?專題06 整式的加減規(guī)律題專項(xiàng)訓(xùn)練


代數(shù)字類規(guī)律性探索
1．對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定，例如：，，，，計(jì)算：（　?。?br /> A．199 B．200 C．201 D．202
【答案】C
【分析】通過計(jì)算，可以推出結(jié)果．
【詳解】解：

…
，，，



故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則，找到數(shù)字變化規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．
2．我們知道，同一個(gè)平面內(nèi)，1條直線將平面分成部分，2條直線將平面最多分成部分，3條直線將平面最多分成部分，4條直線將平面形多分成部分……，n條直線將平面最多分成部分，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，n條直線將平面最多分成部分，進(jìn)而得到，再進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵1條直線將平面分成部分，
2條直線將平面最多分成部分，
3條直線將平面最多分成部分，
4條直線將平面形多分成部分……，
∴n條直線將平面最多分成部分，
∴，
∴

．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵是得到．
3．大于1的正整數(shù)m的三次冪可“分裂”成若干個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如，，，…若分裂后，其中有一個(gè)奇數(shù)是1005，則m的值是（????）
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
【分析】觀察可知，分裂成的奇數(shù)的個(gè)數(shù)與底數(shù)相同，求出到的所有奇數(shù)的個(gè)數(shù)的表達(dá)式，在求出1005是從3開始的第502個(gè)奇數(shù)，然后確定502所在范圍即可得出結(jié)論．
【詳解】∵底數(shù)是2的分裂成2個(gè)奇數(shù)，底數(shù)是3的分裂成3個(gè)奇數(shù)，底數(shù)是4的分裂成4個(gè)奇數(shù)，
∴分裂成個(gè)奇數(shù)，
∴到的奇數(shù)個(gè)數(shù)為：，
∵，
∴奇數(shù)1005是從3開始的第502個(gè)奇數(shù)，
∵，，
∴第1005個(gè)奇數(shù)是底數(shù)為32的數(shù)的立方分裂的奇數(shù)的其中一個(gè)，即
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律．解題的關(guān)鍵是觀察出分裂的奇數(shù)的個(gè)數(shù)與底數(shù)的特點(diǎn)．
4．觀察下列按一定規(guī)律排成的一組數(shù)：
，從左起第個(gè)數(shù)記，則 ， ．
【答案】
【分析】由題意知，為奇數(shù)時(shí)，為負(fù)，為偶數(shù)時(shí)，為正，由，可知，由題意知，則；其中；，；其中；，，；其中；，，，；其中；，記分母為，可推導(dǎo)一般性規(guī)律：分母相同的一組數(shù)中最后的一個(gè)的中的滿足，由，可得，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意知，為奇數(shù)時(shí)，為負(fù)，為偶數(shù)時(shí)，為正，
∵，
∴，
∵，
∴；其中；
，；其中；
，，；其中；
，，，；其中；
記分母為，可推導(dǎo)一般性規(guī)律：分母相同的一組數(shù)中最后的一個(gè)的中的滿足，
∵，
∴，
則，
∴，
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字變化的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于推導(dǎo)一般性規(guī)律．
5．在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師將一副撲克牌中的紅桃共張牌挑出，打亂順序隨機(jī)發(fā)給了甲、乙、丙三名同學(xué)，每人三張牌．已知甲的三張牌數(shù)字之和是，乙的三張牌數(shù)字之和與丙的三張牌數(shù)字之和相同，且乙的三張牌上的數(shù)字都是奇數(shù)．寫出甲的三張牌上的數(shù)字是 ，丙的三張牌上的數(shù)字是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意先分析出甲的可能結(jié)果，然后結(jié)合乙的三個(gè)奇數(shù)，篩選出合適的，最后再按照乙丙的三張牌數(shù)字和相同進(jìn)行分配即可．
【詳解】解：已知紅桃有數(shù)字共計(jì)張牌
甲的三張牌數(shù)字之和為的情況有、、三種組合，
張牌中共有個(gè)奇數(shù)，乙的三張牌上的數(shù)字都是奇數(shù)，
甲最多只能有一個(gè)奇數(shù)，只有符合，
乙的三張牌數(shù)字之和與丙的三張牌數(shù)字之和相同，
乙的三張牌數(shù)字為，丙的三張牌數(shù)字為，
故答案為：；
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類組合運(yùn)算，按照題目進(jìn)行逐步篩選和分析是解題關(guān)鍵．
6．觀察下列等式，并解下列各題．
，，，
講以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：

(1)猜想并寫出：__________；
(2)直接寫出下列各式得計(jì)算結(jié)果：__________．
(3)探究并利用以上規(guī)律計(jì)算：．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根據(jù)題中給出的例子即可找出規(guī)律；
（2）根據(jù)（1）中得出的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)得出的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．
【詳解】（1）解：，，，
，故答案為：；
（2）解：根據(jù)題意可得：
，故答案為：；
（3）解：根據(jù)題意可得：


．
【點(diǎn)睛】本題主要考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．
圖形、圖表類規(guī)律性探索
7．正整數(shù)按如圖的規(guī)律排列，則2022位于哪一行，哪一列（　?。?br />
A．第45行 第4列 B．第4行 第45列
C．第46行 第3列 D．第3行 第46列
【答案】B
【分析】觀察圖形可知這些數(shù)字排成的是一個(gè)正方形，則由，即可判斷2022的位置．
【詳解】解：觀察圖形可知這些數(shù)字排成的是一個(gè)正方形，
∵，
∴2022在第45列，
∵，
∴2022在第4行，即2022位于第4行，第45列．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，由所給的數(shù)字得出存在的規(guī)律是解答的關(guān)鍵．
8．楊輝三角是中國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一．如圖，在楊輝三角形中，斜線l的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，…，用表示這個(gè)數(shù)列的第n個(gè)數(shù)，則 ．

【答案】1327
【分析】分奇數(shù)和偶數(shù)計(jì)算．
【詳解】當(dāng)序號(hào)為偶數(shù)時(shí)，，
∴，
∴；
當(dāng)序號(hào)為奇數(shù)時(shí)，，
∴，
∴；
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律探索，正確運(yùn)用分類思想分成偶數(shù)列，奇數(shù)列計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
9．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表（圖①），即楊輝三角．現(xiàn)在將所有的奇數(shù)記“”，所有的偶數(shù)記為“”，則前行如圖②，前行如圖③，求前行“”的個(gè)數(shù)為 ．

【答案】
【分析】先根據(jù)給出的圖②和圖③找出出現(xiàn)“”規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律即可得解．
【詳解】觀察圖②和圖③可知，前行中包含個(gè)前行的圖形，中間三角形中的數(shù)字均為，
前行中“”的個(gè)數(shù)是前行中“”的個(gè)數(shù)的倍，
即前行中“”的個(gè)數(shù)為（個(gè)），
同理可知前行中“”的個(gè)數(shù)是前行中“”的個(gè)數(shù)的倍，即前行中“”的個(gè)數(shù)為（個(gè)），
前行中“”的個(gè)數(shù)是前行中“”的個(gè)數(shù)的倍，即前行中“”的個(gè)數(shù)為（個(gè)），
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字規(guī)律探究計(jì)算，根據(jù)給出的圖②和圖③找出出現(xiàn)“”規(guī)律是解題關(guān)鍵．
10．有黑、白各6張卡片，分別寫有數(shù)字1至6把它們像撲克牌那樣洗過后，數(shù)字朝下，如圖排成兩行，排列規(guī)則如下：
??
①左至右，按數(shù)字從小到大的順序排列；
②黑、白卡片數(shù)字相同時(shí)，黑卡片放在左邊．
將第一行卡片用大寫英文字母按順序標(biāo)注，第二行卡片用小寫英文字母按順序標(biāo)注，則白卡片數(shù)字1擺在了標(biāo)注字母 的位置，標(biāo)注字母e的卡片寫有數(shù)字 ．
【答案】 B 4
【分析】根據(jù)排列規(guī)則依次確定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．
【詳解】解：第一行中B與第二行中c肯定有一張為白1，若第二行中c為白1，則左邊不可能有2張黑卡片，
白卡片數(shù)字1擺在了標(biāo)注字母B的位置，
黑卡片數(shù)字1擺在了標(biāo)注字母A的位置，；
第一行中C與第二行中c肯定有一張為白2，若第二行中c為白2，則a，b只能是黑1，黑2，而A為黑1，矛盾，
第一行中C為白2；
第一行中F與第二行中c肯定有一張為白3，若第一行中F為白3，則D，E只能是黑2，黑3，此時(shí)黑2在白2右邊，與規(guī)則②矛盾，
第二行中c為白3，
第二行中a為黑2，b為黑3；
第一行中F與第二行中e肯定有一張為白4，若第一行中F為白4，則D，E只能是黑3，黑4，與b為黑3矛盾，
第二行中e為白4．
故答案為：①B，②4．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形類規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)所給規(guī)則依次確定出白1，白2，白3，白4的位置．
11．如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，，得到；點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，得到；點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，得到；…按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去，若矩形的面積等于6，則的面積是 ．

【答案】
【分析】由題意得：，，，
，，整理可得，，從而得解．
【詳解】四邊形ABCD是矩形，
，
，
，點(diǎn)是CB邊的中點(diǎn)，

，
，
，
，
，
，
，
是的中點(diǎn)，
，，
，
整理得：，
同理可得：，
，
．
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的面積，規(guī)律型圖形的變化類，解答的關(guān)鍵是通過整理歸納出其規(guī)律．
12．下列圖形都是由相同大小的按一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有4顆，第②個(gè)圖形中一共有11顆，第③個(gè)圖形中一共有21顆，……按此規(guī)律排列下去．第⑩個(gè)圖形中的顆數(shù)為 ．

【答案】175
【分析】根據(jù)題意將每個(gè)圖形都看作兩部分，一部分是上面的構(gòu)成規(guī)則的矩形，另一部分是構(gòu)成下面的近似金字塔的形狀，然后根據(jù)遞增關(guān)系即可得到答案．
【詳解】第①個(gè)圖形中的顆數(shù)；
第②個(gè)圖形中的顆數(shù)；
第③個(gè)圖形中的顆數(shù)；
第④個(gè)圖形中的顆數(shù)；
……
∴第n個(gè)圖形中的顆數(shù)



∴當(dāng)時(shí)，，
∴第⑩個(gè)圖形中的顆數(shù)為顆，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形變化規(guī)律，正確地得到每個(gè)圖形中小星星的數(shù)字變化情況是解題的關(guān)鍵．
13．我們將如圖所示的兩種排列形式的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別叫做“平行四邊形數(shù)”和“正六邊形數(shù)”．設(shè)第n個(gè)“平行四邊形數(shù)”和“正六邊形數(shù)”的和為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)圖形變化規(guī)律，列出“平行四邊形數(shù)”和“正六邊形數(shù)”前三個(gè)滿足的等式，即可推出第n個(gè)滿足的等式，最后求和即可．
【詳解】由圖可知，第1個(gè)“平行四邊形數(shù)”為，
第2個(gè)“平行四邊形數(shù)”為，
第3個(gè)“平行四邊形數(shù)”為，
，
第n個(gè)“平行四邊形數(shù)”為；
由圖可知，第1個(gè)“正六邊形數(shù)”為，
第2個(gè)“正六邊形數(shù)”為，
第3個(gè)“正六邊形數(shù)”為，
，
第n個(gè)“正六邊形數(shù)”為，
其和為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：圖形變化類，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從一般到特殊的探究方法，找到規(guī)律后即可解決問題，屬于中考?？碱}型．
14．（1）為了計(jì)算的值，我們構(gòu)造圖形（圖），共行，每行依次比上一行多一個(gè)點(diǎn)．此圖形共有個(gè)點(diǎn)．如圖2，添出圖形的另一半，此時(shí)共行列，有個(gè)點(diǎn)，由此可得．
用此方法，可求得 （直接寫結(jié)果）．
（2）觀察下面的點(diǎn)陣圖（如圖3），解答問題：
填空：① ；
② ．
（3）請(qǐng)構(gòu)造一圖形，求 （畫出示意圖，寫出計(jì)算結(jié)果）．

【答案】（1）；（2）①，②；（3），圖和過程見解析
【分析】（1）根據(jù)給定的計(jì)算方法，進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）①根據(jù)已有點(diǎn)陣圖，得到第個(gè)點(diǎn)陣圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，再進(jìn)行計(jì)算即可；②根據(jù)規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）將一個(gè)面積為1的正方形分割為和兩部分，再將正方形的分割為和兩部分，，依次進(jìn)行分割，再進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）；
故答案為：；
（2）由點(diǎn)陣圖可知：個(gè)數(shù)時(shí)和為，
個(gè)數(shù)時(shí)和為，
個(gè)數(shù)時(shí)和為，
，
個(gè)數(shù)時(shí)和為．
∵中有個(gè)數(shù)，
∴．
∵中有個(gè)數(shù)，
∴．
故答案為：；；
（3）由題意畫出圖形如下：假定正方形的面積為，

第次將正方形分割為和兩部分，
第次將正方形的分割為和兩部分，
???，以此類推，
第次分割后，剩余的面積為，
那么除了剩余部分的面積，前面所有分割留下的面積應(yīng)該是：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形的規(guī)律探究，有理數(shù)的混合運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合思想．解題的關(guān)鍵是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算．
15．（1）將正方體骰子（相對(duì)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如圖1，在圖2中，將骰子向右翻滾90°，然后在桌面上按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，則完成一次變換．若骰子的初始位置為圖1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)是（????）

A．6????B．5????C．3????D．2
（2）如圖，圓圈內(nèi)分別標(biāo)有0，1，2，3，4，…，11這12個(gè)數(shù)字．電子跳蚤每跳一次，可以從一個(gè)圓圈跳到相鄰的圓圈，現(xiàn)在，一只電子跳蚤從標(biāo)有數(shù)字“0”的圓圈開始，按逆時(shí)針方向跳了2010次后，落在一個(gè)圓圈中，該圓圈所標(biāo)的數(shù)字是______．

【答案】（1）B；（2）6
【分析】（1）先向右翻滾，然后再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)叫做一次變換，那么連續(xù)3次變換是一個(gè)循環(huán)．本題先要找出3次變換是一個(gè)循環(huán)，然后再求10被3整除后余數(shù)是1，從而確定第1次變換的第1步變換，即可得出答案；
（2）由題意知12個(gè)數(shù)一循環(huán)，然后再求2010被12整除后余數(shù)是多少來決定是哪個(gè)數(shù)即可．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意可知連續(xù)3次變換是一循環(huán)，
∵，
∴是第1次變換后的圖形，即按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)是5，故B正確．
故選：B．
（2）根據(jù)題意可知是0，1，2，3，4，…，11即12個(gè)數(shù)是一個(gè)循環(huán)，
∵，
∴該圓圈所標(biāo)的數(shù)字是6．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字變化規(guī)律和圖形變換規(guī)律，是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．

16．認(rèn)真閱讀材料，然后回答問題：
我們初中學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，相應(yīng)的，我們可以計(jì)算出多項(xiàng)式的展開式，如：
．．．……；
下面我們依次對(duì)展開式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)取正整數(shù)時(shí)可以單獨(dú)列成表中的形式：
…………………………………………………1??1
………………………………………………1??2??1
……………………………………………1??3???3??1
…………………………………………1??4???6??4??1
………………………………………1??5??10??10??5??1
……………………………………1??6??15??20??15??6??1
……………………………………
上面的多項(xiàng)式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角形”；仔細(xì)觀察“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：
(1)多項(xiàng)式的第三項(xiàng)的系數(shù)______；
(2)請(qǐng)你預(yù)測(cè)一下多項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和______；
(3)拓展：①寫出展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______；
②展開式按的升冪排列為：，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由題意可求得當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的第三項(xiàng)的系數(shù)是多少，找到規(guī)律，即可得出答案；
（2）求得當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，找到規(guī)律，即可求得答案；
（3）①首先確定是展開式中第幾項(xiàng)，再根據(jù)楊輝三角即可解決問題；②將代入求解即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的展開式是一次二項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為：；
當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的展開式是二次三項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為：；
當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的展開式是三次四項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為：；
當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的展開式是四次五項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為：；
……
多項(xiàng)式的展開式是一個(gè)次項(xiàng)式，第三項(xiàng)的系數(shù)為：；
故答案為：；
（2）解：當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：；
當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：；
當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：；
當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：；
……
多項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，
故答案為：；
（3）解：①，
展開式中含項(xiàng)是其展開式的第二項(xiàng)，
，
故答案為：；
②，
當(dāng)時(shí)，令，
則，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了楊輝三角，數(shù)字的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形中數(shù)字找出相應(yīng)的規(guī)律，再表示展開式．
17．【問題提出】
在由個(gè)小正方形（邊長(zhǎng)為1）組成的矩形網(wǎng)格中，該矩形的一條對(duì)角線所穿過的小正方形個(gè)數(shù)與m，n有何關(guān)系？
【問題探究】
為探究規(guī)律，我們采用一般問題特殊化的策略，通過分類討論，先從最簡(jiǎn)單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，從中找出解決問題的方法．
探究一：
當(dāng)m，n互質(zhì)（m，n除1外無其他公因數(shù)）時(shí)，觀察圖1并完成下表：???

圖1
矩形橫長(zhǎng)m
2
3
3
5
4
5
…
公矩形縱長(zhǎng)n
1
1
2
2
3
3
…
矩形一條對(duì)角線所穿過的小正方形個(gè)數(shù)f
2
3
4
6
6

…
結(jié)論：當(dāng)m，n互質(zhì)時(shí)，在的矩形網(wǎng)格中，該矩形一條對(duì)角線所穿過的小正方形的個(gè)數(shù)f與m，n之間的關(guān)系式是________．
探究二：
當(dāng)m，n不互質(zhì)時(shí)，不妨設(shè)，（a，b，k為正整數(shù)，且a，b互質(zhì)），觀察圖2并完成下表：


圖2
a
2
3
3
5
2
3
…
b
1
1
2
2
1
1
…
k
2
2
2
2

3
…
矩形一條對(duì)角線所穿過的小正方形個(gè)數(shù)f
4
6
8

6

…
結(jié)論：當(dāng)m，n不互質(zhì)時(shí)，若，（a，b，k為正整數(shù)，且a，b互質(zhì)）．在的矩形網(wǎng)格中，該矩形一條對(duì)角線所穿過的小正方形的個(gè)數(shù)f與a，b，k之間的關(guān)系式是________．
【模型應(yīng)用】
一個(gè)由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的長(zhǎng)為630，寬為490的矩形網(wǎng)格中，該矩形的一條對(duì)角線所穿過的小正方形個(gè)數(shù)是________個(gè)．

圖3
【模型拓展】
如圖3，在一個(gè)由48個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體組成的長(zhǎng)方體中，經(jīng)過頂點(diǎn)A，B的直線穿過的小正方體的個(gè)數(shù)是________個(gè)．
【答案】探究一：7，；探究二：12，9，； 【模型應(yīng)用】1050?????；【模型拓展】6
【分析】探究一：通過觀察即可得出當(dāng)m、n互質(zhì)時(shí)，根據(jù)m與n的值計(jì)算f，即可得到規(guī)律求解；
探究二：當(dāng)m、n不互質(zhì)時(shí)，根據(jù)a、b、k的值求出m、n的值，計(jì)算f的值，即可得到規(guī)律；
[模型應(yīng)用]利用630與490求出a、b、k的值，根據(jù)公式計(jì)算得出f即可；????
[模型拓展] 如圖，連接長(zhǎng)方體上下兩個(gè)底面的對(duì)角線，得到矩形ACBD，利用勾股定理求出AC=，由每個(gè)小正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，得到AC的長(zhǎng)是4個(gè)小長(zhǎng)方體的對(duì)角線，根據(jù)BC=3，且4與3互質(zhì)，利用公式求出答案．
【詳解】探究一：當(dāng)m、n互質(zhì)時(shí)，根據(jù)表格可得：
當(dāng)m=2，n=1時(shí)，f =2+1-1=2；
當(dāng)m=3，n=1時(shí)，f=3+1-1=3；
當(dāng)m=3，n=2時(shí)，f=3+2-1=4，
；
∴當(dāng)m=5，n=3時(shí)，f=5+3-1=7，
該矩形一條對(duì)角線所穿過的小正方形的個(gè)數(shù)f與m，n之間的關(guān)系式是f=m+n-1，
故答案為：7，．
探究二：當(dāng)m、n不互質(zhì)時(shí)，根據(jù)圖2表格可得：
當(dāng)a=2，b=1，k=2，m=ka=4，n=kb=2時(shí)，f=，
當(dāng)a=3，b=1，k=2，m=ka=6，n=kb=2時(shí)，f=，
當(dāng)a=3，b=2，k=2，m=ka=6，n=kb=4時(shí)，f=，
；
∴當(dāng)a=5，b=2，k=2，m=ka=10，n=kb=4時(shí)，f=，
當(dāng)a=3，b=1，k=3，m=ka=3，n=kb=3時(shí)，f=，
∴當(dāng)m，n不互質(zhì)時(shí)，該矩形一條對(duì)角線所穿過的小正方形的個(gè)數(shù)f與a，b，k之間的關(guān)系式是，
故答案為：12，9，；
[模型應(yīng)用]∵630與490不互質(zhì)，
∴ka=630=，kb=490=，
∴a=9，b=7，k=70，
∴該矩形的一條對(duì)角線所穿過的小正方形個(gè)數(shù)是f=，
故答案為：1050；
[模型拓展]
如圖，連接長(zhǎng)方體上下兩個(gè)底面的對(duì)角線，得到矩形ACBD，
∵AE=4，CE=4，∠AEC=，
∴AC=，
∵每個(gè)小正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，
∴AC的長(zhǎng)是4個(gè)小長(zhǎng)方體的對(duì)角線，
∵BC=3，且4與3互質(zhì)，
∴經(jīng)過頂點(diǎn)A，B的直線穿過的小正方體的個(gè)數(shù)是4+3-1=6個(gè)，
故答案為：6．


【點(diǎn)睛】此題考查了圖形規(guī)律探究，關(guān)鍵是通過觀察表格，總結(jié)出一條對(duì)角線所穿過的小正方形的個(gè)數(shù)f與m、n及f與a、b、k的關(guān)系式，要注意m、n互質(zhì)及不互質(zhì)的條件，掌握有理數(shù)的加減計(jì)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，列代數(shù)式，總結(jié)規(guī)律并運(yùn)用解決問題是解題的關(guān)鍵．

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