長郡中學(xué)2022年下學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 已知集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】解方程求得集合，由并集定義可得結(jié)果.【詳解】，.故選：C.2. 若非零實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式中一定成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，再舉出反例即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，即，所以，故B正確；當(dāng)時，，故A錯誤；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B.3. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則函數(shù)的定義域?yàn)?    )A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域求出的范圍，結(jié)合分母不為0求出函數(shù)的定義域即可．【詳解】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：B．4. 已知，，，則，，的大小關(guān)系是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量“1”即可得解.【詳解】解：因函數(shù)為減函數(shù)，所以，又因?yàn)?/span>，所以.故選：A.5. 在直角梯形中，，，，，直線截這個梯形位于此直線左方的圖形的面積（如圖中陰影部分）為，則函數(shù)的圖像大致為（    ） A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的運(yùn)動位置分析面積的表達(dá)式，進(jìn)而得到分段函數(shù)：，然后根據(jù)不同段上的函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】由題意可知：當(dāng)時，，當(dāng)時，；所以．結(jié)合不同段上的函數(shù)的性質(zhì)，可知選項(xiàng)C符合．故選：C．6. “”是“函數(shù)是定義在上的增函數(shù)”的（    ）A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求得分段函數(shù)在上是增函數(shù)的充要條件，再從集合的包含關(guān)系即可判斷和選擇.【詳解】函數(shù)是定義在上的增函數(shù)的充要條件是：，解得.又是的真子集，故“”是“函數(shù)是定義在上的增函數(shù)”的必要不充分條件.故選：.7. 是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若對一切成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，此時，解得，當(dāng)時，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時取等號），即當(dāng)時，，要想若對一切成立，只需，綜上所述：，故選：B8. 已知函數(shù)，用表示中的較大者，記為，若的最小值為，則實(shí)數(shù)a的值為（    ）A. 0 B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先畫出兩個函數(shù)的圖象，得到的圖象，根據(jù)最小值為進(jìn)行數(shù)形結(jié)合可知，交點(diǎn)處函數(shù)值為，計(jì)算即得結(jié)果.【詳解】依題意，先作兩個函數(shù)的草圖，   因?yàn)?/span>，故草圖如下：可知在交點(diǎn)A出取得最小值，  令，得，故，代入直線，得，故.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于弄明白函數(shù)的圖象意義，通過數(shù)形結(jié)合確定在交點(diǎn)處取得最值，計(jì)算即可突破.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得答案.【詳解】，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減故選：AC10. 下列說法正確的有（    ）A. “，”的否定是“，”B. 若命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C. 若，，，則“”的充要條件是“”D. “”是“”的充分不必要條件【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題否定為全稱量詞命題即可判斷A；由命題為假命題可得方程無解，則，即可判斷B；根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷CD.【詳解】解：對于A，因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定為全稱量詞命題，所以“，”的否定是“，”，故A正確；對于B，若命題“，”為假命題，則方程無解，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故B正確；對于C，當(dāng)時，，則由不能推出，所以“”的充要條件不是“”，故C錯誤；對于D，若，則，故由可以推出，若當(dāng)時，，則由不可以推出，所以“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：ABD.11. 下列說法正確的是（    ）A. 函數(shù)（且）的圖像恒過定點(diǎn)B. 若不等式的解集為或，則C. 函數(shù)的最小值為6D. 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為【答案】BD【解析】【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；選項(xiàng)B，根據(jù)一元二次不等式的性質(zhì)即可判斷；選項(xiàng)C，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，驗(yàn)證等號成立的條件，即可判斷；選項(xiàng)D，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A，函數(shù)（且）圖像恒過定點(diǎn)為，與不符，故A錯；選項(xiàng)B，不等式的解集為或，故必有，解得，進(jìn)而得到，故B正確；選項(xiàng)C，，當(dāng)且僅當(dāng)，方程無解，故等號不可成立，故C錯誤；選項(xiàng)D，函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，由和，以及，三個函數(shù)復(fù)合而成，故所求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，且要求，而函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，又因?yàn)?/span>，故，解得，得，綜上，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，故D正確故選：BD12. 定義域和值域均為（常數(shù)）的函數(shù)和圖象如圖所示，給出下列四個命題，那么，其中正確命題是（    ）  A. 方程有且僅有三個解B. 方程有且僅有三個解C. 方程有且僅有九個解D. 方程有且僅有一個解【答案】AD【解析】【分析】通過利用或，結(jié)合函數(shù)和的圖象，分析每個選項(xiàng)中外層函數(shù)的零點(diǎn)，再分析外層零點(diǎn)對應(yīng)的直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，即可得出結(jié)論.【詳解】解：對于A中，設(shè)，則由，即，由圖象知方程有三個不同的解，設(shè)其解為，，，由于是減函數(shù)，則直線與函數(shù)只有1個交點(diǎn)，所以方程，，分別有且僅有一個解，所以有三個解，故A正確；對于B中，設(shè)，則由，即，由圖象可得有且僅有一個解，設(shè)其解為b，可知，則直線與函數(shù)只有2個交點(diǎn)，所以方程只有兩個解，所以方程有兩個解，故B錯誤；對于C中，設(shè)，若，即，方程有三個不同的解，設(shè)其解為，，，設(shè)，則由函數(shù)圖象，可知，，由圖可知，直線和直線分別與函數(shù)有3個交點(diǎn)，直線與函數(shù)只有1個交點(diǎn)，所以或或共有7個解，所以共有七個解，故C錯誤；對于D中，設(shè)，若，即，由圖象可得有且僅有一個解，設(shè)其解為b，可知，因?yàn)?/span>是減函數(shù)，則直線與函數(shù)只有1個交點(diǎn)，所以方程只有1解，所以方程只有一個解，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題，求解思路如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（2）確定外層函數(shù)的零點(diǎn)；（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)分別為、、、、，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13. 已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分類討論，即可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)，即時，集合，不滿足互異性，故舍去；當(dāng)，即（舍）或，此時，集合滿足題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的值為.故答案為：.14. 若關(guān)于的不等式的解集為R，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】分為和考慮，當(dāng)時，根據(jù)題意列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】當(dāng)得：，滿足題意；當(dāng)時，要想保證關(guān)于的不等式的解集為R，則要滿足：，解得：，綜上：的取值范圍為故答案為：15. 已知函數(shù)是冪函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的最大值是______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出參數(shù)的值，再根據(jù)冪函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得，所以，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)是上的奇函數(shù)，又函數(shù)在上遞增，且在定義域內(nèi)連續(xù)，所以函數(shù)在上遞增，不等式，即為不等式，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值是6.故答案為：6.16. 已知函數(shù)，若對任意的，都存在唯一的，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由題意可得函數(shù)在[2，＋∞）時的值域包含于函數(shù)在（?∞，2）時的值域，利用基本不等式先求出函數(shù)在x∈[2，＋∞）時的值域，當(dāng)x∈（?∞，2）時，對a分情況討論，分別利用函數(shù)的單調(diào)性求出值域，從而求出a的取值范圍．【詳解】解：設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?/span>，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，因?yàn)閷θ我獾?/span>，都存在唯一的，滿足，則，且中若有元素與中元素對應(yīng)，則只有一個.當(dāng)時，，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，當(dāng)時，①當(dāng)時，，此時，，解得，②當(dāng)時，，此時在上是減函數(shù)，取值范圍是，在上是增函數(shù)，取值范圍是，，解得，綜合得故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題即有恒成立問題，又有存在性問題，最后可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域之間的包含關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17. 已知集合，．（1）當(dāng)時，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），．    （2）【解析】【分析】（1）先求出集合，再根據(jù)集合交并補(bǔ)運(yùn)算求解即可；（2）由題知，進(jìn)而解不等式即可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時，，又因?yàn)?/span>，所以或，所以，．【小問2詳解】因?yàn)?/span>，集合，或， 所以解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．18 （1）計(jì)算：；（2）已知，求的值．【答案】（1）1；（2）65.【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則，對（1）（2）進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】（1）．（2）因?yàn)?/span>，所以，所以，所以．19. 已知．（1）若m＝0，求x+y的最小值；（2）若，求xy的最小值．【答案】（1）16    （2）64【解析】【分析】（1）根據(jù)題意整理可得，根據(jù)基本不等式中“1”的靈活運(yùn)用運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意整理可得，結(jié)合不等式運(yùn)算求解.【小問1詳解】若m＝0，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故x+y的最小值為16.【小問2詳解】若，則，即，∵，則，又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，整理得：，解得或（舍去），故xy的最小值為64.20. 已知函數(shù)．（1）設(shè)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）證明見詳解.    （2）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義、作差法進(jìn)行證明.（2）根據(jù)已知變形，把問題轉(zhuǎn)化為含參的一元二次不等式，對參數(shù)進(jìn)行分類討論進(jìn)行求解.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，所以，對于任意的，且，，由于，且，所以，故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；【小問2詳解】不等式可化簡為，因?yàn)?/span>，所以上式化簡得，令，解得或，當(dāng)時，即時，得；當(dāng)時，即時，得；當(dāng)時，即時，得；綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.21. 某企業(yè)為了增加工作崗位和增加員工收入，投入90萬元安裝了一套新的生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備后前年的支出成本為萬元，每年的銷售收入95萬元．設(shè)使用該設(shè)備前年的總盈利額為萬元．（1）寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并估計(jì)該設(shè)備從第幾年開始盈利；（2）使用若干年后對該設(shè)備處理的方案有兩種：方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時，該設(shè)備以20萬元的價(jià)格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，該設(shè)備以60萬元的價(jià)格處理；問哪種方案較為合理？并說明理由．【答案】（1），該設(shè)備從第2年開始實(shí)現(xiàn)總盈利；    （2）方案二更合適，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，直接求得，令，結(jié)合的取值范圍，即可求得結(jié)果；（2）分別求得兩種方案下的總利潤，結(jié)合使用年限，即可判斷.【小問1詳解】由題意可得，由得，又，所以該設(shè)備從第2年開始實(shí)現(xiàn)總盈利．【小問2詳解】方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，總盈利額，當(dāng)時，取得最大值160，此時處理掉設(shè)備，則總利潤為萬元；方案二：由（1）可得，平均盈利額為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立；即時，平均盈利額最大，此時，此時處理掉設(shè)備，總利潤為萬元．綜上，兩種方案獲利都是180萬元，但方案二僅需要三年即可，故方案二更合適．22. 已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且滿足.（1）求、；（2）若方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，且方程有三個解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由已知條件可得出、的等式組，由此可解得這兩個函數(shù)的解析式；（2）令，分析可知函數(shù)在上有零點(diǎn)，分、兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）作出函數(shù)的圖象，分析可知方程有兩個不等的實(shí)根，從而方程有且只有一個根，數(shù)形結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，由已知可得，即，所以，，解得；（2）由可得，令，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，故有，其中，令，其中，則函數(shù)在上有零點(diǎn)，①當(dāng)時，即當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，所以，，不合乎題意；②當(dāng)時，即當(dāng)時，則有，解得，此時.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3），作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由可得，由圖可知，方程有兩個不等的實(shí)根，由題意可知，方程有且只有一個根，故或，解得或.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是. 

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