重慶市廣益中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

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一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系即可得傾斜角．
【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，
因?yàn)樵撝本€的斜率為，所以，所以，
故選：A
2. 已知直線與直線，若，則（ ）
A. 6B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，求解方程得答案.
【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線，且，
所以，解得，
故選：A.
3. 若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及方程表示圓列出方程組，從而可得出答案.
【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在圓的外部，
所以，解得.
故選：C．
4. 已知三棱錐，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.
【詳解】
.
故選：C.
5. 某直線l過(guò)點(diǎn)，且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍，則該直線的斜率是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】討論在x軸和y軸上的截距均為0或均不為0，設(shè)直線方程并由點(diǎn)在直線上求參數(shù)，即可得直線方程，進(jìn)而寫出其斜率.
【詳解】當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距均為0時(shí)，
設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)，則，解得，
當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距均不為0時(shí)，
設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)，則，解得，
所以所求直線的方程為，即，
綜上，該直線的斜率是或．
故選：D
6. 已知圓與圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A 相離B. 相交C. 內(nèi)切D. 外切
【答案】D
【解析】
【分析】求出兩圓的圓心和半徑，得到，得到兩圓外切.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
圓，故圓心，半徑為，
則，
所以圓與圓的位置關(guān)系是外切.
故選：D
7. 如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側(cè)面是正方形，且，，，若P是與的交點(diǎn)，則異面直線與的夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平行六面體的結(jié)構(gòu)特征及向量對(duì)應(yīng)線段位置關(guān)系，結(jié)合向量加法、數(shù)乘的幾何意義,將、，用基底表示出來(lái)，在應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可.
【詳解】平行六面體中,
四邊形是平行四邊形,側(cè)面是正方形,
又是的交點(diǎn),
所以是的中點(diǎn),
因?yàn)?,,
所以，
所以
，
所以
又，
所以
，
可得,，
所以異面直線與的夾角的余弦值為.
故選：A
8. 正四面體的棱長(zhǎng)為4，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，由題意可得點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，又，再求出的最值即可求解
【詳解】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，則，
所以，
故點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范圍為．
故選：D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 與垂直B. 與共線
C. 與所成角為銳角D. ，，，可作為空間向量的一組基底
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)A：計(jì)算出即可得；對(duì)B：由向量共線定理計(jì)算即可得；對(duì)C：計(jì)算并判斷與是否共線即可得；對(duì)D：借助空間向量基本定理即可得.
【詳解】對(duì)A：，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：由、，有，故與共線，故B正確；
對(duì)C：，且與不共線，
故與所成角為銳角，故C正確；
對(duì)D：由與共線，故，，不可作為空間向量的一組基底，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 已知圓，直線.則以下命題正確的有（ ）
A. 直線l恒過(guò)定點(diǎn)B. y軸被圓C截得的弦長(zhǎng)為
C. 直線l與圓C恒相交D. 直線l被圓C截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，直線的方程為
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)直線方程求出定點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷選項(xiàng)A；求出圓和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷選項(xiàng)B；利用定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系即可判斷選項(xiàng)C；當(dāng)弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，直線過(guò)圓心從而判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)于A，直線，即，
由，解得，故直線過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B, 圓，當(dāng)時(shí)，，故y軸被圓C截得的弦長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，直線過(guò)定點(diǎn)，,故點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線l與圓C恒相交，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)直線l被圓C截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，直線過(guò)圓心，則，解得，
故直線方程為：，即，故D正確.
故選：CD
11. 如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)，則（ ）
A. ∥平面
B. 平面
C. 異面直線與所成角的余弦值為
D. 點(diǎn)B到平面的距離為
【答案】CD
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)空間向量運(yùn)算依次判斷4個(gè)選項(xiàng).
【詳解】以D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖，則，，，，，，，，
，，，，．
對(duì)于選項(xiàng)A，B：
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，，得，
所以與平面不平行，與平面不垂直，即A，B錯(cuò)誤．
對(duì)于選項(xiàng)C：
，則異面直線與所成角的余弦值為，即C正確．
對(duì)于選項(xiàng)D：
又，所以點(diǎn)B到平面的距離為，即D正確．
故選：CD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．
12. 過(guò)點(diǎn)與直線平行的直線方程______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平行關(guān)系可設(shè)直線方程為，然后將代入求解即可
【詳解】設(shè)與直線平行的直線方程為，
因?yàn)樵谥本€上，
所以，
所以方程即為所求；
故答案為：
13. 在四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，則直線PB與平面PCD所成角的正弦值為_(kāi)_____.
【答案】##0.4
【解析】
【分析】由線面垂直得到線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用線面角的正弦向量夾角公式進(jìn)行求解.
【詳解】因?yàn)榈酌?，平面?br>所以，，
又底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，
所以，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，故，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，
則，
解得，令，則，故，
，
PB與平面PCD的夾角正弦值為.
故答案為：
14. 已知曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)方程可知直線恒過(guò)定點(diǎn)，曲線為半圓，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合可得到的取值范圍．
【詳解】直線恒過(guò)點(diǎn).
由得，表示以為圓心，為半徑的半圓，該半圓在直線的上方.

當(dāng)直線與半圓相切于點(diǎn)時(shí)，直線方程可化為： ，
根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑得：，解得，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)直線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，
綜上得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知的平分線所在的直線的方程為．
（1）求AB的中垂線方程；
（2）求AC的直線方程．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）求出的中點(diǎn)坐標(biāo)及，故求出AB的中垂線斜率，點(diǎn)斜式求出方程；
（2）關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，求出，利用兩點(diǎn)式求出直線方程，得到答案.
【小問(wèn)1詳解】
的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
又，故AB的中垂線斜率為4，
故AB的中垂線方程為，即；
【小問(wèn)2詳解】
由對(duì)稱性可知，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，
故，解得，
故，
故直線的方程為，即.
16. 已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且與x軸的正半軸相切.
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：與圓C交于M，N，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且與x軸的正半軸相切，可設(shè)圓心，即，可得半徑．利用勾股定理、弦長(zhǎng)公式計(jì)算進(jìn)而得出答案．
（2）求出圓心到直線l的距離d，即可得出弦長(zhǎng)．
【小問(wèn)1詳解】
圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且與x軸的正半軸相切，

設(shè)圓心，即，故半徑，
則，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
【小問(wèn)2詳解】
圓心到直線l：的距離，
∴弦長(zhǎng)．
17. 如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】
【分析】（1）建立坐標(biāo)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求平面法向量即可求解，
（2）利用向量法求解點(diǎn)面距離即可．
【小問(wèn)1詳解】
建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，
，分別為，的中點(diǎn)，
，1，，，1，，
，0，，，2，，
設(shè)平面的法向量為，
則,即，令，則
因?yàn)?，，所?br>平面．
【小問(wèn)2詳解】
,,
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以
18. 如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是矩形，是等邊三角形，平面平面，，E為棱SA上一點(diǎn)，P為棱AD的中點(diǎn)，四棱錐的體積為.
（1）若E為棱SA的中點(diǎn)，F(xiàn)是SB的中點(diǎn)，求證：平面平面SCD；
（2）是否存在點(diǎn)E，使得平面PEB與平面SAD的夾角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）存在點(diǎn)E，E為AS上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)
【解析】
【分析】（1）以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面法向量相同得證平行；
（2）設(shè)，向量法表示已知條件中兩平面夾角余弦值，求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
在等邊三角形SAD中，P為AD的中點(diǎn)，于是，
又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD，
平面ABCD，是四棱錐的高，
設(shè)，則，矩形的面積，
，，
如圖，以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)P且與AB平行的直線為y軸，PS所在直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
，，
設(shè)n1=x1,y1,z1是平面的一個(gè)法向量，
則即，
令，則，，.
同理可得平面SCD的一個(gè)法向量為.
，平面平面SCD.
【小問(wèn)2詳解】
存在.
設(shè)，
則，，
設(shè)平面PEB的一個(gè)法向量為，
則，
令，則，，
，
易知平面SAD的一個(gè)法向量為，
.
，，
存在點(diǎn)E，且E為AS上靠近A點(diǎn)三等分點(diǎn).
19. 已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿足．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）點(diǎn)P軌跡記為曲線，若C，D是曲線與x軸的交點(diǎn)，E為直線l：x＝4上的動(dòng)點(diǎn)，直線CE，DE與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，直線MN與x軸交點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】(1) 設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式表示條件關(guān)系，化簡(jiǎn)等式可得軌跡方程；
(2) 設(shè)，聯(lián)立直線的方程和曲線的方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線的方程和曲線的方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，求直線的方程，確定其與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，
因?yàn)椋?，?br>則，
化簡(jiǎn)得．
【小問(wèn)2詳解】
由題意得，，
設(shè)，則直線的方程為，
直線的方程為，
聯(lián)立得，
則，
即，，
所以
聯(lián)立得，
則，即，，
所以
當(dāng)時(shí)，直線的斜率，
則直線的方程為，
即，所以，
當(dāng)時(shí)，直線垂直于軸，方程為，也過(guò)定點(diǎn)．
綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題為直線與圓的綜合問(wèn)題，解決的關(guān)鍵在于聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高.