哈三中2021-2022學(xué)年度上學(xué)期高一學(xué)年第一模塊考試數(shù)學(xué)試卷考試說明：（1）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘；（2）第I卷，第II卷試題答案均答在答題卡上，交卷時(shí)只交答題卡.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一?選擇題（共60分）（一）單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 下列關(guān)系正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用集合與集合之間的關(guān)系以及元素與集合之間的關(guān)系即可求解.【詳解】A，，錯(cuò)誤；B，，正確；C，與沒有包含關(guān)系，錯(cuò)誤；D，為無理數(shù)，所以，錯(cuò)誤.故選：B2. 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則的定義域?yàn)椋?/span>    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】令，進(jìn)而解出即可得到答案.【詳解】令.故選：A.3. 設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)，的單調(diào)性比較大小即可【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以故選：D4. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)解析式依次判斷即可得出.【詳解】對(duì)A，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)C，不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：B.5. 函數(shù)的值域?yàn)椋?/span>    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先求出函數(shù)的值域，再要注意，進(jìn)而可以求解．【詳解】解：令，當(dāng)時(shí)，，又，所以，，即所以，故選：D．6. 函數(shù)的圖象大致是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用特殊值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，進(jìn)而確定正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以排除A，D，當(dāng)時(shí)，，所以排除B，故選：C7. 有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)（的單位：天）的Logistic模型：，其中為最大確診病例數(shù)，為非零常數(shù)，當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著疫情已初步得到控制，則此時(shí)約為（    ）A. 50 B. 53 C. 60 D. 66【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)指數(shù)方程求解即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，整理得所以，由于為非零常數(shù)，所以.故選：A8. 若函數(shù)圖象上存在不同的兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)是函數(shù)的一對(duì)“黃金點(diǎn)對(duì)”（注：點(diǎn)對(duì)與可看作同一對(duì)“黃金點(diǎn)對(duì)”）.已知函數(shù)則此函數(shù)的“黃金點(diǎn)對(duì)”有（    ）A. 0對(duì) B. 1對(duì) C. 2對(duì) D. 3對(duì)【答案】D【解析】【分析】設(shè)出，結(jié)合已知條件對(duì)分類討論，將問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的交點(diǎn)問題即可求解.【詳解】由題意，不妨設(shè)，且，①當(dāng)時(shí)，，即為與在的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如下圖：故此函數(shù)在的“黃金點(diǎn)對(duì)”有2對(duì)；②當(dāng)時(shí)，，為與在的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如下圖：故此函數(shù)在的“黃金點(diǎn)對(duì)”有1對(duì)，綜上所述，此函數(shù)的“黃金點(diǎn)對(duì)”有3對(duì).故選：D（二）多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題5分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9. 下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念依次判斷即可得答案.【詳解】解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，形如（且）的函數(shù)，其系數(shù)為，故A選項(xiàng)不滿足形式；B選項(xiàng)的指數(shù)為；C選項(xiàng)，滿足；D選項(xiàng)滿足.故選：CD10. 對(duì)于實(shí)數(shù)，符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)，例如，，定義函數(shù)，則下列命題中正確的是（    ）A. 函數(shù)的最大值為1 B. 函數(shù)的最小值為0C. 函數(shù)圖象與軸有無數(shù)個(gè)交點(diǎn) D. 函數(shù)是增函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意,畫出函數(shù)的圖像,根據(jù)圖像分析函數(shù)的性質(zhì)即可.【詳解】解：根據(jù)符號(hào)的意義,討論當(dāng)自變量取不同范圍時(shí)函數(shù)的解析式：當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),,則畫出函數(shù)圖像如下圖所示：從圖像可知,函數(shù)最高點(diǎn)處取不到,所以A錯(cuò)誤；函數(shù)圖像最低點(diǎn)處函數(shù)值為0,所以B正確；函數(shù)圖象與軸有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)，所以C正確函數(shù)在特定區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),在整個(gè)定義域內(nèi)沒有增減性,所以D錯(cuò)誤故選：BC11. 設(shè)函數(shù)，，，下列函數(shù)說法正確的是（    ）A. 在區(qū)間上為增函數(shù) B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱C. 的圖象關(guān)于軸成軸對(duì)稱 D. 的值域?yàn)?/span>【答案】ABC【解析】【分析】寫出解析式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷A；利用可判斷B；利用函數(shù)為偶函數(shù)可判斷C；利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式可判斷D.【詳解】A，由題意可得，因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上為增函數(shù)，A正確；B，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，故B正確；C，，，即，的圖象關(guān)于軸成軸對(duì)稱，故C正確；D，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，的值域?yàn)?/span> ，故D錯(cuò)誤.故選：ABC12. 定義，若函數(shù)，且在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，則區(qū)間長(zhǎng)度可以是（    ）A.  B.  C.  D. 1【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)定義列不等式，得到的解析式，然后畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象求出區(qū)間的長(zhǎng)度即可.【詳解】令①，當(dāng)時(shí)，不等式可整理為，解得，故符合要求，當(dāng)時(shí)，不等式可整理為，解得，故，所以不等式①的解為；由上可得，不等式的解為或，所以，令，解得，令，解得或，令，解得或，令，解得或，所以區(qū)間的最小長(zhǎng)度為1，最大長(zhǎng)度為.故選：AD.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上）13. 已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式為______.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)湊配法求解函數(shù)解析式即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，故答案為：，14. 函數(shù)的增區(qū)間為______.【答案】##【解析】【分析】令，則，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得出答案.【詳解】令，則，二次函數(shù)的性質(zhì)可得 的減區(qū)間為，所以函數(shù)的增區(qū)間為故答案為：.15. 若正數(shù)、滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得，進(jìn)而利用基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】解：因?yàn)檎龜?shù)、滿足，所以，且 所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為故答案為：16. 已知函數(shù)為偶函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，可得 ，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，且易得在上遞減，又因?yàn)?/span>,，且，所以，解得 ，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為.三?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17. 計(jì)算下列各式的值.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】(1)利用指數(shù)冪運(yùn)算法則即可求解；(2)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算和換底公式即可求解；(3)利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解.【小問1詳解】由指數(shù)冪的運(yùn)算可知，.【小問2詳解】由對(duì)數(shù)運(yùn)算可知，                                                .【小問3詳解】由指數(shù)冪運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可知，.18. 已知定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，且時(shí)，.（1）求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式；（2）求證：在上為增函數(shù).【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件，首先求出當(dāng)時(shí)，的解析式，然后結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)求的解析式，最后利用奇函數(shù)定義求出即可；(2)結(jié)合已知條件，利用單調(diào)性定義證明即可.【小問1詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，則，故，又因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，從而，故；②因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，即，綜上所述，當(dāng)時(shí)，.【小問2詳解】不妨設(shè)、，且，，又因?yàn)?/span>，，，即，所以，即，從而在上為增函數(shù).19. 已知全集，集合，集合.（1）求及；（2）若的解集為，若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；.    （2）【解析】【分析】（1）由題知，，再根據(jù)集合關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)題意得，再根據(jù)集合關(guān)系求解即可.【小問1詳解】解：根據(jù)題意得，，所以，，所以【小問2詳解】解：因?yàn)?/span>的解集為，所以或，因?yàn)?/span>是的充分條件，所以，所以或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是20. 今年中國“芯”掀起研究熱潮，某公司已成功研發(fā)、兩種芯片，研發(fā)芯片前期已經(jīng)耗費(fèi)資金2千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)芯片的凈收入與投入的資金成正比，已知每投入1千萬元，公司獲得凈收入0.25千萬元；生產(chǎn)芯片的凈收入（千萬元）是關(guān)于投入的資金（千萬元）的冪函數(shù)，其圖象如圖所示.（1）試分別求出生產(chǎn)、兩種芯片的凈收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入4億元資金同時(shí)生產(chǎn)、兩種芯片.設(shè)投入千萬元生產(chǎn)芯片，用表示公司所獲利潤(rùn)，求公司最大利潤(rùn)及此時(shí)生產(chǎn)芯片投入的資金.（利潤(rùn)芯片凈收入芯片凈收入研發(fā)耗費(fèi)資金）【答案】（1）；.    （2）公司最大利潤(rùn)為9千萬，此時(shí)生產(chǎn)芯片投入的資金為4千萬.【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件和圖像分別求解即可；(2)根據(jù)已知條件寫出的解析式，并利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】(i)不妨設(shè)生產(chǎn)芯片的凈收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式為：，從而，故；(ii)、兩種芯片的凈收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式，由圖像可知，的圖像過點(diǎn)，即，解得，故所求函數(shù)關(guān)系式.【小問2詳解】由題意可知，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最大值9.21. 設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)，并且滿足下列三個(gè)條件：①對(duì)任意正數(shù)，，都有；②當(dāng)時(shí)，；③.（1）求和的值；（2）如果不等式成立，求取值范圍；（3）如果存在正數(shù)，使不等式有解，求正數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；    （2）    （3）【解析】【分析】（1）對(duì)于任意的，，，令，，，即可求得、的值； （2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式，解不等式即可求得結(jié)果．（3）把根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式有解，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化我求函數(shù)的最值問題．【小問1詳解】因?yàn)閷?duì)于正數(shù)，都有，令，即，則又，再令，，解得，令，則.【小問2詳解】已知，，根據(jù)題干給出的條件有：，當(dāng)，時(shí)，，即，于是等價(jià)于；當(dāng)時(shí)，，取，且，則則令，代入等式得：，所以函數(shù)單調(diào)遞減，，，解得：，所以的取值范圍為.【小問3詳解】同上理，不等式可化為且，得，此不等式有解，等價(jià)于，在的范圍內(nèi)，易知，故即為所求范圍．22. 已知函數(shù)（為常數(shù)，且，）.請(qǐng)?jiān)谙旅嫒齻€(gè)函數(shù)：①，②，③中，選擇一個(gè)函數(shù)作為，使得具有奇偶性.（1）請(qǐng)寫出表達(dá)式，并求的值；（2）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，請(qǐng)討論關(guān)于的方程解的個(gè)數(shù).【答案】（1）答案見解析；    （2）    （3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)所選條件，結(jié)合奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義可得出的等式或表達(dá)式，可求得對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的值；（2）由已知條件可得出，由參變量分離法得出，求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，由參變量分離法得出，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由此可得出當(dāng)在不同取值下方程的解的個(gè)數(shù).【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)， ，定義域?yàn)?/span>，若函數(shù)為奇函數(shù)，則，故函數(shù)不能是奇函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，由，可得，化簡(jiǎn)可得，則不為常數(shù)，即函數(shù)不可能為偶函數(shù)，不合乎題意；若選②，，則.若函數(shù)為奇函數(shù)，則，不合乎題意；若函數(shù)為偶函數(shù)，則，由，可得，整理可得，則不為常數(shù)，不合乎題意.選③，，，，當(dāng)為奇函數(shù)，則，即，可得；當(dāng)為偶函數(shù)，則，則，可得；【小問2詳解】解：由（1）知，當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，，，所以，由于函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上增函數(shù)，則，若對(duì)于任意的，都有成立，所以，設(shè)，，任取、，且，即，則，，則，，可得，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，即.所以的取值范圍是；【小問3詳解】解：當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，，，令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以關(guān)于的方程解的個(gè)數(shù)等價(jià)于方程解的個(gè)數(shù)，所以，又在單調(diào)遞增，所以.①當(dāng)，此時(shí)方程無解；②當(dāng)，存在唯一解，又因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，不妨設(shè)，，因?yàn)?/span>，則，，所以，，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，（i）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有唯一解；（ii）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有兩個(gè)解；下證必要性：令，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，則為偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，，，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)在也有一個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)，時(shí)原方程一共有兩個(gè)解.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：（1）直接法：直接求解函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，得到方程的根，即可得出結(jié)果；（2）數(shù)形結(jié)合法：先令，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象，即可得出結(jié)果.  

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