三角形的三邊關(guān)系
1．（2023秋?紅花崗區(qū)期中）下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（ ）
A．1，2，3B．1，2，4C．2，3，4D．2，2，4
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，計(jì)算兩個(gè)較小的邊的和，看看是否大于第三邊即可．
【解答】解：A、1+2＝3，不能組成三角形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、1+2＜4，不能組成三角形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、2+3＞5，能組成三角形，故C選項(xiàng)正確；
D、2+2＝4，不能組成三角形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
2．（2023春?貴陽期中）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cmB．2cm，3cm，4cm
C．2cm，2cm，4cmD．1cm，2cm，4cm
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：在一個(gè)三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．∵2+3＝5，∴不滿足三角形三邊關(guān)系，不能組成三角形，不符合題意；
B．∵4﹣2＜3＜4+2，∴滿足三角形三邊關(guān)系，能組成三角形，符合題意；
C．∵2+2＝4，∴不滿足三角形三邊關(guān)系，不能組成三角形，不符合題意；
D．∵1+2＜4，∴不滿足三角形三邊關(guān)系，不能組成三角形，不符合題意．
故選：B．
3．（2023秋?綏陽縣期中）若一個(gè)三角形的兩邊長分別是3和4，則第三邊的長可能是（ ）
A．8B．7C．2D．1
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得第三邊的取值范圍解答即可．
【解答】解：設(shè)第三邊長x．
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得1＜x＜7．
故選：C．
4．（2023秋?綏陽縣期中）下列長度四根木棒中，能與長為4，9的兩根木棒圍成一個(gè)三角形的是（ ）
A．4B．5C．9D．14
【分析】由三角形的三邊關(guān)系易得第三邊的取值范圍，看選項(xiàng)中哪個(gè)在范圍內(nèi)即可．
【解答】解：設(shè)第三邊為c，則9﹣4＜c＜9+4，即5＜c＜13．只有9符合要求．
故選：C．
5．（2023秋?從江縣校級(jí)期中）若一個(gè)三角形的三邊長分別為3cm，5cm，a cm，則a的取值范圍是（ ）
A．3＜a＜5B．2＜a＜8C．3＜a＜8D．2＜a＜5
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．三角形的兩邊差小于第三邊可得5﹣3＜a＜5+3．
【解答】解：由三角形的三邊關(guān)系定理可得：
5﹣3＜a＜5+3，
即：2＜a＜8．
故選：B．
6．（2023春?云巖區(qū)校級(jí)期中）長度為3，7，x的三條線段可以圍成一個(gè)三角形，則x的取值范圍是 4＜x＜10 ．
【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊進(jìn)行分析．
【解答】解：由題意得：7﹣3＜x＜7+3，
解得：4＜x＜10，
故答案為：4＜x＜10．
三角形的高線、中線與角平分線
1．（2023秋?范縣期中）如圖，△ABC的邊BC上的高是（ ）
A．線段AFB．線段DBC．線段CFD．線段BE
【分析】根據(jù)三角形的高的定義進(jìn)行分析即可得出結(jié)果．
【解答】解：由圖可得：△ABC的邊BC上的高是AF．
故選：A．
2．（2023春?云巖區(qū)校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的中線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．∠BAD＝∠CADB．BD＝CDC．AB＝ACD．AC＝AD
【分析】根據(jù)三角形的中線的定義即可判斷．
【解答】解：∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝DC，
故選：B．
3．（2023春?綏陽縣期中）下列四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)三角形高的畫法知，過點(diǎn)B作AC邊上的高，垂足為E，其中線段BE是△ABC的高，再結(jié)合圖形進(jìn)行判斷．
【解答】解：線段BE是△ABC的高的圖是選項(xiàng)D．
故選：D．
三角形的穩(wěn)定性
1．（2023秋?紅花崗區(qū)期中）人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，這樣做的道理是（ ）
A．兩點(diǎn)之間，線段最短
B．垂線段最短
C．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
D．三角形具有穩(wěn)定性
【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可．
【解答】解：人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，是為了形成三角形，利用三角形具有穩(wěn)定性來增加其穩(wěn)定性，
故選：D．
2．（2023秋?綏陽縣期中）如圖，王師傅用4根木條釘成一個(gè)四邊形木架，要使這個(gè)木架不變形，他至少要再釘上木條的根數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可得：沿對(duì)角線釘上1根木條即可．
【解答】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可得他至少要再釘上1根木條，
故選：B．
3．（2023秋?印江縣期中）造房子時(shí)屋頂常用三角結(jié)構(gòu)，從數(shù)學(xué)角度來看，是應(yīng)用了 三角形的穩(wěn)定性 ；而活動(dòng)掛架則用了四邊形的 不穩(wěn)定性 ．
【分析】根據(jù)三角形的三邊一旦確定，則形狀大小完全確定，即三角形的穩(wěn)定性；四邊形的四邊確定，形狀大小不一定確定，即四邊形的不穩(wěn)定性．
【解答】解：由于造房子時(shí)屋頂用的是三角形結(jié)構(gòu)，所以是利用三角形的穩(wěn)定性；
而活動(dòng)掛架是四邊形結(jié)構(gòu)，這是利用四邊形的不穩(wěn)定性．
4．（2023秋?西平縣期中）在生活中，我們常常看到在電線桿的兩側(cè)拉有兩根鋼線用來固定電線桿（如圖所示），這樣做的數(shù)學(xué)原理是 三角形的穩(wěn)定性 ．
【分析】根據(jù)三角形的三邊一旦確定，則形狀大小完全確定，即三角形的穩(wěn)定性．
【解答】解：結(jié)合圖形，為了防止電線桿傾倒，常常在電線桿上拉兩根鋼筋來加固電線桿，所以這樣做根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是三角形的穩(wěn)定性．
故答案為：三角形的穩(wěn)定性．
三角形的內(nèi)角和定理
1．（2023春?綏陽縣期中）在△ABC中，已知∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交點(diǎn)，∠EHF的度數(shù)是（ ）
A．50°B．40°C．130°D．120°
【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)CF是AB上的高得出∠ACF的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，
∴∠A＝60°，
∵CF是AB上的高，
∴在△ACF中，∠ACF＝180°﹣∠AFC﹣∠A＝30°，
在△CEH中，∠ACF＝30°，∠CEH＝90°，
∴∠EHF＝∠ACF+∠CEH＝30°+90°＝120°．
故選：D．
2．（2023秋?印江縣期中）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變．請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（ ）
A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）
【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°及翻折的性質(zhì)，就可求出2∠A＝∠1+∠2這一始終保持不變的性質(zhì)．
【解答】解：2∠A＝∠1+∠2，
理由：∵在四邊形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′＝360°，
則2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1＝360°，
∴可得2∠A＝∠1+∠2．
故選：B．
3．（2023春?碧江區(qū) 校級(jí)期中）如圖，已知△ABC為直角三角形，∠C＝90°，則∠1+∠2＝ 270° ．
【分析】根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠A+∠B＝90°，進(jìn)而可得∠1+∠2的和．
【解答】解：∵四邊形的內(nèi)角和為360°，直角三角形中兩個(gè)銳角和為90°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．
故答案為：270°．
4．（2023春?綏陽縣期中）完成推理填空：
如圖在三角形ABC中，已知∠2+∠3＝180°，∠1＝∠A，試說明∠CFD＝∠B．
解：∵∠2+∠DEF＝180°（鄰補(bǔ)角定義），∠2+∠3＝180°（已知）
∴ ∠DEF＝∠3 （同角的補(bǔ)角相等）
∴AC∥EF（ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 ）
∴∠CDF＝ ∠1 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵∠1＝∠A（已知）
∴∠CDF＝∠A（等量代換）
∴DF∥AB（ 同位角相等，兩直線平行 ）
∴∠CFD＝∠B（ 兩直線平行．同位角相等 ）
【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵∠2+∠DEF＝180°（鄰補(bǔ)角定義），∠2+∠3＝180°（已知）
∴∠DEF＝∠3（同角的補(bǔ)角相等）
∴AC∥EF（ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
∴∠CDF＝∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵∠1＝∠A（已知）
∴∠CDF＝∠A（等量代換）
∴DF∥AB（同位角相等，兩直線平行）
∴∠CFD＝∠B．（兩直線平行，同位角相等）．
故答案為：∠DEF＝∠3，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，∠1，同位角相等，兩直線平行，兩直線平行．同位角相等．
5．（2023秋?從江縣校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，BE是△ABD的高，∠ABC＝40°，∠C＝80°．求∠EBD的度數(shù)．
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)平分線的定義求出∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)余角的定義求解即可．
【解答】解：∵∠ABC＝40°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝∠180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD＝，
∵BE是△ABD的高，
∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠EBD＝60°﹣40°＝20°．
6．（2023秋?綏陽縣期中）如圖，在△ABC中，已知AD是角平分線，∠B＝62°，∠C＝58°．
（1）求∠BAD的度數(shù)；
（2）若DE⊥AC于點(diǎn)E，求∠ADE的度數(shù)．
【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠BAD的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B＝62°，∠C＝58°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°．
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°；
（2）∵∠CAD＝∠BAC＝30°，DE⊥AC，
∴在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，
∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝60°．
7．（2023秋?夏邑縣期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，∠B＝50°，∠BAD＝30°，將△ABD沿AD折疊得到△AED，AE與BC交于點(diǎn)F．
（1）求∠AFC的度數(shù)；
（2）求∠EDF的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)折疊求出∠BAD＝∠DAF，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ADB，求出∠ADE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠ADF，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵△ABD沿AD折疊得到△AED，
∴∠BAD＝∠DAF，
∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠AFC＝∠B+∠BAD+∠DAF＝110°；
（2）∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∠ADC＝50°+30°＝80°，
∵△ABD沿AD折疊得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝100°，
∴∠EDF＝∠ADE﹣∠ADC
＝100°﹣80°＝20°．
直角三角形的性質(zhì)
1．（2023春?萬山區(qū)期中）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，則∠A＝（ ）
A．60°B．30°C．50°D．40°
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠A+∠B＝90°，再代入∠B的度數(shù)可得∠A的度數(shù)．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠A＝50°，
故選：C．
2．（2023秋?從江縣校級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝37°，則∠B的度數(shù)為 53° ．
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，
∴∠B的度數(shù)為180°﹣90°﹣37°＝53°，
故答案為：53°．
3．（2023秋?綏陽縣期中）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點(diǎn)D，若∠C＝40°，則∠1的度數(shù)是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠CED，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，
則∠CED＝90°﹣40°＝50°，
∵l∥AB，
∴∠1＝∠CED＝50°，
故選：C．
三角形的外角定理
1．（2023秋?紅花崗區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∠ACD的度數(shù)為（ ）
A．50°B．60°C．70°D．130°
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠ACB的度數(shù)，根據(jù)平角的定義可求∠ACD的度數(shù)，可得三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即∠ACD＝∠A+∠B．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣50°＝130°，
故選：D．
2．（2023春?銅仁市期中）如圖，求x和y的值．
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和及外角和定理分別列出方程，求出x，y的值．
【解答】解：根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得，
x+70＝x+x+10，
解得，x＝60，
則x+70＝130，
則y＝180°﹣130°＝50°，
答：x＝60，y＝50．
3．（2023秋?從江縣校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的外角∠BAD的平分線，BF平分∠ABC與AE的反向延長線相交于點(diǎn)F，則∠BFE為（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【分析】根據(jù)角平分線的定義的定義可知：∠ABF＝∠ABC，∠EAB＝∠DAB，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知：∠EAB﹣∠ABF＝45°，得到∠F的度數(shù)．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠ABC，
∵AE平分∠DAB，
∴∠EAB＝∠DAB，
∵∠DAB﹣∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠EAB﹣∠ABF＝45°，
∴∠F＝∠EAB﹣∠ABF＝45°，
故選：C．
多邊形的內(nèi)角與外角
1．（2023春?銅仁市期中）五邊形的內(nèi)角和為（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【分析】n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）180°，由此即可求出答案．
【解答】解：五邊形的內(nèi)角和是（5﹣2）×180°＝540°．故選：B．
2．（2023秋?綏陽縣期中）內(nèi)角和等于外角和2倍的多邊形是（ ）
A．五邊形B．六邊形C．七邊形D．八邊形
【分析】本題應(yīng)先設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則依題意可列出方程（n﹣2）×180°＝360°×2，從而解出n＝6，即這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6．
【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則依題意可得：
（n﹣2）×180°＝360°×2，
解得n＝6，
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6．
故選：B．
3．（2023秋?虞城縣期中）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1260°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】設(shè)邊數(shù)為n，由多邊形內(nèi)角和公式可列方程，可求得邊數(shù)．
【解答】解：
設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，
由題意可得：（n﹣2）×180°＝1260°，
解得n＝9，
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為9，
故選：D．
4．（2023春?綏陽縣期中）一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為1080°，則這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．72°
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°列式進(jìn)行計(jì)算求得邊數(shù)，然后根據(jù)多邊形的外角和即可得到結(jié)論．
【解答】解：設(shè)它是n邊形，則
（n﹣2）?180°＝1080°，
解得n＝8．
360°÷8＝45°，
故選：B．
5．（2023春?萬山區(qū)期中）若一個(gè)多邊形內(nèi)角和為900°，則這個(gè)多邊形是 七 邊形．
【分析】根據(jù)多邊形的外角和公式（n﹣2）?180°，列式求解即可．
【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，根據(jù)題意得，
（n﹣2）?180°＝900°，
解得n＝7．
故答案為：七．
6．（2023秋?紅花崗區(qū)期中）已知一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和比外角和多360°，求這個(gè)正多邊形的邊數(shù)和每個(gè)外角的度數(shù)．
【分析】由多邊形的內(nèi)角和定理，外角和是360°即可計(jì)算．
【解答】解：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n，
根據(jù)題意得：180°×（n﹣2）＝360°×2，
解得n＝6，
即這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為6，
則每一個(gè)外角的度數(shù)是．
故這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為6，每個(gè)外角的度數(shù)是60°．
7．（2023春?石阡縣期中）（1）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，這個(gè)多邊形是幾邊形？
（2）小明求得一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1280°，小強(qiáng)很快發(fā)現(xiàn)小明所得的度數(shù)有誤，后來小明復(fù)查時(shí)發(fā)現(xiàn)他重復(fù)加了一個(gè)內(nèi)角，你能求出這個(gè)多邊形的邊數(shù)以及他重復(fù)加的那個(gè)角的度數(shù)是多少嗎？
【分析】（1）由多邊形內(nèi)角和定理，多邊形的外角和是360°，即可求解；
（2）由多邊形內(nèi)角和定理，即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，
由題意得：（n﹣2）×180°＝360°×3，
∴n＝8，
答：這個(gè)多邊形是八邊形；
（2）設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是m，重復(fù)加的那個(gè)角的度數(shù)是x°，
由題意得，
（m﹣2）×180°+x°＝1280°，
∴（m﹣2）×180°＝1280°﹣x°，
∵1280°÷180°＝7……20°，
∴x＝20，（m﹣2）×180°＝1260°，
∴m＝9．
答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是9，重復(fù)加的那個(gè)角的度數(shù)是20°．
三角形的內(nèi)外角與直角三角板
1．（2024春?清鎮(zhèn)市期中）如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，AB∥OC，DC與OB相交于點(diǎn)E，則∠DOE的度數(shù)為（ ）
A．85°B．70°C．75°D．60°
【分析】由平行線的性質(zhì)求出∠BOC＝∠B＝30°，然后根據(jù)∠COD＝90°，即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵AB∥OC，∠B＝30°，
∴∠BOC＝30°，
又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣30°＝60°，
故選：D．
2．（2023春?綏陽縣期中）把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，則∠1+∠2＝ 210° ．
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)解答即可．
【解答】解：如圖：
∵∠1＝∠D+∠DOA，∠2＝∠E+∠EPB，
∵∠DOA＝∠COP，∠EPB＝∠CPO，
∴∠1+∠2＝∠D+∠E+∠COP+∠CPO＝∠D+∠E+180°﹣∠C＝30°+90°+180°﹣90°＝210°，
故答案為：210°．
3．（2023秋?潢川縣期中）將一副三角板按如圖所示的方式放置，圖中∠CAF的大小等于（ ）
A．50°B．60°C．75°D．85°
【分析】利用三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°，
∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°，
故選：C．
三角形的高線、角平分線之間的夾角問題
1．（2023秋?播州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AF是高，AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，∠C＝60°，則∠DAF的度數(shù)是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【分析】在△AFC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAF的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠CAD的度數(shù)，即可求出∠DAF的度數(shù)．
【解答】解：∵AF是高，
∴∠AFC＝90°，
∴∠C+∠CAF＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAF＝30°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，
∴∠DAF＝∠CAD﹣∠CAF＝40°﹣30°＝10°，
故選：A．
2．（2023春?綏陽縣期中）如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，CE是外角∠ACM的平分線，BE與CE相交于點(diǎn)E，若∠A＝60°，則∠BEC是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠EBM＝∠ABC、∠ECM＝∠ACM，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：∵BE是∠ABC的平分線，
∴∠EBM＝∠ABC，
∵CE是外角∠ACM的平分線，
∴∠ECM＝∠ACM，
則∠BEC＝∠ECM﹣∠EBM＝×（∠ACM﹣∠ABC）＝∠A＝30°，
故選：B．
3．（2023秋?魏都區(qū)月考）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠P＝ 30 °．
【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出∠P的度數(shù)．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案為：30°．
4．（2023秋?碧江區(qū) 校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠A＝96°，延長BC至D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于點(diǎn)A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，依此類推，∠A4BC與∠A4CD的平分線相交于點(diǎn)A5，則∠A5的度數(shù)為（ ）
A．3°B．6°C．19.2°D．24°
【分析】利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)計(jì)算．
【解答】解：∵∠BA1C+∠A1BC＝∠A1CD，2∠A1CD＝∠ACD＝∠BAC+∠ABC，
∴2（∠BA1C+∠A1BC）＝∠BAC+∠ABC，2∠BA1C+2∠A1BC＝∠BAC+∠ABC．
∵2∠A1BC＝∠ABC，
∴2∠BA1C＝∠BAC．
同理，可得2∠BA2C＝∠BA1C，2∠BA3C＝∠BA2C，2∠BA4C＝∠BA3C，2∠BA5C＝∠BA4C，
∴∠BA5C＝∠BA4C＝∠BA3C＝∠BA2C＝∠BA1C＝∠BAC＝96°÷32＝3°．
故選：A．
多邊形的內(nèi)外角的應(yīng)用
1．（2023春?石阡縣期中）如圖，奇奇先從點(diǎn)A出發(fā)前進(jìn)4m，向右轉(zhuǎn)15°，再前進(jìn)4m，又向右轉(zhuǎn)15°，…，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了（ ）
A．24mB．48mC．64mD．96m
【分析】由題意可知奇奇所走的路線為正多邊形，根據(jù)多邊形的外角和定理即可求出答案．
【解答】解：∵奇奇從A點(diǎn)出發(fā)最后回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)正好走了一個(gè)正多邊形，
∴根據(jù)外角和定理可知正多邊形的邊數(shù)為n＝360°÷15°＝24，
則一共走了24×4＝96（米）．
故選：D．
2．（2023秋?紅花崗區(qū)期中）如圖∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝（ ）
A．540°B．550°C．650°D．180°
【分析】作出相應(yīng)的輔助線，如圖所示，分別利用三角形、四邊形、五邊形的內(nèi)角和定理，利用等量代換的方法求出所求角度數(shù)即可．
【解答】解：如圖，∠6+∠7＝∠8+∠9，
由五邊形內(nèi)角和定理得：∠1+∠2+∠3+∠8+∠9+∠4+∠5＝540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝540°．
故選：A．
3．（2023秋?從江縣校級(jí)期中）如圖，七邊形ABCDEFG中，AB，ED的延長線相交于點(diǎn)O，若圖中∠1、∠2、∠3、∠4的外角和為240°，則∠BOD的度數(shù)為（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【分析】由外角和內(nèi)角的關(guān)系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五邊形內(nèi)角和可求得五邊形OAGFE的內(nèi)角和，則可求得∠BOD．
【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和為240°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+240°＝4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝480°，
∵五邊形OAGFE內(nèi)角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣480°＝60°，
故選：D．
4．（2023秋?從江縣校級(jí)期中）某校用紅色燈帶制作了一個(gè)如圖所示的正五角星（A、B、C、D、E是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)），則圖中∠A的度數(shù)是 36 度．
【分析】正五角星中，五邊形FGHMN是正五邊形，根據(jù)正多邊形及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，即可求得∠AFN＝∠ANF＝72°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠A的度數(shù)．
【解答】解：如圖，
∵正五角星中，五邊形FGHMN是正五邊形，
∴∠GFN＝∠FNM＝＝108°，
∴∠AFN＝∠ANF＝180°﹣∠GFN＝180°﹣108°＝72°，
∴∠A＝180°﹣∠AFN﹣∠ANF＝180°﹣72°﹣72°＝36°．
故答案為：36．
5．（2023秋?綏陽縣期中）如圖，五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分別是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，則∠1+∠2+∠3＝ 180 ．
【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠B+∠C＝180°，從而得到以點(diǎn)B、點(diǎn)C為頂點(diǎn)的五邊形的兩個(gè)外角的度數(shù)之和等于180°，再根據(jù)多邊形的外角和定理列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠4+∠5＝180°，
根據(jù)多邊形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．
故答案為：180°．
6．（2024春?臺(tái)江縣校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，EF⊥CD．
（1）判斷∠1與∠2的大小關(guān)系，并說明理由．
（2）若∠A＝100°，BD平分∠ABC，求∠ADC的度數(shù)．
【分析】（1）由AD∥BC得到∠1＝∠DBC，由BD⊥CD，EF⊥CD得到BD∥EF，從而∠2＝∠DBC，進(jìn)而即可解答；
（2）由AD∥BC求得∠ABC＝180°﹣∠A＝80°，根據(jù)BD平分∠ABC得到，從而∠1＝∠DBC＝40°，進(jìn)而即可解答．
【解答】解：（1）∠1＝∠2，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠DBC，
∵BD⊥CD，EF⊥CD，
∴BD∥EF，
∴∠2＝∠DBC，
∴∠1＝∠2；
（2）∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴∠1＝∠DBC＝40°，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠1+∠BDC＝40°+90°＝130°．
7．（2023春?綏陽縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，DE平分∠ADC，且 DE∥BC，∠1＝∠2．
（1）求證：DC∥AB．
（2）若∠A＝70°，求∠1的度數(shù)．
【分析】（1）結(jié)合已知條件證得∠1＝∠AED，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可證得結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）中所求易得∠A+∠ADC＝180°，從而求得∠ADC的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線定義即可求得答案．
【解答】（1）證明：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠AED，
∴DC∥AB；
（2）解：∵DC∥AB，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝70°，
∴∠ADC＝110°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠ADC＝55°．
48．（2023春?銅仁市期中）如圖，一組正多邊形，觀察每個(gè)正多邊形中a的變化情況，解答下列問題．
（1）將表格補(bǔ)充完整．
（2）觀察上面表格中α的變化規(guī)律，角α與邊數(shù)n的關(guān)系為 α＝（）° ．
（3）根據(jù)規(guī)律，當(dāng)α＝18°時(shí)，多邊形邊數(shù)n＝ 10 ．
【分析】（1）根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式求解即可；
（2）根據(jù)（1）中計(jì)算、觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：正n邊形中的α＝（）°；
（3）根據(jù)正n邊形中的α＝（
）°，可得答案．
【解答】解：（1）將表格補(bǔ)充完整．
故答案為：60°，45°，36°，30°；
（2）根據(jù)（1）中計(jì)算、觀察，可得α的變化規(guī)律，角α與邊數(shù)n的關(guān)系為：α＝（）°，
故答案為：α＝（）°；
（3）把α＝18°代入α＝（）°，
解得：n＝10，
故答案為：10．
正多邊形的邊數(shù)
3
4
5
6
α的度數(shù)
180
n
正多邊形的邊數(shù)
3
4
5
6
α的度數(shù)
60°
45°
36°
30°

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