廣東省廣州市荔灣區(qū)2021-2022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（原卷版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 下列圖形中，不是中心對(duì)稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念求解．
【詳解】解：A、是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形的知識(shí)，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．
2. 若關(guān)于x的方程（m﹣1）x2＋mx﹣1＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）
A. m≠1B. m＝1C. m＞1D. m≠0
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，可知：m-1≠0，繼而可求出答案．
【詳解】解：根據(jù)一元二次方程的定義，可知：m-1≠0，
∴m≠1．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義，注意掌握只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．
3. 從拼音“shuxue”中隨機(jī)抽取一個(gè)字母，抽中字母u的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】拼音“shuxue”中，總共有6個(gè)字母，其中字母u的個(gè)數(shù)為2，根據(jù)概率公式求解即可．
【詳解】解：拼音“shuxue”中，總共有6個(gè)字母，其中字母u的個(gè)數(shù)為2，
根據(jù)概率公式可得，抽中字母u的概率為
故選A
【點(diǎn)睛】此題考查了概率的求解方法，掌握概率的求解方法是解題的關(guān)鍵．
4. 正十邊形的中心角是（）
A. 18°B. 36°C. 72°D. 144°
【答案】B
【解析】
【分析】正多邊形的每個(gè)中心角相等，且其和是360°，故一個(gè)中心角的度數(shù)為360°除以正多邊形的邊數(shù)．
【詳解】正十邊形的每個(gè)中心角相等，且其和是360°，故一個(gè)中心角的度數(shù)為：360°÷10=36°
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了求正多邊形中心角，這時(shí)要清楚正多邊形的中心角都相等且它們的和組成一個(gè)周角．
5. 將拋物線y＝3x2的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位后，得到的拋物線解析式是（）
A. y＝3（x﹣2）2﹣5B. y＝3（x﹣2）2+5
C. y＝3（x+2）2﹣5D. y＝3（x+2）2+5
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可．
【詳解】解：將拋物線y＝3x2的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位后，得到的拋物線解析式是y＝3（x﹣2）2+5
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的平移，掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
6. 一個(gè)不透明的盒子中有100個(gè)紅色小球，10個(gè)白色小球，1個(gè)黃色小球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出一個(gè)球，下列事件是不可能事件的是（）
A. 取出的是紅色小球B. 取出的是白色小球
C. 取出的是黃色小球D. 取出的是黑色小球
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的定義判斷即可．
【詳解】解：一個(gè)不透明的盒子中有100個(gè)紅色小球，10個(gè)白色小球，1個(gè)黃色小球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出一個(gè)球，
可能取出是紅色小球，也可能取出的是白色小球，也可能取出的是黃色小球，
不可能取出的是黑色小球，
所以：取出的是黑色小球是不可能事件，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的概念．
7. 已知⊙O半徑為4，圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）
A. 點(diǎn)P在⊙O內(nèi)B. 點(diǎn)P在⊙O上C. 點(diǎn)P在⊙O外D. 不能確定
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意求得的長(zhǎng)為5，根據(jù)即可判斷點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系,當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．
【詳解】解：∵圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），
∴
⊙O半徑為4，
點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是點(diǎn)P在⊙O外
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在⊙O上；②點(diǎn)P在⊙O內(nèi)；③點(diǎn)P在⊙O外，求得點(diǎn)到圓心的距離是解題的關(guān)鍵．
8. 某超市銷售一種飲料，平均每天可售出100箱，每箱利潤(rùn)12元．為了擴(kuò)大銷售，增加利潤(rùn)，超市準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)．據(jù)測(cè)算，若每箱隆價(jià)1元，每天可多售出20箱．若要使每天銷售飲料獲利1400元，設(shè)每箱降價(jià)的價(jià)錢為x元，則根據(jù)題意可列方程（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)每箱降價(jià)的價(jià)錢為x元，則每箱的利潤(rùn)為（12-x）元，每天的銷售量為（100+20x）箱，根據(jù)每天銷售飲料獲得的利潤(rùn)=每箱的利潤(rùn)×日銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：設(shè)每箱降價(jià)價(jià)錢為x元，則每箱的利潤(rùn)為（12-x）元，每天的銷售量為（100+20x）箱，
依題意，得（12-x）（100+20x）=1400．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△DEC，此時(shí)點(diǎn)D落在邊AB上，且DE垂直平分BC，則的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)證明，對(duì)應(yīng)邊成比例即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，
由旋轉(zhuǎn)可知：，，，，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到．
10. 已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)且a≠0）經(jīng)過(guò)P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4）四點(diǎn)．若y1＜y2＜y3，則下列說(shuō)法中正確的是（）
A. 若y4＞y3，則a＞0
B. 對(duì)稱軸不可能是直線x＝2.7
C. y1＜y4
D. 3a+b＜0
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意判定拋物線開口方向，對(duì)稱軸的位置，然后根據(jù)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離的大小即可判斷．
【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，
當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，
若，時(shí)，，
選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、當(dāng)對(duì)稱軸為直線時(shí)，，
若則，不符題意，
若則，符合題意，
選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、若，當(dāng)拋物線對(duì)稱軸為直線時(shí)，，
對(duì)稱軸直線時(shí)滿足題意，
此時(shí)，
，
若，當(dāng)拋物線對(duì)稱軸為直線時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
選項(xiàng)正確，符合題意；
D、，
，
，
選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是判定對(duì)稱軸的位置．
二、填空題（本大題共6小題,每小題3分，共18分）
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣10，a）與點(diǎn)Q（b，1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a+b＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的特征：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)，即可求得的值，進(jìn)而求得代數(shù)式的值．
【詳解】解：∵點(diǎn)P（﹣10，a）與點(diǎn)Q（b，1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的特征，掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的特征是解題的關(guān)鍵．
12. 若關(guān)于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知一元二次方程根的判別式大于0，解不等式即可求解．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程 (為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對(duì)應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
13. 在一個(gè)不透明口袋中裝有5個(gè)紅球和若干個(gè)白球，它們除顏色外其他完全相同，通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近，則估計(jì)口袋中白球大約有_____個(gè)．
【答案】15
【解析】
【分析】摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近得出口袋中得到紅色球的概率，進(jìn)而求出白球個(gè)數(shù)即可．
【詳解】設(shè)白球個(gè)數(shù)為：x個(gè)，
∵摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在25%左右，
∴口袋中得到紅色球的概率為25%，
∴，
解得：x=15，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，
即白球的個(gè)數(shù)為15個(gè)，
故答案為：15．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，根據(jù)大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率得出是解題關(guān)鍵．
14. 飛機(jī)著陸后滑行的距離y（單位：米）關(guān)于滑行時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)解析式是y＝60t﹣1.5t2，則飛機(jī)從開始滑行到完全停下來(lái)總共用時(shí) _____秒．
【答案】20
【解析】
【分析】根據(jù)題意，從開始滑行到完全停下來(lái)，即取得最大值時(shí)，的值，將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，利用函數(shù)的最值解答．
【詳解】解：∵s＝60t﹣1.5t2=，
∴當(dāng)t=20時(shí)，s有最大值600，
故答案為：20
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；將一般式函數(shù)化為頂點(diǎn)式，函數(shù)的最值，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖所示，矩形紙片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個(gè)圓錐的底面和側(cè)面，則圓錐的表面積為 _____cm2（結(jié)果保留π）
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)AB=x，則DE=12-x，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)列出方程求解，進(jìn)而求得圓錐的表面積．
【詳解】解：設(shè)AB=x，則DE=12-x，
根據(jù)題意，得
解得x=8．
底面半徑為
圓錐的表面積為
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，矩形的性質(zhì)，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來(lái)的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．
16. 如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B，C重合，點(diǎn)F不與C，D重合），且∠EAF＝45°，下列說(shuō)法：
①點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△CEF的周長(zhǎng)始終不變；
②以A為圓心，2為半徑的圓一定與EF相切；
③△AEF面積有最小值；
④△CEF的面積最大值小于．
其中正確的有 _____.（填寫序號(hào)）
【答案】①②#②①
【解析】
【分析】延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，然后證明，從而得到的周長(zhǎng)；由和可知以點(diǎn)為圓心、2為半徑的圓與相切，然后利用對(duì)稱性可得與相切；設(shè)，，則，然后結(jié)合的三邊關(guān)系得到與之間的關(guān)系，進(jìn)而可以用含有的式子表示的面積和的面積，進(jìn)而求得對(duì)應(yīng)的最值．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
△，
，和△關(guān)于所在直線對(duì)稱，
，
，
的周長(zhǎng)始終不變，故①正確，符合題意；
，的半徑，，
與相切，
和△關(guān)于所在直線對(duì)稱，
與相切，故②正確，符合題意；
設(shè)，，則，，，
在中，，
，
化簡(jiǎn)得，，
，
，
當(dāng)即時(shí)，的最小值為，故③錯(cuò)誤，不符合題意；
當(dāng)即時(shí)，的最大值為，故④錯(cuò)誤，不符合題意；
故答案為：①②#②①．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系、正方形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．
三、解答題（本大題共9小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟）
17. 解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【答案】x1＝﹣1，x2＝3．
【解析】
【分析】先把方程左邊分解，原方程轉(zhuǎn)化為x+1＝0或x﹣3＝0，然后解一次方程即可．
【詳解】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法：配方法、公式法和因式分解法．三種方法均可解出方程的根，這里選用的是因式分解法．
18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，A（1，0）、B（2，﹣2），C（4，﹣1）．將△ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C1．
（1）畫出△A1B1C1；
（2）求點(diǎn)C在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．（結(jié)果保留π）
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)系，以及網(wǎng)格的特點(diǎn)，找到A（1，0）、B（2，﹣2），C（4，﹣1）繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再順次連接，則△A1B1C1即為所求；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)角度為，半徑為的長(zhǎng)度，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可
【小問(wèn)1詳解】
找到A（1，0）、B（2，﹣2），C（4，﹣1）繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再順次連接，則△A1B1C1即為所求，如圖，
【小問(wèn)2詳解】
根據(jù)題意旋轉(zhuǎn)角為，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的路徑為為半徑，為圓心角的弧，連接，則
則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)系中畫旋轉(zhuǎn)圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求旋轉(zhuǎn)角，以及弧長(zhǎng)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
19. 如圖所示，⊙O的弦BD，CE所在直線相交于點(diǎn)A，若AB＝AC，求證：BD＝CE．
【答案】見詳解
【解析】
【分析】如圖，連接DE，BC．證明∠ADE=∠AED，推出AD=AE，可得結(jié)論．
【詳解】證明：如圖，連接DE，BC．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE+∠EDB=180°，∠C+∠EDB=180°，
∴∠ADE=∠C，
同法可證，∠AED=∠B，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴BD=EC．
【點(diǎn)睛】本題考查圓心角，弧，弦的關(guān)系，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明AD=AE．
20. 如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）結(jié)合圖形，求y＞0時(shí)自變量x的取值范圍．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）將點(diǎn)代入解析式，待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）根據(jù)解析式令，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)拋物線與軸的交點(diǎn)結(jié)合函數(shù)圖象即可求得y＞0時(shí)自變量x的取值范圍．
【小問(wèn)1詳解】
解：將點(diǎn)代入拋物線y＝x2+bx+c，得
解得
則拋物線的解析式為：
【小問(wèn)2詳解】
由拋物線的解析式，令
即
解得
，，且拋物線開口向上，
y＞0時(shí)自變量x的取值范圍為或
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)圖象求自變量范圍，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
21. 一只箱子里共3個(gè)球，其中2個(gè)白球，1個(gè)紅球，它們除顏色外均相同．
（1）從箱子中任意摸出一個(gè)球是白球的概率是多少？
（2）從箱子中任意摸出一個(gè)球，不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個(gè)球，求兩次摸出的球都是白球的概率．
【答案】（1）P（摸出白球）= ；（2）P（兩次摸出白球）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）畫樹狀圖展示所有6種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩次摸出的球都是白球的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式，即可求解．
【詳解】解：（1）P（摸出白球）=
(2)根據(jù)題意畫出樹狀圖，如下：
共有6種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出白球有2種結(jié)果
所以P（兩次摸出白球）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了列表法與樹狀圖法，能利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率是解題的關(guān)鍵．
22. 受各方面因素的影響，最近兩年來(lái)某市平均房?jī)r(jià)由40000元/平方米，下降到32400元/平方米．
（1）求房?jī)r(jià)年平均下降率；
（2）按照這個(gè)年平均下降率，預(yù)計(jì)下一年該市的平均房?jī)r(jià)每平方米多少元？
【答案】（1）10% （2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)年平均下降率為，可得今年的房?jī)r(jià)＝去年的房?jī)r(jià)×（1-x），去年的房?jī)r(jià)＝前年的房?jī)r(jià)×（1-x），由此列方程求解即可．
（2）由（1）得年平均下降率為10%，根據(jù)題意計(jì)算即可．
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)年平均下降率為，根據(jù)題意，得.
解得，（不合題意，舍去），
答：年平均下降率10%；
【小問(wèn)2詳解】
（元），
答：按照這個(gè)平均下降率，預(yù)計(jì)下一年房?jī)r(jià)每平方米元．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是掌握增長(zhǎng)率問(wèn)題的計(jì)算公式：若變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．
23. 如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，以CD為直徑的⊙O與邊AB相切于點(diǎn)E．
（1）求作⊙O，并標(biāo)出點(diǎn)E（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）連接CE，求證：CE平分∠BCD；
（3）若BC＝5，AB＝6，求CD的長(zhǎng)．
【答案】（1）見解析（2）見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）按題意作出的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑畫圓即可；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出，由切線的性質(zhì)得出，證出，由平行線的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（3）證出，連接，設(shè)，則，由勾股定理得出，求出的值，則可得出答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖，
【小問(wèn)2詳解】
證明：連接CE，
，
，
為的切線，
，
，
，
，
，
即平分；
【小問(wèn)3詳解】
解：∵OE⊥AB，∠A=∠B=90°，
∴，
∴,
∵為的中點(diǎn)，
∴E為AB中點(diǎn)，
為梯形的中位線，
，
，
連接，
為的直徑，
，
四邊形為矩形，
，
設(shè)，
，
，
，
解得，
，
．
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了尺規(guī)作圖，圓周角定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解是解題的關(guān)鍵．
24. 已知拋物線G：y＝mx2﹣（4m+2）x+4m+1（m≠0）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A，直線l：y＝kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和拋物線G的頂點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求直線l的解析式；
（3）已知點(diǎn)P為拋物線G上的一點(diǎn)，且△PAB的面積為2．若滿足條件的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，求拋物線的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）解析式變形為，即可求得定點(diǎn)為；
（2）把拋物線化成頂點(diǎn)式，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可解；
（3）過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，由（2）可知，直線的解析式為：，，分兩種情況討論計(jì)算當(dāng)時(shí)，得到的值，再根據(jù)的面積求出的值，令兩者相等，求得即可；當(dāng)時(shí)，思路同．
【小問(wèn)1詳解】
解：
，
時(shí)，，
定點(diǎn)；
【小問(wèn)2詳解】
，
頂點(diǎn)，，
將點(diǎn)和點(diǎn)代入解析式中，，
解得，
直線的解析式為：；
【小問(wèn)3詳解】
①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，如圖，
設(shè)點(diǎn)，，
由（2）可知，直線的解析式為：，
，
的面積為2，滿足條件的點(diǎn)有且只有3個(gè)，
在直線的下方的點(diǎn)只有1個(gè)，即最大，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，
，
，即，
，解得，
，
，
，
；
②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，如圖，
在直線的上方的點(diǎn)只有1個(gè)，即最大，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，
，
，即，
，解得，
，
，
，
；
綜上，或．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，三角形的面積問(wèn)題等知識(shí)，第（3）問(wèn)注意需要分類討論．也可以不分類討論，線段的長(zhǎng)加絕對(duì)值即可．
25. 如圖1，ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，以B為圓心的⊙B與BC，BA分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，還接EF，且EF＝4．
（1）求BE的長(zhǎng)；
（2）在平面內(nèi)將圖1中△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)360°，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，
①求∠CDE的取值范圍；
②如圖2，取DE的中點(diǎn)G，連接CG并延長(zhǎng)交直線DF于點(diǎn)H，點(diǎn)P為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，試求PH+PA+PB的最小值．
【答案】（1）
（2）①15゜≤∠CDE≤75゜②
【解析】
【分析】（1）由△BEF是等腰直角三角形及勾股定理得BE的長(zhǎng)；
（2）①當(dāng)DE分別為⊙B的切線時(shí)，∠CDE最大或最小，由BD=2BE1即可求得∠E1DB為30度，從而解決；
②延長(zhǎng)DC到，使，連接BD，，首先可以證明，則可看成是△BDF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到的，則；再證明∠DHC=90゜，取CD中點(diǎn)O，連接OH，將△APB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60゜得到，連接，當(dāng)點(diǎn)H、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PH=，再求出的長(zhǎng)度即可解決．
【小問(wèn)1詳解】
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠B=90゜
∵BE=BF
∴△BEF是等腰直角三角形
由勾股定理得：
即
∴
【小問(wèn)2詳解】
①如圖，連接BD
當(dāng)DE分別為⊙B的切線時(shí)，∠CDE最大或最小
∵BD為正方形的對(duì)角線
∴
當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到位置時(shí)，∠CDE最小
在中，BD=2BE1
∴
∴
當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到位置時(shí)，∠CDE最大
同理可計(jì)算得
∴15゜≤∠CDE≤75゜
②延長(zhǎng)DC到，使，連接BD，，如圖
則是等腰直角三角形
∴，
∵△BEF是等腰直角三角形
∴ BF=BE，∠FBE=90゜
∴
∴
∴可看成是△BDF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到的
∴
∵G、C分別為DE、的中點(diǎn)
∴GC為的中位線
∴
∴CG⊥DF
即∠DHC=90゜
取CD的中點(diǎn)O，連接OH，則
將△APB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60゜得到，連接，
∴，，
∴是等邊三角形，故有PA=
∵
∴
當(dāng)點(diǎn)H、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，PH+PA+PB取得最小值，且最小值為
∵
∴是等邊三角形
∴ ，
連接OA、OB，則可得OA=OB
∵
∴
∴
∴
設(shè)交AB于點(diǎn)M，在中，
∴
∴
即PH+PA+PB最小值為
【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，找到臨界狀態(tài)及旋轉(zhuǎn)△APB是問(wèn)題的關(guān)鍵與難點(diǎn)

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