖，下列說法不正確的是（　　）

A．與是對(duì)頂角 B．與是同位角
C．與是內(nèi)錯(cuò)角 D．與是同旁內(nèi)角
B
【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角和對(duì)頂角的定義即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：A、和是對(duì)頂角，說法正確，因此選項(xiàng)A不符合題意；
B、和，既不是同位角，也不是內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，說法不正確，因此選項(xiàng)B符合題意；
C、與是直線，直線，被直線所截，所得到的內(nèi)錯(cuò)角，說法正確，因此選項(xiàng)C不符合題意；
D、與是直線，直線，被直線所截所得到的同旁內(nèi)角，說法正確，因此選項(xiàng)D不符合題意；
2（2022秋·重慶萬州·九年級(jí)重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)校考期中）下列圖中，不是同位角的是（????）
A．B．C．D．
D
【分析】根據(jù)同位角的定義（在被截線同一側(cè)，截線的同一方位的兩個(gè)角互為同位角）解決此題．
【詳解】解：A．由圖可知，，是同位角，故不符合題意．
B．由圖可知，，是同位角，故不符合題意．
C．由圖可知，，是同位角，故不符合題意．
D．由圖可知，，不是同位角，故符合題意．
3．（2022春·上海·七年級(jí)期中）如圖，下列判斷中正確的個(gè)數(shù)是（　?。?br /> （1）∠A與∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁內(nèi)角；（3）∠4和∠1是內(nèi)錯(cuò)角；（4）∠3和∠1是同位角．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
C
【分析】準(zhǔn)確識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的關(guān)鍵，是弄清哪兩條直線被哪一條線所截．也就是說，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線．
【詳解】解：（1）∠A與∠1是同位角，正確，符合題意；
（2）∠A與∠B是同旁內(nèi)角．正確，符合題意；
（3）∠4與∠1是內(nèi)錯(cuò)角，正確，符合題意；
（4）∠1與∠3不是同位角，錯(cuò)誤，不符合題意．
4．（2021春·廣東梅州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如下圖，在“”字型圖中，、被所截，則與是（????）

A．同位角 B．內(nèi)錯(cuò)角 C．同旁內(nèi)角 D．鄰補(bǔ)角
A
【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角和鄰補(bǔ)角的定義判斷即可．
【詳解】解：在“”字型圖中，兩條直線、被所截形成的角中，∠A與∠4都在直線AB、DE的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）AC的同旁，則∠A與∠4是同位角．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角和鄰補(bǔ)角的定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．
5．（2021春·河北邯鄲·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，同位角共有（???）

A．6對(duì) B．8對(duì) C．10對(duì) D．12對(duì)
C
【分析】根據(jù)同位角的定義，進(jìn)行分析求解即可得到答案.
【詳解】解：如圖所示
由AB、CD、EF組成的“三線八角”中同位角有四對(duì)；
射線GM和直線CD被直線EF所截，形成2對(duì)同位角；
射線GM和直線HN被直線EF所截，形成2對(duì)同位角；
射線HN和直線AB被直線EF所截，形成2對(duì)同位角．
則總共10對(duì)．
故選C．

6．（2021·浙江·七年級(jí)期中）下列四幅圖中，和是同位角的是（????）

A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（1）、（2）、（4） D．（2）、（3）、（4）
C
【分析】同位角就是：兩個(gè)角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角，依此判斷即可．
【詳解】解：（1）、（2）、（4）的兩個(gè)角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了同位角，解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手．對(duì)平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對(duì)它們正確理解，對(duì)不同的幾何語言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義．
7．（2018春·江西上饒·七年級(jí)校考期中）若平面上四條直線兩兩相交，且無三線共點(diǎn)，則一共有___________對(duì)內(nèi)錯(cuò)角.
24
【分析】一條直線與另3條直線相交（不交于一點(diǎn)），有3個(gè)交點(diǎn)，每2個(gè)交點(diǎn)確定一條線段，共有3條線段，4條直線兩兩相交且無三線共點(diǎn)，共有3×4=12條線段，每條線段兩側(cè)共有2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，由此可知內(nèi)錯(cuò)角總數(shù)．
【詳解】∵平面上4條直線兩兩相交且無三線共點(diǎn)，
∴共有3×4=12條線段，
又∵每條線段兩側(cè)共有2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，
∴共有內(nèi)錯(cuò)角 12×2=24對(duì)，
故答案為24．

【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，主要考查的是內(nèi)錯(cuò)角的定義，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形、熟記內(nèi)錯(cuò)角的位置特點(diǎn)，兩條直線被第三條直線所截所形成的八個(gè)角中，有兩對(duì)內(nèi)

類型二、平行判定之添加條件
【解惑】
（2022春·浙江杭州·七年級(jí)?？计谥校⒁粔K三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如圖方式放置，使A，B兩點(diǎn)分別落在直線m，n上，對(duì)于給出的五個(gè)條件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判斷直線mn的有__．（填序號(hào)）

【答案】①④⑤
【分析】根據(jù)平行線的判定方法和題目中各個(gè)小題中的條件，逐一判斷是否可以得到m∥n，從而可以解答本題．
【詳解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，
∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，
∴mn，故①符合題意；
∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合題意；
∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合題意；
過點(diǎn)C作CEm，

∴∠3=∠4，
∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，
∴∠1=∠5，
∴ECn，
∴mn，故④符合題意；
∵∠ABC=∠2-∠1，
∴∠2=∠ABC+∠1，
∴mn，故⑤符合題意；
故答案為：①④⑤．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．

【融會(huì)貫通】
1．（2022春·廣東廣州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，下列條件中：（1）；（2）；（3）；（4）．能判定的條件個(gè)數(shù)有（????）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可判斷．
【詳解】解：（1），根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行得出；
（2），根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得出；
（3），根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得出；
（4），根據(jù)同位角相等兩直線平行得出，
綜上分析可知，能判定的條件個(gè)數(shù)有2個(gè)，故B正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
2．（2022春·重慶銅梁·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，下列條件中，不能判斷直線的是（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用平行線的判定方法：同位角相等，兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，分別分析得出答案．
【詳解】解：A、（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），可以判斷，不符合題意；
B、不屬于同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，不能判斷，符合題意；
C、（同位角相等，兩直線平行），可以判斷，不符合題意；
D、（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），可以判斷，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．
3．（2022春·江西贛州·七年級(jí)校考期中）如圖，下列條件中，不能判定的是（）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．由，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，可得，；
B．由，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可得；
C．由，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可得，得不到；
D．由，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，可得．
故選∶C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，解題時(shí)注意：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
4．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，其依據(jù)是（??）

A．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．同位角相等，兩直線平行
【答案】D
【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行．
【詳解】過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，其依據(jù)是同位角相等，兩直線平行,
∴A，B，C都不對(duì)，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定定理，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵．
5．（2022春·遼寧沈陽·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，現(xiàn)有條件：①；②；③；④．能判斷的條件有（???）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可求解．
【詳解】①∵
∴
②∵
∴
③∵
∴
④∵
∴
∴能得到的條件是①③．
故選C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是合理利用平行線的判定，確定同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，平行線的判定：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行．
6．（2022春·廣東東莞·七年級(jí)東莞市中堂中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)在的延長線上，下列條件不能判定的是（???）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
【詳解】解：A．根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可判定，故此選項(xiàng)不合題意；
B．根據(jù)同位角相等，兩直線平行可判定，故此選項(xiàng)不合題意；
C．根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可判定，無法判定，故此選項(xiàng)符合題意；
D．根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可判定，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．

類型三、平行性質(zhì)之求角度
【解惑】
（2022春·廣東東莞·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線，平分，，則的度數(shù)為______．

【答案】
【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得出，再根據(jù)角平分線定義求出，再根據(jù)平角等于180°求出，最后利用兩直線平行，同位角相等即可求解．
【詳解】解：，
（兩直線平行，同位角相等）
平分，
，
，
，
（兩直線平行，同位角相等）
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

【融會(huì)貫通】
1．（2022春·廣東江門·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，于點(diǎn)A，，，則為（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】A
【分析】由可得，則，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查垂線的定義、平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題關(guān)鍵．
2．（2022春·四川巴中·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，于E，交于F， ，則的度數(shù)是（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平行線的性質(zhì)得出同位角相等，再由角的互余關(guān)系求出即可．
【詳解】解：如圖所示，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角的互余關(guān)系；熟練掌握平行線的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．
3．（2022春·四川巴中·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，，，則的度數(shù)是（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，根據(jù)據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可求出的度數(shù)，從而由可求得出的度數(shù)，再由，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，求得的度數(shù)即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2022春·山東青島·七年級(jí)山東省青島市第五十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，直線與分別交于點(diǎn)E、F，平分，于點(diǎn)G，若，則___________．

【答案】##35度
【分析】根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)得到，由角平分線的定義得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，再由得出，利用可得答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)及角平分線性質(zhì)、垂線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．
5．（2021春·山東青島·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，，三角板如圖放置，其中∠B=90°，若，則的度數(shù)為___________度．

【答案】50
【分析】過B作的平行線，由平行線的性質(zhì)可得，則可求得的度數(shù)．
【詳解】解：過B作的平行線，如圖，

則，
，，
，
，
，
，，
，
故答案為：50．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．
6．（2021春·重慶渝中·七年級(jí)重慶市求精中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，已知，，，則的度數(shù)為______．

【答案】##15度
【分析】過點(diǎn)C作，，根據(jù)得，即可得，即可得．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．
7．（2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考期中）如圖，已知，則___________．

【答案】
【分析】如圖，過作 過作證明可得再證明從而可得答案．
【詳解】解：如圖，過作 過作

∵
∴
∴
∴
而
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，利用平行公理作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．


類型四、平行判定中的證明
【解惑】
（2023春·福建莆田·七年級(jí)期中）如圖，平分，，，．

(1)求，的度數(shù)；
(2)證明：．
【答案】(1)，
(2)見詳解

【分析】（1）根據(jù)平分，，即有，，再結(jié)合，即可求解；
（2）由，可得，則，問題得解．
【詳解】（1）∵平分，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
即：，；
（2）∵，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握兩直線平行同位角相等；兩直線平行同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解答本題的關(guān)鍵．



【融會(huì)貫通】
1．（2022春·云南普洱·七年級(jí)?？计谥校┩评硖羁眨喝鐖D，已知，，可推得．理由如下：

∵（已知），且（　　）
∴（等量代換）
∴（　?。?br /> ∴（兩直線平行，同位角相等）
又∵（已知），
∴（等量代換）
∴（　?。?br /> 【答案】對(duì)頂角相等；同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
【分析】由已知和對(duì)頂角相等得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而證得，根據(jù)平行線的判定即可得出．
【詳解】解：∵（已知），且（對(duì)頂角相等）
∴∠2=∠4（等量代換）
∴（同位角相等，兩直線平行）
∴（兩直線平行，同位角相等）
又∵（已知），
∴（等量代換）
∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
故答案為：對(duì)頂角相等；同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等，平行線的判定及性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2022春·廣東廣州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知：于點(diǎn)，于點(diǎn)，．求證：．

【答案】見解析
【分析】由，，得出，根據(jù)得出，根據(jù)平行線的判定定理即可得證．
【詳解】證明：，，
，
，
，
又，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
3．（2022春·廣東汕頭·七年級(jí)統(tǒng)考期中）推理填空：如圖，直線，并且被直線所截，交和于點(diǎn)M，N，平分，平分，試證明．（請(qǐng)?jiān)跈M線上填上推理內(nèi)容或依據(jù)）

證明：∵，
∴（______），
∵平分，平分．
∴，______（______），
∵，
∴______（______），
∴（______）．
【答案】見解析
【分析】先證明根據(jù)證明，根據(jù)角平分線的定義得到，即可得到．
【詳解】解：∵，
∴．（兩直線平行，同位角相等），
∵平分，平分，
∴，．（角平分線的定義），
∵，
∴．（等量代換），
∴．（同位角相等，兩直線平行）．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，熟知平行線的性質(zhì)與判定定理并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
4．（2022春·廣東中山·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，垂足分別為，試說明：．請(qǐng)補(bǔ)充說明過程，并在括號(hào)內(nèi)填上相應(yīng)的理由．

解：∵（已知），
∴（________），
∴（________）．
∴_______（________）
∵ （已知）．
∴（________）．
∴______（________）
∴（________）．
【答案】90；；；；180；；同角的補(bǔ)角相等；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．
【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，垂直的定義，同角的補(bǔ)角相等知識(shí)一一判斷即可．
【詳解】解：∵ （已知），
∴（垂直的定義），
∴（同位角相等，兩直線平行）．
∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），
∵（已知）．
∴（同角的補(bǔ)角相等）．
∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，同位角相等）．
故答案為：90；；；；180；；同角的補(bǔ)角相等；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．
5．（2022春·廣東東莞·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知平分，且．

(1)求證：．
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)

【分析】（1）通過內(nèi)錯(cuò)角相等推出平行線即可；
（2）通過平行線的性質(zhì)推出角度的關(guān)系，等量代換直接求解即可．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是利用平行線中內(nèi)錯(cuò)角相等和同旁內(nèi)角互補(bǔ)的數(shù)量關(guān)系求解．

類型五、平行中折點(diǎn)
【解惑】
（2022春·廣東河源·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面內(nèi)，，點(diǎn)，分別在直線， 上，為等腰直角三角形，為直角，若，則的度數(shù)為（???）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用平行線的性質(zhì)作出平行線，進(jìn)而得出的度數(shù)．
【詳解】解：如圖所示：過點(diǎn)作，

則，
故，．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．

【融會(huì)貫通】
2．（2020秋·四川涼山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線，的直角頂點(diǎn)A落在直線上，點(diǎn)B落在直線上，若，，則的大小為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴.
故選：C
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.
3．（2022春·廣西南寧·七年級(jí)南寧三中?？计谥校┮阎?，點(diǎn)E在連線的右側(cè)，與的角平分線相交于點(diǎn)F，則下列說法正確的是（　?。?；
①；
②若，則；
③如圖（2）中，若，，則；
④如圖（2）中，若，，則．

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】分別過、作，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到解答．
【詳解】解：分別過、作，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，①正確；

∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，②正確，
與上同理，，
∴，
∴，③正確，
由題意，④不一定正確，
∴①②③正確，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)及輔助線的作法和應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
4．（2021春·山東濟(jì)南·七年級(jí)?？计谥校┮阎?，點(diǎn)M、N分別是、上兩點(diǎn)，點(diǎn)G在、之間，連接、．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)．
(2)如圖2，若點(diǎn)P是下方一點(diǎn)，平分，平分，已知，求的度數(shù)．
(3)如圖3，若點(diǎn)E是上方一點(diǎn)，連接、，且的延長線平分，平分，，求的度數(shù)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．

【分析】（1）過G作，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得到的度數(shù)；
（2）過G作，過點(diǎn)P作，設(shè)，利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，求得，，即可得到；
（3）過G作，過E作，設(shè)，，利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，可得，，再根據(jù)，據(jù)此計(jì)算即可求解．
【詳解】（1）解：如圖1，過G作，

∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：如圖2，過G作，過點(diǎn)P作，設(shè)，

∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：如圖3，過G作，過E作，設(shè)，，

∵交于M，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，利用平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系進(jìn)行推算．
5．（2021秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考期中）閱讀并解決問題，課上教師呈現(xiàn)一個(gè)問題：
已知：如圖，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．

甲、乙、丙三位同學(xué)用不同的方法添加輔助線解決問題，如下圖：

甲同學(xué)輔助線的做法和分析思路如下：
輔助線：過點(diǎn)作．
分析思路：
①欲求的度數(shù)，由圖可知只需轉(zhuǎn)化為求和的度數(shù)之和；
②由輔助線作圖可知，，從而由已知的度數(shù)可得的度數(shù)；
③由，推出，由此可推出；
④由已知，即，所以可得的度數(shù)；
⑤從而可求的度數(shù)．
(1)你閱讀甲同學(xué)思路和方法后，請(qǐng)你根據(jù)乙同學(xué)所畫的圖形，描述輔助線的做法，并寫出你相應(yīng)的分析思路．輔助線：_________________________________
分析思路：
(2)請(qǐng)你根據(jù)丙同學(xué)所畫的圖形，求的度數(shù)．
【答案】(1)過點(diǎn)作交于點(diǎn)；分析思路見解析
(2)

【分析】（1）過點(diǎn)作交于點(diǎn)；根據(jù)，得出，根據(jù)得出，即可得出，從而得出答案；
（2）過點(diǎn)做交于點(diǎn)，根據(jù)，得出，，根據(jù)，得出，即可得出答案．
【詳解】（1）解：輔助線：過點(diǎn)作交于點(diǎn)；
分析思路：
1．欲求的度數(shù)，由輔助線作圖可知，，因此，只需轉(zhuǎn)化為求的度數(shù)
2．欲求的度數(shù)，由圖可知只需轉(zhuǎn)化為求和的度數(shù)和；
3．由已知的度數(shù)，所以只需求出的度數(shù)；
4．由，可推出；
由可推出，所以可得；
5．由已知，可得
6．從而求出度數(shù)．
故答案為：過點(diǎn)作交于點(diǎn)
（2）解：如圖丙，過點(diǎn)做交于點(diǎn)，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
6．（2022春·江西贛州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）根據(jù)下列敘述填依據(jù)．
(1)已知如圖1，，求∠B+∠BFD+∠D的度數(shù)．

解：過點(diǎn)F作
所以∠B+∠BFE=180°（??????????????????????????????????????????）
因?yàn)?、（已知?br /> 所以 （ ??????????????????????????????????????????）
所以∠D+∠DFE=180°（?????????????????????????????????????????????）
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
(2)根據(jù)以上解答進(jìn)行探索．如圖（2）（3）ABEF、∠D與∠B、∠F有何數(shù)量關(guān)系（請(qǐng)選其中一個(gè)簡要證明）
備用圖：

(3)如圖（4）ABEF，∠C=90°，∠與∠、∠有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需要說明理由）

【答案】(1)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；，平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
(2)見解析
(3)

【分析】（1）過點(diǎn)F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根據(jù)、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；
（2）類比問題（1）的解題方法即可得解；
（3）類比問題（1）的解題方法即可得解．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)F作，如圖，
∴∠B+∠BFE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角相等），
∵、（已知）
∴（平行于同一直線的兩直線平行），
∴∠D+∠DFE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），
∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°；
故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；，平行于同一直線的兩直線平行；
兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

（2）解：選圖（2），∠D與∠B、∠F的數(shù)量關(guān)系為：∠BDF+∠B=∠F；
理由如下：

過點(diǎn)D作DC//AB，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F；
選圖（3），∠D與∠B、∠F的數(shù)量關(guān)系：∠BDF+∠B=∠F

過點(diǎn)D作，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F
∠BDF+∠B=∠F ；
（3）解：

如圖（4）所示，過點(diǎn)C作，過D作，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵ ，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系和平行線公理推論的運(yùn)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)和平行線公理推論的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．


類型六、平行中的平移
【解惑】
（2022春·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中），點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，，的平分線交于點(diǎn)E（不與B，D點(diǎn)重合）．，．

(1)若點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，求的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）：
(2)將（1）中的線段BC沿DC方向平移，當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，請(qǐng)畫出圖形并判斷的度數(shù)是否改變？若改變，請(qǐng)求出的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）：若不變，請(qǐng)說明理由
【答案】(1)n°+40°；
(2)∠BED的度數(shù)會(huì)改變，220°-n°．

【分析】（1）過點(diǎn)E作，根據(jù)平行線性質(zhì)推出∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，根據(jù)角平分線定義得出∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，代入∠BED=∠BEF+∠DEF求出即可；
（2）過點(diǎn)E作，根據(jù)角平分線定義得出∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，根據(jù)平行線性質(zhì)得出即可．
（1）
過點(diǎn)E作，

∵，
∴，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=80°，
∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+40°；
（2）
∠BED的度數(shù)會(huì)改變，
理由是：過點(diǎn)E作，如圖1，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=80°，
∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，
∵，
∴，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-n°+40°=220°-n°，
即∠BED的度數(shù)與n取值有關(guān)．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)和角平分線定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．


【融會(huì)貫通】
1．（2023春·全國·七年級(jí)期中）問題情境
在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動(dòng)如圖1，已知兩直線a，b且和直角三角形，，，．

(1)在圖1中，，求的度數(shù)；
(2)如圖2，創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線a向上平移，并把的位置改變，發(fā)現(xiàn)是一個(gè)定值，請(qǐng)寫出這個(gè)定值，并說明理由；
(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3，平分，此時(shí)發(fā)現(xiàn)與又存在新的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)；
(2)定值為；理由見詳解；
(3)；

【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答；
（2）過點(diǎn)作，由此可得，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)平分，可知，過點(diǎn)作，則，根據(jù)，，可知，，則，進(jìn)而可知，則．
【詳解】（1）解：如圖標(biāo)出，

∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：定值為：，理由如下：
過點(diǎn)作，

則，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：

∵平分，
∴，
過點(diǎn)作，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握連續(xù)性的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2022春·江西撫州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，AB、BC被直線AC所截，點(diǎn)D是線段AC上的點(diǎn)，過點(diǎn)D作，連接AE，∠B＝∠E＝70°．

(1)AE與BC平行嗎？請(qǐng)說明理由．
(2)將線段AE沿著直線AC平移得到線段PQ（即，且PQ=AE），連接DQ．
①如圖2，當(dāng)DE⊥DQ時(shí)，則Q的度數(shù)為____________；
②在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)∠Q＝2∠EDQ時(shí)，求Q的度數(shù)，并說明理由．
【答案】(1)，理由見解析
(2)①；②或，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAE+∠E=180°，等量代換得到∠BAE+∠B=180°，于是得到結(jié)論；
（2）①如圖2，過D作DFAE交AB于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②如圖3，過D作DFAE交AB于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（1）
解：∵DEAB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴ABDE；
（2）
①如圖2，過D作DFAE交AB于F，
∵PQAE，
∴DFPQ，
∵∠E=70°，
∴∠EDF=110°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ=90°，
∴∠FDQ=360°-110°-90°=160°，
∴∠DPQ+∠QDP=160°，
∴∠Q=180°-160°=20°；
故答案為：20°；
②如圖3，過D作DFAE交AB于F，
∵PQAE，
∴DFPQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ∠Q，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∴180°﹣∠QQ＝110°，
∴∠Q．
如圖4，過D作DF∥AE交AB于F，
∵PQAE，
∴DFPQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ∠Q，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∴180°﹣∠QQ＝110°，
∴∠Q＝140°，
綜上所述，∠Q或140°．
????
【點(diǎn)睛】本題考查了平行公理的推論，平移的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
3．（2022春·山西臨汾·七年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐
如圖．，，E，F(xiàn)是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠CAF＝∠DAC，AE平分∠BAF．

(1)直線AD與BC有何位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由．
(2)求∠CAE的度數(shù)．
(3)如圖，將CD向右平移至處，并始終滿足，是否存在某種情況，使．若存在，求出此時(shí)的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)平行，理由見解析
(2)33°
(3)存在，49.5°

【分析】（1）首先根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得出，然后再根據(jù)題意，等量代換，得出，最后根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，即可得出結(jié)論．
（2）首先根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得出的度數(shù)，再根據(jù)，平分，即可算出的度數(shù)．
（3）首先設(shè)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得出，進(jìn)而得出，再根據(jù)，即可得出方程，解出，進(jìn)而即可得出的度數(shù)．
（1）
解：
理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴
∴．
（2）
解：∵，，
∴，
∵，平分，
∴．
（3）
解：存在，．
理由如下：
設(shè)．
∵，
∴，
，
∴，
若，
則，
解得，
此時(shí)，
∴存在，．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，解本題的關(guān)鍵在熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)與判定．
4．（2022春·北京·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線，直線EF與AB、CD分別交于點(diǎn)G、H，．小安將一個(gè)含30°角的直角三角板PMN按如圖①放置，使點(diǎn)N、M分別在直線AB、CD上，且在點(diǎn)G、H的右側(cè)，∠P＝90°，∠PMN＝60°．

(1)填空：∠PNB＋∠PMD______∠P（填“>”“

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