西北師大附中2022~2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試試題高二數(shù)學(xué)一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1. 記為等差數(shù)列的前項和，公差，、、成等比數(shù)列，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件可得關(guān)于的方程，求出的值，即可求得的值.【詳解】由題意可知，即，整理可得，解得，故.故選：D.2. 已知數(shù)列滿足：，則數(shù)列的通項公式為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】對兩邊取倒數(shù)后，可以判斷是首項為1，公差為的等差數(shù)列，即可求得.【詳解】由數(shù)列滿足：，兩邊取倒數(shù)得：，即，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以故選:D3. 從甲?乙?丙?丁4人中選3人當(dāng)代表，則甲被選中的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求出基本事件的總數(shù)以及事件甲被選中包含的基本事件的個數(shù)，由古典概率公式即可求解.【詳解】總的基本事件包括（甲，乙，丙），（甲，丙，丁），（甲，乙，?。?，（乙，丙，丁）共4個，甲被選中的基本事件有（甲，乙，丙），（甲，丙，?。?，（甲，乙，丁），共3個，故甲被選中的概率為.故選：D.4. 甲乙丙三位同學(xué)獨立的解決同一個問題，已知三位同學(xué)單獨正確解決這個問題的概率分別為，，，則有人能夠解決這個問題的概率為（     ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先利用相互獨立事件的概率乘法公式求出“三人都未解答這個問題”的概率，利用對立事件的概率公式得到“有人能夠解決這個問題”的概率即可．【詳解】三人都未解答這個問題的概率為 （1）（1）（1），故有人能夠解決這個問題的概率為1，故選：C．【點睛】本題考查了相互獨立事件的概率乘法公式、互斥事件和對立事件的概率公式，考查了正難則反的原則，屬于中檔題．5. 已知，是不同的直線，，是不同的平面，則的一個充分條件是（    ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】利用充分條件結(jié)線面關(guān)系的判定和性質(zhì)逐個分析判斷【詳解】對于A，由，，可得與可能平行，可能垂直，可能相交不垂直，所以A錯誤，對于B，由，，可得，所以B正確，對于C，由，，可得與可能平行，可能垂直，可能相交不垂直，可能在內(nèi)，所以C錯誤，對于D，由，，可得與可能平行，可能垂直，可能相交不垂直，所以D錯誤，故選：B6. 2013年9月7日，習(xí)近平總書記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學(xué)發(fā)表演講并回答學(xué)生們提出的問題，在談到環(huán)境保護問題時他指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山.寧要綠水青山，不要金山銀山，而且綠水青山就是金山銀山.”“綠水青山就是金山銀山”這一科學(xué)論斷，成為樹立生態(tài)文明觀、引領(lǐng)中國走向綠色發(fā)展之路的理論之基.某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，從2020年開始每年投入資金比上一年增加10%，到2024年底該市生態(tài)環(huán)境建設(shè)投資總額大約為（    ）A. 2655萬元 B. 2970萬元 C. 3005萬元 D. 3040萬元【答案】C【解析】【分析】根據(jù)年每年的投資額成等差數(shù)列、年每年的投資額成等比數(shù)列，利用等差和等比數(shù)列求和公式即可求得結(jié)果.【詳解】年每年的投資額成等差數(shù)列，首項為，公差為，則年的投資總額為：（萬元），年的投資額為：（萬元）年每年的投資額成等比數(shù)列，首項為，公比為，則年的投資總額為：（萬元）；年的投資總額約為（萬元）故選：C.7. 民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知.底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知求出圓錐母線長，從而可求出圓錐的側(cè)面積，再求出圓柱的側(cè)面積和底面面積，進而可求出陀螺的表面積【詳解】由題意可得圓錐體的母線長為，所以圓錐體的側(cè)面積為，圓柱體的側(cè)面積為，圓柱的底面面積為，所以此陀螺的表面積為（），故選：C8. 如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面BCD，，，，，直線AC與底面BCD所成角的大小為（    ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，取的中點，則平面，即就是直線AC與底面BCD所成的角，解三角形即可求得角的大小.【詳解】取的中點，則因為側(cè)面底面BCD，側(cè)面底面，側(cè)面，所以平面，因為平面，所以， 所以就是直線AC與底面BCD所成的角，因為，，，所以，在直角中，，在直角中，，即，所以直線AC與底面BCD所成角的大小為，故選：.二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.）9. 下列說法不正確的是（    ）A. AB為平面外的線段，若A?B到平面的距離相等，則B. 若一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角不一定相等C. 若直線直線b，則a平行于過b的所有平面D. 若直線平面，直線平面，則【答案】ACD【解析】【分析】由空間中點線面的位置關(guān)系逐一判斷即可【詳解】對于A：滿足條件的點A?B還可以在平面的兩側(cè)，故A錯誤；對于B：根據(jù)等角定理知，一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，兩個角相等或互補，故B正確；對于C：當(dāng)過直線b平面也經(jīng)過直線時，a不平行于平面，故C錯誤；對于D：若直線平面，直線平面，則直線可能平行或相交或異面，故D錯誤；故選：ACD10. 已知數(shù)列其前n項和為，則下列選項正確的是（    ）A. 若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則B. 若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則C. 若數(shù)列為等差數(shù)列，，的最大值在或時取得D. 若數(shù)列為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)、等差數(shù)列前項和的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的定義，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】A：若為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，故可得；又，故，故錯誤；B：若為等差數(shù)列，則，故可得，故正確；：數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，由，即，整理得：，又，則，該數(shù)列的前項均為正數(shù)，，故當(dāng)或時，取得最大值，故C正確；D：若數(shù)列為等比數(shù)列，不妨令，是首項為，公比為的等比數(shù)列，此時，其前三項為：，，故該數(shù)列不是等比數(shù)列，故錯誤.綜上所述，正確的選項是.故選：.11. 下列四個命題正確的為（    ）A. 拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則向上點數(shù)之和不小于10的概率為B. 新高考改革實行“3+1+2”模式，某同學(xué)需要從政治?地理?化學(xué)?生物四個學(xué)科中任選兩科參加高考，則選出的兩科中含有政治學(xué)科的概率為C. 某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學(xué)路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為D. 設(shè)兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生且B不發(fā)生的概率與B發(fā)生且A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率為【答案】ABD【解析】【分析】由古典概型的計算公式求解可判斷AB；由相互獨立事件的概率公式求解可判斷CD【詳解】對于A：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，總的基本事件數(shù)為：，，，共36種，其中向上點數(shù)之和不小于10的有，，，共6種，則向上點數(shù)之和不小于10的概率為，故A正確；對于B：某同學(xué)需要從政治?地理?化學(xué)?生物四個學(xué)科中任選兩科參加高考有種，選出的兩科中含有政治學(xué)科的有種，則選出兩科中含有政治學(xué)科的概率為，故B正確；對于C：該生在上學(xué)路上到第3個路口首次遇到紅燈，則前2個路口不是紅燈，第3個路口是紅燈，所以該生在上學(xué)路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為，故C錯誤；對于D：由題意得，解得，故D正確；故選：ABD12. 在棱長為2的正方體中，E?F?G分別為BC??的中點，則下列選項正確的是（    ）A.  B. 直線與EF所成角的余弦值為C. 三棱錐的體積為 D. 平面AEF【答案】BD【解析】【分析】以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法分別判斷ABD即可，根據(jù)即可判斷C.【詳解】解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，對于A，，則，所以不垂直，故A錯誤；對于B，，則，即直線與EF所成角的余弦值為，故B正確；對于D，設(shè)平面的法向量，則有，令，則，所以，因為，所以，又平面，所以平面AEF，故D正確；對于C，，則，故C錯誤.故選：BD.三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13. 拋擲兩顆骰子，得到其向上的點數(shù)分別為和，則是虛數(shù)單位）為實數(shù)的概率是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意由表示實數(shù)，得到之間的關(guān)系，再根據(jù)概率公式，即可得到結(jié)果.【詳解】，由其為實數(shù)，得.即求兩顆骰子點數(shù)相同的概率.基本事件總數(shù)是，點數(shù)相同有6種，于是為實數(shù)的概率是.故答案為:14. 等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前2021項和為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)公差為，根據(jù)題意求出首項與公差，從而可求得等差數(shù)列的通項，再結(jié)合余弦函數(shù)的周期性，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)公差為，由，，得，解得，所以，則，因為函數(shù)得最小正周期為，所以數(shù)列的前2021項和為.故答案為：.15. 將邊長為1的正方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，， ，其中與在平面的同側(cè)，則異面直線與所成角的大小是_________．【答案】【解析】【詳解】設(shè)點在下底面圓周的射影為，連結(jié)，則，為直線與所成角(或補角)，，連結(jié)，為正三角形,,則直線與所成角大小.故答案為：.16. 如圖，在棱長為1的正方體中，點M是AD的中點，動點P在底面ABCD內(nèi)（不包括邊界），若平面，則的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理確定點軌跡，然后由線面垂直的性質(zhì)定理求得的最小值．【詳解】解：如圖，取中點，中點，連接，由與平行且相等得是平行四邊形，，平面，平面，所以平面，同理平面，與平行且相等，則有平行四邊形，，所以是平面四邊形，是平面內(nèi)兩相交直線，因此平面平面，因此平面，則，平面，平面，則，作，垂足為，連接，是平面內(nèi)兩相交直線，因此平面，而平面，所以，此時的長是所求的最小值，正方體棱長為1，，，．故答案為：．四?解答題（本題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17. 已知等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可得出數(shù)列的通項公式；（2）推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，利用等比數(shù)列的求和公式可求得.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，解得，.【小問2詳解】解：，且，故數(shù)列為等比數(shù)列，且首項為，公比為，因為.18. 從一批蘋果中，隨機抽取50個，其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如下：分組（重量）
 
 
 
 
 頻數(shù)（個）
 5
 10
 20
 15
 (1) 根據(jù)頻數(shù)分布表計算蘋果的重量在的頻率；(2) 用分層抽樣的方法從重量在和的蘋果中共抽取4個，其中重量在的有幾個？(3) 在（2）中抽出的4個蘋果中，任取2個，求重量在和中各有1個的概率．【答案】(1) (2)1個 (3) 【解析】【詳解】試題分析：（1）用蘋果的重量在[90，95）的頻數(shù)除以樣本容量，即為所求．（2）根據(jù)重量在[80，85）的頻數(shù)所占的比例，求得重量在[80，85）的蘋果的個數(shù)．（3）用列舉法求出所有的基本事件的個數(shù)，再求出滿足條件的事件的個數(shù)，即可得到所求事件的概率．試題解析：（1）重量在頻率為：；（2）若采用分層抽樣的方法從重量在和的蘋果中共抽取4個，則重量在的個數(shù)為：；（3）設(shè)在中抽取的一個蘋果為，在中抽取的三個蘋果分別為，從抽出的個蘋果中，任取個共有，，，，，種情況． 其中符合 “重量在和中各有一個”的情況共有3種;設(shè)“抽出的個蘋果中，任取個，重量在和中各有一個”為事件，則事件的概率． 考點：1、古典概型及其概率計算公式；2、分層抽樣方法．【方法點晴】本題考查古典概型問題，用列舉法計算可以列舉出基本事件和滿足條件的事件，應(yīng)用列舉法來解題是這一部分的最主要思想．本題還考查分層抽樣的定義和方法，利用了總體中各層的個體數(shù)之比等于樣本中對應(yīng)各層的樣本數(shù)之比，屬于基礎(chǔ)題． 19. 如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BD⊥DC，△PCD為正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E為PC的中點．  （1）證明：AP∥平面EBD；（2）證明：BE⊥PC．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)OE，利用三角形中位線可得AP∥OE，從而可證AP∥平面EBD；（2）先證明BD⊥平面PCD，再證明PC⊥平面BDE，從而可證BE⊥PC．【詳解】證明：（1）連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)OE因為四邊形ABCD為平行四邊形∴O為AC中點，又E為PC中點，故AP∥OE，又AP平面EBD，OE平面EBD所以AP∥平面EBD ；（2）∵△PCD為正三角形，E為PC中點所以PC⊥DE因為平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCD＝CD，又BD平面ABCD，BD⊥CD∴BD⊥平面PCD又PC平面PCD，故PC⊥BD又BDDE＝D，BD平面BDE，DE平面BDE故PC⊥平面BDE又BE平面BDE，所以BE⊥PC．【點睛】本題主要考查空間位置關(guān)系證明，線面平行一般轉(zhuǎn)化為線線平行來證明，直線與直線垂直通常利用線面垂直來進行證明，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).20. 從1，2，3，4，5中任取2個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù).（1）寫出此試驗的樣本空間；（2）求組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率；（3）判斷事件“組成的兩位數(shù)是偶數(shù)”與事件“組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)”是否獨立，并說明理由.【答案】（1）    （2）    （3）不互相獨立【解析】【分析】（1）利用列舉法即可得到此試驗的樣本空間；（2）利用公式去求組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率；（3）利用公式去判斷兩事件是否獨立.【小問1詳解】從1，2，3，4，5中任取2個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)則此試驗的樣本空間為【小問2詳解】組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的共有8種情況，樣本空間共有20種情況，則組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為【小問3詳解】組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)的共有8種情況，樣本空間共有20種情況，則組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)的概率為組成的兩位數(shù)是偶數(shù)且為3的倍數(shù)共有4種情況，樣本空間共有20種情況，則組成的兩位數(shù)是偶數(shù)且為3的倍數(shù)的概率為記“組成的兩位數(shù)是偶數(shù)” 為事件A； 記“組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)”為事件B則“組成的兩位數(shù)是偶數(shù)且為3的倍數(shù)” 為事件AB則由，可得則事件“組成的兩位數(shù)是偶數(shù)”與事件“組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)”不互相獨立.21. 設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，，成等差數(shù)列，且.（1）求的通項公式；（2）若，的前n項和為，若對任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求的最小值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列，可得，再根據(jù)與的關(guān)系求通項即可；（2）利用裂項相消法求出，從而可求得的范圍，即可求出的范圍，即可得解.【小問1詳解】解：因為，，成等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時，，即，由，得，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，則，即，所以，所以；【小問2詳解】解：，則，因為恒成立，所以，所以的最小值.

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