【期中真題】2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊期中真題分類匯編專題04 全等三角形模型訓(xùn)練（6類經(jīng)典模型優(yōu)選提升）-試卷.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題04 全等三角形模型訓(xùn)練

一線三等角模型
1．如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接、，若，，則的長為．
????
【答案】10
【分析】先證明，再證明，即可作答．
【詳解】，
又，
，
，，
，
，，
，，
，
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識，掌握三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
2．在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．
??
(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，
求證：①；
②；
(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，求證：；
(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，請直接寫出，，之間的等量關(guān)系．
【答案】(1)①見解析，②見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）①由，得，而于，于，則，根據(jù)等角的余角相等得到，證明；
②由，所以，，即可得到；
（2）根據(jù)等角的余角相等得到，證明，得到，，所以；
（3）、、具有的等量關(guān)系為：．證明的方法與（2）相同．
【詳解】（1）①∵，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
②∵，
∴，，
∴；
（2）證明：∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，，
∴；
（3）當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到題圖（3）的位置時，，，所滿足的等量關(guān)系是：．
理由如下：∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴；∴，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，同角的余角相等，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，得出結(jié)論．
3．綜合與實(shí)踐
數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“過等腰三角形頂點(diǎn)的直線”為主題開展數(shù)學(xué)探究．
(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖甲，在中，，且，直線l經(jīng)過點(diǎn)A．小華分別過B、C兩點(diǎn)作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．易證，此時，線段、、的數(shù)量關(guān)系為：；

(2)拓展應(yīng)用：
如圖乙，為等腰直角三角形，，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．請利用小華的發(fā)現(xiàn)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)：；
(3)遷移探究：
①如圖丙，小華又作了一個等腰，，且，她在直線l上取兩點(diǎn)D、E，使得，請你幫助小華判斷（1）中線段、、的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請證明；若變化，寫出它們的關(guān)系式并說明理由；
②如圖丁，中，，，點(diǎn)D、E在直線上，且，請直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系．

【答案】(1)
(2)
(3)①，理由見解析；②
【分析】（1）由全等得到邊長關(guān)系即可．
（2）分別按照（1）中情形過A、B做出軸垂線，得到三角形全等后根據(jù)邊長關(guān)系得到點(diǎn)A坐標(biāo)．
（3）①將（1）中互余的角度變成計(jì)算關(guān)系，仍可得角度相等，從而得到全等的三角形，進(jìn)而得到邊長關(guān)系．
②根據(jù)①可證全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到邊長關(guān)系．
【詳解】（1）由等腰直角得，，
又，

又，

，

（2）
過A、B作出軸垂線，，由（1）可得，，
又得，，，
，

（3）①

又，

，

②

與①中同理可得
分別取，中點(diǎn)，連接．
，
,
又

又，
在與中，

，

【點(diǎn)睛】本題考查一線三等角模型，注重模仿推理能力，結(jié)合一個示范作遷移應(yīng)用，需要大膽參考示范進(jìn)行相同位置圖像的關(guān)系論證．對知識點(diǎn)的充分理解和遷移是解題的關(guān)鍵．
手拉手模型
4．如圖，是一個銳角三角形，分別以、為邊向外作等邊三角形、，連接、交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：≌；
(2)求的度數(shù)；
(3)求證：平分．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)見解析
【分析】（1）由、是等邊三角形，易證，繼而可證；
（2）由≌，得到，進(jìn)一步得到，由三角形內(nèi)角和得到答案；
（3）作于點(diǎn)于點(diǎn)，證明，由，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：、是等邊三角形，
，
，
即，
≌；
（2）解：≌，
，
，
；
（3）證明：如圖，作于點(diǎn)于點(diǎn)，

，
，
，，
，
，
，
平分．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、角平分性的判定知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與、重合），把線路繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至（即），使得，連接、．
(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，如果，則__________度．
??
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，如果，則__________度．
??
(3)如圖3，設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動時，，的數(shù)量關(guān)系是什么？請說明理由．
??
(4)設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在直線上移動時，請直接寫出，的數(shù)量關(guān)系，不用證明．
【答案】(1)90
(2)120
(3)
(4)或
【分析】（1）由“”可證，得，可求的度數(shù)；
（2）由“”可證，得，可求的度數(shù)；
（3）由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；
（4）由“”可證得出，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案為：90；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案為：120；
（3），
理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（4）如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在的延長線上時，，
??
證明方法同（3）；
如圖5，當(dāng)點(diǎn)D在的延長線上時，，
??
理由如下：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
綜上，或．
【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．
6．如圖1，在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，連接，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．
??
(1)觀察猜想：
圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是__________，的大小是__________；
(2)探究證明：
把繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接、、，判斷的形狀，試說明理由；
(3)拓展延伸：
把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．
【答案】(1)；
(2)為等腰直角三角形，理由見解析
(3)面積的最大值為2
【分析】（1）由，可推出，又因點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，所以且，同理，且，于是可推得；，，，故，得；
（2）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出，又因，，可證得與全等，參考（1）中的解題思路即可證出，，從而推出為等腰直角三角形；
（3）在旋轉(zhuǎn)的過程中，由（2）中的結(jié)論知為等腰直角三角形，，當(dāng)有最大值時，須有的值最大，由三角形三邊關(guān)系可推斷出當(dāng)B、A、D三點(diǎn)共線時，BD的值最大．
【詳解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，
∴，
∵點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，
∴分別是的中位線，
∴，
∴，
∵，
∴

，
故答案為：；；
（2）為等腰直角三角形，理由如下：
由旋轉(zhuǎn)可知：，
又∵，，
，
，，
又、分別是、的中點(diǎn)，
是的中位線，
∴且，
同理，且，
，
，．
，，
，
為等腰直角三角形；
（3）由（1）（2）得，，
且為等腰直角三角形，
∵，即，∴，
∴，∴面積的最大值為2．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握手拉手模型證明全等是解本題的關(guān)鍵．
半角模型
7．（1）如圖1，在四邊形中，，，E、F分別是邊、上的點(diǎn)，若，可求得、、之間的數(shù)量關(guān)系為________．（只思考解題思路，完成填空即可，不必書寫證明過程）
（2）如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊、延長線上的點(diǎn)，若，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎，若成立，請完成證明，若不成立，請說明理由．

【答案】（1）；（2）．理由見解析．
【分析】（1）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是．如圖，延長至，使，連接，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．
（2）結(jié)論：．如圖中，在上截取，連接，證明，推出，，再證明，可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是．
如圖，延長至，使，連接，

∵，，即：，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案為：．
（2）結(jié)論：．
理由：在上截取，連接，

∵，，
∴，
在與中，，
∴，
∴，，則，
∴
∵，，
∴，
在與中，，
∴，
∴，
即，
即，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
8．已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．

思路分析：
(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，
∠E'AF＝　　度，……
根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
類比探究：
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；
拓展應(yīng)用：
(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．
【答案】(1)45
(2)DF＝BE+EF，證明見解析
(3)2
【分析】（1）把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，則、、在一條直線上，，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，得，因此，同（2）得△，則，，得、、圍成的三角形面積，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至，

則F、D、在一條直線上，≌△ABE，
∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，
∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，
則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠，
∴△AEF≌△（SAS），
∴，
∵，
∴EF＝BE+DF．
故答案為：45；
（2）解：DF＝BE+EF????理由如下：
將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△，

∴△≌△ABE，
∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，
∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，
則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，
∴∠＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△中，
，
∴△AEF≌△（SAS），
∴，
∵，
∴DF＝BE+EF；
（3）解：將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，

則△≌△ABD，
∴CD'＝BD，
∴，
同（2）得：△ADE≌△（SAS），
∴，，
∴BD、DE、EC圍成的三角形面積為、、EC圍成的三角形面積．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及四邊形和三角形面積等知識，本題綜合性強(qiáng)，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的啟發(fā)正確作出輔助線得出全等三角形，屬于中考?？碱}型．
9．問題情境
在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．

特例探究
如圖1，當(dāng)DM＝DN時，
（1）∠MDB＝　　度；
（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為　 ?。?br /> 歸納證明
（3）如圖2，當(dāng)DM≠DN時，在NC的延長線上取點(diǎn)E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
拓展應(yīng)用
（4）△AMN的周長與△ABC的周長的比為　 ?。?br /> 【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，證明見解析；（4）
【分析】（1）先證明△MDN是等邊三角形，則MN＝DM＝DN，再證明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°；
（2）由（1）得DM＝2BM，可得結(jié)論MN＝2BM＝BM+NC；
歸納證明：先證△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再證△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得結(jié)論MN＝BM+CN；
拓展應(yīng)用：
（3）首先根據(jù)題意利用SAS證明△DBM≌△DCE，然后證明△MDN≌△EDN，根據(jù)全等三角形對應(yīng)相等通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可得到MN＝BM+NC；
（4）由（3）得到MN＝BM+NC，則△AMN的周長＝2AB，△ABC的周長＝3AB，即可得出結(jié)論．
【詳解】特例探究：
解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等邊三角形，
∴MN＝DM＝DN，
∵∠BDC＝120°，BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBM＝∠DCN＝90°，
∵BD＝CD，DM＝DN，
∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴∠MDB＝∠NDC＝30°，
故答案為：30；
（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴BM＝CN，
∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，
即MN＝BM+NC；
歸納證明
（3）解：猜想：MN＝BM+NC，證明如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°．
∴∠MBD＝∠ECD＝90°，
又∵BD＝CD，BM＝CE，
∴△DBM≌△DCE（SAS），
∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN，
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；
拓展應(yīng)用
（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，
∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∴△ABC的周長＝3AB，
∴△AMN的周長與△ABC的周長的比為＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)的，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．
旋轉(zhuǎn)模型
10．已知點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，分別以為邊在線段AB同側(cè)作和，且．，，直線與交于點(diǎn)F．
??
(1)如圖1，可得___________；若，則___________．
(2)如圖2，若，則___________．（用含a的式子表示）
(3)設(shè)，將圖2中的繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點(diǎn)F至少在中的一條線段上），如圖3．試探究與a的數(shù)量關(guān)系，并予以說明．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)證明，得出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到，進(jìn)而可得答案；
（2）根據(jù)證明，得出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到，進(jìn)而可得答案；
（3）分三種情況：當(dāng)交點(diǎn)F在線段上，在線段上，在線段上時；結(jié)合圖形，仿照（2）小題的證明解答即可．
【詳解】（1）∵，
∴，
在和中，

∴（），
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案為：；
??
（2）∵，
∴，
在和中，

∴（），
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案為：；
??
（3）當(dāng)交點(diǎn)F在線段上時，如圖3，
∵，
∴，
在和中，

∴（），
∴，
∵，
∴，
∴；
??
當(dāng)交點(diǎn)F在線段上時，如圖4，
同理可得：；
??
當(dāng)交點(diǎn)F在線段上時，如圖5，
∵，
∴，
在和中，

∴（），
∴，
∵，
∴；
綜上，或．
??
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識，正確分類、熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．如圖1，在等腰中，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．

（1）如圖2，若，其他條件不變，先補(bǔ)全圖形，然后探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系______（直接寫結(jié)論，不必說明理由）
（2）如圖3，若，其他條件不變，探究線段、和之間的等量關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖4，若，其他條件不變，探究線段、和之間的等量關(guān)系為______．

【答案】（1）圖形見詳解，BC=2BD；（2）BC=BD+BP，理由見詳解；（3）BC =BD+BP
【分析】（1）先補(bǔ)全圖形，再連接CD，可得是等邊三角形，從而推出BC是PD的垂直平分線，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（2）取BC的中點(diǎn)F，連接PF，推出是等腰直角三角形，從而得BF=BP，再證明，進(jìn)而即可求解；
（3）由，可得BD=CF，從而得PF=BP=BF，進(jìn)而即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形如下：

BC=2BD，理由如下：
連接CD，
∵線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)=60°得到，
∴CP=DP，∠CPD=60°，
∴是等邊三角形，
∴∠CDP=∠DCP=60°，
∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∠A=60°，AB=AC，
∴是等邊三角形，CP⊥AB，∠BCP=∠ACB=30°，
∴∠BCD=60°-30°=30°，
∴BC平分∠PCD，
∴BC是PD的垂直平分線，
∴BD=PB，即：BC=AB=2BD；
（2）取BC的中點(diǎn)F，連接PF，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴是等腰直角三角形，
∵P是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴PF是的中位線，
∴PF∥AC，
∴∠PFB=∠ACB=45°，∠BPF=∠A=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴BF=BP，BP=PF，
∵∠DPC=∠BPF=90°，
∴∠BPD=∠FPC，
又∵PD=PC，
∴，
∴BD=CF，
∵BC=BF+FC，
∴BC=BD+BP；

（3）同理第（2）題證明可知：，
∴BD=CF，
∵∠BAC=∠DPC=120°，PF∥AC，PF=AC，
又∵BP=AB，AB=AC，
∴PF=BP=BF，
∴BC=BF+CF=BD+BP．

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，添加合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．
倍長中線模型
12．如圖，，，，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，，．

【答案】6
【分析】延長至N，使，連接，證明，推出，，求出，再證明即可．
【詳解】證明：延長AM至N，使，連接，

∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，延長至N，使，再證即可，這就是“倍長中線”，實(shí)質(zhì)是“補(bǔ)短法”．
13．如圖，中，于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，，連接．

（1）求證：；
（2）延長交于點(diǎn)，連接，求的度數(shù)；
（3）過點(diǎn)作，，連接交于點(diǎn)，若，，直接寫出的面積．
【答案】（1）見解析；（2）∠CFD=135°；（3）△NBC的面積為21．
【分析】（1）由“SAS”可證△BDE≌△CDA，可得BE=CA；
（2）過點(diǎn)D作DG⊥AC于G，DH⊥BF于H，由全等三角形的性質(zhì)可得∠DBE=∠ACD，S△BDE=S△ADC，由面積關(guān)系可求DH=DG，由角平分線的性質(zhì)可得∠DFG=∠DFH=45°，即可求解；
（3）在CD上截取DE=AD=5，連接BE，延長BE交AC于F，由△BEN≌△MCN，可得EN=CN，由三角形的面積公式可求解．
【詳解】證明（1）在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=CA；
（2）如圖2，過點(diǎn)D作DG⊥AC于G，DH⊥BF于H，

∵△BDE≌△CDA，
∴∠DBE=∠DCA，S△BDE=S△ADC，
∵∠DBE+∠A=∠ACD+∠A=90°，
∴∠AFB=∠CFB=90°，
∵S△BDE=S△ADC，
∴，
∴DH=DG，
又∵DG⊥AC，DH⊥BF，
∴∠DFG=∠DFH=45°，
∴∠CFD=135°；
（3）如圖3，在CD上截取DE=AD=5，連接BE，延長BE交AC于F，

由（1）、（2）可得BE=AC，BF⊥AC，BD=CD=12，
∵CM⊥CA，
∴BF∥CM，
∴∠M=∠FBN，
∵CM=CA，
∴CM=BE，
在△BEN和△MCN中，，
∴△BEN≌△MCN（AAS），∴EN=CN，
∵EC=CD-DE=12-5=7，∴，
∴△NBC的面積，
故△NBC的面積為21．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．
14．小明遇到這樣一個問題，如圖1，中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的取值范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長到，使，連接，構(gòu)造，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決．請回答：

(1)小明證明用到的判定定理是： (用字母表示)；
(2)的取值范圍是；
(3)小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點(diǎn)就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在中，為邊上的中線，且平分，求證：．
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)定理解答；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計(jì)算，得到答案；
（3）仿照（1）的作法，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：在和中，

，
小明證明用到的判定定理是，
故答案為：；
（2）解：，
，
在中，，
，
；
（3）證明：延長到點(diǎn)E，使，連接，

在和中，
，
，
，，
平分，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系，掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
截長補(bǔ)短模型
15．已知：如圖，中，E在上，D在上，過E作于F，，，，則的長為．

【答案】/
【分析】在上取一點(diǎn)T，使得，連接，在上取一點(diǎn)K，使得，連接．想辦法證明，推出，推出即可解決問題．
【詳解】解：在上取一點(diǎn)T，使得，連接，在上取一點(diǎn)K，使得，連接．

∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，??
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
16．如圖，在銳角中，，點(diǎn)D，E分別是邊上一動點(diǎn)，連接BE交直線于點(diǎn)F．

(1)如圖1，若，且，求的度數(shù)；
(2)如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線段繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，連接．在點(diǎn)D，E運(yùn)動過程中，猜想線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【答案】(1)
(2)，理由見解析
【分析】（1）如圖1中，在射線上取一點(diǎn)K，使得，證明，推出，再證明，可得結(jié)論；
（2）結(jié)論：．首先證明．如圖2中，延長到Q，使得，連接，證明，推出，延長到P，使得，則是等邊三角形，再證明，推出，，推出是等邊三角形，可得結(jié)論
【詳解】（1）解：如圖1中，在射線上取一點(diǎn)K，使得，

在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）結(jié)論：．
理由：如圖2中，∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如圖2中，延長到Q，使得，連接，

∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
延長到，使得，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
17．如圖，在四邊形中，與交于點(diǎn)，平分，平分，．
??
(1)求的度數(shù)；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）由四邊形內(nèi)角和性質(zhì)求得．再由角平分線定義可得，，最后由三角形內(nèi)角和性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）作的平分線交于，證明，再由全等三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）在四邊形中，，
又∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，，
∴．
在中，．
（2）．
如圖，作的平分線交于．則．
??
在和中，
，
．
∴．同理，．
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
18．課堂上，老師提出了這樣一個問題：

如圖1，在中，平分交于點(diǎn)D，且，求證：，小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構(gòu)造全等三角形來證明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過延長線段構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．輔助線的畫法是：延長至F，使=______，連接請補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；
(2)小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：
如圖3，點(diǎn)D在的內(nèi)部，分別平分，且．求證：．請你解答小蕓提出的這個問題（書寫證明過程）；
(3)小東將老師所給問題中的一個條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：
如果在中，，點(diǎn)D在邊上，，那么平分小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進(jìn)行證明．
【答案】(1)，證明見解析
(2)見解析
(3)見解析

【分析】（1）延長至F，使，連接，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，則可利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證明結(jié)論；
（2）在上截取，使，連接，則可利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；
（3）延長至G，使，連接，則可利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、角平分線的定義即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）證明：（1）如圖1，延長至F，使，連接，則，
∴，
∵平分
∴，??
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．

（2）證明：如圖3，在上截取，使，連接

∵分別平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，??
∴，
∴，
∴．
（3）證明：如圖4：延長至G，使，連接，則，
∴，
∵，
∴，
∵，??
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，即平分．

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．

19．【初步探索】
??
(1)如圖1，在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．
小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點(diǎn)，使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；
【靈活運(yùn)用】
(2)如圖2，若在四邊形中，，．、分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
【拓展延伸】
(3)如圖3，已知在四邊形中，，，若點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在的延長線上，如圖3所示，仍然滿足，請寫出與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．
【答案】(1)
(2)仍成立，理由見解析
(3)，證明見解析
【分析】（1）延長到點(diǎn)，使，連接，可判定，進(jìn)而得出，，再判定，可得出，據(jù)此得出結(jié)論；
（2）延長到點(diǎn)，使，連接，先判定，進(jìn)而得出，，再判定，可得出；
（3）在延長線上取一點(diǎn)，使得，連接，先判定，再判定，得出，最后根據(jù)，推導(dǎo)得到，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：結(jié)論：．
理由：如圖1，延長到點(diǎn)，使，連接，
??
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案為：；
（2）仍成立，理由：
如圖2，延長到點(diǎn)，使，連接，
??
，，
，
又，
，
，，
，，
，
；
（3）．
證明：如圖3，在延長線上取一點(diǎn)，使得，連接，
????
，，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
即，
．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時注意：同角的補(bǔ)角相等．
20．（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍，在這個過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是___________，中線的取值范圍是___________；
（2）問題解決：如圖2，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：；
（3）問題拓展：如圖3，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別以為直角邊向外作和，其中，，，連接，請你探索與的數(shù)量與位置關(guān)系，并直接寫出與的關(guān)系．

【答案】（1），；（2）見解析；（3），
【分析】（1）通過證明，得到，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：，即，從而可得到中線的取值范圍；
（2）延長至點(diǎn)，使，連接，通過證明，得到，由，，得到，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：；
（3）延長于，使得，連接，延長交于，證明得到，證明得到，，在通過三角形內(nèi)角和進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)化即可得到．
【詳解】（1）解：如圖1，延長至，使，連接，
為邊上的中線，
，
在和中，
，
，
，
在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：，
即，
，
，
，
故答案為：，；
（2）證明：如圖2中，延長至點(diǎn)，使，連接，

點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，
∴；
（3）解：結(jié)論：，，
如圖3，延長于，使得，連接，延長交于，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，??
，
，即．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三家形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
21．在中，，為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，．

(1)如圖1，當(dāng)時，則______°；
(2)當(dāng)時，
①如圖2，連接，判斷的形狀，并證明；
②如圖3，直線與交于點(diǎn)，滿足．為直線上一動點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底畲髸r，用等式表示，與之間的數(shù)量關(guān)系為______，并證明．
【答案】(1)100；
(2)①時等邊三角形，證明見解析；
②．證明見解析．
【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理解決問題即可；
（2）①時等邊三角形，證明，即可；②結(jié)論：．如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，，．當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，的值最大，此時，利用全等三角形的性質(zhì)證明，可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：100．
（2）解：①結(jié)論：時等邊三角形．
理由：∵點(diǎn)是線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴時等邊三角形；
②結(jié)論：．
理由：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，，．

∵
則，點(diǎn)在的延長線上時，的值最大，此時，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴時等邊三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．

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