【期中真題】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 期中真題分類匯編專題06 軸對(duì)稱常規(guī)題訓(xùn)練（7類經(jīng)典題型優(yōu)選提升）-試卷.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題06 軸對(duì)稱常規(guī)題訓(xùn)練

三軸對(duì)稱圖形
1．下列美術(shù)字中，從數(shù)學(xué)的角度可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（????）
A．?? B．?? C．?? D．??
【答案】A
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：B，C，D選項(xiàng)中的美術(shù)字都能不找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；
A選項(xiàng)中的美術(shù)字能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．下列汽車標(biāo)志中不是軸對(duì)稱圖形的是（????）
A．??B．?? C．?? D．??
【答案】B
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：A，C，D選項(xiàng)中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；
B選項(xiàng)中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
3．山西戲曲歷史悠久、種類繁多，在我國(guó)戲曲舞臺(tái)上占有重要地位．其中，晉劇經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)被列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．下列4個(gè)晉劇臉譜中，不是軸對(duì)稱圖形的是（????）．
A．?? B．??
C．?? D．??
【答案】A
【分析】如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得到答案．
【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
反射關(guān)系問題
4．通過光的反射定律知道，入射光線與反射光線關(guān)于法線成軸對(duì)稱（圖1）．在圖2中，光線自點(diǎn)射入，經(jīng)鏡面反射后經(jīng)過的點(diǎn)是（????）

A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)
【答案】B
【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)畫出被遮住的部分，再根據(jù)入射角等于反射角作出判斷即可．
【詳解】根據(jù)直線的性質(zhì)補(bǔ)全圖2并作出法線，如下圖所示：

根據(jù)圖形可以看出是反射光線，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂線的畫法，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得相等的角是補(bǔ)全光線的關(guān)鍵．
5．光線以如圖所示的角度照射到平面鏡工上，然后在平面鏡，之間來回反射．若，，則等于 (????)

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)入射光線與水平線的夾角等于反射光線與水平線的夾角將已知轉(zhuǎn)化到三角形中，利用三角形的內(nèi)角和是求解．
【詳解】解：如圖：

由反射規(guī)律可知：，，，
又∵
∴，

即
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，掌握入射光線與水平線的夾角等于反射光線與水平線的夾角是解題關(guān)鍵，注意隱含的的關(guān)系的使用．
6．根據(jù)光學(xué)中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等．如圖，是兩面互相平行的平面鏡，一束光線m通過鏡面反射后的光線為n，再通過鏡面β反射后的光線為k．光線m與鏡面的夾角的度數(shù)為，光線n與光線k的夾角的度數(shù)為．則x與y之間的數(shù)量關(guān)系是．

【答案】
【分析】根據(jù)平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)即可求得．
【詳解】解：∵入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，
∴反射后的光線n 與鏡面夾角度數(shù)為，
∵是兩面互相平行的平面鏡，
∴反射后的光線n 與鏡面夾角度數(shù)也為，
又由入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，
∴反射后的光線k與鏡面的夾角度數(shù)也為，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)，掌握反射光線與平面鏡所夾的角相等以及兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．

折疊問題
7．如圖，長(zhǎng)方形紙片，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊上，點(diǎn)G，H在邊上，分別沿，折疊，使點(diǎn)D和點(diǎn)A都落在點(diǎn)M處，若，則的度數(shù)是．
??
【答案】/58度
【分析】利用長(zhǎng)方形紙條對(duì)邊平行進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換，再利用折疊對(duì)應(yīng)角相等和平角進(jìn)行計(jì)算，得到中除外的兩個(gè)角度和，最后由三角形內(nèi)角和得到．
【詳解】解：長(zhǎng)方形紙條，
∴，
，，
由折痕，得到，，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查折疊圖形中角度的計(jì)算，利用折疊對(duì)稱的性質(zhì)得到角度關(guān)系，計(jì)算時(shí)綜合其他角度計(jì)算是?？碱}，解題時(shí)須注意對(duì)應(yīng)關(guān)系和復(fù)雜計(jì)算，找到對(duì)應(yīng)關(guān)系和正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
8．在折紙游戲中，小穎將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示方式折疊，、為折痕，點(diǎn)折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，若，則的度數(shù)為．
??
【答案】/度
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，根據(jù)，得出，進(jìn)而得出，即可求解．
【詳解】解：∵折疊
∴，
∴,
∴
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙條沿折疊，若比多，則 °．

【答案】122
【分析】設(shè)，則，根據(jù)比多得到x與y的關(guān)系，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到聯(lián)立二元一次方程組求解．
【詳解】解：設(shè)，則，
∵比多，
∴，
∵，
可得，
故答案為：122．
【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)及折疊問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程組解決問題．
垂直平分線
10.如圖，在中，、的垂直平分線分別交于點(diǎn)、，若的周長(zhǎng)是20，，，則的周長(zhǎng)為（????）
??
A．4 B．7 C．9 D．11
【答案】C
【分析】先根據(jù)的周長(zhǎng)公式求得，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)的周長(zhǎng)公式計(jì)算，即可得到答案．
【詳解】解：∵的周長(zhǎng)是20，
∴
∵，，
∴，
是線段的垂直平分線，
，
同理，，
的周長(zhǎng)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，在中，平分，平分，點(diǎn)是、的垂直平分線的交點(diǎn)，連接、，若，則的大小為（???）
??
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接并延長(zhǎng)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，根據(jù)角平分線的定義得到，求出．
【詳解】解：連接并延長(zhǎng)，
????
點(diǎn)是、的垂直平分線的交點(diǎn)，
，，
，，
是的一個(gè)外角，
，
同理，，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，在中，，垂足為D，PQ是BC邊的垂直平分線，交BC于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)P，．若的周長(zhǎng)是，，則的長(zhǎng)是．

【答案】/8厘米
【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，，，再求出，，即可求出．
【詳解】解：∵，，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
∵PQ是BC邊的垂直平分線，
∴，，
∴，
∵的周長(zhǎng)是，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的定義和性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)和定義，結(jié)合題意進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．
13．如圖，在中，邊的垂直平分線交于點(diǎn)E，邊的垂直平分線交于點(diǎn)F，兩條垂直平分線交于點(diǎn)P，連接，若，則的度數(shù)為．
??
【答案】/140度
【分析】利用線段垂直平分線的對(duì)稱特性與平角的定義來求解．
【詳解】作出頂點(diǎn)P周圍各角的標(biāo)簽～．如下圖，
??
∵點(diǎn)P是邊、邊垂直平分線的交點(diǎn)，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
即：．
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義、三角形內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是善于把各個(gè)角之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

軸對(duì)稱圖形
14．如圖，和是分別沿著，邊翻折形成的，若，則的度數(shù)為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)，，可求得和的度數(shù)，根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)，可求得和的度數(shù)，根據(jù)即可求得答案．
【詳解】∵，，
∴，，．
∵和是分別沿著，邊翻折形成的，
∴，．
∴，．
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)，牢記軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，直線，m相交于點(diǎn)O，P為這兩條直線外一點(diǎn)，且．若點(diǎn)P關(guān)于直線，m的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)，，則，之間的距離可能是（????）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】連接，根據(jù)對(duì)稱性，得到，利用三角形三邊關(guān)系定理計(jì)算選擇即可．
【詳解】如圖，連接，
根據(jù)對(duì)稱性，得到，
∵，
∴，
故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)稱性，三角形三邊關(guān)系定理，熟練掌握對(duì)稱性和三角形存在性是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，點(diǎn)P是內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是點(diǎn)P關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，且，則的周長(zhǎng)為（????）
??
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)計(jì)算方法即可解答．
【詳解】解：∵點(diǎn)，分別是點(diǎn)P關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，
∴，
∴的周長(zhǎng)，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握對(duì)稱軸上的點(diǎn)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線相等．
17．如圖，點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是D，點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是C，若，則的度數(shù)是．
??
【答案】60°/60度
【分析】根據(jù)對(duì)稱性得到，，利用的度數(shù)得到和，相加可得．
【詳解】解：連接，
??，
∵點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是D，點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是C，
∴，，
∴

，
又，
∴

．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出．
等腰三角形
18．若等腰三角形邊長(zhǎng)分別為和，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是（????）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件和三角形三邊關(guān)系可知；等腰三角形的腰長(zhǎng)不可能為，只能為，然后即可求得等腰三角形的周長(zhǎng)．
【詳解】解：①為腰，為底時(shí)，；
②為底，為腰，
因?yàn)?，不符合三角形的兩邊之和大于第三邊?br /> 所以應(yīng)舍去．
故其周長(zhǎng)是．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系的掌握情況．已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，的兩個(gè)外角平分線與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，．

????
(1)求證：點(diǎn)在的平分線上．
(2)求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析；(2)2
【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，推理得，再根據(jù)角平分線的判定定理即可證點(diǎn)在的平分線上；
（2）連接，根據(jù)角平分線和平行線，推出，得，推出，得，最后根據(jù)計(jì)算即可．
【詳解】（1）如下圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，

的兩個(gè)外角平分線與交于點(diǎn)，
，，
，
又，，
點(diǎn)在的平分線上
（2）如下圖，連接，
??
則，
，
，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
，
，（在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊）
又平分，
，
，
，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
，
，（在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊）

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理、平行線、等腰三角形判定，熟練掌握相關(guān)定理、推理證明是解題的關(guān)鍵．
20．如圖，在中，，．點(diǎn)D是上一點(diǎn)，以為邊作，使，．連接并延長(zhǎng)，過點(diǎn)A作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
??
(1)判斷的形狀，并說明理由；
(2)求證：．
【答案】(1)等腰直角三角形，理由見解析
(2)見解析
【分析】（1）由“”可證，可得，即可求解；
（2）先證四邊形是正方形，可得，由“”可證，可得，即可求解．
【詳解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下：
，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）證明：如圖，過點(diǎn)作于，
??
，
，
又，，
，
又，，
，
，
，，，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
21．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師畫出一等腰并標(biāo)注：，，然后讓同學(xué)們提出有效問題并解決請(qǐng)你結(jié)合同學(xué)們提出的問題給予解答．
??
(1)甲同學(xué)提出：______度；
(2)乙同學(xué)提出：的面積為：______；
(3)丙同學(xué)提出：點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，，垂足為E、F，請(qǐng)求出的值；
(4)丁同學(xué)說受丙同學(xué)啟發(fā)，點(diǎn)D為邊上任一點(diǎn)，，，，垂足為E、F、H，則有．請(qǐng)你為丁同學(xué)說明理由．
【答案】(1)
(2)25
(3)
(4)見解析
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出結(jié)果即可；
（2）過點(diǎn)B作，交AC于點(diǎn)H，根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（3）先證明，根據(jù)，得出，即，即可求出結(jié)果；
（4）連接，根據(jù)三角形的面積公式得出，，，根據(jù)，得出，即，即可求出結(jié)果．
【詳解】（1）解：，，
；
（2）解：過點(diǎn)B作，交AC于點(diǎn)H，則：，
??
，，
，
；
（3）解：連接，如圖所示：
??
，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，
平分，
，，
（角平分線的性質(zhì)）；
∵，
，，

由（2）知，
，
；
（4）證明：連接，如圖所示：
??
∵，，，
，，，
，，
，即：，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算．
等邊三角形
22．如圖，是等邊三角形，若，，，則 °．
??
【答案】
【分析】由等邊三角形性質(zhì)得出，再由證得，得出，由三角形內(nèi)角和定理求出，即可得出答案．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．【問題提出】在和中，，點(diǎn)在內(nèi)部，直線與交于點(diǎn)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．
??
【問題探究】
(1)先將問題特殊化．如圖（1），當(dāng)點(diǎn)重合時(shí)，寫出一個(gè)等式表示之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(2)再探究一般情形．如圖（2），當(dāng)點(diǎn)不重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)證明．
【答案】(1)，見解析
(2)成立，見解析
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可知，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)可知，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】（1）解：，理由如下：
在和中，
∵，
∴和是等邊三角形，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
即，，
即．
（2）證明：成立，理由如下：
如圖（2），將繞，點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)M，
??
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
即．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．如圖1，在等邊中，點(diǎn)D是邊上的一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，連接．
??
(1)求證：；
(2)如圖2，過A，D，E三點(diǎn)分別作于點(diǎn)F，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N．求證：；
(3)如圖3，，垂足為點(diǎn)F，若將點(diǎn)D改為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，連接．當(dāng)時(shí)，直接寫出的最小值．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得出，即證明，從而可由“”證明；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得出，再根據(jù)，結(jié)合三角形面積公式可得出，即證明；
（3）連接，由全等三角形的性質(zhì)可得出．再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出，，即得出，最后根據(jù)垂線段最短即得當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)．
【詳解】（1）證明：∵，都是等邊三角形，
∴，
∴．
在和中，
∴；
（2）證明：∵，
∴．
∵，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：連接，如圖
??
∵，
∴．
∵是等邊三角形，，
∴，，
∴，
∴點(diǎn)E在射線上運(yùn)動(dòng)（），
∴當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)，
即的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．

25．如圖，在四邊形中，，，，連接，的面積為，點(diǎn)E是邊邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，連接，則的最小值是．

【答案】
【分析】連接AC，CP，根據(jù)，，可得BD垂直平分AC，從而得到AP=CP，進(jìn)而得到PC+PE的最小值為CE的長(zhǎng)，且當(dāng)CE⊥AB時(shí)，CE最小，再根據(jù)△ABD≌△CBD，可得，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接AC，CP，

∵，，
∴BD垂直平分AC，
∴AP=CP，
∴PA+PE=PC+PE≥CE，
即PC+PE的最小值為CE的長(zhǎng)，且當(dāng)CE⊥AB時(shí)，CE最小，
∵，，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴，
∴，
∴，即PA+PE的最小值為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握線段垂直平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．如圖，邊長(zhǎng)為4的等邊三角形中，是高所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段長(zhǎng)度的最小值是．
??
【答案】1
【分析】取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再求出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，然后利用“邊角邊”證明，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，然后根據(jù)垂線段最短可得時(shí)最短，再根據(jù)求解即可．
【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：
??
旋轉(zhuǎn)角為，
，
又，
，
是等邊的高線，
，
，
又旋轉(zhuǎn)到，
，
在和中，
，
，
，
根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)即最短，
，，
在中，，，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，含的直角三角形等，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．
27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)C在第二象限滿足，，點(diǎn)D在x軸上在A的右邊，若，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
??
【答案】
【分析】在上取點(diǎn)E，使，延長(zhǎng)交y軸與點(diǎn)F，證明可得，，再利用直角三角形的性質(zhì)求得，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可證明，設(shè)，可得，，即可得關(guān)于x的方程，計(jì)算可求解x值，即可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解B點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】解：如圖，在上取點(diǎn)E，使，延長(zhǎng)交y軸與點(diǎn)F，
??
，，
，
，
，
在和中，，
，
∴，，，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，，
，，
，，
解得，，．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)的知識(shí)等綜合運(yùn)用，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
28．如圖1，在中，，，點(diǎn)P在線段上（不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合）運(yùn)動(dòng)，以為腰在上方作等腰直角，，于點(diǎn)E，且與交于點(diǎn)M．
??
(1)求證：；
(2)如圖2，交于點(diǎn)N，連接，證明：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】由直角三角形的性質(zhì)證出，根據(jù)可證明；
過點(diǎn)A作交于點(diǎn)，用證明，由全等三角形的性質(zhì)證出，則可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，

（2）證明：如下圖，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)，
??
在中，，，
，
又，，
，
，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，，
，

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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