臨川一中2022-2023學(xué)年度上學(xué)期期中考試高三年級文科數(shù)學(xué)試卷1. 若集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由偶次根式有意義的要求可解不等式求得集合，根據(jù)交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：，即，又，.故選：B.2. 已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運算求出z，進而求出，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，得，則．故選:A3. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 9【答案】A【解析】【分析】將點代入函數(shù)解析式中求出的值，從而可求出函數(shù)解析式，進而可求出的值.【詳解】因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，，得，所以，所以，故選：A4. （    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求解.【詳解】，故選：C5. 在長方體中，與所成的角為30°，則 A.  B. 3 C.  D. 【答案】D【解析】【詳解】分析：連接，由可得是異面直線與所成的角，再利用長方體的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出.詳解：如圖所示，連接，，是異面直線與所成的角，即，在中，，在中，有，即.故選D.點睛：(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．(2)求異面直線所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求”．其中空間選點任意，但要靈活，經(jīng)常選擇“端點、中點、等分點”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進行平移，作出異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問題，進而求解．6. 設(shè)命題，命題，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】解對數(shù)不等式和一元二次不等式可確定命題對應(yīng)的區(qū)間，根據(jù)必要不充分條件的定義可得包含關(guān)系，由此可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】由得：，解得：，即；由得：，即；是的必要不充分條件，?，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故選：C.7. 在等差數(shù)列中，，其前n項和為，若，則（    ）A. 2021 B. -2021 C. -2022 D. 2022【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列前n項和公式可得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)可得公差為1，即可求解的值，即可得出結(jié)論.【詳解】解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，故，則，當(dāng)時，，則，所以數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d．又，即，又，所以，所以，即．故選：C.8. 如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，其對稱中心O平分線段MN，且，點E為DC的中點，則（    ） A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量線性運算、數(shù)量積運算求得正確答案.【詳解】..故選：A 9. 已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是減函數(shù)，令，則的大小關(guān)系為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由已知得出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，這樣得出函數(shù)在上是減函數(shù)，再由奇函數(shù)得出在上是增函數(shù)，利用奇函數(shù)得，從而得出，確定的值或范圍后利用單調(diào)性可比較大?。?/span>【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù)且滿足，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，在上是減函數(shù)，則在上是增函數(shù)，又是奇函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)得，所以， ，，，所以，即，故選：C．10. 已知函數(shù)部分圖象如圖所示，且的面積是面積的2倍，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意和圖象求得函數(shù)的解析式為，利用整體代換法即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由圖象可知，，令，則，即，因為，由，得，所以，由，得；又函數(shù)圖象過點，則，得，解得，又函數(shù)的最小正周期滿足，即，所以，當(dāng)時，滿足題意，所以，由，，得，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，故選：B.11. 已知，則方程的解的個數(shù)為（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】【分析】依題意可得，即或，再分類討論，分別計算可得.【詳解】解：方程，即，即或，當(dāng)時或等價于或，令，則，當(dāng)時，時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以方程只有唯一解，又的解也為，從而時方程只有一個解，當(dāng)時或等價于或，易知方程有兩個解、，又方程解得，故當(dāng)時方程有個解，綜上可得方程的解得個數(shù)為個；故選：C12. 已知雙曲線左，右焦點分別為，若雙曲線右支上存在點使得，則離心率的取值范圍為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根據(jù)點在雙曲線右支上，得到關(guān)于的不等式，從而可求出的范圍.【詳解】由題意可得點不是雙曲線的頂點，否則無意義在中，由正弦定理得，因為，所以，所以，因為點在雙曲線右支上，所以，所以，得，由雙曲線的性質(zhì)可得，所以，化簡得，所以，解得，因，所以，即雙曲線離心率的取值范圍為，故選：C二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知，，且，則向量與的夾角等于___________.【答案】##【解析】【分析】由向量數(shù)量積運算律和定義可求得，由此可得夾角.【詳解】，，解得：，又，.故答案為：.14. 拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值點”.根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拉格朗日中值定理的定義可構(gòu)造方程，解方程即可求得“拉格朗日中值點”的個數(shù).【詳解】，，令，解得：或，在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為.故答案為：.15. 設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與拋物線交于兩點，若，則的焦點坐標(biāo)為___________.【答案】##【解析】【分析】由可求得坐標(biāo)，由垂直關(guān)系可得，由此可得，進而確定焦點坐標(biāo).【詳解】由得：，不妨令，，，，，，解得：，拋物線，的焦點坐標(biāo)為.故答案為：.16. 在銳角中，角所對的邊分別為為的面積，且，則的取值范圍___________.【答案】【解析】【分析】利用三角形面積公式與余弦定理,可得，再根據(jù)同角關(guān)系式可得， ，然后利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡可得出，結(jié)合條件可得的取值范圍，進而即得.【詳解】因為，且，所以，即，由余弦定理得：，所以，又，所以，解得：或，因為為銳角三角形，所以，，所以，因，所以，由正弦定理得：，因為為銳角三角形，所以，即,所以，所以，所以，所以，，故.故答案為：.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17. 已知等比數(shù)列的公比與等差數(shù)列的公差相等，且，.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列前項和.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)的公比為的公差為，則由已知條件列方程可求出，從而可求出的通項公式；（2）由（1）得，然后利用分組求和法可求得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)的公比為的公差為，因，則，解得，而，則，又，有，所以的通項公式分別為.【小問2詳解】由（1）可知，，令數(shù)列的前項和為，則.18. 如圖，在四棱錐中，，且是棱上一點，且滿足.（1）證明：平面；（2）若三棱錐的體積是的面積是，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）作輔助線，利用線面平行的判定定理可證明結(jié)論；（2）設(shè)點到平面的距離為，根據(jù)等體積法，有，即可求得答案.【小問1詳解】如圖，在棱上取一點，使，連接.，且,又，且.四邊形是平行四邊形，.又平面平面，平面.【小問2詳解】設(shè)點到平面的距離為,三棱錐的體積是的面積是，因為，所以，即，解得.19. 2022年6月5日是世界環(huán)境日，十三屆全國人大常委會第三十二次會議表決通過的《中華人民共和國噪聲污染防治法》今起施行.噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問題，為了解聲音強度（單位：）與聲音能量（單位：）之間的關(guān)系，將測量得到的聲音強度和聲音能量的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖所示的散點圖：（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為聲音強度關(guān)于聲音能量的回歸模型？（能給出判斷即可，不必說明理由）（2）求聲音強度關(guān)于聲音能量非線性經(jīng)驗回歸方程（請使用題后參考數(shù)據(jù)作答）；（3）假定當(dāng)聲音強度大于45dB時，會產(chǎn)生噪聲污染，城市中某點處共受到兩個聲源的影響，這兩個聲源的聲音能量分別是和，且.已知點處的聲音能量等于與之和，請根據(jù)（2）中的非線性經(jīng)驗回歸方程，判斷點處是否受到噪聲污染，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：，，令，有，，，，，，，，.【答案】（1）    （2）    （3）點處會受到噪聲污染【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合圖象的增長趨勢，即可求解．（2）令，，則，結(jié)合最小二乘法和線性回歸方程的公式，即可求解．（3）設(shè)點處的聲音能量為，則，利用基本不等式求出，再代入（2）中的非線性經(jīng)驗回歸方程，求出，即可判斷．【小問1詳解】解：散點圖近似在一條曲線上，故更適合．【小問2詳解】解：令，，則，，，即關(guān)于的回歸方程是，則關(guān)于的非線性經(jīng)驗回歸方程是．【小問3詳解】解：設(shè)點處的聲音能量為，則，因為，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以，所以點處會受到噪聲污染．20. 已知橢圓的左?右焦點分別為，且焦距長為2，過且斜率為的直線與橢圓的一個交點在軸上的射影恰好為.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，下頂點為，過點作一條與軸不重合的直線，該直線交橢圓于兩點，直線分別交軸于，兩點，為坐標(biāo)原點.求證：與的面積之積為定值，并求出該定值.【答案】（1）    （2）證明見解析，定值為【解析】【分析】（1）寫出直線方程，取求得值，得到直線與橢圓的交點，再由已知列關(guān)于，的方程組，求解，的值，則橢圓方程可求；（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線，由橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，橫縱坐標(biāo)的和與積，分別寫出，的方程，求得與的坐標(biāo)，再寫出兩三角形面積的乘積，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得與的面積之積為定值．【小問1詳解】由題意，，，故過且斜率為的直線的方程為，令，得，由題意可得，解得，．求橢圓的方程為；【小問2詳解】證明：由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線，，，，，聯(lián)立，得．，，由，得，，，直線的方程為，令，解得，則，，同理可得，，【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21. 已知函數(shù)，．（1）若在區(qū)間上存在極值點，求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：當(dāng)時，對任意，．（參考：，，，）【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，從而得函數(shù)的值域，可得的取值范圍；（2）令，求解導(dǎo)函數(shù)，令新函數(shù)求解導(dǎo)函數(shù)，分類討論和兩種情況，由的正負(fù)判斷單調(diào)性，結(jié)合零點，判斷單調(diào)性，設(shè)的零點，結(jié)合題目所給提示判斷得，從而可得，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，即可證明得，所以可得證.小問1詳解】由題意，在上有變號零點，，令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，∴，∴，∴的取值范圍為．【小問2詳解】時，，，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；此時，，存在唯一的使且當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；且，，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，∴時，，單調(diào)遞增，且注意到，，∴存在唯一的使，即，且在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，∴，令，，在上單調(diào)遞減，∴∴，綜上：對有．【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．22. 已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于兩點，點的直角坐標(biāo)為，求.【答案】（1）直線；曲線    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線參數(shù)方程，消去參數(shù)即可得到普通方程；根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化原則可直接將曲線化為直角坐標(biāo)方程；（2）將參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，可得韋達定理的結(jié)論，根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可知，由韋達定理可得結(jié)果.【小問1詳解】由得：，即直線的普通方程為：；由得：，整理可得：，即曲線的直角坐標(biāo)方程為：.【小問2詳解】將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程得：，即，設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，，.23. 已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的解集；（2），若對，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）將函數(shù)化成分段函數(shù)，再分段討論求解不等式作答.（2）利用絕對值的三角不等式求出最小值，再求出最小值，然后利用已知建立不等式，求解作答.【小問1詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得，無解，當(dāng)時，，解得，則，當(dāng)時，，解得，則，所以原不等式的解集為．【小問2詳解】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，即，而當(dāng)時，，因此，因為對，使得成立，從而得，因為，則有，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍為．

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