2022級(jí)高一學(xué)年上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題出題人：姜穎慧        審題人：朱天玲一、單選題（每題5分）1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】解出集合A，求出并集.【詳解】所以，故選：A.2. 命題“對(duì)任意，都有”的否定是（    ）A. 存在，使得 B. 不存在，使得C. 存在，使得 D. 對(duì)任意，都有【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)全稱(chēng)命題的否定的定義得到答案.【詳解】命題“對(duì)任意，都有”的否定是：存在，使得.故選：C.3. 下列各不等式中成立的是（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【詳解】本題考查指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用.函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)是減函數(shù)，函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)是減函數(shù)，所以；函數(shù)是增函數(shù)，故選C4. 下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，即可容易判斷選擇.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，，奇函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B，，為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，不符合題意；對(duì)于C，，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)于D，奇函數(shù)，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查常見(jiàn)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷，屬簡(jiǎn)單題.5. 已知,且,那么等于(    )A. 16 B. －16 C. －24 D. －32【答案】D【解析】【分析】把原函數(shù)寫(xiě)成一個(gè)奇函數(shù)加常數(shù)的形式，然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)獲解【詳解】設(shè),則所以因?yàn)?/span>所以所以,即故選：D6. 二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的一個(gè)充分不必要條件為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先求出在區(qū)間上單調(diào)遞增的等價(jià)條件為，通過(guò)充分不必要條件的定義，即可判斷【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以解得．因?yàn)橹挥?/span>C是其真子集，故選：C7. 函數(shù)的部分圖象大致為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定函數(shù)探討其對(duì)稱(chēng)性可排除選項(xiàng)A，B；再由時(shí)的函數(shù)值符號(hào)即可判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?/span>，其 圖象可由函數(shù)的圖象右移3個(gè)單位而得，而，即函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此，函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，選項(xiàng)A，B不滿足；又當(dāng)時(shí)，，，即有，則當(dāng)時(shí)，圖象在x軸上方，D不滿足，所以函數(shù)的部分圖象大致為C.故選：C8. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí).若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇偶性和解析式分析函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為，得恒成立，求參數(shù)范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增且，又是定義在上的奇函數(shù)，，綜上在上單調(diào)遞增，由，可得，則，所以，即對(duì)任意恒成立，所以，得，解得.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決不等式恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題，其中涉及轉(zhuǎn)化與化歸思想.二、多選題（每題5分，少選得2分，多選不得分）9. 下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（    ）A. 與 B. 與C. 與 D. 與【答案】BD【解析】【分析】當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，兩函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，所以分別求各選項(xiàng)中兩函數(shù)的定義域，若定義域相同，再判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同即可.【詳解】對(duì)于A：與的定義域都是R,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，因此不是同一函數(shù)；對(duì)于B：與,定義域都是R，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；對(duì)于C：的定義域?yàn)?/span>R,與的定義域?yàn)?/span>，定義域不同，因此不是同一函數(shù)；對(duì)于D：與，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，因此是同一函數(shù).故選：BD.10. 以下命題正確的是（    ）A. 函數(shù)的圖象與直線一定有1個(gè)公共點(diǎn)B. 是非奇非偶函數(shù)C. 若函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為.D. 若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則的取值范圍為.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域值域，結(jié)合函數(shù)的奇偶性性質(zhì)然后逐項(xiàng)判斷；【詳解】選項(xiàng)A: 函數(shù)，在處沒(méi)有意義，故兩者沒(méi)有公共點(diǎn)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：定義域，解得：且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)為奇函數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D：因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?/span>，設(shè)函數(shù)，所以函數(shù)可以取遍所以大于0的數(shù)，故有解得：，選項(xiàng)正確；故選:CD.11. 已知函數(shù)的定義域是，對(duì)，都有，且當(dāng)時(shí)，，且，下列說(shuō)法正確的是（    ）A. B. 函數(shù)在上單調(diào)遞增C. D. 滿足不等式的的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】令求出的值可判斷A；令可得，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明單調(diào)性可判斷B；由以及可判斷C；通過(guò)計(jì)算可得，原不等式等價(jià)于，利用單調(diào)性求出的取值范圍可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：令，得，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：令，得，所以，任取，，且，則，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：因?yàn)?/span>，由可得，所以，所以不等式等價(jià)于即，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以 解得：，所以原不等式解集為，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD．【點(diǎn)睛】利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：（1）在已知區(qū)間上任取；（2）作差；（3）判斷的符號(hào)（往往先分解因式，再判斷各因式的符號(hào)）， 可得在已知區(qū)間上是增函數(shù)， 可得在已知區(qū)間上是減函數(shù).12. 高斯函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要函數(shù)，在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及工程學(xué)等領(lǐng)域都能看到它的身影． 設(shè)，用符號(hào)表示不大于的最大整數(shù)，如稱(chēng)函數(shù)叫做高斯函數(shù)． 下列關(guān)于高斯函數(shù)的說(shuō)法正確的有（    ）A. B. 若，則C. 函數(shù)的值域是D. 函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】由高斯函數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)A，由高斯函數(shù)的定義，可得，故A正確；對(duì)B，若，則，而表示不大于x的最大整數(shù)，則，即，故B正確；對(duì)C，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，函數(shù)，即函數(shù)為分段函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD.三、填空題（每題5分）13. 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式和根式的定義域求出范圍即可.【詳解】由,解得且,故定義域?yàn)?/span>,故答案為:. 14. 若正數(shù)，滿足，則的最小值是______．【答案】【解析】【分析】將展開(kāi)，再利用基本不等式即可求解.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)即 時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，故答案為：.15. 已知對(duì)任意都有意義,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)成立的條件進(jìn)行討論，分別進(jìn)行求解即可．【詳解】要使函數(shù)有意義，則當(dāng)意時(shí)，恒成立，即．若時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)不成立．若，當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)和的圖象，當(dāng)時(shí)，，得，即，若對(duì)任意恒意義，則，即實(shí)數(shù)的范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意區(qū)間的開(kāi)閉情況.16. 已知函數(shù)，若對(duì)任意，存在使得恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________．【答案】【解析】【分析】恒成立存在性共存的不等式問(wèn)題，需要根據(jù)題意確定最值比大小解不等式即可.【詳解】根據(jù)題意可得只需即可，由題可知a為對(duì)數(shù)底數(shù)且或.當(dāng)時(shí)，此時(shí)在各自定義域內(nèi)都有意義，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，即，可得；當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，即，可得.綜上：.故答案為：.四、解答題（第17題10分，其余每題12分）17. 化簡(jiǎn)求值（1）； （2）．【答案】（1） （2） 【解析】【分析】（1）把0指數(shù)冪化為1，利用根式的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，其余直接利用有理指數(shù)冪的運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)求值；（2）利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算法則直接求解．【詳解】（1）=-+1-3+=-2=.（2）（lg5）2+lg2（1+lg5）＝（lg5）2+lg2+lg2lg5-2＝lg5（lg5+lg2）+lg2-2＝lg5+lg2-2＝-1．【點(diǎn)睛】本題考查有理指數(shù)冪及根式的化簡(jiǎn)與求值，考查了對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)求值，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)注意對(duì)數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算法則的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．18. （1）若冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．（2）若為奇函數(shù)，求的值．【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)且求解即可；（2）對(duì)恒成立，可得，從而可得答案.【詳解】（1）冪函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且．．（2）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，可得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.19. 設(shè)集合，，．（）求．（）若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】試題分析：（）先求的集合，， 即可求解．（）由，所以，分是空集和非空集合，分類(lèi)討論即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．試題解析：（），， 所以．（）因?yàn)?/span>，所以，若是空集，則，得到，若非空，則，得，綜上所述，，即的取值范圍是．20. 已知函數(shù)（1）解關(guān)于的不等式；（2）已知，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，分類(lèi)討論，即可解出不等式；（2）求出當(dāng)時(shí)的解析式，根據(jù)的值域是的值域的子集列不等式組，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意，在中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得，綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為【小問(wèn)2詳解】在中，當(dāng)時(shí)，，∵，∴函數(shù)的值域是，在中，∵對(duì)任意的，總存在，使成立，∴的值域是的值域的子集，當(dāng)時(shí)，，則，解得當(dāng)時(shí)，，則，解得，當(dāng)時(shí)，，不成立；綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍.21. 我們知道，聲音通過(guò)空氣傳播時(shí)會(huì)引起區(qū)域性的壓強(qiáng)值改變.物理學(xué)中稱(chēng)為“聲壓”.用P表示（單位：Pa（帕））：“聲壓級(jí)”S（單位：dB（分貝））表示聲壓的相對(duì)大小.已知它與“某聲音的聲壓P與基準(zhǔn)聲壓的比值的常用對(duì)數(shù)（以10為底的對(duì)數(shù)）值成正比”，即（k是比例系數(shù)）.當(dāng)聲壓級(jí)S提高60dB時(shí)，聲壓P會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的1000倍.（1）求聲壓級(jí)S關(guān)于聲壓P的函數(shù)解析式；（2）已知兩個(gè)不同的聲源產(chǎn)生的聲壓P1，P2疊加后得到的總聲壓，而一般當(dāng)聲壓級(jí)S<45dB時(shí)人類(lèi)是可以正常的學(xué)習(xí)和休息的.現(xiàn)窗外同時(shí)有兩個(gè)聲壓級(jí)為40dB的聲源，在不考慮其他因素的情況下，請(qǐng)問(wèn)這兩個(gè)聲源疊加后是否會(huì)干擾我們正常的學(xué)習(xí)？并說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3）【答案】（1）    （2）不會(huì)，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件代入具體數(shù)據(jù)即可求出參數(shù)的值，從而確定解析式（2）將聲壓級(jí)代入解析式求出聲壓，根據(jù)求出疊加后的聲壓，代入解析式可求出對(duì)應(yīng)的聲壓級(jí)，與45比較大小，判斷是否會(huì)干擾學(xué)習(xí)【小問(wèn)1詳解】由題意得： ，，所以，所以聲壓級(jí)S關(guān)于聲壓P的函數(shù)解析式為【小問(wèn)2詳解】不會(huì)干擾我們正常的學(xué)習(xí)，理由如下：將代入得：，所以，解得：，即所以，代入得：，所以不會(huì)干擾我們正常的學(xué)習(xí).22 已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（寫(xiě)出結(jié)論即可）；（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（3）當(dāng)，求函數(shù)在上的最小值．【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）將函數(shù)解析式表示為分段函數(shù)的形式，即可寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由已知可得不等式對(duì)任意的恒成立，由基本不等式可求得的最小值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可求得關(guān)于的表達(dá)式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、；（2）當(dāng)時(shí)，由可得，可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）①當(dāng)且時(shí)，，因?yàn)?/span>，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故；②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故；③當(dāng)時(shí)，由（1）可知，，在上單調(diào)遞減，此時(shí)；④當(dāng)且時(shí)，且，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故.綜上所述，.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.

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