2025高考數(shù)學一輪復習-5.3-平面向量的數(shù)量積-專項訓練模擬練習【含解析】-試卷下載-教習網(wǎng)

一、單選題
1．已知向量a＝(－2,6)，b＝(1，x)，若a與b反向，則a·(3a＋b)＝( )
A．－30 B．30
C．－100 D．100
2．平面向量a與b的夾角為45°，a＝(1,1)，|b|＝2，則|3a＋b|＝( )
A．13＋6eq \r(2) B．2eq \r(5)
C.eq \r(30) D．eq \r(34)
3．已知a，b是單位向量，若|a＋2b|＝|2a－b|，則a，b的夾角是( )
A.eq \f(π,3) B．eq \f(π,2)
C．eq \f(2π,3) D．eq \f(3π,4)
4．向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．若(a＋b)⊥(a－b)，則x等于( )
A．－2 B．±eq \r(2)
C．±2 D．2
5．已知|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝3，則向量a在向量b上的投影向量為( )
A．－eq \f(1,2)b B．－b
C．－2b D．－4b
6．若AC⊥BC，AC＝BC＝1，點P是△ABC內(nèi)一點，則eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D．(－1,1)
7．已知單位向量a，b滿足a·b＝0，若向量c＝eq \r(7)a＋eq \r(2)b，則sin〈a，c〉＝( )
A.eq \f(\r(7),3) B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(7),9) D．eq \f(\r(2),9)
8．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍可以是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) B．(2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))
二、多選題
9．已知向量a＋b＝(1,1)，a－b＝(－3,1)，c＝(1,1)，設a，b的夾角為θ，則( )
A．|a|＝|b| B．a(chǎn)⊥c
C．b∥c D．θ＝135°
10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均為正數(shù)，且(a－b)∥c，則下列說法正確的是( )
A．a(chǎn)與b的夾角為鈍角
B．向量a在b上的投影向量為eq \f(\r(2),2)b
C．2m＋n＝4
D．mn的最大值為2
11．如圖，點A，B在圓C上，則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值( )
A．與圓C的半徑有關 B．與圓C的半徑無關
C．與弦AB的長度有關 D．與點A，B的位置有關
三、填空題
12．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，則cs a，b＝ .
13．已知單位向量a，b的夾角為45°，ka－b與a垂直，則k＝ .
14．已知e1，e2為單位向量且夾角為eq \f(2π,3)，設a＝3e1＋2e2，b＝3e2，則a在b上的投影向量為 .
15．已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝ .
四、解答題
16．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a與b的夾角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面積．
INCLUDEPICTURE "B組.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大樣\\人教數(shù)學\\B組.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B級能力提升】
1．已知向量a＝(0,2)，b＝(2eq \r(3)，x)，且a與b的夾角為eq \f(π,3)，則x＝( )
A．－2 B．2
C．1 D．－1
2．如圖所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若eq \(CE,\s\up6(→))＝－7eq \(DE,\s\up6(→))，3eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))，則eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝( )
A．11 B．10
C．－10 D．－11
3．已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cs〈m，n〉＝eq \f(1,3).若n⊥(tm＋n)，則實數(shù)t的值為( )
A．4 B．－4
C．eq \f(9,4) D．－eq \f(9,4)
4．(多選題)已知向量a＝(3,4)，b＝(cs θ，sin θ)(0≤θ≤π)，則下列命題正確的是( )
A．若a⊥b，則tan θ＝－eq \f(3,4)
B．存在θ，使得|a－b|＝|a|＋|b|
C．若向量b在a方向上的投影向量為eq \f(\r(2),10)a，則向量a與b的夾角為eq \f(π,4)
D．與向量a共線的單位向量是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))
5．在△ABC中，C＝eq \f(π,2)，AC＝BC＝2，M為邊AC的中點，若點P在邊AB上運動(點P可與A，B重合)，則eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))的最小值為 .
6.在如圖所示的平面直角坐標系中，已知點A(1,0)和點B(－1,0)，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝1，且∠AOC＝θ，其中O為坐標原點．
(1)若θ＝eq \f(3π,4)，設點D為線段OA上的動點，求|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|的最小值；
(2)若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq \(BC,\s\up6(→))，n＝(1－cs θ，sin θ－2cs θ)，求m·n的最小值及對應的θ值．
參考答案
【A級基礎鞏固】
一、單選題
1．( D )[解析] 由已知得a與b共線，則－2×x＝1×6，解得x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以3a＋b＝3(－2,6)＋(1，－3)＝(－5,15)，因此a·(3a＋b)＝(－2,6)·(－5,15)＝100.故選D.
2．( D )[解析] ∵a＝(1,1)，∴|a|＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2).∴a·b＝|a||b|cs 45°＝2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.∴|3a＋b|＝eq \r(9a2＋b2＋6a·b)＝eq \r(18＋4＋12)＝eq \r(34).故選D.
3．( B )[解析] 根據(jù)向量模的數(shù)量積運算得a·b＝0，進而a，b的夾角是eq \f(π,2).因為a，b是單位向量，所以|a|＝|b|＝1，因為|a＋2b|＝|2a－b|，所以|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2，所以12＋4a·b＋4×12＝4×12－4a·b＋12，即a·b＝0，所以a⊥b，即a，b的夾角是eq \f(π,2).故選B.
4．( C )[解析] 解法一：a＋b＝(1＋x,3)，a－b＝(1－x,1)，因為(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(1＋x)(1－x)＋3＝0，解得x＝±2.
解法二：因為(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以a2－b2＝0，所以|a|＝|b|，所以x＝±2.
5．( A )[解析] 首先根據(jù)|a－b|＝3，求出a與b的夾角，再根據(jù)向量a在向量b上的投影向量的定義即可求解．由題意可知，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝9，又|a|＝1，|b|＝2，代入可得1－2a·b＋4＝9，a·b＝－2，則a·b＝|a|·|b|·cs θ＝－2，其中θ為a與b的夾角，解得cs θ＝－1.則向量a在向量b上的投影向量為|a|cs θ·eq \f(b,|b|)＝－eq \f(1,2)b.故選A.
6．( A )[解析] 建立平面直角坐標系，設出點P坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，轉化成坐標間的關系；根據(jù)坐標的取值范圍確定數(shù)量積的范圍．建立平面直角坐標系，由AC⊥BC，AC＝BC＝1，∴A(0,1)，B(1,0)，
設點P(x，y)，則eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x,1－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(1－x，－y)；又P是△ABC內(nèi)的一點，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,y>0，,x＋y