A. ?30 B. 30 C. ?100 D. 100
2. 已知向量a ，b 滿足a=5,25 ，a?b=6 ，a?b=7 ，則b= ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. 已知正方形ABCD 的邊長為3，DE=2EC ，則AE?BD= ( )
A. 3 B. ?3 C. 6 D. ?6
4. 已知單位向量a ，b 滿足a?b=0 ，若向量c=7a+2b ，則sin?a,c? ＝( )
A. 73 B. 23 C. 79 D. 29
5. 已知△ABC 的外接圓圓心為O ，且2AO=AB+AC ，OA=AB ，則向量BA 在向量BC 上的投影向量為( )
A. 14BC B. 34BC C. ?14BC D. ?34BC
6. [湖南臨澧高三模擬]（多選）已知向量a=1,3 ，b=2,?4 ，則下列結(jié)論正確的是( )
A. a+b⊥a B. 2a+b=10
C. 向量a 與向量b 的夾角為3π4 D. b 在a 上的投影向量的坐標(biāo)是1,3
7. [廣東東莞模擬]（多選）在日常生活中，我們會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情況.假設(shè)行李包所受的重力為G ，所受的兩個(gè)拉力分別為F1 ，F(xiàn)2 ，若F1=F2 且F1 與F2 的夾角為θ ，則以下結(jié)論正確的是( )
A. F1 的最小值為12G B. θ 的范圍為[0,π]
C. 當(dāng)θ=π2 時(shí)，F(xiàn)1=22G D. 當(dāng)θ=2π3 時(shí)，F(xiàn)1=G
8. [山東招遠(yuǎn)模擬]（多選）在Rt△ABC 中，∠A=90° ，AB=2 ，AC=4 ，點(diǎn)P 在△ABC 斜邊BC 的中線AD 上，則PB+PC?AP 的值可能為( )
A. 258 B. 8 C. 52 D. 2
9. [上海高三開學(xué)考試]已知點(diǎn)A?2,3 ，B1,?1 ，則AB 的單位向量為 .（用坐標(biāo)表示）
10. [高考全國卷甲]設(shè)向量a ，b 的夾角的余弦值為13 ，且a=1 ，b=3 ，則2a+b?b= .
11. 已知向量b=1,3 ，向量a 滿足acs?a,b?=?6 ，則a?b= ；若λa+b⊥b ,則實(shí)數(shù)λ 的值為 .
12. 在△ABC 中，點(diǎn)O 為其外心，2OA+2OB+OC=0 ，若BC=2 ，則OA= .
[B級 綜合運(yùn)用]
13. 若O 在△ABC 所在的平面內(nèi)，角A ，B ，C 所對的邊分別是a ，b ，c ，滿足以下條件a?OA+b?OB+c?OC=0 ，則O 是△ABC 的( )
A. 垂心B. 重心C. 內(nèi)心D. 外心
14. [北京西城區(qū)模擬]已知△ABC 為等邊三角形，且邊長為2，則AB 與BC 的夾角大小為 ，若BD=1 ,CE=EA ，則AD?BE 的最小值為 .
15. [湖南高三模擬]已知平面向量a ,b ，c 均為單位向量,且a?b=1 ，則a?b?b?c 的最大值為 .
16. 已知平面上兩個(gè)不共線的向量a ,b ，其中a=1,2 ,b=2 .
（1） 若a+2b⊥2a?b ，求向量a 與向量b 夾角的余弦值；
（2） 若向量a 在向量b 上的投影向量為?12b ，求向量b 的坐標(biāo).
[C級 素養(yǎng)提升]
17. [山西忻州模擬]圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國人所崇尚的圖騰.如圖，AB 是圓O 的一條直徑，且AB=4 ,C ,D 是圓O 上的任意兩點(diǎn)，CD=2 ，點(diǎn)P 在線段CD 上，則PA?PB 的取值范圍是( )
A. [3,2] B. [?1,0] C. [3,4] D. [1,2]
18. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的對邊分別為a ,b ,c ,向量m=sinA,sinB ,n=csB,csA ,m?n=sin2C .
（1） 求角C 的大小；
（2） 若sinA ，sinC ，sinB 成等差數(shù)列，且CA?AB?AC=18 ，求c .
2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-5.3-平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】
[A級 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1. 已知向量a=?2,6 ，b=1,x ，若a 與b 反向，則a?3a+b= ( D )
A. ?30 B. 30 C. ?100 D. 100
[解析]選D.由已知得a 與b 共線，則?2x=1×6 ,解得x=?3 ,所以b=1,?3 ，所以3a+b=3?2,6+1,?3=?5,15 ,因此a?3a+b=?2,6??5,15=100 .故選D.
2. 已知向量a ，b 滿足a=5,25 ，a?b=6 ，a?b=7 ，則b= ( B )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
[解析]選B.由題知，a=5+20=5 .又a?b=6 ，a?b=7 ，所以a?b2=a2?2a?b+b2=49 ，即25?2×6+b2=49 ，所以b=6 .故選B.
3. 已知正方形ABCD 的邊長為3，DE=2EC ，則AE?BD= ( A )
A. 3 B. ?3 C. 6 D. ?6
[解析]選A.因?yàn)檎叫蜛BCD 的邊長為3，DE=2EC ，則AE?BD=AD+DE?AD?AB=AD+23AB?AD?AB=AD2?13AD?AB?23AB2=32?23×32=3 .故選A.
4. 已知單位向量a ，b 滿足a?b=0 ，若向量c=7a+2b ，則sin?a,c? ＝( B )
A. 73 B. 23 C. 79 D. 29
[解析]選B.因?yàn)閍=b=1 ，
且a?b=0 ，c=7a+2b ，
所以c=7a+2b2=7a2+214a?b+2b2=3 ，
a?c=a?7a+2b=7a2+2a?b=7 ，
所以cs?a,c?=a?cac=73 .
因?yàn)?a,c?∈[0,π] ，
所以sin?a,c?=1?732=23 .故選B.
5. 已知△ABC 的外接圓圓心為O ，且2AO=AB+AC ，OA=AB ，則向量BA 在向量BC 上的投影向量為( A )
A. 14BC B. 34BC C. ?14BC D. ?34BC
[解析]選A.由2AO=AB+AC 知，O 為BC 的中點(diǎn)，根據(jù)題意作圖.
因?yàn)镺 為△ABC 的外接圓圓心，
所以O(shè)A=OB=OC .
因?yàn)镺A=AB ，
所以AB=OB=OA=OC ，
所以△AOB 為正三角形，∠ABO=60° ,
所以BA 在BC 上的投影向量為12BO=14BC .故選A.
6. [湖南臨澧高三模擬]（多選）已知向量a=1,3 ，b=2,?4 ，則下列結(jié)論正確的是( AC )
A. a+b⊥a B. 2a+b=10
C. 向量a 與向量b 的夾角為3π4 D. b 在a 上的投影向量的坐標(biāo)是1,3
[解析]選AC.對于A，a+b=3,?1 ，則a+b?a=3?3=0 ，故a+b⊥a ，A對；
對于B，2a+b=4,2 ，故2a+b=42+22=25 ，B錯(cuò)；
對于C，設(shè)向量a 與b 的夾角為θ ，則csθ=a?bab=?1010×25=?22 ，因?yàn)?≤θ≤π ，故θ=3π4 ，C對；
對于D，b 在a 上的投影向量為bcs3π4?aa=?a=?1,?3 ，D錯(cuò).故選AC .
7. [廣東東莞模擬]（多選）在日常生活中，我們會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情況.假設(shè)行李包所受的重力為G ，所受的兩個(gè)拉力分別為F1 ，F(xiàn)2 ，若F1=F2 且F1 與F2 的夾角為θ ，則以下結(jié)論正確的是( ACD )
A. F1 的最小值為12G B. θ 的范圍為[0,π]
C. 當(dāng)θ=π2 時(shí)，F(xiàn)1=22G D. 當(dāng)θ=2π3 時(shí)，F(xiàn)1=G
[解析]選ACD.由題意知，F(xiàn)1+F2+G=0 ，可得F1+F2=?G ，兩邊同時(shí)平方得G2=F12+F22+2F1?F2csθ=2F12+2F12csθ ,所以F12=G221+csθ .當(dāng)θ=0 時(shí)，F(xiàn)1min=12G ；當(dāng)θ=π2 時(shí)，F(xiàn)1=22G ；當(dāng)θ=2π3 時(shí)，F(xiàn)1=G ；當(dāng)θ=π 時(shí)，豎直方向沒有分力與重力平衡，不成立，所以θ∈[0,π) ，故A，C ，D 正確.
8. [山東招遠(yuǎn)模擬]（多選）在Rt△ABC 中，∠A=90° ，AB=2 ，AC=4 ，點(diǎn)P 在△ABC 斜邊BC 的中線AD 上，則PB+PC?AP 的值可能為( CD )
A. 258 B. 8 C. 52 D. 2
[解析]選CD.以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB ，AC 的方向分別為x 軸，y 軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B2,0 ，C0,4 ，D1,2 ,設(shè)Px,2x ，x∈[0,1] ，
所以PB=2?x,?2x ，PC=?x,4?2x ，AP=x,2x ,
則PB+PC=2?2x,4?4x ，
所以PB+PC?AP=?10x2+10x
=?10x?122+52 ，
所以當(dāng)x=12 時(shí)，數(shù)量積取得最大值52 ，當(dāng)x=1 或x=0 時(shí)，數(shù)量積取得最小值0 .
即PB+PC?AP∈[0,52] .故選CD.
9. [上海高三開學(xué)考試]已知點(diǎn)A?2,3 ，B1,?1 ，則AB 的單位向量為35,?45 .（用坐標(biāo)表示）
[解析]由題知，AB=3,?4 ，
AB=32+?42=5 ,
則AB 的單位向量為ABAB=153,?4=35,?45 .
10. [高考全國卷甲]設(shè)向量a ，b 的夾角的余弦值為13 ，且a=1 ，b=3 ，則2a+b?b= 11.
[解析]設(shè)a 與b 的夾角為θ ，則csθ=13 .
又a=1 ，b=3 ，所以a?b=abcsθ=1 ，
所以2a+b?b=2a?b+b2=2a?b+b2=2×1+32=11 .
11. 已知向量b=1,3 ，向量a 滿足acs?a,b?=?6 ，則a?b= ?12 ；若λa+b⊥b ,則實(shí)數(shù)λ 的值為13 .
[解析]設(shè)a ,b 的夾角為θ ，因?yàn)閎=1,3 ，所以b=1+3=2 .因?yàn)閍csθ=?6 ，所以a?b=a?bcsθ=?12 .因?yàn)棣薬+b⊥b ，所以λa+b?b=0 ，所以λa?b+b2=0 ,所以?12λ+4=0 ，解得λ=13 .
12. 在△ABC 中，點(diǎn)O 為其外心，2OA+2OB+OC=0 ，若BC=2 ，則OA= 2147 .
[解析]設(shè)△ABC 外接圓的半徑是R ，
由2OA+2OB+OC=0 得2OA=?2OB?OC ，
則有2?OA2=4OB2+OC2+4OB?OC ，
即2R2=4R2+R2+4R2cs∠BOC ，
化簡得cs∠BOC=?34 .
設(shè)∠BOC=2θ ，則在等腰三角形BOC 中，sinθ=144 .所以O(shè)A=BC2sinθ=2147 .
[B級 綜合運(yùn)用]
13. 若O 在△ABC 所在的平面內(nèi)，角A ，B ，C 所對的邊分別是a ，b ，c ，滿足以下條件a?OA+b?OB+c?OC=0 ，則O 是△ABC 的( C )
A. 垂心B. 重心C. 內(nèi)心D. 外心
[解析]選C.因?yàn)镺B=OA+AB ,OC=OA+AC 且a?OA+b?OB+c?OC=0 ，
所以a+b+c?OA+b?AB+c?AC=0 ，化簡得AO=bca+b+cABAB+ACAC ，
設(shè)AP=ABAB+ACAC ，又ABAB 與ACAC 分別為AB 和AC 方向上的單位向量，所以AP 平分∠BAC .又AO ，AP 共線，故AO 平分∠BAC ，同理可得BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，故O 是△ABC 的內(nèi)心.故選C.
14. [北京西城區(qū)模擬]已知△ABC 為等邊三角形，且邊長為2，則AB 與BC 的夾角大小為120° ，若BD=1 ,CE=EA ，則AD?BE 的最小值為?3?3 .
[解析]由題意知，如圖，B=60° ，
所以?AB,BC?=120° .
因?yàn)锽D=1 ，所以點(diǎn)D 在以點(diǎn)B 為圓心，1為半徑的圓上.
因?yàn)镃E=EA ，所以點(diǎn)E 為AC 的中點(diǎn)，
則BE=12BA+12BC .
又AD=AB+BD ，
所以AD?BE=AB+BD?12BA+12BC
=?12AB2+12AB?BC+12BD?BA+12BD?BC
=?12×4+12×2×2×cs120°+12BD?BA+BC
=?3+BD?BE=?3+BDBEcs?BD ,BE?
=?3+3cs?BD,BE? .
又?BD,BE?∈[0,180°] ，
所以cs?BD,BE?min=?1 ，
所以AD?BEmin=?3?3 .
15. [湖南高三模擬]已知平面向量a ,b ，c 均為單位向量,且a?b=1 ，則a?b?b?c 的最大值為12 .
[解析]由題得a?b2=a2?2a?b+b2=2?2a?b=1 ，解得a?b=12 ，
所以a?b?b?c=a?b?b?a?b?c=a?b?b2?a?b?ccs?a?b,c?
=12?1?cs?a?b,c?=?12?cs?a?b,c? .
因?yàn)閏s?a?b,c?∈[?1,1] ,所以a?b?b?c∈[?32,12] ，
所以a?b?b?c 的最大值為12 .
16. 已知平面上兩個(gè)不共線的向量a ,b ，其中a=1,2 ,b=2 .
（1） 若a+2b⊥2a?b ，求向量a 與向量b 夾角的余弦值；
[答案]解：因?yàn)閍=1,2 ，
所以a=12+22=5 .
因?yàn)閍+2b⊥2a?b ,
所以a+2b?2a?b=0 ,
即2a2+3a?b?2b2=2×52+3a?b?2×22=2+3a?b=0 ,
所以a?b=?23 ,
則cs?a,b?=a?ba?b=?235×2=?515 .
（2） 若向量a 在向量b 上的投影向量為?12b ，求向量b 的坐標(biāo).
[答案]由題意得a?cs?a,b?=?1 ，
則cs?a,b?=?55 .
設(shè)b=x,y ,
則a?b=x+2y=∣a∣?∣b∣?cs?a,b?=?2,∣b∣=x2+y2=2,
解得x=65,y=?85 或x=?2,y=0,
所以b=65,?85 或b=?2,0 .
[C級 素養(yǎng)提升]
17. [山西忻州模擬]圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國人所崇尚的圖騰.如圖，AB 是圓O 的一條直徑，且AB=4 ,C ,D 是圓O 上的任意兩點(diǎn)，CD=2 ，點(diǎn)P 在線段CD 上，則PA?PB 的取值范圍是( B )
A. [3,2] B. [?1,0] C. [3,4] D. [1,2]
[解析]選B.如圖，O 為圓心，連接OP ，則PA?PB=PO+OA?PO+OB=PO2+PO?OB+PO?OA+OA?OB=PO2+PO?OB+OA?OA2=PO2?OA2=PO2?4 .
因?yàn)辄c(diǎn)P 在線段CD 上，且CD=2 ，
則圓心到CD 所在直線的距離d=22?12=3 ，所以3≤PO≤2 ，
所以3≤PO2≤4 ，則?1≤PO2?4≤0 ，即PA?PB 的取值范圍是[?1,0] .故選B.
18. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的對邊分別為a ,b ,c ,向量m=sinA,sinB ,n=csB,csA ,m?n=sin2C .
（1） 求角C 的大小；
[答案]解：m?n=sinAcsB+sinBcsA=sinA+B ,
在△ABC 中，A+B=π?C ，0

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