高三階段性學(xué)情調(diào)研數(shù) 學(xué) 試 題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 若集合，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合A，B中元素范圍，在根據(jù)交集和補(bǔ)給的概念得答案.【詳解】,,,則故選：A2. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可求解.【詳解】∵，∴.故選：C.3. 在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（    ）A. 15 B.  C. 30 D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式直接求解.【詳解】，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)是.故選：A4. 我國古代建筑的屋頂對(duì)建筑立面起著特別重要的作用，古代建筑屋頂主要有廡殿式、硬山頂、歇山頂、懸山頂攢尖頂、盝頂、卷棚頂?shù)阮愋?，其中硬山式屋頂造型的最大特點(diǎn)是比較簡單、樸素，只有前后兩面坡，而且屋頂在山墻墻頭處與山墻齊平，沒有伸出部分，山面裸露沒有變化．硬山式屋頂（如圖1）可近似地看作直三棱柱（如圖2），其高為，到平面的距離為，為，則可估算硬山式屋頂?shù)捏w積約為（    ）A  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三棱柱的體積公式求解即可.【詳解】解：如圖，過作于， 由題意可知，在直三棱柱中，到平面的距離為，即，又，所以該柱體體積為.故選：B.5. 函數(shù)的圖象大致為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先通過奇偶性排除部分選項(xiàng)，再由又的取值范圍判斷.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以是奇函數(shù)，則排除A，又，且，等號(hào)不同時(shí)成立，則，故選：B6. 若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用正切和差公式，對(duì)條件作恒等變換即可.【詳解】 ， ，等號(hào)兩邊取平方得： ；故選：A.7. 已知菱形的邊長為2，，是菱形內(nèi)一點(diǎn)， 若，則（    ）A.  B.  C.  D. 2【答案】D【解析】【分析】易得為等邊三角形，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)，可得點(diǎn)為的重心，從而可求得的長度，再根據(jù)數(shù)量積的定義即可得解.【詳解】解：在菱形，，則為等邊三角形，因?yàn)?/span>，所以，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，所以，所以三點(diǎn)共線，所以為的中線，同理可得點(diǎn)的中線過點(diǎn)，所以點(diǎn)為的重心，故，在等邊中，為的中點(diǎn)，則，所以.故選：D. 8. 設(shè)，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，先構(gòu)造函數(shù)，比較，再構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，比較與的大小，最后構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而確定與的大小關(guān)系，從而得出結(jié)果.【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，也即，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故當(dāng)時(shí)有，所以，令，則，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，也即，所以，故，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 下列命題為真命題的是（    ）A.  B. “”是“”的充分條件C. 若,則 D. 若,則【答案】CD【解析】【分析】關(guān)于選項(xiàng)A,由任意,只需取一反例即可,取時(shí)不成立即可排除;關(guān)于選項(xiàng)B,當(dāng)時(shí)不能推出;關(guān)于選項(xiàng)C,因?yàn)?/span>,對(duì)不等式左右兩邊分別乘以,即可證明;關(guān)于選項(xiàng)D,不等式有同向可加性,將兩邊同時(shí)同時(shí)乘以-1,即可證明,再取倒數(shù)即可.【詳解】解:關(guān)于選項(xiàng)A,當(dāng)時(shí),,不滿足,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;關(guān)于選項(xiàng)B,當(dāng)時(shí),,不滿足題意,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;關(guān)于選項(xiàng)C,,同時(shí)乘以可得,在兩邊同時(shí)乘以,可得,綜上: 成立,故選項(xiàng)C正確;關(guān)于選項(xiàng)D,,兩式相加可得:,則有成立,故選項(xiàng)D正確.故選:CD10. 已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，若，且，則下列命題正確的是（    ）A.  B. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】由等比數(shù)列各項(xiàng)積的意義判斷A，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合A求出公比判斷C，等比數(shù)列各項(xiàng)積的意義及所給條件判斷B，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列求和公式計(jì)算可判斷D.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故A正確；又，即，解得，故C正確；由知等比數(shù)列為遞減數(shù)列，且，故取得最大值為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以成立，故D正確.故選：ACD11. 已知函數(shù)的最小正周期為，且對(duì)于恒成立，則（    ）A. 在區(qū)間單調(diào)遞減B. 在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn)C. 是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心D. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值【答案】AB【解析】【分析】先通過周期和最值點(diǎn)求出解析式，對(duì)于A，通過的范圍，求出的范圍，可得單調(diào)性；對(duì)于B,   通過的范圍，求出的范圍，可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)；對(duì)于C，將代入計(jì)算可得答案；對(duì)于D，將代入計(jì)算可得答案.【詳解】，，對(duì)于 恒成立，解得，對(duì)于A，，，在上單調(diào)遞減，故在區(qū)間單調(diào)遞減，A正確；對(duì)于B，，，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，故在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，，故不是曲線的對(duì)稱中心，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)不取極值，D錯(cuò)誤；故選：AB.12. 已知函數(shù)滿足：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，且，則（    ）A. 是奇函數(shù) B. 是偶函數(shù)C. 是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心 D. 【答案】BCD【解析】【分析】取計(jì)算得到，A錯(cuò)誤，取得到，函數(shù)為偶函數(shù)，B正確，取得到，C正確，確定是函數(shù)的一個(gè)周期，計(jì)算得到D正確，得到答案.【詳解】取得到，解得，故A錯(cuò)誤；取得到，故，函數(shù)為偶函數(shù)，B正確；取得到，故，取，則，故是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心，C正確；，即，，故，是函數(shù)的一個(gè)周期，，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 設(shè)函數(shù)則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)自變量的取值范圍，代入求解即可.【詳解】由題意，，.故答案為：14. 在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為______．【答案】##【解析】【分析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，先求出平面的法向量，再利用空間向量求解.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為，故答案為：.15. 若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，若，則______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，可得直線的方程，求出弦的弦心距，利用圓心到直線的距離列方程求得t,即可求得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為，即，因?yàn)?/span>，的半徑為2，故弦的弦心距為，即圓心到直線的距離為，故，解得，即,故,故答案為：.16. 設(shè)圓錐的底面半徑為2，母線長為，若正四棱柱上底面的4個(gè)頂點(diǎn)在其母線上，下底面的4個(gè)頂點(diǎn)在其底面圓內(nèi)，則該正四棱柱體積的最大值為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)正四棱柱的底面邊長為，高為，求出，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值得解.【詳解】設(shè)正四棱柱的底面邊長為，高為，由相似得,即.因?yàn)?/span>.所以正四棱柱的體積.所以令.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，．（1）求的值；（2）D為邊的中點(diǎn)，若，求的面積．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理進(jìn)行邊化角并結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得，即，再利用余弦定理求；（2）在中，由余弦定理可得，再利用面積公式求的面積.【小問1詳解】在中，∵，由正弦定理得：，所以，因?yàn)?/span>，所以，即由余弦定理得：.【小問2詳解】在中，由余弦定理得：，即，解得，因?yàn)?/span>，所以，所以的面積.18. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，結(jié)合題設(shè)得到關(guān)于和的方程組，即可求解出與，從而得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得：，利用“裂項(xiàng)求和”即可求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?/span>，所以，化簡得：因?yàn)?/span>，所以由①②解得：，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】因，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.19. 隨著人們對(duì)環(huán)境關(guān)注度的提高，綠色低碳出行越來越受市民重視，為此某市建立了共享電動(dòng)車服務(wù)系統(tǒng)，共享電動(dòng)車是一種新的交通工具，這是新時(shí)代下共享經(jīng)濟(jì)的促成成果．目前來看，共享電動(dòng)車的收費(fèi)方式通過客戶端軟件和在線支付工具完成付費(fèi)流程，從開鎖到還車所用的時(shí)間稱為一次租用時(shí)間，具體計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：①租用時(shí)間30分鐘2元，不足30分鐘按2元計(jì)算；②租用時(shí)間為30分鐘以上且不超過40分鐘，按4元計(jì)算；③租用時(shí)間為40分鐘以上且不超過50分鐘，按6元計(jì)算甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用公共電動(dòng)車一次，租用時(shí)間都不會(huì)超過50分鐘，兩人租用時(shí)間的概率如下表：租用時(shí)間不超過30分鐘甲乙若甲、乙租用時(shí)間相同的概率為．（1）求，的值；（2）設(shè)甲、乙兩人所付費(fèi)之和為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）    （2）分布列見解析；期望為【解析】【分析】(1) 分別記“甲租用時(shí)間不超過30鐘、 、 ”為事件，它們彼此互斥，則可得，求解即可；(2)由題意可得可能取值為，求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算期望即可.【小問1詳解】解：分別記“甲租用時(shí)間不超過30鐘、 、 ”為事件，它們彼此互斥，則，且；分別記“乙租用時(shí)間不超過30鐘、 、 ”為事件，則，且與相互獨(dú)立．記“甲、乙租用時(shí)間相同”為事件，則 由①②解得：【小問2詳解】解：可能取值為，，，，，所以的分布表如下：46810120.20.230.330.150.09所以20. 如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面 底面，，且，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】(1)欲證明 平面BMD，只需證明PA垂直于平面BMD內(nèi)兩條相交的直線即可；(2)建立空間坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量計(jì)算即可.【小問1詳解】設(shè)與交于，連接．因?yàn)?/span>為正方形的對(duì)角線，所以為中點(diǎn)，且，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>，所以 因?yàn)槠矫?/span>底面，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以因?yàn)?/span>平面，，所以平面 ；【小問2詳解】因?yàn)?/span>平面，平面，所以，，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)榈酌?/span>為正方形，所以，在 中，為的中點(diǎn)，所以，同理：，且，因?yàn)?/span>平面，，所以 平面，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，所以 ，設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?/span>，所以 ，令，則，所以，同理：平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，， 所以，所以二面角的正弦值為 ；21. 已知雙曲線與橢圓的離心率互為倒數(shù)，且雙曲線的右焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，求的取值范圍．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的方程.（2）聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的方程，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓離心率為，所以，因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，雙曲線的一條漸近線為，右焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，②代入①得：，所以求雙曲線方程為.【小問2詳解】設(shè)，，，聯(lián)立方程，得：，，， 因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，所以，即，當(dāng)時(shí)，等式左邊=3，右邊=0，因?yàn)樽筮?/span>右邊，所以不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，所以不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，所以，綜上所述：的取值范圍為.22. 已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求的值；（2）記表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，若對(duì)任意恒成立，求的值．【答案】（1），；    （2）1.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及列方程求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值、單調(diào)性，再由零點(diǎn)存在性定理求出函數(shù)的隱零點(diǎn)，由恒成立問題轉(zhuǎn)化為的兩根為，求出代入計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，所以 【小問2詳解】由（1）知，，列表如下：0極大值，因?yàn)?/span>，，且函數(shù)在是連續(xù)不間斷的減函數(shù)，所以恰有一個(gè)，使因?yàn)?/span>，所以時(shí)，，時(shí)，，因?yàn)?/span>任意恒成立，所以時(shí)，，時(shí)，，所以有兩個(gè)根1和，所以，所以設(shè)，因?yàn)閷?duì)稱軸，所以，即，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)確定出函數(shù)的單調(diào)性后，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，得到函數(shù)的隱零點(diǎn)是解題的關(guān)鍵點(diǎn)之一，根據(jù)的正負(fù)及恒成立，可轉(zhuǎn)化為是的兩根，進(jìn)而求出是關(guān)鍵點(diǎn)之二，利用隱零點(diǎn)滿足進(jìn)行運(yùn)算化簡是解題的關(guān)鍵點(diǎn)之三.  

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