2022~2023學(xué)年廣東省東莞市東華高級中學(xué)高一（上）數(shù)學(xué)期中考試一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1. 已知集合U={?2，?1，0，1，2，3}，A={?1，0，1}，B={1，2}，則（    ）A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3}【答案】A【解析】【分析】首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后計(jì)算補(bǔ)集即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查并集、補(bǔ)集的定義與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2. 已知命題，，則p是q成立的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩個命題得出x的范圍，比較兩個范圍所構(gòu)成集合間的關(guān)系，利用充分條件與必要條件的判定，即可得出結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)?/span>，，所以p是q成立的既不充分又不必要條件，故選：D．3. 已知是定義在上的增函數(shù)，則（    ）A. 函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B. 函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C. 函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D. 函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】C【解析】【分析】結(jié)合已知條件，利用函數(shù)奇偶性定義和其對稱性可判斷AB；利用奇偶性的定義以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷CD.【詳解】不妨令，則，且的定義域?yàn)?/span>，故為偶函數(shù)，則的圖像關(guān)于軸對稱，則不可能在上單調(diào)，故AB錯誤；令，則，且的定義域?yàn)?/span>，故是奇函數(shù)，因?yàn)?/span>是定義在上的增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上是減函數(shù)，故在上是增函數(shù)，故C正確，D錯誤.故選：C.4. 甲、乙兩人沿著同一方向從地去地，甲前一半的路程使用速度，后一半的路程使用速度；乙前一半的時間使用速度，后一半的時間使用速度，關(guān)于甲，乙兩人從地到達(dá)地的路程與時間的函數(shù)圖象及關(guān)系（其中橫軸表示時間，縱軸表示路程）可能正確的圖示分析為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意分析開始圖象是重合的線段，再根據(jù)v1＜v2可知兩人的運(yùn)動情況均是先慢后快，即可.【詳解】由題意可知，開始時，甲、乙速度均為v1，所以圖象是重合的線段，由此排除C，D，再根據(jù)v1＜v2可知兩人的運(yùn)動情況均是先慢后快，圖象是折線且前“緩”后“陡”，故圖示A正確．故選：A5. 已知某種食品的保鮮時間y（單位：h）與儲藏溫度x（單位：℃）之間滿足函數(shù)關(guān)系．若該食品在4℃時的保鮮時間為192h，在12℃時保鮮時間為48h，則該食品在28℃時的保鮮時間為（    ）A. 2h B. 3h C. 4h D. 6h【答案】B【解析】【分析】由題可得，代入再結(jié)合條件即得.【詳解】由題意有：①，②，②式除以①式得，則.故選：B.6. 下列函數(shù)中最小值為的是（    ）A.  B. 當(dāng)時，C. 當(dāng)時， D. 【答案】B【解析】【分析】對于，如果時，，故不符合題意；對于，利用基本不等式得到函數(shù)的最小值為4，故正確；對于，利用基本不等式得到最小值，故錯誤；對于，利用基本不等式得最小值取不到，故錯誤．【詳解】對于，，如果時，，故不符合題意；對于，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故正確；對于，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以其最小值為，故錯誤；對于，，當(dāng)且僅當(dāng)即此時無解，這表明最小值取不到，故錯誤．故選：．7. 已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的下列四個結(jié)論中正確的是（    ）A. 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 B. 的值域?yàn)?/span>C. 在上單調(diào)遞減 D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)為冪函數(shù)且為偶函數(shù)可得，進(jìn)而得，根據(jù)奇偶性的判斷可判斷A，根據(jù)單調(diào)性確定值域可判斷B，C,代入計(jì)算進(jìn)而可判斷D.【詳解】因?yàn)?/span>是冪函數(shù),所以,解得或,又是偶函數(shù),所以,故,故;對于A;,故是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故A錯誤，對于B；，由于，所以，故，故值域?yàn)?/span>，故B錯誤,對于C;,由于在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞減，故在遞增，故C錯誤，對于D；從而，故D正確，故選：D8. 已知函數(shù)，()，對，，使成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】分別求出函數(shù)，在各自給定區(qū)間上的值域，再借助集合的包含關(guān)系即可計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)的對稱軸方程為，在上單調(diào)遞減，則在的值域?yàn)?/span>，又()在上單調(diào)遞增，則在的值域?yàn)?/span>，“對，，使成立”等價(jià)于“在的值域包含于在的值域”，于是得，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（    ）A. 當(dāng)時， B. 當(dāng)時，C. 函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點(diǎn) D. 函數(shù)是增函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合奇函數(shù)的定義可求函數(shù)解析式，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及解析式分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，也滿足，所以當(dāng)時，，A正確，B錯誤；由題意可知，顯然為函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時，顯然沒有零點(diǎn)，根據(jù)奇函數(shù)對稱性可知，當(dāng)時，函數(shù)沒有零點(diǎn)，所以函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點(diǎn)，C正確；當(dāng)時，單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知，時，函數(shù)單調(diào)遞增，且在處連續(xù)，故在R上單調(diào)遞增，D正確．故選：ACD．10. 若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，則正整數(shù)a的值可能是（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】BC【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合值域可得實(shí)數(shù)的取值范圍，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)在上的值域?yàn)?/span>，結(jié)合圖象可得，結(jié)合a是正整數(shù)，所以BC正確.故選： BC.11. 已知關(guān)于x的方程，下列結(jié)論中正確的是（　?。?/span>A. 方程有一個正根一個負(fù)根的充要條件是B. 方程有兩個正根的充要條件是C. 方程無實(shí)數(shù)根的充要條件是D. 當(dāng)時，方程的兩個實(shí)數(shù)根之和為0【答案】AB【解析】【分析】利用一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合充要條件的定義逐一判斷即可.【詳解】關(guān)于x的方程中，兩根和為、兩根積為m.若方程有一個正根一個負(fù)根，則，解得，故A對；若方程有兩個正根，則，解得，故B對；若方程無實(shí)根，則，解得或，故C錯；當(dāng)時，方程可化為，顯然無實(shí)數(shù)解，故D錯.故選：AB.12. 已知，，，，則（    ）A.  B. C  D. 【答案】ABC【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及冪函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】由題得，，，，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)具體函數(shù)求解定義域的方法直接列不等式求解即可.【詳解】解：函數(shù)，定義域滿足，解得：且所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>.故答案為：.14. 用一段長為20m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長12m，則矩形菜園的最大面積為_____．【答案】50【解析】【分析】設(shè)菜園寬為x,則長為20- 2x,由面積公式寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,然后利用二次函數(shù)的最值可得出菜園的最大面積.【詳解】設(shè)矩形的寬為xm，面積為S m2，根據(jù)題意得：時，最大，最大值為.此時，矩形長為滿足題意， 即當(dāng)矩形的長為10m ( 不超過墻長) , 寬為5m時，矩形菜園的面積最大,最大面積為50m2.故答案為：5015. 已知，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】對進(jìn)行分類討論，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，在上遞減，恒成立.當(dāng)時，在上遞增，無解.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：16. 黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國著名的數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.其定義為：，則________；若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意都有，當(dāng)時，，則________.【答案】    ①     ②. ##【解析】【分析】由的定義可求得；奇函數(shù)任意x都有，可得的周期為2，則，然后利用已知的函數(shù)關(guān)系式求值即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以；∵是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x都有，∴，∴，即的周期為2，∵當(dāng)時，，故.故答案為：；.四、解答題：本小題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. （1）求值：；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可；（2）由指數(shù)與對數(shù)的互化和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【詳解】解：（1）原式；（2），則，∴，∴．18. 已知函數(shù)定義域是，集合.（1）若，求，；（2）若命題“，”是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），    （2）【解析】【分析】(1)根據(jù)函數(shù)解析式，求出集合,然后利用集合的運(yùn)算即可求解；(2)將條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，也即，列出條件成立的不等式組，解之即可.【小問1詳解】要使函數(shù)有意義，則有，解得，故. 若，則， ，.【小問2詳解】由（1）知：，若命題“”是真命題，則. ，                      故實(shí)數(shù)的取值范圍是.19. 已知函數(shù)．（1）用定義法證明：函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增；（2）求不等式的解集．【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，通過計(jì)算，來證得在上遞增.（2）結(jié)合函數(shù)的奇偶性的單調(diào)性求得不等式的解集.【小問1詳解】任取，則，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增.【小問2詳解】函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ǎ?/span>2，2）．因?yàn)?/span>，所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，又f（0）＝0，所以函數(shù)f（x）在（－2，2）上單調(diào)遞增，原不等式可化為不等式，因此解得，所以原不等式的解集為．20. 已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求不等式的解集．【答案】（1）    （2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定參數(shù)a的取值區(qū)間；（2）由題得方程的兩根分別為1、，討論兩根的大小關(guān)系得出不等式的解集.【小問1詳解】函數(shù)的對稱軸，依題意得或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】由，得方程的兩根分別為1、，當(dāng)，即時，不等式的解集為；當(dāng)，即時，不等式的解集為；當(dāng)，即時，不等式的解集為.綜上，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.21. 隨著城市居民汽車使用率增加，交通擁堵問題日益嚴(yán)重，而建設(shè)高架道路、地下隧道以及城市軌道公共運(yùn)輸系統(tǒng)等是解決交通擁堵問題的有效措施.某市城市規(guī)劃部門為提高早晚高峰期間某條地下隧道的車輛通行能力，研究了該隧道內(nèi)的車流速度（單位：千米/小時）和車流密度（單位：輛/千米）所滿足的關(guān)系式：.研究表明：當(dāng)隧道內(nèi)的車流密度達(dá)到120輛/千米時造成堵塞，此時車流速度是0千米/小時.（1）若車流速度不小于40千米/小時，求車流密度的取值范圍；（2）隧道內(nèi)的車流量（單位時間內(nèi)通過隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時）滿足，求隧道內(nèi)車流量的最大值（精確到1輛/小時），并指出當(dāng)車流量最大時的車流密度（精確到1輛/千米）.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）車流密度的取值范圍是    （2）隧道內(nèi)車流量的最大值約為3667輛/小時，此時車流密度約為83輛/千米.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，再根據(jù)分段函數(shù)解不等式即可得答案；（2）由題意得，再根據(jù)基本不等式求解最值即可得答案.【小問1詳解】解：由題意知當(dāng)（輛/千米）時，（千米/小時），代入，解得，所以.當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，令，解得，所以.所以，若車流速度不小于40千米/小時，則車流密度的取值范圍是.【小問2詳解】解：由題意得， 當(dāng)時，為增函數(shù)，所以，當(dāng)時等號成立；當(dāng)時，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以，隧道內(nèi)車流量的最大值約為3667輛/小時，此時車流密度約為83輛/千米.22. 對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”．（1）已知二次函數(shù)，，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”，并說明理由；（2）若為定義在R上的“局部奇函數(shù)”，求函數(shù)在的最小值．【答案】（1）為“局部奇函數(shù)”，理由見解析    （2）答案見解析【解析】【分析】（1）直接解方程，方程有解即得；（2）由方程有解，設(shè)換元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程在上有解，可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)或二次方程根的分布知識可得，然后通過分類討論求函數(shù)的最小值.【小問1詳解】當(dāng)時，方程，即有解，解得，所以為“局部奇函數(shù)”.【小問2詳解】當(dāng)時，可化為，令，則，從而關(guān)于的方程在上有解即可保證為“局部奇函數(shù)”，令，①當(dāng)時，在上有解，由，即，解得；②當(dāng)時，在上有解等價(jià)于此時無解.則所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.令，因?yàn)?/span>，所以，則，令，對稱軸為，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，所以時，取得最小值，，即時；當(dāng)時，時，取得最小值，，即時，.綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時，.

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