海南華僑中學(xué)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期高一第一次段考數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘第Ⅰ卷（選擇題    共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的．1. 已知全集，集合，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】，，，故．故選:D2. 下列四個(gè)寫法：①；②；③；④.其中正確寫法的個(gè)數(shù)為（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】利用集合的概念與包含關(guān)系，逐一判斷即可.【詳解】對于①，是集合，也是集合，所以不能用這個(gè)符號，故①錯誤；對于②，是空集，也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正確；對于③，由集合的無序性可知兩集合是同一個(gè)集合，再由一個(gè)集合的本身是該集合的子集，故③正確；對于④，表示直線，兩者毫無關(guān)聯(lián)，故④錯誤；綜上，正確寫法的有2個(gè).故選：B.3. 集合，，將集合A，B分別用如圖中的兩個(gè)圓表示，則圓中陰影部分表示的集合中元素個(gè)數(shù)恰好為2的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出集合，再結(jié)合韋恩圖及交集、并集、補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：∵，，∴，則，，選項(xiàng)A中陰影部分表示的集合為，即，故A錯誤；選項(xiàng)B中陰影部分表示的集合由屬于A但不屬于B的元素構(gòu)成，即，故B正確；選項(xiàng)C中陰影部分表示的集合由屬于B但不屬于A的元素構(gòu)成，即，有1個(gè)元素，故C錯誤；選項(xiàng)D中陰影部分表示的集合由屬于但不屬于的元素構(gòu)成，即，故D錯誤．故選：B．4. 集合論是德國數(shù)學(xué)家康托爾（G．Cantor）于l9世紀(jì)末創(chuàng)立．在他的集合理論中，用表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù)，例如：，則．對于任意兩個(gè)有限集合A，B，有．某校舉辦運(yùn)動會，高一（1）班參加田賽的學(xué)生有15人，參加徑賽的學(xué)生有13人，兩項(xiàng)都參加的有5人，那么高一（1）班參加本次運(yùn)動會的人數(shù)共有（    ）A. 28 B. 23 C. 18 D. 16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給公式即可代入求解.【詳解】設(shè)參加田賽的學(xué)生組成集合A，則，參加徑賽的學(xué)生組成集合B，則，由題意得，所以，，所以高一（1）班參加本次運(yùn)動會的人數(shù)共有23．故選：B5. 設(shè)甲是乙的充分不必要條件，丙是乙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，則丁是甲的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件概念求解即可.【詳解】因?yàn)榧资且业某浞植槐匾獥l件，所以甲乙，因?yàn)楸且?/span>充要條件，所以丙乙，即甲丙，又因?yàn)槎∈潜谋匾怀浞謼l件，所以丙丁，所以甲丁，即丁是甲的必要不充分條件.故選：B6. 已知集合，，，若，，則必有（        ）A.  B. C.  D. 不屬于集合A、B、C中任何一個(gè)【答案】B【解析】【分析】設(shè)出的表示形式，計(jì)算后比較各集合的代表元形式可得．【詳解】由題意設(shè)，，其中都是整數(shù)，則，其中是整數(shù)，可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù)，∴，故選：B．7. 若關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（        ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求原不等式解集，按m與3的大小分類討論，使得m的取值滿足題意即可.【詳解】原不等式等價(jià)于有兩根當(dāng)時(shí)，原不等式解集為，其中最多只有2個(gè)正整數(shù)1和2，故不滿足題意.當(dāng)時(shí)，原不等式解集為，其中恰有3個(gè)正整數(shù)只能為4、5、6，故.故選：A.8. 已知，，且，則最小值為（        ）A.  B.  C.  D. 4【答案】C【解析】【分析】先分離常數(shù)得到，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】，結(jié)合可知：原式，且當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立．即最小值為．故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全都選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9. 下列說法中正確的有（    ）A. “”是“”成立的充分不必要條件B. 命題：，均有，則的否定：，使得C. 設(shè)是兩個(gè)數(shù)集，則“”是“”的充要條件D. 設(shè)是兩個(gè)數(shù)集，若，則，【答案】ACD【解析】【分析】舉反例可判斷A選項(xiàng)；由全稱例題的否定是特稱命題可判斷B選項(xiàng)；由集合間的交集運(yùn)算和集合間的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)；由集合非空和集合與元素間的關(guān)系可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：對于A，當(dāng)時(shí)，能推出， 而由 不能推出 ，如，而，所以 “”是“”成立的充分不必要條件，故A正確；對于B，命題：，均有，則命題的否定：，使得，故B不正確；對于C，是兩個(gè)數(shù)集，則由能推出，反之，由 能推出 ，所以 “”是“”的充要條件，故C正確；對于D，是兩個(gè)數(shù)集，若，即集合A、B存在相同的元素，則，，故D正確，故選：ACD.10. 實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：，則下列不等式正確的是（        ）A.  B.  C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷，錯誤的可舉反例說明．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，A正確；滿足條件，但，B錯；，C錯；，，則，所以，所以，D正確 ．故選：AD．11. 已知，，且，則（    ）A. 的取值范圍是B. 的取值范圍是C. 的最小值是3D. 的最小值是【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可求得，判斷A;將變形為結(jié)合基本不等式，判斷B；由整理得到結(jié)合基本不等式可判斷C,D.【詳解】對于A，因?yàn)?/span>，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即，解得，即，A錯誤；對于B, 由，,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，得，所以,又，所以，B正確；對于C, 由，，，得，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立,但，所以．（等號取不到）,故C錯誤；對于D，由C的分析知：，,,，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，D正確，故選：BD12. 在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，，1，2，3，則下列結(jié)論正確的為（        ）A. B. C. D. 整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是“”【答案】ABD【解析】【分析】首先理解題干中的定義，將整數(shù)寫成的形式，即可判斷AB；根據(jù)所有整數(shù)被4除所得余數(shù)的情況，可判斷C；對于D，先證明充分性，再證明必要性，即可判斷D.【詳解】對于A，由得，故A正確；對于B，由得，故B正確；對于C，所有整數(shù)被4除所得的余數(shù)只有0，1，2，3四種情況，即剛好分成，，，共4類，故，故C錯誤．對于D，若整數(shù)a，b屬于同一“類”，則，，，，故，所以；反之，不妨設(shè)，，，，則，若，則，即，所以整數(shù)a，b屬于同一“類”；故整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是“”，即D正確．故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題    共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．13. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的值為___________．【答案】【解析】【分析】由題意，可得方程的根，建立方程組，解得答案.【詳解】由題意，可知為方程的根，且為方程的根，則，解得，故答案為：.14. 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>___________（結(jié)果寫成集合或區(qū)間形式）【答案】【解析】【分析】求出使函數(shù)式有意義的自變量的取值范圍.【詳解】由題意,解得且.故答案為：.15. 若，則的最小值為__________．【答案】6【解析】【分析】化簡，然后利用基本不等式求解即可【詳解】因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號，故的最小值為6，故答案為：616. 若命題“，使得不等式”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________（結(jié)果寫成集合或區(qū)間形式）．【答案】【解析】【分析】其否定是全稱命題且為真命題，由不等式的性質(zhì)可得．【詳解】由題知：，恒成立．當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，知，即，解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17. 設(shè)集合，集合 （1）用列舉法寫出集合B（2）定義：，求中元素的個(gè)數(shù)．【答案】（1）    （2）10【解析】【分析】（1）由，解得x；（2）先求出，，根據(jù)定義求出，繼而得解.【小問1詳解】由，所以x可以取，所以.【小問2詳解】由題意可知：．∴，∵∴．∴中元素的個(gè)數(shù)為10．18. 已知集合，．（1）求，；（2）若集合，且．求m的取值范圍．【答案】（1），    （2）或【解析】【分析】（1）先解不等式，再由補(bǔ)集和交集的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算即可；（2）按C集合是否為空集分類討論并計(jì)算即可.【小問1詳解】，；【小問2詳解】∵，又，，當(dāng)時(shí)，，即，；當(dāng)時(shí)，由可得，，或，解得，綜上，m的取值范圍為或．19. 已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，（1）求的最小值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）2    （2）【解析】【分析】（1）由基本不等式、完全平方公式得解；（2）根據(jù)不等式恒成立以及基本不等式“1”的代換可求a的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，所以的最小值為2；【小問2詳解】若恒成立，則，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，取等號，所以最小值為，即，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是20. 2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響．在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對企業(yè)和民眾帶來的損失．為降低疫情影響，某廠家擬在2020年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元（）滿足（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬件．已知生產(chǎn)每件該產(chǎn)品的平均成本為元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的倍，取2020年該產(chǎn)品的利潤為y（利潤＝收入－成本－促銷費(fèi)用）（1）求 的值，將2020年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；（2）該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1），    （2）該廠家2020年促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大為29萬元【解析】【分析】根據(jù)已知當(dāng)時(shí)，即可求得，表示出代入即可求得利潤關(guān)于促銷費(fèi)用的函數(shù).利用基本不等式即可求得利潤的最大值.【小問1詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，（萬件），則，解得，∴．所以每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為（元），∴2020年的利潤【小問2詳解】∵當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立．∴，即萬元時(shí)，（萬元）．故該廠家2020年促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大為29萬元．21. 已知關(guān)于x的不等式．（1）當(dāng)，求不等式的解集.（2）若，試討論不等式的解集．【答案】（1）    （2）答案見解析【解析】【分析】（1）代入不等式，整理成二次項(xiàng)系數(shù)為正的不等式，因式分解以便確定相應(yīng)方程的根，得不等式的解；（2）根據(jù)分類討論，在時(shí)還需要根據(jù)兩根的大小分類討論可得．【小問1詳解】，不等式為，即，，∴或，∴不等式的解集為．【小問2詳解】原不等式化，時(shí)，不等式為，；時(shí)，不等式化為，或，；時(shí)，不等式化為，當(dāng)，即時(shí)，解得或；當(dāng)，即時(shí)，解得或；當(dāng)，即時(shí)，解得或．綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．22. 設(shè)A是實(shí)數(shù)集的非空子集，稱集合且為集合A的生成集．（1）當(dāng)時(shí)，寫出集合A的生成集B；（2）若A是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值；（3）判斷是否存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集，并說明理由．【答案】（1）    （2）7    （3）不存，理由見解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定義直接求解.（2）設(shè)，且，利用生成集的定義即可求解； （3）不存在，理由反證法說明.【小問1詳解】，【小問2詳解】設(shè)，不妨設(shè)，因?yàn)?/span>，所以中元素個(gè)數(shù)大于等于7個(gè)，又，，此時(shí)中元素個(gè)數(shù)等于7個(gè)，所以生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值為7.【小問3詳解】不存在，理由如下：假設(shè)存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，使其生成集，不妨設(shè)，則集合A的生成集則必有，其4個(gè)正實(shí)數(shù)的乘積；也有，其4個(gè)正實(shí)數(shù)的乘積，矛盾；所以假設(shè)不成立，故不存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合的新定義，解題的關(guān)鍵是理解集合A的生成集的定義，考查學(xué)生的分析解題能力，屬于較難題. 

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