專題59  由遞推關系求數列的通項一、題型選講題型一 、 由連續(xù)兩項之間的關系確定數列的通項利用數列的遞推公式求解數列的通項公式的策略：1、對于遞推關系轉化為（常數）或（常數）可利用等差、等比數列的通項公式求解；2、對于遞推關系式可轉化為的數列，通常采用疊加法（逐差相加法）求其通項公式；3、對于遞推關系式可轉化為的數列，并且容易求數列前項積時，通常采用累乘法求其通項公式；4、對于遞推關系式形如的數列，可采用構造法求解數列的通項公式.例1、已知數列中，，求數列的通項公式。【解析】解法一：                又是首項為2，公比為2的等比數列        ，即解法二：                兩式相減得，故數列是首項為2，公比為2的等比數列，再用累加法的…… 例2、在數列{}中，已知=， 求【解析】：  由已知遞推式得：即：    ……………..         以上各式相加：                  =                 ==                  當時 =1—            所以= 例3、已知 求【解析】：由已知遞推式得                即：=                  =             ………………………                   以上各式相乘:                 當時 ==3所以：  題型二、由連續(xù)三項確定數列的通項原遞推式可化為的形式，比較系數可求得，數列為等比數列。例4、（2021年八省適應性考試）已知各項都為正數的數列滿足．（1）證明：數列是等比數列；（2）若，，求的通項公式．【解析】（1）解法一：由題設得，             且．                                      因此數列是首項為，公比為3的等比數列．     （2） 解法一：由（1）知，                                      于是．                                                     又，故．                                                   因此數列的通項公式為．                                 解法二：由（1）知，                                         所以．              令，，從而．                            又，所以．                                        從而，即．              因此數列的通項公式為．                         說明另一種設法：          令，則，從而．又，所以．從而，即．因此數列的通項公式為．      解法三：由（1）知，                                    所以．                                           令，則．              從而                                     又，所以．              即．              因此數列的通項公式為．      說明也可以在“”兩邊同時乘以“”，得到          ，然后累加．       解法四：因為，所以．               因為，，所以．               從而，即．               所以數列是以為首項，以3為公比的等比數列．               因此數列的通項公式為．        解法五：因為，所以．                因為，，所以．                從而．由（1）知．                因此，即數列的通項公式為． 解法六：由（1）知．                從而．                兩式作差得，．                當是奇數，且時，                      ，                即；                當是偶數，且時，                      ，                所以．                從而，．                又，，滿足．因此數列的通項公式為．      解法七：由（1）知．              當是奇數，                               ，              即；              當是偶數，                               ，              即．因此數列的通項公式為．      解法八：由（1）知．當是偶數，；當是奇數，且時，，              又，．              所以．              因此數列的通項公式為．      解法九：因為數列滿足，              其特征方程為，解得，．              因此．              因為，，所以解得因此數列的通項公式為．     解法十：因為，，，所以．             歸納猜想：．             下面用數學歸納法證明．①當時，成立；②假設當時，，則當時，               成立．因此數列的通項公式為．      說明利用，可以用第一數學歸納法證明．二、達標訓練1、（2020·河北邯鄲市·高三期末）已知數列的前項和為，且滿足，則下列結論正確的是（    ）A．若，則是等差數列B．若，則數列的前項和為C．若，則是等比數列D．若，則【答案】ACD【解析】因為數列的前項和為，且滿足，當時，可得，即，所以，可得，即，又因為，所以，則，可得，故A正確，B不正確.當時，由已知得，即，所以，所以，所以，所以，所以，故C正確，D正確.故選：ACD.2、（2021·湖北高三期末）已知數列的首項且滿足，其中，則下列說法中正確的是（    ）A．當時，有恒成立B．當時，有恒成立C．當時，有恒成立D．當時，有恒成立【答案】AC【解析】因為，故，當即時，，，，故為周期數列且，故A正確.當即時，，同理，，，，，故，故B錯誤.當即時，根據等比數列的通項公式可有，，， ，故D錯誤.對于C，當時，數列的前108項依次為：，，，，，，故，，，，，所以對任意總成立.（備注：因為本題為多選題，因此根據A正確，BD錯誤可判斷出C必定正確，可無需羅列出前108項）故選：AC.3、已知數列滿足，求數列的通項公式。【解析】：設  比較系數得或，不妨取，則，則是首項為4，公比為3的等比數列，所以 數列{}中，已知=3， 求解法一：由得 成等比數列     即=解法二：等式兩邊同除得令則有通過疊加可求得 故另解：由 ① 得 ②  ②-①：為等比數列，首項為，公比為3.     故     ③ 由①③知   4、在數列{}中，已知=1，，求.   【解析】解法一：設數列               即：   比較系數： 令得：      解法二：兩邊同除   令則 即：                  ………..               而，.

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