2022-2023學(xué)年江蘇省南京市協(xié)同體七校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在中，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理可求答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以；因?yàn)?/span>，所以.故選：D.2．已知向量，若，則（    ）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)m.【詳解】由題設(shè)，，可得.故選：D3．結(jié)果為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由及和角正切公式展開(kāi)整理，即可得結(jié)果.【詳解】由，所以.故選：B4．已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】向量在向量上的投影向量的定義計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?/span>，且，那么，所以向量在向量上的投影向量為， 故選：C.5．已知，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式可得，再由倍角余弦公式求即可.【詳解】由，所以.故選：C6．已知向量均為單位向量，且，向量滿足，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由條件可知且，代入計(jì)算可得最大值.【詳解】設(shè)，則易知，又，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以最大值為．故選：C.7．已知，且，則（    ）A． B． C． D．或【答案】A【分析】由萬(wàn)能公式可得，根據(jù)已知得方程求即可.【詳解】由，所以，則，由，則.故選：A8．如圖，四邊形四點(diǎn)共圓，其中為直徑，，則的面積為（    ）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】應(yīng)用余弦定理求得，由正弦定理求，最后由共圓、三角形面積公式求面積.【詳解】由，即，所以題圖圓的直徑，故，又，所以，，由四邊形四點(diǎn)共圓，故，所以.故選：B 二、多選題9．已知是三個(gè)非零向量且互不共線，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則 B．C．，則 D．【答案】BCD【分析】A由即可判斷；B、C、D應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律、向量垂直表示判斷正誤.【詳解】A：由知：，不一定有，錯(cuò)誤；B：，而，由于，則，所以，故，正確；C：由，則，可得，所以，正確；D：，正確.故選：BCD10．在中，角所對(duì)的邊分別為，且，則下列關(guān)系可能成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用條件直接得到，從而可判斷出選項(xiàng)C和D也正確，從而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，將代入，得到，所以，故，，故選：ACD.11．《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大的正方形，若圖中直角三角形兩銳角分別為、，其中小正方形的面積為4，大正方形面積為9，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．每一個(gè)直角三角形的面積為 B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)大小正方形的面積可得邊長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)以及邊角關(guān)系可求，，且，，進(jìn)而利用兩角差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.【詳解】對(duì)于A，4個(gè)直角三角形的面積之和為，故每個(gè)直角三角形的面積為，故A正確，對(duì)于BC,由題意可知大的正方形的邊長(zhǎng)為3，小正方形的邊長(zhǎng)為2，可得,由于互余，所以，故B錯(cuò)誤，C正確，對(duì)于D，，①，，②，且，，,故，故D錯(cuò)誤，故選：AC12．在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若存在使，則的取值可能是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】令且，根據(jù)向量對(duì)應(yīng)線段的位置、數(shù)量關(guān)系用表示，進(jìn)而得到m與關(guān)系，最后求范圍和數(shù)量關(guān)系，即可得答案.【詳解】令且，而，又，則，所以，則，且，故A、C滿足，B、D不滿足.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用平面向量基本定理得到與的線性關(guān)系為關(guān)鍵. 三、填空題13．已知銳角α，β滿足sin α＝，cos β＝，則α＋β＝_____.【答案】【分析】由已知求出，再根據(jù)和的余弦公式求出，即可求出.【詳解】因?yàn)殇J角α，β滿足sin α＝，cos β＝，，，，為銳角，，.故答案為：.14．已知向量滿足，且，則與的夾角為__________.【答案】/90°【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，結(jié)合已知、向量數(shù)量積定義求夾角即可.【詳解】由題設(shè)，則，所以，則，又，則.故答案為：15．已知，則__________.【答案】【分析】由、，結(jié)合和差角余弦公式可得，從而得到，由此得解.【詳解】，，所以，由于，所以，故，則.故答案為：16．如圖，在梯形中，且為以為圓心，為半徑的圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】【分析】連接，根據(jù)向量的線性關(guān)系及數(shù)量積的運(yùn)算律可得，設(shè)得到關(guān)于的三角函數(shù)形式，求最小值.【詳解】如下圖，連接，則，，，又，所以，若，故，又，則，故，所以的最小值為.故答案為： 四、解答題17．已知的夾角為，(1)求的值；(2)當(dāng)為何值時(shí)，.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量的數(shù)量積公式及向量的模公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及向量垂直的條件即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>的夾角為，所以.所以.（2）由（1）知，，，因?yàn)?/span>，所以，即，所以，解得.所以當(dāng)時(shí)，.18．已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)若，求函數(shù)的值域.【答案】(1)(2) 【分析】（1）將函數(shù)化簡(jiǎn)為，利用周期公式求解；（2）由，得到，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）∵，∴的最小正周期為.（2）∵，∴，∴，∴.∴的值域?yàn)?/span>.19．在中，角所對(duì)的邊分別為的面積為且(1)證明：；(2)若，求.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式及已知可得，即可證結(jié)論；（2）由（1）結(jié)論及余弦定理得，求得，最后應(yīng)用余弦定理求.【詳解】（1）由，結(jié)合已知有，而，所以，則，故或（舍），所以，得證.（2）由題設(shè)及（1）結(jié)論，，即，所以，則，所以.20．在中，，從條件①；條件②，兩個(gè)條件中，選出一個(gè)作為已知，解答下面問(wèn)題.(1)若，求的面積；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)面積為(2) 【分析】（1）由所選條件，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角性質(zhì)及三角恒等變換求得，再應(yīng)用正弦定理求角，最后求出三角形的面積；（2）由題設(shè)及（1）得，應(yīng)用三角恒等變換化簡(jiǎn)，注意求的范圍，根據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.【詳解】（1）選①：，又，則，由，故，根據(jù)，而，故，，所以或（舍），綜上，，則的面積為；選②：，所以，則，由，則，，可得，根據(jù)，而，故，，所以或（舍），綜上，，則的面積為；（2）由（1），，則，且，所以，又為銳角三角形，，則，故，所以，則.21．在中，角所對(duì)的邊分別為，.(1)求B；(2)若，角的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由數(shù)量積的定義及余弦定理可得，即可求角大小；（2）根據(jù)（1）及已知可得，，進(jìn)而有，，，最后應(yīng)用余弦定理求及其正弦值，再由即可求值.【詳解】（1）由，所以，故或（舍），又，故.（2）由題設(shè)，為中點(diǎn)，而，，則，，又角的平分線交于點(diǎn)，則，所以，，則，即，所以△為直角三角形且為直角，故，而，所以，則，綜上，.22．如圖所示的矩形中，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn).(1)若為靠近的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，求的值；(2)若是邊長(zhǎng)為1的正三角形.（i）令、、的面積分別為，，，證明：；（ii）求矩形面積的最大值.【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii） 【分析】（1）根據(jù)各向量對(duì)應(yīng)線段的位置、數(shù)量關(guān)系用表示，即可求；（2）（i）應(yīng)用三角形面積公式，并設(shè)及已知可得、、，應(yīng)用三角恒等變換、誘導(dǎo)公式求證；（ii）根據(jù)（i）得，再由及正弦型函數(shù)性質(zhì)求范圍.【詳解】（1）由，，所以，則，結(jié)合已知：，則，故.（2）（i）由，，，由是邊長(zhǎng)為1的正三角形，而，，，令，則，，所以，，，綜上，，，，所以，而，故，得證.（ii）由（i）知：，而，所以，則，故.當(dāng)時(shí)，矩形面積取得最大值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，應(yīng)用三角形面積公式并設(shè)，用表示，，，結(jié)合三角恒等變換求證結(jié)論；利用三角函數(shù)性質(zhì)求矩形面積范圍. 

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