專題07 最短路徑問題 兩條線段之和1．如圖，點(diǎn)A、B在直線的同一側(cè)．(1)如圖①，在直線上找一點(diǎn)P，使得（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）     (2)如圖②，請借助三角尺和刻度尺在直線上找一點(diǎn)Q，使得最短．   【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，作的垂直平分線，與直線l交于點(diǎn)P；（2）利用工具作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的垂線并延長，使得，連接，與直線l交于點(diǎn)Q．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)P即為所求；   （2）如圖，點(diǎn)Q即為所求．   【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的作法和性質(zhì)，最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是理解知識點(diǎn)，掌握相應(yīng)的作圖方法．2．如圖，在中，的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)、，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，則的最小值是以下哪條線段的長度（   ）    A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，求得，得到的最小值的最小值，于是得到當(dāng)時，的值最小，即的值最小，即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，是線段的垂直平分線，，，的最小值的最小值，，當(dāng)時，的值最小，即的值最小，的最小值是線段的長度，故選：C．  【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，AB=AC=7，AD=8.3，點(diǎn)E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于點(diǎn)F．點(diǎn)P是線段CF上一動點(diǎn)，則EP＋AP的最小值為（　?。?/span>  A．6 B．7 C．7.5 D．8.3【答案】B【分析】連接，由得，，根據(jù)知，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，的最小值是，問題得解．【詳解】解：連接，平分交于點(diǎn)，，，，，且，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，的最小值是，，的最小值為7．故選：  【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，其中準(zhǔn)確作出點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的對稱點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，的面積是，最長邊，平分，點(diǎn)M，N分別是，上的動點(diǎn)，則的最小值為          ．【答案】10【分析】過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作于N，則CE的長即為的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作于N，平分，于點(diǎn)E， 于N，，，根據(jù)垂線段最短可知，CE的長即為的最小值，的面積是，最長邊，，，即的最小值為10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱——最短路徑問題，關(guān)鍵是根據(jù)垂線段最短將的最小值轉(zhuǎn)化為CE ．5．如圖，在等腰中，，，作于點(diǎn)D，，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動點(diǎn)，則的最小值為      ．  【答案】【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，延長至，使，連接，交于，此時的值最小，就是的長，證明即可．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，延長至，使，連接，交于，此時的值最小，就是的長，  ，，，，，，，，是等邊三角形，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，，，即的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱，最短路徑問題和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出對稱點(diǎn)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用．6．如圖，等邊和等邊的邊長都是4，點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)P在線段上，則的最小值為          ． 【答案】8【分析】連接，根據(jù)和都是邊長為4的等邊三角形，證明，可得，所以，進(jìn)而可得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，的值最小，正好等于的長，即可求解．【詳解】解：如圖，連接， ∵和都是邊長為4的等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于對稱，的值最小，正好等于的長，∴的最小值為，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題、全等三角形的判定和性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．周長之和7．如圖，等腰三角形的底邊長為4，面積是16，腰的垂直平分線分別交，邊于E，F點(diǎn)，若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動點(diǎn)，則周長的最小值為（    ）  A．12 B．8 C．10 D．20【答案】C【分析】連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，  ∵是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，，∴，解得，∵是線段的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴的長為的最小值，∴周長的最小值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱——最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．8．如圖，邊長為的等邊中，是上中線且，點(diǎn)在上，連接，在的右側(cè)作等邊，連接，則周長的最小值是（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意等邊三角形性質(zhì)和全等三角形判定得出，進(jìn)而作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)M，連接交于E，此時的值最小，最后依據(jù)周長的最小值求值即可得出答案．【詳解】解：如圖，  ∵都是等邊三角形，∴∴∴∴∵∴∴點(diǎn)E在射線上運(yùn)動()，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)M，連接交于，此時的值最小，∵∴是等邊三角形，∴∵∴∴周長的最小值．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱最短路徑問題和等邊三角形的性質(zhì)和判定以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用軸對稱性質(zhì)得出的值最?。?/span>角度問題9．如圖，在五邊形中，，，，，在、上分別找到一點(diǎn) M、N，使得的周長最小，則的度數(shù)為（　　 ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)要使的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，A關(guān)于和的對稱點(diǎn)，，即可得出，進(jìn)而得出即可得出答案．【詳解】解：作A關(guān)于和的對稱點(diǎn)，，連接，，交于M，交于N，則，即為的周長最小值．作延長線，  ∵，∴，∴，∵，，且，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．110．如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊，上的動點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時，則α與β的數(shù)量關(guān)系為            ． 【答案】【分析】作M關(guān)于的對稱點(diǎn)，N關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于P，交于Q，則最小，易知，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于的對稱點(diǎn)，N關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于P，交于Q，則最小，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱—最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．11．如圖，在中，，，點(diǎn)在直線上，，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，連接，．當(dāng)的值最小時，的度數(shù)為          度． 【答案】【分析】如圖，作B關(guān)于的對稱點(diǎn)D，連接，的值最小，則交于P，由軸對稱易證，結(jié)合證得是等邊三角形，可得，結(jié)合已知根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出，即可解決問題．【詳解】如圖，作B關(guān)于的對稱點(diǎn)D，連接，的值最小，則交于P，由軸對稱可知：，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、最短路徑問題、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)的聯(lián)系與運(yùn)用，會利用最短路徑解決最值問題是解答的關(guān)鍵．  12．如圖，在三角形中，，，于D，M，N分別是線段，上的動點(diǎn)，，當(dāng)最小時，     ．【答案】【分析】在下方作，使，連接，則最小值為，此時A、N、三點(diǎn)在同一直線上，推出，所以，即可得到．【詳解】解：在下方作，使，連接．則，．∴，即最小值為，此時A、N、三點(diǎn)在同一直線上．∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路線問題以及等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．13．如圖，點(diǎn)，且a，b滿足．若P為x軸上異于原點(diǎn)O和點(diǎn)A的一個動點(diǎn)，連接，以線段為邊構(gòu)造等腰直角（P為頂點(diǎn)），連接．(1)如圖1，直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)為___________，點(diǎn)B的坐標(biāo)為___________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O，A之間時，連接，，證明；(3)如圖3，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動過程中，若所在直線與y軸交于點(diǎn)F，請直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)為___________，當(dāng)的值最小時，請直接寫出此時與之間的數(shù)量關(guān)系___________．【答案】(1)，(2)見解析(3)，【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到，，得到，，于是得到結(jié)果；（2）過點(diǎn)作軸于，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，證出，則可得出結(jié)論；（3）由直角三角形的性質(zhì)證出，則可得出；取點(diǎn)，連接，，與關(guān)于直線對稱，連接交于，連接，則，根據(jù)三角形的面積關(guān)系可得出．【詳解】（1）解：，，，，，、，故答案為：，；（2）證明：過點(diǎn)作軸于，是等腰直角三角形，，，，，，又，，，，，，，又，，，，，，；（3），，，，，，，，；取點(diǎn)，連接，，，，與關(guān)于直線對稱，連接交于，連接，則，此時最小，，到，的距離相等，，，，，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識點(diǎn)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在中，，，，平分，交邊于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)．點(diǎn)為邊上的一個動點(diǎn)．  (1)______，______度；(2)當(dāng)四邊形為軸對稱圖形時，求的長；(3)若是等腰三角形，求的度數(shù)；(4)若點(diǎn)在線段上，連接、，直接寫出的值最小時的長度．【答案】(1)4；45(2)(3)或或(4)2【分析】（1）根據(jù)題意可得，則，即可求得AE的長，再根據(jù)平分，即可求得的度數(shù)；（2）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)可得答案；（3）根據(jù)題意可得，分三種情況：，，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解； （4）過點(diǎn)M作，點(diǎn)P關(guān)于CD的對稱點(diǎn)，根據(jù)題意可得，，根據(jù)，可得，則，，因此，以此得點(diǎn)E，M，三點(diǎn)共線時，的值最小，此時，最后根據(jù)解含30度角的直角三角形即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)， 平分，，故答案為：4；45．（2）∵四邊形為軸對稱圖形，平分，∴對稱軸為直線，∴．（3）∵平分，，∴．當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，；當(dāng)時，．綜上所述，的度數(shù)為或或．（4）如圖，點(diǎn)M在上，且，作點(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)，     ，， 平分，，在和中，，，，當(dāng)點(diǎn)E，M，三點(diǎn)共線時，的值最小，又根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時，有最小值，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對稱——最短路徑問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，角平分線的性質(zhì)，本題綜合性較強(qiáng)，作出輔助線，找到最短路徑是解題關(guān)鍵．

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