重慶市育才中學(xué)校高2025屆2023-2024學(xué)年（上）10月月考數(shù)學(xué)試題本試卷為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上.寫在本試卷及草稿紙上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 若復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A.  B. 2 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】由，得.故選：D.2. 已知空間單位向量，，兩兩垂直，則（    ）A.  B.  C. 3 D. 6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，可求得，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意，，，，， ，.故選：A.3. 已知直線：，：，若，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橹本€：，：，，所以，解得.故選：C.4. 已知，，三點(diǎn)共線，則（    ）A. 4 B. 1 C. 0 D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得重合，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，且，，，則重合，即.故選：B5. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知、兩點(diǎn)，若圓以為直徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo)以及圓的半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)閳A以為直徑，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.6. 已知是空間中一組基底，若向量，則稱向量在基底下坐標(biāo)為.若向量在基底下坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由條件得到，然后利用待定系數(shù)法求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>在基底下坐標(biāo)為，所以，設(shè)，則，解得，所以向量在基底下的坐標(biāo)為，故選：C7. 若直線過(guò)定點(diǎn)，且與以為端點(diǎn)的線段相交（包括端點(diǎn)），則其傾斜角的取值范圍是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合斜率公式，求得或，得到或，進(jìn)而求得直線的傾斜角的范圍.【詳解】如圖所示，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，且與以為端點(diǎn)的線段相交，可得，，所以直線的斜率滿足或，設(shè)直線的傾斜角為，可得或，解得或，所以直線的傾斜角的范圍為.故選：B.8. 如圖，已知正方體，空間中一點(diǎn)滿足，且，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)位置記為點(diǎn)，則數(shù)量積的不同取值的個(gè)數(shù)為（    ）A. 3 B. 6 C. 7 D. 8【答案】A【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間坐標(biāo)系，由題意可得點(diǎn)在平面內(nèi)，且當(dāng)平面時(shí)，取最小值，即平面,求出的坐標(biāo)，計(jì)算出的值，即可得答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，，，，，因?yàn)?/span>，且，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，又因?yàn)槿忮F為正三棱錐，當(dāng)平面時(shí)，取最小值，此時(shí)點(diǎn)位置記為點(diǎn)，所以為的重心，則，故，又因?yàn)?/span>，，，，，，，所以，，，，，，，所以共3個(gè)不同取值.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在平面中，如果，且，則三點(diǎn)共線；在空間中，如果，且，則四點(diǎn)共面.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9. 已知空間向量，，則下列選項(xiàng)中正確的是（    ）A. 當(dāng)時(shí)， B. 當(dāng)時(shí)，C. 當(dāng)時(shí)， D. 當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，利用空間向量平行的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于B，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出，利用模長(zhǎng)公式計(jì)算，從而得以判斷；對(duì)于D，利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可判斷.【詳解】對(duì)A，，存在實(shí)數(shù)，使得，則，即，解得，，故A正確；對(duì)B，，，即，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，，故C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，，，故D正確.故選：ACD.10. 若有一組圓：，下列命題正確的是（    ）A. 所有圓的半徑均為2B. 所有的圓的圓心恒在直線上C. 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上D. 經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓有且只有一個(gè)【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷求解；【詳解】選項(xiàng)A: ，，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B: 根據(jù)可得，圓心為，在，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C: 當(dāng)時(shí)，，代入不滿足方程，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D:代入 得：即有兩個(gè)解，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AB.11. 已知直線：，下列說(shuō)法正確的是（    ）A. 直線過(guò)定點(diǎn)B. 當(dāng)時(shí)，關(guān)于軸對(duì)稱直線為C. 點(diǎn)到直線的最大距離為D. 與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2的直線有4條【答案】ABC【解析】【分析】令得系數(shù)等于零，即可求出直線所過(guò)的定點(diǎn)，即可判斷A；在直線上取兩點(diǎn)，求出這兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，即可求出關(guān)于軸對(duì)稱直線的方程，即可判斷B；結(jié)合A選項(xiàng)，當(dāng)直線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，即可判斷C；分別求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合題意即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由直線：，得，由，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線：，在直線上取兩點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，所以關(guān)于軸對(duì)稱直線為，即，故B正確；對(duì)于C，由A選項(xiàng)可知直線過(guò)定點(diǎn)，則當(dāng)直線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大距離為，故C正確；對(duì)于D，由直線：，令，則，當(dāng)時(shí)，，則直線與軸沒(méi)有交點(diǎn)，所以，令，則，由題意得，解得或，所以與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2的直線有3條，故D錯(cuò)誤。故選：ABC.12. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，底面，，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），是平面內(nèi)一點(diǎn)，則（    ）A. 存在點(diǎn)，使得∥平面B. 任意點(diǎn)，均有面面C. 的最小值為D. 以為球心，半徑為1的球與四棱錐表面的交線長(zhǎng)為【答案】BCD【解析】【分析】選項(xiàng)A：根據(jù)線面平行的判定判斷；選項(xiàng)B：根據(jù)面面垂直的判定判斷；選項(xiàng)C：判斷平面關(guān)系，然后將圖展開(kāi)求解；選項(xiàng)D：求出球面與的交線，再借助對(duì)稱計(jì)算判斷即可.【詳解】解：選項(xiàng)A：過(guò)作∥,且連接,因?yàn)辄c(diǎn)是棱上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），所以，又∥,且，∥,∥,所以∥,且,所以的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線必定相交于某一點(diǎn)，又平面,所以與平面相交，所以一定不存在點(diǎn)，使得∥平面，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：底面為正方形，所以,又因?yàn)?/span>底面，底面，所以,平面,所以平面,又面，所以平面平面，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C：將立體幾何圖象展開(kāi)如圖，因?yàn)?/span>底面，底面，所以,又因?yàn)?/span>,所以平面, 平面,所以同理可得 ,又因?yàn)?/span>，,所以平面，又平面,所以平面平面，將繞展開(kāi)到平面，如圖，易知，設(shè)，過(guò)作，垂足點(diǎn)為，且又平面 平面，平面平面 平面，所以平面，此時(shí)最小，,選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D：由題意可得球面與的交線如圖中圓弧,，又易知 則于是弧的長(zhǎng)為，由對(duì)稱性知球與的交線長(zhǎng)也為，過(guò)作于，顯然平面,則,而平面,于是平面,顯然,球面與平面的交線是以為圓心，半徑為的圓，顯然點(diǎn)到直線的距離為，因此球面與的交線是半徑為的半圓，所以交線長(zhǎng)為，由對(duì)稱性知球與的交線長(zhǎng)也為，所以與四棱錐表面的交線長(zhǎng)為，故正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問(wèn)題，把相關(guān)線段所在的平面圖形展開(kāi)并放在同一平面內(nèi)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短解決是關(guān)鍵.第II卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 若的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，則的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓的方程為，然后將的坐標(biāo)代入求解即可.【詳解】設(shè)圓的方程為，因?yàn)?/span>的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，所以，解得，所以圓的方程為，即，故答案為：.14. 中國(guó)古建筑的屋頂千變?nèi)f化，瑰麗多姿.常見(jiàn)的屋頂樣式有：廡殿頂、歇山頂、懸山頂、硬山頂、卷棚頂、攢尖頂?shù)?/span>.其中歇山頂（圖（1））常用于配殿等次要建筑和園林中，也有單檐、重檐的形式.如天安門、太和門、保和殿、乾清宮等.歇山頂單檐式是由一條正脊、四條垂脊和四條創(chuàng)脊組成，正脊的前后兩坡是整坡，左右兩坡是半坡.從側(cè)面看，屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)等腰三角形和一個(gè)等腰梯形組成的二面角（圖（2））.已知屋檐（等腰梯形的下底邊）AB=6米，戧脊（等腰梯形的腰）米，與屋檐夾角為45°，垂脊（等腰三角形的腰）米，則垂脊與屋檐夾角的正切值為______.圖（1）        圖（2）【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意表示出直線與平面的長(zhǎng)度關(guān)系，然后利用幾何圖形求解即可；【詳解】由題意可知，,四邊形為等腰梯形，且，因?yàn)?/span>故垂脊與屋檐夾角和 夾角相等，即,在等腰三角形中，故答案為：.15. 經(jīng)過(guò)直線和的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為______.【答案】或【解析】【分析】先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式方程即可得解.【詳解】聯(lián)立，解得，即直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，則有，解得，故直線方程為，即，綜上所述，所求直線方程為或.故答案為：或.16. 若恰有三組不全為0的實(shí)數(shù)對(duì)滿足關(guān)系式，寫出符合條件實(shí)數(shù)的一個(gè)取值______.【答案】不唯一；【解析】【分析】由，轉(zhuǎn)化為，得到表示點(diǎn)到直線的距離，表示點(diǎn)到直線的距離；由，分， 求解.【詳解】解：由，得，則表示點(diǎn)到直線的距離；表示點(diǎn)到直線的距離；要使，  當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，有兩條直線；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有一條直線；所以當(dāng)恰有三組不全為0的實(shí)數(shù)對(duì)滿足關(guān)系式時(shí)，即有三條直線，使得的實(shí)數(shù)的范圍是，所以符合條件實(shí)數(shù)的一個(gè)取值為，不唯一；故答案為：，不唯一；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17. 已知直線：，直線：，且.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求、之間距離.【答案】（1）2    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，由求解；（2）利用兩直線間的距離公式求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)橹本€：，直線：平行，所以，解得；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：直線：，直線：，所以、之間的距離為.18. 如圖，在三棱柱中，，，平面平面，.（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值. 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；    （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得答案；（2）根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，的正向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面，平面的法向量，由二面角的向量求法可得答案.【小問(wèn)1詳解】，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，取平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，取，，則，可得，令，可得，設(shè)二面角的大小為，觀察可知為銳二面角，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.19. 在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理化簡(jiǎn)得到，得到，即可求解；（2）設(shè)的外接圓的半徑為，求得，結(jié)合三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?/span>，由正弦定理得，又因?yàn)?/span>，可得，所以，即，因?yàn)?/span>，所以.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知且，設(shè)的外接圓的半徑為，可得，又由正弦定理得，因?yàn)?/span>，則，可得，所以 ，因?yàn)?/span>，可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，最大值為，所以周長(zhǎng)的最大值為.20. 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，面，為棱上一動(dòng)點(diǎn)，滿足.（1）當(dāng)為何值時(shí)，面：（2）若二面角的平面角的正切值為，當(dāng)時(shí)，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；    （2）.【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接， 證為中位線即可；（2）應(yīng)用空間向量求解.【小問(wèn)1詳解】由底面為菱形，連接交于點(diǎn)，連接，若面，因?yàn)?/span>平面，又面平面， 所以，在中，為中點(diǎn)，所以也為中點(diǎn)，故，所以當(dāng)時(shí)，面；【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連接，，又平面，所以平面，又，所以以為原點(diǎn)，所在直線為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，底面為菱形，且，設(shè)，設(shè)，則，，因?yàn)?/span>，所以，設(shè)，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，所以，又因?yàn)?/span>面，所以平面一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則 ，，解的，所以，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，則，令，所以，，，所以與平面所成角正弦值.21. 《中國(guó)制造2025》提出“節(jié)能與新能源汽車”作為重點(diǎn)發(fā)展領(lǐng)域，明確了“繼續(xù)支持電動(dòng)汽車、燃料電池汽車發(fā)展，掌握汽車低碳化、信息化、智能化核心技術(shù)，提升動(dòng)力電池、驅(qū)動(dòng)電機(jī)、高效內(nèi)燃機(jī)、先進(jìn)變速器、輕量化材料、智能控制等核心技術(shù)的工程化和產(chǎn)業(yè)化能力，形成從關(guān)鍵零部件到整車的完成工業(yè)體系和創(chuàng)新體系，推動(dòng)自主品牌節(jié)能與新能源汽車與國(guó)際先進(jìn)水平接軌的發(fā)展戰(zhàn)略，為我國(guó)節(jié)能與新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展指明了方向.某新能源汽車制造企業(yè)為了提升產(chǎn)品質(zhì)量，對(duì)現(xiàn)有的一條新能源零部件產(chǎn)品生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級(jí)改造，為了分析改造的效果，該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的新能源零部件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，檢測(cè)產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，根據(jù)檢測(cè)數(shù)據(jù)整理得到頻率直方圖（如圖）：（1）從質(zhì)量指標(biāo)值在的兩組檢測(cè)產(chǎn)品中，采用分層抽樣的方法再抽取5件.現(xiàn)從這5件中隨機(jī)抽取2件作為樣品展示，求抽取的2件產(chǎn)品恰好都在同一組的概率.（2）經(jīng)估計(jì)知這組樣本的平均數(shù)為，方差為.檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)中，，，其中表示不大于的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，值四舍五入精確到個(gè)位.根據(jù)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，技術(shù)升級(jí)改造后，若質(zhì)量指標(biāo)值有落在內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級(jí)穩(wěn)定，但需要進(jìn)一步改造技術(shù)；若有落在內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定，認(rèn)為生產(chǎn)線技術(shù)改造成功.請(qǐng)問(wèn)：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)，是否可以判定生產(chǎn)線的技術(shù)改造成功？【答案】（1）；    （2）詳見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣確定抽取比例，然后運(yùn)用組合求解即可；（2）根據(jù)題中公式，計(jì)算出區(qū)間并判段數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的概率，然后與題中條件比較即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，所以抽取的2件產(chǎn)品恰好都在同一組的概率為：;【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?/span>，知則該抽樣數(shù)據(jù)落在內(nèi)頻率約為，又該抽樣數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率約為，所以可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級(jí)穩(wěn)定，但不能判定生產(chǎn)線技術(shù)改造成功．22. 如圖，已知四棱錐的底面為平行四邊形，平面與直線、、分別交于點(diǎn)、、，且滿足.點(diǎn)在直線上，為棱的中點(diǎn)，且直線平面.（1）設(shè)，，，試用基底表示向量；（2）若點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度與棱長(zhǎng)的比值為，試討論是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出，若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）    （2）為定值【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量基本定理進(jìn)行求解；（2）設(shè)，表達(dá)出，根據(jù)平面，設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，表達(dá)出，，從而得到方程，得到，分和時(shí)，結(jié)合根的判別式，得到，求出為定值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗睦忮F的底面為平行四邊形，所以，故；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，又，所以，則，，，設(shè)，又，則，因?yàn)?/span>平面，則存在實(shí)數(shù)，使得，故，所以，故，整理得，，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由，解得或，綜上，，所以對(duì)所有滿足條件的平面，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故為定值，.

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重慶市字水中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題（Word版附解析）：

這是一份重慶市字水中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題（Word版附解析），共20頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

重慶市巴蜀中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題（Word版附解析）：

這是一份重慶市巴蜀中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題（Word版附解析），共30頁(yè)。試卷主要包含了 已知直線與平行，則實(shí)數(shù)， 已知是圓， 已知點(diǎn)在圓上，直線，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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