1. 下列關于防范“新冠肺炎”的標志中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A. 戴口罩講衛(wèi)生B. 勤洗手勤通風
C. 有癥狀早就醫(yī)D. 少出門少聚集
【1題答案】
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念求解．
【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C、既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查中心對稱圖形和軸對稱圖形的知識，關鍵是掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉180°后與原圖重合．
2. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 同圓中，圓周角等于圓心角的一半
B. 投擲一枚均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)為50次
C. 參加社會實踐活動的367個同學中至少有兩個同學的生日是同一天
D. 把一粒種子種在花盆中，一定會發(fā)芽
【2題答案】
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用隨機事件以及不可能事件、必然事件的定義分析即可得答案．
【詳解】A、同圓中，圓周角等于圓心角的一半，是隨機事件，不符合題意；
B、投擲一枚均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)為50次，是隨機事件，不符合題意；
C、參加社會實踐活動的367個同學中至少有兩個同學的生日是同一天，是必然事件，符合題意；
D、把一粒種子種在花盆中，一定會發(fā)芽，是隨機事件，不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件，不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
3. 拋物線y＝2（x+1）2不經(jīng)過的象限是（ ）
A. 第一、二象限B. 第二、三象限
C. 第三、四象限D. 第一、四象限
【3題答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)頂點式寫出頂點坐標，開口向上，進而即可求得的答案
【詳解】解： y＝2（x+1）2，開口向上，頂點坐標為
該函數(shù)不經(jīng)過第三、四象限
如圖，
故選C
【點睛】本題考查了圖象的性質，根據(jù)解析式求得開口方向和頂點坐標是解題的關鍵．
4. 拋物線y＝（x+2）2+1可由拋物線y＝x2平移得到，下列平移正確的是（ ）
A. 先向右平移2個單位，再向上平移1個單位
B. 先向右平移2個單位，再向下平移1個單位
C. 先向左平移2個單位，再向上平移1個單位
D. 先向左平移2個單位，再向下平移1個單位
【4題答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平移的規(guī)律“左加右減，上加下減”，將y＝x2向左平移2個單位再向上平移1個單位即可得y＝（x+2）2+1，即可求得答案
【詳解】解：根據(jù)題意將y＝x2向左平移2個單位再向上平移1個單位即可得y＝（x+2）2+1，
故選C
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的平移，掌握平移規(guī)律是解題的關鍵，理解題意弄清是誰平移到誰．
5. 在一只暗箱里放有a個除顏色外其他完全相同的球，這a個球中紅球只有3個，每次將球攪拌均勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回暗箱．通過大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%，那么可以推算a大約是（ ）
A. 15B. 12C. 9D. 4
【5題答案】
【答案】A
【解析】
【分析】由于摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%，由此可以確定摸到紅球的概率為20%，而a個小球中紅球只有3個，由此即可求出n．
【詳解】∵摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%，
∴摸到紅球的概率為20%，
而a個小球中紅球只有3個，
∴摸到紅球的頻率為．解得．
故選A．
【點睛】此題考查利用頻率估計概率，解題關鍵在于利用摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%.
6. 半徑等于的圓中，垂直平分半徑的弦長為（ ）
A. B. C. D.
【6題答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理，先求出弦長的一半，進而求出弦長．
【詳解】解：如圖
由題意知，OA=4，OD=CD=2，OC⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AOD中，，
∴．
故選：A．
【點睛】本題考查了垂徑定理，在求弦長時，往往通過構造直角三角形，利用勾股定理，先求出弦長的一半，再求得弦長．此類問題極易出錯，要特別注意．
7. 若x＝﹣1是關于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一個根，則2021﹣2a+2b的值等于（ ）
A. 2015B. 2017C. 2019D. 2022
【7題答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義將代入方程ax2+bx﹣2＝0可得，即，整體代入到代數(shù)式中求解即可，一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解．
【詳解】解：將代入方程ax2+bx﹣2＝0可得，即
2021﹣2a+2b=
故選B
【點睛】本題考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值，整體代入是解題的關鍵．
8. 如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6，以頂點A為圓心，AB的長為半徑畫圓，則圖中陰影部分圖形的周長為（ ）
A. 2πB. 4πC. 2π+12D. 4π+12
【8題答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)正多邊形的外角求得內角的度數(shù)，進而根據(jù)弧長公式求得，即可求得陰影部分的周長．
【詳解】解：正六邊形ABCDEF邊長為6，
陰影部分圖形周長為
故選D
【點睛】本題考查了求弧長公式，求正多邊形的內角，牢記弧長公式和正多邊形的外角與內角的關系是解題的關鍵．
9. 在數(shù)軸上，點A所表示的實數(shù)為3，點B所表示的實數(shù)為a，⊙A的半徑為2，下列說法錯誤的是（ ）
A. 當a＜5時，點B在⊙A內B. 當1＜a＜5時，點B在⊙A內
C. 當a＜1時，點B在⊙A外D. 當a＞5時，點B在⊙A外
【9題答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)軸以及圓的半徑可得當d=r時，⊙A與數(shù)軸交于兩點：1、5，進而根據(jù)點到圓心的距離與半徑比較即可求得點與圓的位置關系，進而逐項分析判斷即可
【詳解】解：∵圓心A在數(shù)軸上的坐標為3，圓的半徑為2，
∴當d=r時，⊙A與數(shù)軸交于兩點：1、5，
故當a=1、5時點B在⊙A上；
當d＜r即當1＜a＜5時，點B在⊙A內；
當d＞r即當a＜1或a＞5時，點B在⊙A外．
由以上結論可知選項B、C、D正確，選項A錯誤．
故選A．
【點睛】本題考查了數(shù)軸，點與圓的位置關系，掌握點與圓的位置關系是解題的關鍵．
10. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將Rt△ABC繞頂點C逆時針旋轉得到Rt△A'B'C，M是BC的中點，P是A′B'的中點，連接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，則線段PM的最大值為（ ）．
A. 2.5B. 2+C. 3D. 4
【10題答案】
【答案】C
【解析】
【分析】連接PC，先根據(jù)直角三角形的性質求出，再根據(jù)旋轉的性質得出，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質得出，又根據(jù)線段中點的定義得出，最后根據(jù)三角形的三邊關系定理即可得出答案．
【詳解】如圖，連接PC
在中，，
∴
∵將繞頂點C逆時針旋轉得到
∴也是直角三角形，且
∵P是的中點，
∴
∵M是BC的中點
∴
則由三角形的三邊關系定理得：
即
當點恰好在的延長線上時，
當點恰好在的延長線上時，
綜上，
則線段PM的最大值為3
故選：C．
【點睛】本題考查了直角三角形的性質、旋轉的性質、三角形的三邊關系定理等知識點，掌握旋轉的性質是解題關鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11. 從一副沒有“大小王”的撲克牌中隨機地抽取一張，點數(shù)為“5”的概率是________．
【11題答案】
【答案】．
【解析】
【詳解】試題分析：隨機地抽取一張，總共有52種情況，其中點數(shù)是5有四種情況．根據(jù)概率公式進行求解．點數(shù)為“5”的概率是=．
故答案．
考點：概率公式．
12. 如圖，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，則∠BOD＝_____．
【12題答案】
【答案】##120度
【解析】
【分析】根據(jù)圓的性質，可得OA=OB，OC=OD，證明△AOC≌△BOD，即可得答案．
【詳解】解：由題意可知：OA=OB，OC=OD，
∵AC＝BD，
∴△AOC≌△BOD，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOD＝120°，
故答案為：120°．
【點睛】本題考查了圓的性質、三角形全等的判定和性質，做題的關鍵是證明△AOC≌△BOD．
13. 已知圓錐的底面半徑為7cm，它的側面積是35πcm，則這個圓錐的母線長為_____．
【13題答案】
【答案】5cm
【解析】
【分析】根據(jù)圓錐的側面展開圖是扇形，圓錐的底面周長是扇形的弧長，母線為扇形的半徑，結合扇形的面積公式求解即可．
【詳解】解：圓錐的底面周長為2π×7=14π，設圓錐母線長為l，
則×14π·l=35π，解得：l=5，
故答案為：5cm．
【點睛】本題考查圓錐的側面積計算、扇形面積公式，熟練掌握圓錐側面展開圖與扇形之間的關系是解答的關鍵．
14. 已知二次函數(shù)y＝3（x﹣5）2，當x分別取x1，x2（x1≠x2）時，函數(shù)值相等，則當x＝時，函數(shù)值為 _____．
【14題答案】
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)解析式求得頂點坐標，進而根據(jù)題意即可求得答案
【詳解】解：二次函數(shù)y＝3（x﹣5）2頂點坐標為，對稱軸為
x分別取x1，x2（x1≠x2）時，函數(shù)值相等，
對稱軸
當x＝時，函數(shù)值為
故答案為：
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)的對稱性，求得定點坐標是解題的關鍵．
15. 已知（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，則一元二次方程x2+x﹣m＝0的根是 _____．
【15題答案】
【答案】或.
【解析】
【分析】由題意將（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x變形為，進而即可求得一元二次方程x2+x﹣m＝0的根.
【詳解】解：∵（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，
∴，
∵x2+x﹣m＝0，
∴，
解得：或.
故答案為：或.
【點睛】本題考查求一元二次方程根，注意將（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x變形為是解題的關鍵.
16. 如圖，將半徑為4，圓心角為120°的扇形OAB繞點A逆時針旋轉60°，點O，B的對應點分別為O′，B′，連接BB′，則圖中陰影部分的面積是_____．
【16題答案】
【答案】
【解析】
【分析】連接，，證明是含30°的，根據(jù)即可求解
【詳解】解：如圖，連接，
將半徑為4，圓心角為120°的扇形OAB繞點A逆時針旋轉60°，
，，,
是等邊三角形
,
三點共線
，
是等邊三角形
又
【點睛】本題考查了求扇形面積，旋轉的性質，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共9題，共72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟、）
17. 解方程：.
【17題答案】
【答案】，.
【解析】
【分析】將方程左邊的多項式分解因式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【詳解】
∴或
∴，
【點睛】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程時，首先將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解．
18. 如圖，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面內，將△ABC繞點A旋轉到△AB'C′的位置，使得CC′AB，求∠CC'A的度數(shù)．
【18題答案】
【答案】∠CC'A =70°
【解析】
【分析】先根據(jù)平行線的性質，由得∠AC′C=∠CAB=70°，再根據(jù)旋轉的性質得AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，于是根據(jù)等腰三角形的性質有∠ACC′=∠AC′C=70°．
【詳解】∵，
∴∠ACC′=∠CAB=70°，
∵△ABC繞點A旋轉到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，
在△ACC′中，∵AC=AC′
∴∠ACC′=∠CC'A =70°，
【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．
19. 在“雙減”政策下，某學校自主開設了A書法、B籃球、C足球、D器樂四門選修課程供學生選擇，每門課程被選到的機會均等．若小明和小剛兩位同學各計劃選修一門課程，請用列表或樹狀圖求他們兩人恰好同時選修球類的概率．
【19題答案】
【答案】
【解析】
【分析】畫樹狀圖展示所有16種等可能的結果數(shù)，再找出他們兩人恰好選修球類的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【詳解】解：畫樹狀圖為：
共有16種等可能的結果數(shù)，其中他們兩人恰好選修球類的結果數(shù)為4，
所以他們兩人恰好選修球類的概率==．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．
20. 如圖，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°．
（1）尺規(guī)作圖：在線段AB上找一點O，以O為圓心作圓，使⊙O經(jīng)過B，C兩點．
（2）求證：AC與（1）中所做的⊙O相切．
【20題答案】
【答案】（1）答案見解析 （2）答案見解析
【解析】
【分析】(1)作線段BC的垂直平分線MN，交AB于點O，以O為圓心，OB為半徑作⊙O 即可；
(2)連接OC，證明∠ACB= 120°，再證明∠ACO= 90°，即可得答案．
【詳解】解：(1)如下圖，⊙O即為所作：
(2)證明：連接OC
∵△ABC中，∠A=∠B= 30°
∴∠ACB= 120°
由(1) 可知，OC= OB
∴∠OCB=∠B = 30°
∴∠ACO= 90°
∴AC是⊙O的相切．
【點睛】本題考查作圖-垂直平分線、圓的畫法，等腰三角形的性質，切線的判定等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
21. 在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，M是AC的中點，點N在邊AB上（不與點A，B重合），將△ANM繞點M逆時針旋轉90°得到△BPM．
問：△BPN的面積能否等于3，請說明理由．
【21題答案】
【答案】△BPN的面積不能等于3，理由見解析
【解析】
【分析】如圖，根據(jù)等腰直角三角形的性質和旋轉性質得△BPM為△ANM繞點M逆時針旋轉90°得到的，設AN=BP=x，則BN=4－x，連接NP，根據(jù)直角三角形的面積公式得到關于x的一元二次方程，然后求解即可得出結論．
【詳解】解：如圖，∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，M是AC的中點，
∴AM=BM，BM⊥AC，∠A=∠MBC=45°，
由旋轉得∠NMP=90°，
∴∠AMN+∠NMB=∠NMB+∠BMP，即∠AMN=∠BMP,
∴△ANM≌△BPM（ASA），
∴△BPM為△ANM繞點M逆時針旋轉90°得到的，
∴AN=BP，
設AN=BP=x，則BN=4－x，連接NP，
假設△BPN的面積能否等于3，則x(4－x)=3，
∴x2－4x+6=0，
∵△=42－4×1×6=－8＜0，
∴該方程無實數(shù)解，
∴△BPN的面積不能等于3，
【點睛】本題考查等腰三角形的性質、直角三角形斜邊上的中線性質、旋轉性質、全等三角形的判定與性質、等角的余角相等、三角形的面積公式、一元二次方程的應用，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用，證明△ANM≌△BPM是解答的關鍵．
22. 如圖，PA，PB與⊙O相切，切點為A，B，CD與⊙O相切于點E，分別交PA，PB于點D，C．若PA，PB的長是關于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的兩個根．
（1）求m的值；
（2）求△PCD的周長．
【22題答案】
【答案】（1）；（2）2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)切線長定理可得，則一元二次方程的判別式為0，進而即可求得的值；
（2）根據(jù)（1）的結論求得的長，CD與⊙O相切于點E，則,根據(jù)△PCD的周長即可求解．
【詳解】解： PA，PB與⊙O相切，
PA，PB的長是關于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的兩個根
解得
（2）
PA，PB與⊙O相切， CD與⊙O相切于點E，
△PCD的周長
【點睛】本題考查了切線長定理，一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，掌握切線長定理是解題的關鍵．
23. 某企業(yè)投資100萬元引進一條農產品加工生產線，若不計維修、保養(yǎng)費用，預計投產后每年可創(chuàng)利33萬元，但使用8年后生產線報廢該，生產線投產后，從第1年到第x年的維修、保養(yǎng)費用累計為y萬元，且y＝ax2+bx，若第1年的維修、保養(yǎng)費為2萬元，第2年的為4萬元．
（1）求a的值；
（2）小敏同學依題意判斷，這條生產線在第四年能收回投資款，并在報廢前能盈利100萬元．你認為這個判斷正確嗎？請說明理由．
【23題答案】
【答案】（1）；（2）在第四年能收回投資款，但不能在報廢前盈利100萬元，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，將代入解析式即可求得的值；
（2）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程，且根據(jù)為正整數(shù)求解，設盈利萬元，根據(jù)二次函數(shù)的性質求得最值，進而即可解決問題．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意，將代入解析式得：
解得
（2）判斷不正確
由題意
解得
是正整數(shù)
或
使用8年后生產線報廢
，即這條生產線在第四年能收回投資款，
設盈利萬元，則
又
該函數(shù)的對稱軸為，在對稱軸左側，隨的增大而增大
當時，取得最大值，最大值（萬元）
故不能在報廢前盈利100萬元
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，理解題意列出函數(shù)關系式是解題的關鍵．．
24. 已知，P是直線AB上一動點（不與A，B重合），以P為直角頂點作等腰直角三角形PBD，點E是直線AD與△PBD的外接圓除點D以外的另一個交點，直線BE與直線PD相交于點F．
（1）如圖，當點P在線段AB上運動時，若∠DBE＝30°，PB＝2，求DE的長；
（2）當點P在射線AB上運動時，試探求線段AB，PB，PF之間的數(shù)量關系，并給出證明．
【24題答案】
【答案】（1） （2）PF=AB-PB或PF=AB+PB，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)△PBD等腰直角三角形，PB＝2，求出DB的長，由⊙O是△PBD的外接圓，∠DBE＝30°，可得答案；
（2）根據(jù)同弧所對的圓周角，可得∠ADP=∠FBP，由△PBD等腰直角三角形，得∠DPB=∠APD=90°，DP=BP，可證△APD≌△FPB，可得答案．
【詳解】解：（1）由題意畫以下圖，連接EP，
∵△PBD等腰直角三角形，⊙O是△PBD的外接圓，
∴∠DPB=∠DEB=90°，
∵PB＝2，
∴ ，
∵∠DBE＝30°，
∴
（2）①點P在點A、B之間，
由（1）的圖根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可得：
∠ADP=∠FBP，
又∵△PBD等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠APD=90°，DP=BP，
在△APD和△FPB中
∴△APD≌△FPB
∴AP=FP，
∵AP+PB=AB
∴FP+PB=AB，
∴FP=AB-PB，
②點P在點B的右側，如下圖：
∵△PBD等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠APF=90°，DP=BP，
∵∠PBF+∠EBP=180°，∠PDA+∠EBP=180°，
∴∠PBF=∠PDA，
在△APD和△FPB中
∴△APD≌△FPB
∴AP=FP，
∴AB+PB=AP，
∴AB+PB=PF，
∴PF= AB+PB．
綜上所述，F(xiàn)P=AB-PB或PF= AB+PB．
【點睛】本題考查了圓的性質，等腰直角三角形，三角形全等的判定，做題的關鍵是注意（2）的兩種情況．
25. 已知二次函數(shù)y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a．
（1）當a＝1時，求該二次函數(shù)的最大值；
（2）若該二次函數(shù)圖象與坐標軸有兩個交點，求實數(shù)a的值；
（3）若該二次函數(shù)在﹣≤x≤有最大值﹣3，求實數(shù)a的值．
【25題答案】
【答案】（1）2；（2）（3）或
【解析】
【分析】（1）將代入解析式，進而根據(jù)頂點公式求得最大值；
（2）由于二次函數(shù)與軸必有一個交點，且為，分類討論，令，①與軸1個交點，即一元二次方程根的判別式等于0，與軸1個交點，且不為，②若與軸有兩個交點，則必過原點，進而即可求得答案；
（3）根據(jù)題意分三種情況討論，進而解一元二次方程即可，①，②，
【詳解】解：（1）將代入解析式y(tǒng)＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，
即，
當時，該二次函數(shù)的最大值為
（2）①令，
解得
即該拋物線為與坐標軸的交點為原點，只有1個交點，不符合題意
②則該拋物線與軸有兩個交點，且有一個必過原點
即，解得或（舍）
綜上所述，
（3）y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a的對稱軸為
①若，即，拋物線的開口向下，當時，
該二次函數(shù)在﹣≤x≤有最大值﹣3，
解得
，
舍去
②若，即
當﹣≤x≤時，隨的增大而減小，當時，取得最大值為
解得
③若，即
當﹣≤x≤時，隨的增大而增大，當時，取得最大值為
解得
綜上所述或
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)與坐標軸交點問題，二次函數(shù)的最值問題，掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．

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