重慶市第二十九中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題（Word版附解析）

這是一份重慶市第二十九中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題（Word版附解析），共24頁(yè)。試卷主要包含了多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
重慶二十九中2023-2024學(xué)年度上期高二年級(jí)數(shù)學(xué)10月考試題卷（命題人：    滿分：150分    時(shí)間：120分鐘）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 過(guò) 兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的斜率，結(jié)合直線傾斜角的范圍即可得出結(jié)果.【詳解】由已知直線的斜率為 ， 所以傾斜角．故選：D.2. 已知直線的一個(gè)方向向量（），直線的一個(gè)方向向量，若，且，則的值是（    ）A. 2 B. 或1 C.  D. 1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)模和垂直的空間向量公式，即可求解.【詳解】，，得，所以，因?yàn)?/span>，則，得，所以.故選：A3. 如圖所示，中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，E是線段AD的靠近A的四等分點(diǎn)，則（    ）A  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量加減法的三角形法則計(jì)算即可.【詳解】解：由題意可得：，，，．∴，故選：D.4. 如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為3的正三角形，是上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)且，則（    ）  A. 5 B. 3 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】以為一組基底，表示求解.【詳解】解：以為一組基底，則，，，，，，，所以.故選：D5. 如圖，圓錐的軸截面為等邊三角形，為弧的中點(diǎn)，為母線的中點(diǎn)，則異面直線和所成角的余弦值為（    ）  A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】解法一：取中點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，連接，先證明平面，即可得出，根據(jù)勾股定理求出.然后由，得出或其補(bǔ)角等于異面直線和所成的角，在中，即可求出答案；解法二：先證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出，即可根據(jù)數(shù)量積公式，求出答案.【詳解】解法一：  如圖1，取中點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，連接，易知底面，因?yàn)?/span>平面，所以平面底面.又平面底面，，所以平面.因?yàn)?/span>平面，所以.同理可得，.設(shè)底面半徑為，，.因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以，則在中，或其補(bǔ)角等于異面直線和所成的角.所以.解法二：如圖2，為的中點(diǎn)，連接，易知底面，因?yàn)?/span>平面，所以平面底面.又平面底面，，所以平面.   以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，記所求角為，則.故選：C.6. 如圖，平行六面體中，，，，，則與所成角的大小為（    ）  A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)，表示出，，計(jì)算，即可求得答案.【詳解】設(shè)，則，三向量的夾角皆為，由題意可得，，故，即，所以與所成角的大小為，故選：C7. 在中，內(nèi)角A的平分線與邊BC交于點(diǎn)D且，，若的面積，則AD的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積公式建立方程，求出，再由三角形面積范圍求出角A的范圍，利用三角函數(shù)即可求解.【詳解】，，， ，即，即，解得，又因?yàn)?/span>，所以，即，，，故選：D8. 平面直角坐標(biāo)系中，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)為，，，，光線從OA邊上一點(diǎn)沿與x軸成角的方向發(fā)射到AB邊上的點(diǎn)，被AB反射到BC上的點(diǎn)，再被BC反射到OC上的點(diǎn)，最后被OC反射到x軸上的點(diǎn)，若，則的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)光線反射的性質(zhì)，利用解三角形可得坐標(biāo)，再由求解即可.【詳解】由題意，，則,，，，即，，解得.故選：A二、多選題（本大題共4小題，每小5分，共20分、在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9. 兩直線與互相平行的條件是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行斜率相等截距不相等可得答案.【詳解】時(shí)，兩直線分別為與互相垂直，不滿足題意；所以，根據(jù)兩直線平行可得，所以，又兩直線不重合，所以時(shí)，；時(shí)，．故選：CD.10. 已知空間中三點(diǎn)，，，則（    ）A. B. 與方向相反的單位向量的坐標(biāo)是C. D. 在上的投影向量的模為【答案】AB【解析】【分析】A選項(xiàng)，驗(yàn)證是否等于0即可；B選項(xiàng)，與方向相反的單位向量為，即可判斷選項(xiàng)正誤；C選項(xiàng)，驗(yàn)證是否存在非零實(shí)數(shù)，使即可；D選項(xiàng)，在上的投影向量的模為，據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】由題， .A選項(xiàng)，，則，故A正確；B選項(xiàng)，，則，故B正確；C選項(xiàng)，設(shè)，則，即不存在，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，則，故D錯(cuò)誤.故選：AB11. 下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（    ）A. 兩條不重合直線的方向向量分別是，則B. 直線的方向向量，平面的法向量是，則C. 兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則D. 直線的方向向量，平面的法向量是，則【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于，由不重合兩直線方向向量平行可判斷直線相互平行；對(duì)于B，要考慮直線可能在面內(nèi)；對(duì)于C，由兩法向量垂直可得兩平面垂直；對(duì)于D，直線方向向量與法向量平行，則直線與面垂直.【詳解】對(duì)于，兩條不重合直線，的方向向量分別是，則，所以，即，故正確；對(duì)于B，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，則，所以，故C正確；對(duì)于D，直線方向向量，平面的法向量是，則，所以，即，故D錯(cuò)誤．故選：AC．12. 如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（    ）A. 存在點(diǎn)，使得B. 存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為C. 三棱錐體積的最大值是D. 當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角逐漸增大【答案】ACD【解析】【分析】首先以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)?/span>軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，對(duì)選項(xiàng)A，假設(shè)存在點(diǎn)，根據(jù)即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B，假設(shè)存在點(diǎn)，根據(jù)無(wú)解即可判斷B錯(cuò)誤，對(duì)選出C，連接，根據(jù)即可判斷C正確，對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)直線與平面所成的角為，得到，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D正確.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)?/span>軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，；對(duì)于A，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，又，所以，解得：，即點(diǎn)與重合時(shí)，，A正確；對(duì)于B，假設(shè)存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為，因?yàn)?/span>，，所以，方程無(wú)解；所以不存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接；設(shè)，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值；又點(diǎn)到平面的距離，所以，C正確；對(duì)于D，由上分析知：，，若是面的法向量，則，令，則，因?yàn)?/span>，設(shè)直線與平面所成的角為，，所以，當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值由到變大，此時(shí)也逐漸增大，因?yàn)?/span>在為增函數(shù)，所以也逐漸增大，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13. 已知，若，則________．【答案】【解析】分析】根據(jù)，解得m，n求解.【詳解】由題意可知n不為0，因?yàn)?/span>，且，所以，解得，所以，故答案為：14. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，，，則______．【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形內(nèi)角和定理可求A，根據(jù)正弦定理即可求的值．【詳解】在中，因?yàn)?/span>，，，則，由正弦定理，可得：．故答案為：．15. 兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點(diǎn)，E和A，F，使，且已知，則線段的長(zhǎng)為___________．【答案】或【解析】【分析】利用空間向量線性運(yùn)算得到，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算法則及模的運(yùn)算即可得解，注意的夾角有兩種情況.【詳解】由題意，得，所以，因?yàn)?/span>，所以，， 因?yàn)?/span>，所以，則，同理：，因?yàn)楫惷嬷本€a，b所成的角為，當(dāng)的夾角為時(shí)，，所以，則，即，故；當(dāng)的夾角為時(shí)，，所以，則，故；綜上：線段的長(zhǎng)為或.故答案為：或..16. 已知等腰內(nèi)接于圓O，點(diǎn)M是下半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)，如圖所示）.現(xiàn)將上半圓面沿AB折起，使所成的二面角為.則直線AC與直線OM所成角的正弦值最小值為______.【答案】##0.5【解析】【分析】取下半圓弧的中點(diǎn)D，連接OC，OD，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答.【詳解】在折后的圖形中，取下半圓弧的中點(diǎn)D，連接OC，OD，如圖，依題意，平面，于是得平面，且是二面角的平面角，即，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作，因此射線兩兩垂直，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，射線分別為非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，設(shè)點(diǎn)，顯然有，于是得，令直線AC與直線OM所成的角為，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，顯然直線AC與直線OM為異面直線，即，而余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此取最大值時(shí)，角取最小值，，所以直線AC與直線OM所成角的正弦值最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求空間角的最值問(wèn)題，根據(jù)給定條件，選定變量，將該角的某個(gè)三角函數(shù)建立起變量的函數(shù)，求出函數(shù)最值即可.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17. 已知直線，.（1）若直線l與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值（2）若直線l在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍，求直線l的方程.【答案】（1）或    （2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可；（2）求出在坐標(biāo)軸上的截距，由條件求出，即可得出直線方程.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橹本€l與直線垂直，所以，解得或.【小問(wèn)2詳解】令，得，令，，由題意知，解得或，所以直線l的方程為或.18. 已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，.（1）若，求的值；（2）若的面積，求的值.【答案】（1）    （2），【解析】【分析】（1）先求出，再利用正弦定理求解；（2）利用的面積求出，再利用余弦定理求出得解.【小問(wèn)1詳解】，且.由正弦定理得，所以.【小問(wèn)2詳解】.由余弦定理得.19. 如圖，四棱柱為平行六面體，為的中點(diǎn)．（1）若點(diǎn)滿足，求證：四點(diǎn)共面；（2）若為正方體，求直線平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；    （2）【解析】【分析】（1）用向量證明即可；（2）用空間向量求角度.【小問(wèn)1詳解】證明：在四棱柱為平行六面體中，，如圖在的延長(zhǎng)線上取，則，則，，所以，即，所以四點(diǎn)共面.【小問(wèn)2詳解】正方體，以為原點(diǎn)，所在直線軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，則，令，則，所以，，，所以直線平面所成角的正弦值.20. 讀書(shū)可以增長(zhǎng)知識(shí)，開(kāi)拓視野，修身怡情．某校為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出一個(gè)容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名．經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，分別得到40名男生一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的頻率分布直方圖．男生一周閱讀時(shí)間頻數(shù)分布表小時(shí)頻數(shù)92263  （1）由以上頻率分布直方圖估計(jì)該校女生一周閱讀時(shí)間的第75百分位數(shù)；（2）從一周課外閱讀時(shí)間為的樣本學(xué)生中按比例分配抽取7人，再?gòu)倪@7人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義，結(jié)合頻率分布直方圖可得答案；（2）由頻數(shù)分布表，頻率分布直方圖知，一周課外閱讀時(shí)間為的學(xué)生中男生有6人，女生有人，按照比例抽樣，利用古典概型可解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)女生一周閱讀時(shí)間的分位數(shù)為a，，解得；【小問(wèn)2詳解】由頻數(shù)分布表，頻率分布直方圖知，一周課外閱讀時(shí)間為的學(xué)生中男生有6人，女生有（人），若從中按比例分別抽取7人，則男生有2人，記為，，女生有5人，記為，，，，，則樣本空間，共有21個(gè)樣本點(diǎn)．記事件A＝“恰好一男一女”，則包含10個(gè)樣本點(diǎn)，故所求概率．21. 如圖，在四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點(diǎn)．    （1）證明：平面；（2）求直線與平面間的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連，可證四邊形為平行四邊形，，再根據(jù)線面平行的判定定理可得平面；（2）根據(jù)平面，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離，取的中點(diǎn)，連，可證平面，以為原點(diǎn)，分別為軸，在平面內(nèi)，作平面，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)面距的向量公式可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.  .【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?/span>平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為所求.因?yàn)?/span>，取的中點(diǎn)，連，則四邊形為矩形，，因?yàn)?/span>是以為斜邊的等腰直角三角形，所以，，因?yàn)?/span>，，平面，所以平面，因?yàn)?/span>，所以平面，因?yàn)?/span>，所以平面平面，以為原點(diǎn)，分別為軸，在平面內(nèi)，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，在中，，，所以，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>是三角形內(nèi)角，所以，所以，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，，所以點(diǎn)到平面的距離為.故直線與平面間的距離為.  22. 如圖1，菱形中，動(dòng)點(diǎn)在邊上（不含端點(diǎn)），且存在實(shí)數(shù)使，沿將向上折起得到，使得平面平面，如圖2所示．（1）若，設(shè)三棱錐和四棱錐的體積分別為，求；（2）當(dāng)點(diǎn)的位置變化時(shí)，平面與平面的夾角（銳角）的余弦值是否為定值，若是，求出該余弦值，若不是，說(shuō)明理由；【答案】（1）；    （2）是，.【解析】【分析】（1）設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，由直線與垂直，即可列式求解；（2）設(shè)平面與平面的夾角為，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量夾角公式即可求解．【小問(wèn)1詳解】在圖2中，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，因即，所以,所以,又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，所以平面，由題意可知,以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，所以，，，，所以，，因?yàn)?/span>直線與垂直，所以，即，解得：（舍）或，所以，，所以圖1中點(diǎn)在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】設(shè)平面與平面的夾角為， 平面的法向量，，，設(shè)平面的法向量，則，即，取，得，,得，所以，所以，所以無(wú)論點(diǎn)的位置如何，平面與平面的夾角余弦值都為定值．