1.定義：做勻速圓周運動的物體所受的合力總指向圓心，這個指向圓心的力叫作向心力.
2.方向：始終沿著半徑指向圓心.
3.作用：只改變速度的方向，不改變速度的大小.
4.向心力是根據(jù)力的作用效果命名的，它由某個力或者幾個力的合力提供.
5.表達(dá)式：
(1)Fn＝meq \f(v2,r)
(2)Fn＝mω2r.
二、變速圓周運動和一般的曲線運動
1.變速圓周運動的合力：變速圓周運動的合力產(chǎn)生兩個方向的效果，如圖所示.
圖
(1)跟圓周相切的分力Ft：改變線速度的大小.
(2)指向圓心的分力Fn：改變線速度的方向.
2.一般的曲線運動的處理方法
(1)一般的曲線運動：運動軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運動.
(2)處理方法：可以把曲線分割為許多很短的小段，每一小段可以看作圓周運動的一部分，分析質(zhì)點經(jīng)過曲線上某位置的運動時，可以采用圓周運動的分析方法來處理.
知識點一：實驗：探究向心力的大小與半徑、角速度、質(zhì)量的關(guān)系
探究方案一 用繩和沙袋定性研究
1.實驗原理
如圖(a)所示，繩子的一端拴一個小沙袋(或其他小物體)，將手舉過頭頂，使沙袋在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，此時沙袋所受的向心力近似等于繩對沙袋的拉力.
圖
2.實驗步驟
在離小沙袋重心40 cm的地方打一個繩結(jié)A，在離小沙袋重心80 cm的地方打另一個繩結(jié)B.同學(xué)甲看手表計時，同學(xué)乙按下列步驟操作：
操作一 手握繩結(jié)A，如圖(b)所示，使沙袋在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，每秒轉(zhuǎn)動1周.體會此時繩子拉力的大小.
操作二 手仍然握繩結(jié)A，但使沙袋在水平面內(nèi)每秒轉(zhuǎn)動2周，體會此時繩子拉力的大小.
操作三 改為手握繩結(jié)B，使沙袋在水平面內(nèi)每秒轉(zhuǎn)動1周，體會此時繩子拉力的大小.
操作四 手握繩結(jié)A，換用質(zhì)量較大的沙袋，使沙袋在水平面內(nèi)每秒轉(zhuǎn)動1周，體會此時繩子拉力的大小.
(1)通過操作一和二，比較在半徑、質(zhì)量相同的情況下，向心力大小與角速度的關(guān)系.
(2)通過操作一和三，比較在質(zhì)量、角速度相同的情況下，向心力大小與半徑的關(guān)系.
(3)通過操作一和四，比較在半徑、角速度相同的情況下，向心力大小與質(zhì)量的關(guān)系.
3.實驗結(jié)論：半徑越大，角速度越大，質(zhì)量越大，向心力越大.
探究方案二 用向心力演示器定量探究
1.實驗原理
向心力演示器如圖所示，勻速轉(zhuǎn)動手柄1，可使變速塔輪2和3以及長槽4和短槽5隨之勻速轉(zhuǎn)動.皮帶分別套在塔輪2和3上的不同圓盤上，可使兩個槽內(nèi)的小球分別以幾種不同的角速度做勻速圓周運動.小球做圓周運動的向心力由橫臂6的擋板對小球的壓力提供，球?qū)醢宓姆醋饔昧?，通過橫臂的杠桿使彈簧測力套筒7下降，從而露出標(biāo)尺8，根據(jù)標(biāo)尺8上露出的紅白相間等分標(biāo)記，可以粗略計算出兩個球所受向心力的比值.
圖
2.實驗步驟
(1)皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上，小球轉(zhuǎn)動半徑和轉(zhuǎn)動角速度相同時，探究向心力與小球質(zhì)量的關(guān)系.
(2)皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上，小球轉(zhuǎn)動角速度和質(zhì)量相同時，探究向心力與轉(zhuǎn)動半徑的關(guān)系.
(3)皮帶套在塔輪2、3半徑不同的圓盤上，小球質(zhì)量和轉(zhuǎn)動半徑相同時，探究向心力與角速度的關(guān)系.
探究方案三 利用力傳感器和光電傳感器探究
1.實驗原理與操作
如圖所示，利用力傳感器測量重物做圓周運動的向心力，利用天平、刻度尺、光電傳感器分別測量重物的質(zhì)量m、做圓周運動的半徑r及角速度ω.實驗過程中，力傳感器與DIS數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)相連，可直接顯示力的大小.光電傳感器與DIS數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)相連，可直接顯示擋光桿擋光的時間，由擋光桿的寬度和擋光桿做圓周運動的半徑，可得到重物做圓周運動的角速度.
圖
實驗時采用控制變量法，分別研究向心力與質(zhì)量、半徑、角速度的關(guān)系.
2.實驗數(shù)據(jù)的記錄與分析
(1)設(shè)計數(shù)據(jù)記錄表格，并將實驗數(shù)據(jù)記錄到表格中(表一、表二、表三)
①m、r一定(表一)
②m、ω一定(表二)
③r、ω一定(表三)
(2)數(shù)據(jù)處理
分別作出Fn－ω、Fn－r、Fn－m的圖像，若Fn－ω圖像不是直線，可以作Fn－ω2圖像.
(3)實驗結(jié)論：
①在質(zhì)量和半徑一定的情況下，向心力的大小與角速度的平方成正比.
②在質(zhì)量和角速度一定的情況下，向心力的大小與半徑成正比.
③在半徑和角速度一定的情況下，向心力的大小與質(zhì)量成正比.
例題精練
1．（荔灣區(qū)校級期中）一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直面內(nèi)做半徑為R的圓周運動，如圖所示，則（ ）
A．小球過最高點時，桿所受的彈力可以等于零
B．小球過最高點的最小速度是
C．小球過最高點時，重力一定大于桿對球的作用力
D．小球過最高點時，桿對球作用力一定跟小球所受重力方向相反
【分析】輕桿帶著物體做圓周運動，只要物體能夠到達(dá)最高點就可以了，在最高點和最低點時物體的重力與桿對球的作用力的合力作為向心力，根據(jù)牛頓第二定律進行分析.
【解答】解：A、當(dāng)小球在最高點若恰好由重力提供向心力時，此時球?qū)U沒有作用力，故A正確.
B、輕桿帶著物體做圓周運動，由于桿能夠支撐小球，只要物體能夠到達(dá)最高點就可以了，所以在最高點的最小速度可以為零，故B錯誤.
CD、小球過最高點時，如果速度恰好為，則此時恰好只由重力充當(dāng)向心力，桿和球之間沒有作用力；如果速度大于，重力小于所需要的向心力，此時輕桿提供拉力，與方向相同，要由拉力和重力的合力提供向心力，且速度越大拉力越大，桿的拉力可以大于重力，故CD錯誤.
故選：A。
【點評】本題考查豎直面內(nèi)的圓周運動，注意繩與桿的區(qū)別，繩子只能提供拉力，不能提供推力，而桿既可提供拉力，也可提供推力（支持力），所以在最高點時，用繩子拴的小球速度不能為零，而用桿連接的小球速度可以為零.
2．（倉山區(qū)校級期中）如圖所示，放置在水平地面上的支架質(zhì)量為M，支架頂端用細(xì)線拴著的擺球質(zhì)量為m，現(xiàn)將擺球拉至水平位置，然后靜止釋放，擺球運動過程中支架始終不動，當(dāng)擺球到達(dá)最低點時，支架對地面的壓力為（重力加速度為g）（ ）
A．（m+M）gB．（2m+M）gC．（3m+M） gD．（6m+M）g
【分析】擺球從釋放到到達(dá)最低點時，機械能守恒，由機械能守恒定律和牛頓第二定律求出擺球到達(dá)最低點時細(xì)線的拉力，求解支架對地面的壓力.
【解答】解：設(shè)擺球到達(dá)最低點時速度大小為v，擺長為L，由機械能守恒定律得：
mgL＝
擺球到達(dá)最低點時，由牛頓第二定律有：
F﹣mg＝m
聯(lián)立得細(xì)線對球的拉力：F＝3mg
結(jié)合牛頓第三定律，得球?qū)?xì)線的拉力大小
F'＝3mg，方向豎直向下
則支架對地面的壓力大小為：
N2＝Mg+F'＝（3m+M）g.故C正確，ABD錯誤
故選：C。
【點評】本題考查平條件、機械能守恒定律和牛頓運動定律，要知道擺球到達(dá)最低點時細(xì)線的拉力等于3mg，與擺長無關(guān)，這是經(jīng)常用到的結(jié)論，最好記住。
隨堂練習(xí)
1．（海城市校級月考）質(zhì)量為M的物體內(nèi)有光滑圓形軌道，現(xiàn)有兩個質(zhì)量分別為m、m'的小滑塊在豎直面上沿該圓形軌道做圓周運動，速度不為零，兩滑塊間用輕桿相連，且m＞m'。A、C分別為圓周的最高點和最低點，B、D點與圓心O在同一水平線上，兩小滑塊運動時，物體M在地面上靜止不動，則物體M對地面的壓力FN和地面對M的摩擦力Ff的有關(guān)說法中正確的是（ ）
A．小滑塊m在A點時，F(xiàn)N＞（M+m+m'）g，M與地面無摩擦力
B．小滑塊m在B點時，F(xiàn)N＝Mg，M受地面摩擦力方向向右
C．小滑塊m在C點時，F(xiàn)N＝（M+m+m'）g，M與地面無摩擦力
D．小滑塊m在D點時，F(xiàn)N＝（M+m+m'）g，M受地面摩擦力方向向左
【分析】兩小滑塊在豎直面內(nèi)做圓周運動，由于m＞m′，小滑塊 m在A點時則系統(tǒng)受的合力豎直向下，小滑塊m在C點時，系統(tǒng)受的合力豎直向上，根據(jù)在不同的地方做圓周運動的受力，可以分析得出物體M對地面的壓力和地面對物體M的摩擦力的大小.
【解答】解：A、小滑塊 m在A點時，因為m＞m′，則系統(tǒng)受的合力豎直向下，系統(tǒng)對M的作用力方向向上，故FN＜（M+m+m′）g系統(tǒng)在水平方向不受力的作用，所沒有摩擦力的作用，故A錯誤；
B、小滑塊m在B點時，系統(tǒng)在水平方向需要向右的合力，地面要對M有向右的摩擦力的作用，在豎直方向上，m與m′對M無作用力，所以物體M對地面的壓力FN＝Mg，故B正確；
C、小滑塊m在C點時，系統(tǒng)受的合力豎直向上，故FN＞（M+m+m′），系統(tǒng)在水平方向不受力的作用，所以沒有摩擦力的作用，故C錯誤；
D、小滑塊m在D點和B的受力情況類似，由B的分析可知FN＝Mg，摩擦力方向向左，故D錯誤。
故選：B。
【點評】小滑塊做圓周運動，注意分析清楚小滑塊做圓周運動的向心力的來源，即可知道小滑塊和M之間的作用力的大小，再由牛頓第三定律可以分析得出M對地面的作用力。
2．（重慶模擬）如圖所示，兩根長度不同的細(xì)線分別系有兩個完全相同的小球，細(xì)線的上端都系于O點。設(shè)法讓兩個小球在同一水平面上做勻速圓周運動。已知L1跟豎直方向的夾角為60°，L2跟豎直方向的夾角為30°，下列說法正確的是（ ）
A．細(xì)線L1和細(xì)線L2所受的拉力大小之比為1：
B．小球m1和m2的角速度大小之比為：1
C．小球m1和m2的向心力大小之比為3：1
D．小球m1和m2的線速度大小之比為3：1
【分析】小球受重力和拉力，兩個力的合力提供小球做圓周運動的向心力．通過合力提供向心力，比較出兩球的角速度大小，抓住小球距離頂點O的高度相同求出半徑的關(guān)系，根據(jù)v＝ωr比較線速度關(guān)系．
【解答】解：A、對任一小球研究。設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，豎直方向受力平衡，則Tcsθ＝mg，
解得，所以細(xì)線L1和細(xì)線L2所受的拉力大小之比，故A錯誤；
B、小球所受合力的大小為mgtanθ，根據(jù)牛頓第二定律得mgtanθ＝mLsinθω2
得，兩小球Lcsθ相等，所以角速度相等，故B錯誤；
C、小球所受合力提供向心力，則向心力為F＝mgtanθ；小球m1和m2的向心力大小之比為，故C正確；
D、根據(jù)v＝ωr，角速度相等，得小球m1和m2的線速度大小之比為，故D錯誤。
故選：C。
【點評】解決本題的關(guān)鍵會正確地受力分析，知道勻速圓周運動向心力是由物體所受的合力提供并能結(jié)合幾何關(guān)系求解，難度適中．
3．（南京月考）如圖甲，小球用不可伸長的輕繩連接繞定點O在豎直面內(nèi)做圓周運動，小球經(jīng)過最高點的速度大小為v，此時繩子拉力大小為FT，拉力FT與速度的平方v2的關(guān)系如圖乙所示，圖像中的數(shù)據(jù)a和b以及重力加速度g都為已知量，不計空氣阻力，以下說法正確的是（ ）
A．小球機械能可能不守恒
B．如果小球能完成豎直面內(nèi)做圓周運動，最低點與最高點拉力大小之差與v無關(guān)
C．小球的質(zhì)量等于
D．圓周軌道半徑
【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)牛頓第二定律可以求出a、b的表達(dá)式，從而可以判斷a、b與質(zhì)量的關(guān)系；數(shù)據(jù)b對應(yīng)的狀態(tài)，根據(jù)牛頓第二定律和動能定理可以求出繩子的拉力。
【解答】解：A、小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，由于繩子拉力不做功，只有重力做功，所以機械能守恒，故A錯誤；
D、小球在最高點，根據(jù)牛頓第二定律：FT+mg＝，得FT＝m﹣mg，根據(jù)圖象，當(dāng)FT＝0時，v2＝a＝gr，所以r＝，故D錯誤；
C、根據(jù)圖象，v2＝2a時，F(xiàn)T＝b，代入FT＝﹣mg，解得b＝mg，所以m＝，故C錯誤；
B、小球在豎直平面做完整的圓周運動，設(shè)最高點對應(yīng)的速度為v1，最低點對應(yīng)的速度為v2，
小球在最高點，根據(jù)牛頓第二定律：FT1+mg＝m
小球在最低點，根據(jù)牛頓第二定律：FT2﹣mg＝
小球從最高點到最低點，根據(jù)動能定理：2mgr＝mv22﹣mv12
聯(lián)立解得：FT2﹣FT1＝6mg，與速度無關(guān)，故B正確。
故選：B。
【點評】本題主要考查了圓周運動向心力公式的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能根據(jù)圖象獲取有效信息，尤其是圖象與坐標(biāo)軸的交點的物理意義。
4．（海城市校級月考）如圖所示，兩根長度相同的細(xì)線分別系有兩個完全相同的小球，細(xì)線的上端都系于O點。設(shè)法讓兩個小球均在水平面上做勻速圓周運動。已知L1跟豎直方向的夾角為60°，L2跟豎直方向的夾角為30°，下列說法正確的是（ ）
A．細(xì)線L1和細(xì)線L2所受的拉力大小之比為：1
B．小球m1和m2的角速度大小之比為3：1
C．小球m1和m2的向心力大小之比為1：3
D．小球m1和m2的線速度大小之比為3：l
【分析】小球受重力和拉力，兩個力的合力提供小球做圓周運動的向心力。通過合力提供向心力，比較出兩球的角速度大小，抓住小球距離頂點O的高度相同求出半徑的關(guān)系，根據(jù)v＝ωr比較線速度關(guān)系。
【解答】解：對任一小球研究。設(shè)細(xì)線拉力為T，與豎直方向的夾角為θ，如圖所示。
A、豎直方向受力平衡，則：Tcsθ＝mg，解得：T＝
所以細(xì)線L1和細(xì)線L2所受的拉力大小之比＝＝:1，故A正確；
B、小球所受合力的大小為mgtanθ，根據(jù)牛頓第二定律得：mgtanθ＝mLsinθω2，得：ω＝
則＝＝，故B錯誤；
C、小球所受合力提供向心力，則向心力為：F向＝mgtanθ，小球m1和m2的向心力大小之比為：＝＝3:1，故C錯誤；
D、根據(jù)v＝ωr，其中r＝Lsinθ，得小球m1和m2的線速度大小之比為：＝，
解得v1:v2＝:1，故D錯誤。
故選：A。
【點評】解決本題的關(guān)鍵會正確地受力分析，知道勻速圓周運動向心力是由物體所受的合力提供并能結(jié)合幾何關(guān)系求解。
知識點二：向心力的分析和公式的應(yīng)用
一、向心力的理解及來源分析
導(dǎo)學(xué)探究
1.如圖1所示，用細(xì)繩拉著質(zhì)量為m的小球在光滑水平面上做勻速圓周運動.
圖1
(1)小球受哪些力作用？什么力提供了向心力？合力指向什么方向？
(2)若小球的線速度為v，運動半徑為r，合力的大小是多少？
答案 (1)小球受到重力、支持力和繩的拉力，繩的拉力提供了向心力，合力等于繩的拉力，方向指向圓心.
(2)合力的大小F＝meq \f(v2,r).
2.若月球(質(zhì)量為m)繞地球做勻速圓周運動，其角速度為ω，月地距離為r.月球受什么力作用？什么力提供了向心力？該力的大小、方向如何？
答案 月球受到地球的引力作用，地球?qū)υ虑虻囊μ峁┝嗽虑蚶@地球做圓周運動的向心力，其大小Fn＝mω2r，方向指向地球球心.
知識深化
1.對向心力的理解
(1)向心力大小：Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r.
(2)向心力的方向
無論是否為勻速圓周運動，其向心力總是沿著半徑指向圓心，方向時刻改變，故向心力是變力.
(3)向心力的作用效果——改變線速度的方向.由于向心力始終指向圓心，其方向與物體運動方向始終垂直，故向心力不改變線速度的大小.
2.向心力的來源分析
向心力是根據(jù)力的作用效果命名的.它可以由重力、彈力、摩擦力等各種性質(zhì)的力提供，也可以由它們的合力提供，還可以由某個力的分力提供.
(1)當(dāng)物體做勻速圓周運動時，由于物體線速度大小不變，沿切線方向的合外力為零，物體受到的合外力一定指向圓心，以提供向心力.
(2)當(dāng)物體做非勻速圓周運動時，其向心力為物體所受的合外力在半徑方向上的分力，而合外力在切線方向的分力則用于改變線速度的大小.
二、勻速圓周運動問題分析
1.勻速圓周運動問題的求解方法
圓周運動問題仍屬于一般的動力學(xué)問題，無非是由物體的受力情況確定物體的運動情況，或者由物體的運動情況求解物體的受力情況.
解答有關(guān)勻速圓周運動問題的一般方法步驟：
(1)確定研究對象、軌跡圓周(含圓心、半徑和軌道平面).
(2)受力分析，確定向心力的大小(合成法、正交分解法等).
(3)根據(jù)向心力公式列方程，必要時列出其他相關(guān)方程.
(4)統(tǒng)一單位，代入數(shù)據(jù)計算，求出結(jié)果或進行討論.
2.幾種常見的勻速圓周運動實例
三、變速圓周運動和一般的曲線運動
導(dǎo)學(xué)探究
用繩拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做變速圓周運動，如圖5所示.
圖5
(1)分析繩對沙袋的拉力的作用效果.
(2)沙袋的速度大小如何變化？為什么？
答案 (1)繩對沙袋的拉力方向不經(jīng)過圓心，即不與沙袋的速度方向垂直，而是與沙袋的速度方向成一銳角θ，如題圖所示，拉力F有兩個作用效果，一是改變線速度的大小，二是改變線速度的方向.
(2)由于拉力F沿切線方向的分力與v一致，故沙袋的速度增大.
知識深化
1.變速圓周運動
(1)受力特點：變速圓周運動中合力不指向圓心，合力F產(chǎn)生改變線速度大小和方向兩個作用效果.
(2)某一點的向心力仍可用公式Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r求解.
2.一般的曲線運動
曲線軌跡上每一小段看成圓周運動的一部分，在分析其速度大小與合力關(guān)系時，可采用圓周運動的分析方法來處理.
(1)合外力方向與速度方向夾角為銳角時，速率越來越大.
(2)合外力方向與速度方向夾角為鈍角時，力為阻力，速率越來越小.
例題精練
1．（泉州模擬）圖甲為游樂場中一種叫“魔盤”的娛樂設(shè)施，游客坐在轉(zhuǎn)動的魔盤上，當(dāng)魔盤轉(zhuǎn)速增大到一定值時，游客就會滑向盤邊緣，其裝置可以簡化為圖乙。若魔盤轉(zhuǎn)速緩慢增大，則游客在滑動之前（ ）
A．受到魔盤的支持力緩慢增大
B．受到魔盤的摩擦力緩慢增大
C．受到的合外力大小不變
D．受到魔盤的作用力大小不變
【分析】以游客為研究對象，畫出受力分析圖，沿水平和豎直方向列正交分解，通過豎直方向受力平衡，水平方向需要向心力列出方程即可分析出結(jié)果。
【解答】解：AB、對游客受力分析如圖，分別研水平和豎直方向列方程：
水平方向：fx﹣Nx＝mω2r
豎直方向：fy+Ny＝mg
則隨著魔盤轉(zhuǎn)速緩慢增大，游客需要的向心力增大，但必須保證豎直方向受力平衡，因為重力不變，則f、N兩個力只能一個增大一個減小，結(jié)合水平方向，只能f增大，N減小。故A錯誤，B正確；
C、滑動之前，游客在豎直方向受力平衡，水平方向的向心力即為合外力，隨著轉(zhuǎn)速緩慢增大，需要的向心力增大，即合外力增大，故C錯誤；
D、把人受到魔盤的支持力和摩擦力看成一個力（合力），即為游客受到魔盤的作用力。將其在水平和豎直方向正交分解，豎直分量與重力等大反向，保持不變；水平方向的分力即為向心力，隨著轉(zhuǎn)速緩慢增大而增大，所以游客受到魔盤的作用力增大，故D錯誤。
故選：B。
【點評】本題考查了圓周運動中的動態(tài)過程分析，主要掌握圓周運動的動力學(xué)問題的處理方法：沿半徑和垂直半徑方向正交分解。
2．（安徽期中）將一平板折成如圖所示形狀，AB部分水平且粗糙，BC部分光滑且與水平方向成θ角，板繞豎直軸OO′勻速轉(zhuǎn)動，放在AB板E處和放在BC板F處的物塊均剛好不滑動，兩物塊到轉(zhuǎn)動軸的距離相等，則物塊與AB板的動摩擦因數(shù)為（ ）
A．μ＝tanθB．C．μ＝sinθD．μ＝csθ
【分析】AB板上的物體剛好不滑動時，由最大靜摩擦力提供向心力。在BC板上的物體剛好不滑動時，由合力提供向心力，對兩個物體，分別運用牛頓第二定律列式，即可求解。
【解答】解：設(shè)物塊與AB板的動摩擦因數(shù)為μ，板轉(zhuǎn)動的角速度為ω，兩物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為L，由于物塊剛好不滑動，則對AB板上的物體，由牛頓第二定律得
μmg＝mω2L
對BC板上的物體受力分析如圖所示，由牛頓第二定律得
mgtanθ＝mω2L
聯(lián)立解得μ＝tanθ，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
【點評】解答本題時，要正確分析物體的受力情況，確定向心力的來源。要知道物體做勻速圓周運動時，由合外力提供向心力。
隨堂練習(xí)
1．（荔灣區(qū)校級月考）如圖所示，一個菱形框架繞過其對角線的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，在兩條邊上各套有一個質(zhì)量均為m的小球A、B，轉(zhuǎn)動過程中兩小球相對框架靜止，且到整直軸的距離相等，則下列說
法正確的是（ ）
A．框架對球A的彈力方向一定垂直框架向上
B．框架對球B的彈力方向一定垂直框架向上
C．球A與框架間一定沒有摩擦力
D．球B與框架間一定沒有摩擦力
【分析】A、B兩球均繞轉(zhuǎn)軸做勻速圓周運動，抓住合力方向垂直指向轉(zhuǎn)軸，豎直方向上的合力為零，分析球A、球B的受力情況，以及是否受到摩擦力。
【解答】解：A、A繞轉(zhuǎn)軸做勻速圓周運動，合力方向指向圓心，豎直方向上的合力為零，A受重力、框架對它的彈力以及靜摩擦力，若A所受的彈力垂直框架向上，根據(jù)合力方向指向圓心知，靜摩擦力沿框架向上，若A所受的彈力垂直框架向下，由于豎直方向上的合力為零，合力方向指向圓心，則靜摩擦力也是沿框架向上，可知，不論彈力方向垂直框架向上還是向下，靜摩擦力方向沿框架向上，彈力方向可能垂直框架向上，也可能垂直框架向下，故A錯誤；
B、B繞轉(zhuǎn)軸做勻速圓周運動，合力指向圓心，豎直方向合力為零，由于合力垂直指向轉(zhuǎn)軸，豎直方向上合力為零，可知框架對B的彈力一定垂直框架向上，故B正確；
C、假設(shè)A不受摩擦力，A受重力和彈力作用，若彈力垂直框架向上，合力不可能垂直指向轉(zhuǎn)軸，若彈力垂直框架向下，豎直方向上的合力不能為零，故C錯誤；
D、假設(shè)B不受摩擦力，B受重力和垂直框架向上的彈力作用，合力方向可以指向轉(zhuǎn)軸，提供向心力，即球B與框架可能沒有摩擦力，有可能受摩擦力，故D錯誤。
故選：B。
【點評】解決本題的關(guān)鍵知道A、B兩球做圓周運動向心力的來源，注意合力方向垂直指向轉(zhuǎn)軸，以及兩球在豎直方向上的合力為零。
2．（荔灣區(qū)校級月考）游樂園的小型“摩天輪”在豎直平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動，“摩天輪”上對稱坐著質(zhì)量相等的8位同學(xué)，某時刻甲、乙、丙、丁四位同學(xué)處在圖示位置，甲同學(xué)位于最高點。則此時（ ）
A．甲、乙同學(xué)線速度相同
B．丙、丁同學(xué)加速度相同
C．“摩天輪”對甲、乙同學(xué)的作用力大小相等
D．“摩天輪”對丙、丁同學(xué)的作用力大小相等
【分析】根據(jù)線速度和向心加速度都是矢量，根據(jù)線速度方向和向心加速度方向分析AB選項；根據(jù)牛頓第二定律，合力提供向心力判斷合力和摩天輪對兩人的支持力關(guān)系。
【解答】解：AB、線速度和向心加速度均是矢量，線速度沿切線方向，甲、乙同學(xué)線速度方向相反；
向心加速度的方向始終指向圓心，其方向時刻發(fā)生變化，且甲和乙的加速度方向相反，故AB錯誤；
C、由于甲乙兩人質(zhì)量相等，線速度大小相等，對甲根據(jù)牛頓第二定律可得：mg?F1＝m，解得摩天輪對甲同學(xué)的作用力F1＝mg﹣m；
對乙根據(jù)牛頓第二定律可得：F2﹣mg＝m，解得摩天輪對乙同學(xué)的作用力F2＝mg+m，所以摩天輪對兩人的作用力不相等，故C錯誤；
D、在水平方向上，摩天輪對丙、丁同學(xué)的靜摩擦力提供向心力，其大小為f＝m，
在豎直方向上，摩天輪對同學(xué)的支持力等于其重力，即N＝mg
摩天輪對丙、丁同學(xué)的作用力大小為F＝，所以摩天輪對丙、丁同學(xué)的作用力大小相等，故D正確。
故選：D。
【點評】解決本題的關(guān)鍵知道人所受的合力提供向心力，向心力大小不變，知道人的向心力來源于支持力、重力以及摩擦力的合力，據(jù)此判斷即可。
3．（金州區(qū)校級月考）如圖所示，質(zhì)量為m的物體與水平轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)為μ，物體與轉(zhuǎn)軸相距R，隨轉(zhuǎn)臺由靜止開始轉(zhuǎn)動。當(dāng)轉(zhuǎn)速增至某一值時，物體即將在轉(zhuǎn)臺上滑動，此時轉(zhuǎn)臺開始勻速轉(zhuǎn)動。設(shè)物體的最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力，則在整個過程中摩擦力對物體做的功是（ ）
A．0B．2μmgRC．D．2πμmgR
【分析】物體做加速圓周運動，受重力、支持力和靜摩擦力，物體即將滑動時已經(jīng)做勻速圓周運動，最大靜摩擦力提供向心力，可以求出線速度；又由于重力和支持力垂直于速度方向，始終不做功，只有靜摩擦力做功，故可以根據(jù)動能定理求出摩擦力做的功。
【解答】解：物體即將滑動時，最大靜摩擦力提供向心力
μmg＝m
解得
v＝
物體做加速圓周運動過程
Wf＝mv2
解得：Wf＝μmgR，故ABD錯誤，C正確。
故選：C。
【點評】本題考查了牛頓第二定律和動能定理的綜合運用，注意摩擦力是變力，掌握變力做功的求解方法，一般情況下根據(jù)動能定理進行求解。
4．（河北）一半徑為R的圓柱體水平固定，橫截面如圖所示。長度為πR、不可伸長的輕細(xì)繩，一端固定在圓柱體最高點P處，另一端系一個小球。小球位于P點右側(cè)同一水平高度的Q點時，繩剛好拉直。將小球從Q點由靜止釋放，當(dāng)與圓柱體未接觸部分的細(xì)繩豎直時，小球的速度大小為（重力加速度為g，不計空氣阻力）（ ）
A．B．C．D．2
【分析】先根據(jù)幾何關(guān)系求出小球下降的高度，再由機械能守恒定律求小球的速度大小。
【解答】解：小球從開始下落到與圓柱體未接觸部分的細(xì)繩豎直時，小球下降的高度為：
h＝R+（πR﹣）＝R+πR
取小球在末位置的重力勢能為零，由機械能守恒定律有：
mgh＝
解得：v＝，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
【點評】解決本題的關(guān)鍵是利用幾何知識求出小球下降的高度，要有運用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力。本題也可以運用動能定理求解。
綜合練習(xí)
一．選擇題（共15小題）
1．（長安區(qū)校級月考）如圖所示為一直徑d＝m、高h(yuǎn)＝m的圓桶，圓桶內(nèi)壁和底面光滑，一長為L＝1m的繩子上端固定在上底面圓心O處，下端連著質(zhì)量為m的小球，當(dāng)把繩子拉直時，繩子與豎直方向的夾角θ＝30°，此時小球靜止于下底面上?，F(xiàn)讓圓桶和小球以一定角速度ω繞中心軸旋轉(zhuǎn)，小球與圓桶保持相對靜止，已知圓桶底面、內(nèi)壁對小球的彈力分別為FN1和FN2，繩子拉力為FT，重力加速度為g，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)ω＝時，F(xiàn)N1＝0，F(xiàn)N2＝0，F(xiàn)T＞mg
B．當(dāng)ω＝時，F(xiàn)N1≠0，F(xiàn)N2＝0，F(xiàn)T＞mg
C．當(dāng)ω＝時，F(xiàn)N1＝0，F(xiàn)N2≠0，F(xiàn)T＝mg
D．當(dāng)ω＝時，F(xiàn)N1＝0，F(xiàn)N2≠0，F(xiàn)T＞mg
【分析】找到臨界狀態(tài)，做好受力分析，用牛頓第二定律和數(shù)學(xué)知識解答。
【解答】解：設(shè)小球與圓桶底面接觸恰好無擠壓時角速度為ω0：如圖1所示小球受重力mg 和繩子拉力FT：FTcsθ＝mg，F(xiàn)Tsinθ＝mr，由三角知識得：csθ＝＝，則θ＝30°
sinθ＝，r＝Lsinθ＝，解得：ω0＝
C、設(shè)小球與圓桶內(nèi)壁接觸恰好無擠壓時（即FN2＝0）角速度為ω′，如圖2所示小球受重力mg 和繩子拉力FT：
FTcsα＝mg，F(xiàn)Tsinα＝mω′2R，R＝，由三角知識得：sinα＝＝，則α＝60°，所以 csα＝，
解得：ω′＝，故C錯誤；
A、當(dāng)ω＜ω0時，小球與底面接觸而擠壓，F(xiàn)N1≠0，F(xiàn)N2＝0，F(xiàn)Tcsθ+FN1＝mg，解得FT＝FN1與mg大小關(guān)系不確定，故A錯誤；
D、當(dāng)ω＞ω′時，小球與內(nèi)壁接觸而擠壓，F(xiàn)N1＝0，F(xiàn)N2≠0，F(xiàn)T＝＞mg，故D正確；
B、當(dāng)ω0≤ω≤ω′時，小球與底面和內(nèi)壁都不接觸，F(xiàn)N1＝0，F(xiàn)N2＝0，F(xiàn)T＞mg，故B錯誤；
故選：D。
【點評】本題難點在于確定兩個臨界角速度，根據(jù)角速度取值范圍判定小球所在位置區(qū)域，進而判定各力取值。
2．（洪山區(qū)校級月考）有一種被稱為“魔力陀螺”的玩具如圖甲所示，陀螺可在圓軌道外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落，好像軌道對它施加了魔法一樣，它可等效為一質(zhì)點在圓軌道外側(cè)運動模型，如圖乙所示。在豎直平面內(nèi)固定的強磁性圓軌道半徑為R，A、B兩點分別為軌道的最高點與最低點。質(zhì)點沿軌道外側(cè)做完整的圓周運動，受圓軌道的強磁性引力始終指向圓心O且大小恒為F，當(dāng)質(zhì)點以速率v＝通過A點時，對軌道的壓力為其重力的7倍，不計摩擦和空氣阻力，質(zhì)點質(zhì)量為m，重力加速度為g，則（ ）
A．強磁性引力的大小F＝7mg
B．質(zhì)點在A點對軌道的壓力小于在B點對軌道的壓力
C．只要質(zhì)點能做完整的圓周運動，則質(zhì)點對A、B兩點的壓力差恒為5mg
D．若強磁性引力大小為2F，為確保質(zhì)點做完整的圓周運動，則質(zhì)點通過B點的最大速率為
【分析】本題可分別對AB兩點進行受力分析，結(jié)合牛頓第二定律，列出向心力的式子，從而求出強磁性引力的大小。此外，可利用機械能守恒定律求出AB兩點速度關(guān)系，從而比較兩點受力情況。
【解答】解：A.在A點，對質(zhì)點，由牛頓第二定律有：
根據(jù)牛頓第三定律有：
FA＝FA′＝7mg
聯(lián)立解得：
F＝7mg
故A正確.
BC.質(zhì)點能完成圓周運動，在A點：根據(jù)牛頓第二定律有：
根據(jù)牛頓第三定律有：
NA＝NA′
在B點，根據(jù)牛頓第二定律有：
根據(jù)牛頓第三定律有：NB＝NB′
從A點到B點過程，根據(jù)機械能守恒定律有：
聯(lián)立解得：
NA′﹣NB′＝6mg
故BC錯誤.
D、若磁性引力大小恒為2F，在B點，根據(jù)牛頓第二定律：
當(dāng)FB＝0，質(zhì)點速度最大，vB＝vBm
聯(lián)立解得：vBm＝
故D錯誤
故選：A。
【點評】本題考查向心力公式，要求學(xué)生結(jié)合受力分析基礎(chǔ)對題中給出的圓周運動模型進行分析，考查學(xué)生理解能力以及綜合分析能力，難度中等偏高。
3．（濠江區(qū)校級期中）如圖所示，一個內(nèi)壁光滑的圓錐筒，其軸線垂直于水平面，圓錐筒固定在水平地面不動。有兩個質(zhì)量均為m的小球A和小球B緊貼著筒內(nèi)壁在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，小球B所在的高度為小球A所在的高度一半。下列說法正確的是（ ）
A．小球A、B所受的支持力大小之比為2：1
B．小球A、B所受的支持力大小之比為1：1
C．小球A、B的角速度之比為：1
D．小球A、B的線速度之比為2：1
【分析】對小球受力分析，受重力和支持力，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可。
【解答】解：AB、兩球均貼著圓筒的內(nèi)壁，在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，由重力和筒壁的支持力的合力提供向心力，如圖所示。
由圖可知，筒壁對兩球的支持力均為，支持力大小之比為1：1，故A錯誤，B正確。
C、由mgctθ＝mω2r得：ω＝，小球A、B的軌道半徑之比為2：1，則角速度之比為1：，故C錯誤。
D、球的線速度：mgctθ＝m 得：v＝，A、B的線速度之比為：1；故D錯誤。
故選：B。
【點評】本題關(guān)鍵是對小球受力分析，明確小球做勻速圓周運動的向心力來自于合外力，通過牛頓第二定律分析。
4．（遵義期末）在修筑鐵路時，彎道處的外軌會略高于內(nèi)軌。如圖所示，當(dāng)火車以規(guī)定的行駛速度轉(zhuǎn)彎時，內(nèi)、外軌均不會受到輪緣的擠壓。設(shè)此時的速度大小為v，重力加速度為g，兩軌道所在面的傾角為θ，則（ ）
A．該彎道的半徑r＝
B．當(dāng)火車質(zhì)量改變時，規(guī)定的行駛速度也要改變
C．當(dāng)火車速率大于v時，內(nèi)軌將受到輪緣的擠壓
D．當(dāng)火車速率小于v時，外軌將受到輪緣的擠壓
【分析】火車轉(zhuǎn)彎時以規(guī)定速度行駛時，由火車的重力和支持力的合力提供圓周運動所需的向心力。
若速度大于規(guī)定速度，重力和支持力的合力不夠提供向心力，此時外軌對火車有側(cè)壓力。
若速度小于規(guī)定速度，重力和支持力的合力提供偏大，此時內(nèi)軌對火車有側(cè)壓力。
【解答】解：A、火車拐彎時不側(cè)向擠壓車輪輪緣，靠重力和支持力的合力提供向心力，設(shè)轉(zhuǎn)彎處斜面的傾角為θ，根據(jù)牛頓第二定律得：mgtanθ＝m，解得：r＝，故A正確；
B、根據(jù)牛頓第二定律得：mgtanθ＝m，解得：v＝，可知火車規(guī)定的行駛速度與質(zhì)量無關(guān)，故B錯誤；
C、當(dāng)火車速率大于v時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，此時外軌對火車有側(cè)壓力，輪緣擠壓外軌，故C錯誤；
D、當(dāng)火車速率小于v時，重力和支持力的合力偏大與所需的向心力，此時內(nèi)軌對火車有側(cè)壓力，輪緣擠壓內(nèi)軌，故D錯誤。
故選：A。
【點評】此題考查了向心力的相關(guān)計算，解決本題的關(guān)鍵知道火車拐彎時對內(nèi)外軌均無壓力，此時靠重力和支持力的合力提供圓周運動的向心力。
5．（萍鄉(xiāng)期末）將小車從如圖所示凹形橋模擬器某一位置釋放，小車經(jīng)過最低點后滑向另一側(cè)，此過程中托盤秤的最大示數(shù)為1.80kg。已知玩具小車質(zhì)量為0.40kg，凹形橋模擬器質(zhì)量為1.00kg，圓弧部分的半徑為R＝0.20m，重力加速度大小取10m/s2，則此過程中小車通過最低點時的速度大小為（ ）
A．2m/sB．m/sC．2m/sD．m/s
【分析】小車通過最低點時，凹形橋模擬器對小車的支持力F′與小車重力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式列式求解。
托盤秤的示數(shù)為凹形橋模擬器對托盤秤的壓力。
【解答】解：小車的質(zhì)量：m＝0.40kg，通過最低點時，凹形橋模擬器對小車的支持力F與小車重力的合力提供向心力，有：
F﹣mg＝m
根據(jù)牛頓第三定律可得：F′＝F
凹形橋模擬器的質(zhì)量：M＝1.00kg，托盤秤對凹形橋模擬器的支持力：N＝F'+Mg
根據(jù)牛頓第三定律可知，N'＝N
其中凹形橋模擬器對托盤秤的壓力N'＝1.80×10N＝18N。
聯(lián)立解得小車通過最低點的速度：v＝m/s，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
【點評】此題考查了向心力的相關(guān)知識，解決本題的關(guān)鍵搞清向心力的來源，運用牛頓第二定律進行求解，在力的問題注意分析受力和力的作用效果。
6．（涪城區(qū)校級期中）如圖所示，在粗糙水平木板上放一個物塊，使木板和物塊一起在豎直平面內(nèi)沿逆時針方向做勻速圓周運動，ab為水平直徑，cd為豎直直徑，在運動中木板始終保持水平，物塊相對于木板始終靜止，則（ ）
A．物塊始終受到三個力作用
B．物塊受到的合外力始終指向圓心
C．在c、d兩個位置，物塊所受支持力N相同，摩擦力f為零
D．在a、b兩個位置物塊所受摩擦力提供向心力，支持力N＝0
【分析】木板托著物塊在豎直平面內(nèi)逆時針方向一起做勻速圓周運動，物塊所受的合力提供圓周運動所需的向心力。當(dāng)加速度方向向上時，物體處于超重狀態(tài)，加速度向下時，物體處于失重狀態(tài)。
【解答】解：A、在圖中cd兩點處，物塊只受重力和支持力，在其他位置處物塊受到重力、支持力、靜摩擦力作用，故A錯誤；
B、物塊做勻速圓周運動，合外力提供向心力，所以合外力始終指向圓心，故B正確；
C、在d點物塊的向心加速度向上，所以物塊處于超重狀態(tài)，物塊受到的支持力大于重力；而在c點物塊的向心加速度向下，所以物塊處于失重狀態(tài)，物塊受到的支持力小于重力；比較可知，物塊在d點受到的支持力一定大于在c點受到的支持力，故C錯誤；
D、物塊做勻速圓周運動，在a、b兩個位置物塊沿水平方向所受摩擦力提供向心力，在豎直方向物塊受到的支持力大小等于重力大小，故D錯誤。
故選：B。
【點評】解決本題的關(guān)鍵知道物塊所受的合力提供向心力，向心力大小不變，知道物塊所受合力在豎直方向的分力等于重力和支持力的合力，在水平方向的分力等于摩擦力。
7．（荔灣區(qū)校級月考）如圖所示，用一根長為l＝1m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為m＝1kg的小球（可視為質(zhì)點），另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°，小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為2rad/s，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，下列說法正確的是（ ）
A．這時繩的拉力大小為12.5N
B．這時繩的拉力大小約為16.7N
C．這時緩慢增大小球的角速度，繩的拉力可能不變
D．這時緩慢增大小球的角速度，繩的拉力一定變大
【分析】小球剛要離開錐面時，錐面的支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界角速度ω0。
比較題干提供的角速度，分析可知小球離開錐面，由重力和繩拉力的合力提供向心力，運用牛頓第二定律求解。
增大角速度，繩與豎直方向的夾角變大。
【解答】解：AB、小球剛要離開錐面時，錐面對小球的支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律得：
mgtanθ＝mlsin θ
解得：ω0＝＝rad/s。
角速度為2rad/s時，小球離開錐面，設(shè)此時繩與豎直方向的夾角為α，
由牛頓第二定律及向心力公式有：mgtan α＝mω2lsin α
解得：α＝60°。
這時繩的拉力：F＝N＝20N，故AB錯誤；
CD、這時緩慢增大小球的角速度，則繩與豎直方向的夾角變大，繩的拉力F一定變大，故C錯誤，D正確。
故選：D。
【點評】此題考查了向心力的相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是在于判斷小球是否離開圓錐體表面，首先計算出小球剛要離開錐面的臨界角速度，不能直接應(yīng)用向心力公式求解。
8．（德州期末）“S路”曲線行駛是我國駕駛證考試中的一個項目。某次考試過程中，有兩名學(xué)員分別坐在駕駛座和副駕駛座上，并且始終與汽車保持相對靜止，汽車在彎道上行駛時可視作圓周運動，行駛過程中未發(fā)生打滑。如圖所示，當(dāng)汽車在水平“S路”圖示位置處減速行駛時（ ）
A．兩名學(xué)員具有相同的線速度
B．兩名學(xué)員具有相同的角速度
C．汽車受到的摩擦力與速度方向相反
D．坐在副駕駛上的學(xué)員受到汽車的作用力較大
【分析】兩名學(xué)員的角速度相等，但離圓心的距離不相等，根據(jù)v＝rω半徑線速度大?。晦D(zhuǎn)我的向心力由地面的摩擦力提供；學(xué)員質(zhì)量未知，無法比較受到汽車的作用力大小；學(xué)員受重力、汽車的作用力，豎直方向受力平衡，水平方向的合力提供向心力。
【解答】解：A、兩名學(xué)員離圓心的距離不相等，v＝rω，所以他們的線速度大小不相同，故A錯誤；
B．兩名學(xué)員繞同一點做圓周運動，則他們的角速度相等，故B正確；
C、汽車所需向心力由摩擦力提供，不與速度方向相反，故C錯誤；
D、學(xué)員質(zhì)量未知，無法比較他們的受到汽車的作用力大小，故D錯誤；
故選：B。
【點評】考查圓周運動的知識，理解共軸角速度相同，同帶邊緣的線速度大小相等，同時解決本題的關(guān)鍵知道圓周運動向心力的來源，基礎(chǔ)題目。
9．（亳州期末）水平放置的光滑圓環(huán)，半徑為R，AB是其直徑。一質(zhì)量為m的小球穿在環(huán)上并靜止于A點，沿AB方向水平向右的風(fēng)力大小恒為F＝mg，小球受到輕擾而開始運動，則下列說法正確的是（ ）
A．運動中小球?qū)Νh(huán)的最大壓力為
B．運動中小球?qū)Νh(huán)的最大壓力為
C．小球運動過程中的最大速度為
D．小球運動過程中的最大動能為
【分析】在小球運動過程中，只有風(fēng)力做功，當(dāng)小球運動到B點時風(fēng)力做功最多，小球速度最大。根據(jù)動能定理求最大速度，從而求得最大動能。在B點，小球?qū)Νh(huán)的壓力最大，分豎直方向和水平方向，由牛頓運動定律求解最大壓力。
【解答】解：AB、在B點，小球?qū)Νh(huán)的壓力最大。在B點，水平面內(nèi)，有：FN1﹣F＝m
得：FN1＝5mg
豎直面內(nèi)，有：FN2＝mg
根據(jù)牛頓第三定律和力的合成法知，最大壓力 FN＝＝，故A正確，B錯誤。
CD、小球從A運動至B點時速度最大，設(shè)最大速度為v；
根據(jù)動能定理得：F?2R＝mv2；
得：v＝2。
小球運動過程中的最大動能為：Ek＝mv2＝2mgR，故CD錯誤。
故選：A。
【點評】解決本題時要知道恒力做功與位移有關(guān)，與路徑無關(guān)。要注意在B點時小球所受的力要分豎直方向和水平方向兩種方向來研究。
10．（洛川縣校級月考）如圖所示，“旋轉(zhuǎn)秋千”中的兩個座椅A、B質(zhì)量相等，通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤上。不考慮空氣阻力的影響，當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動時，下列說法正確的是（ ）
A．A的角速度比B的大
B．A的線速度比B的大
C．懸掛A、B的纜繩所受的拉力一樣大
D．懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小
【分析】AB兩個座椅具有相同的角速度，代入線速度的表達(dá)式，即可求解；
分析座椅的受力情況，拉力水平分力提供向心力，即可求解纜繩的拉力。
【解答】解：A、AB兩個座椅同軸轉(zhuǎn)動，具有相同的角速度，故A錯誤；
B、根據(jù)公式：v＝ω?r，A的運動半徑小，A的線速度小，故B錯誤；
CD、對任一座椅，受力如圖所示：
纜繩拉力的水平分力提供向心力，Tsinθ＝mω2r，A的半徑r較小，ω相等，A與豎直方向夾角θ較小，則懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小，故C錯誤，D正確。
故選：D。
【點評】解決本題的關(guān)鍵知道A、B的角速度大小相等，知道線速度、角速度、向心加速度、向心力之間的關(guān)系，并能靈活運用。
11．（荊州月考）如圖甲所示，陀螺可在圓軌道外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落，好像軌道對它施加了魔法一樣，被稱為“魔力陀螺”。它可等效為一質(zhì)點在圓軌道外側(cè)運動模型，如圖乙所示。在豎直平面內(nèi)固定的強磁性圓軌道半徑為R，A．B兩點分別為軌道的最高點與最低點。質(zhì)點沿軌道外側(cè)做完整的圓周運動，受圓軌道的強磁性引力始終指向圓心O且大小恒為F，當(dāng)質(zhì)點以速率v＝通過A點時，對軌道的壓力為其重力的8倍，不計摩擦和空氣阻力，質(zhì)點質(zhì)量為m，重力加速度為g，則（ ）
A．強磁性引力的大小F＝7mg
B．質(zhì)點在A點對軌道的壓力小于在B點對軌道的壓力
C．只要質(zhì)點能做完整的圓周運動，則質(zhì)點對A，B兩點的壓力差恒為5mg
D．若磁性引力大小恒為2F，為確保質(zhì)點做完整的圓周運動，則質(zhì)點通過B點的最大速率為
【分析】（1）在A點，質(zhì)點由合力提供向心力，運用牛頓第二定律列式，可求得質(zhì)點的質(zhì)量。
（2）質(zhì)點在A點和B點分別運用牛頓第二定律列式，結(jié)合機械能守恒定律求解。
（3）在B點，根據(jù)牛頓第二定律和臨界條件求解質(zhì)點通過B點最大速率。
【解答】解：A、在A點，對質(zhì)點，由牛頓第二定律有：F+mg﹣FA＝m，根據(jù)牛頓第三定律有：FA＝FA′＝8mg，聯(lián)立解得：F＝8mg，故A錯誤；
BC、質(zhì)點能完成圓周運動，在A點：根據(jù)牛頓第二定律有：F+mg﹣NA＝m，根據(jù)牛頓第三定律有：NA＝NA′；
在B點，根據(jù)牛頓第二定律有：F﹣mg﹣NB＝m，根據(jù)牛頓第三定律有：NB＝NB′；
從A點到B點過程，根據(jù)機械能守恒定律有：mg?2R＝。
聯(lián)立解得：NA′﹣NB′＝6mg，故BC錯誤；
D、若磁性引力大小恒為2F，在B點，根據(jù)牛頓第二定律：2F﹣mg﹣FB＝m，當(dāng)FB＝0，質(zhì)點速度最大，vB＝vBm 2F﹣mg＝m，
聯(lián)立解得：vBm＝，故D正確。
故選：D。
【點評】本題運用機械能守恒定律和向心力來研究豎直平面內(nèi)的圓周運動，在解答的過程中正確分析得出小球經(jīng)過最高點和最低點的條件是解答的關(guān)鍵，正確寫出向心力的表達(dá)式是解答的基礎(chǔ)。
12．（進賢縣校級月考）如圖所示，放于豎直面內(nèi)的光滑金屬細(xì)圓環(huán)半徑為R，質(zhì)量為m的帶孔小球穿于環(huán)上，同時有一長為R的細(xì)繩一端系于球上，另一端系于圓環(huán)最低點，繩能承受的最大拉力為2mg。重力加速度的大小為g，當(dāng)圓環(huán)以角速度ω繞豎直直徑轉(zhuǎn)動時，下列說法錯誤的是（ ）
A．圓環(huán)角速度ω小于時，小球受到2個力的作用
B．圓環(huán)角速度ω等于時，細(xì)繩恰好伸直
C．圓環(huán)角速度ω等于時，細(xì)繩斷裂
D．圓環(huán)角速度ω大于時，小球受到2個力的作用
【分析】因為圓環(huán)光滑，所以圓環(huán)肯定是重力、環(huán)對球的彈力，另外可能受到繩子的拉力。
細(xì)繩要產(chǎn)生拉力，繩要處于拉升狀態(tài)，根據(jù)幾何關(guān)系及向心力基本格式求出剛好不受拉力時的角速度，此角速度為臨界角速度，如果大于此角速度就受三個力。
根據(jù)受力分析，結(jié)合牛頓第二定律即可求出繩子將被拉斷時的角速度。
【解答】解：AB、設(shè)角速度ω在0～ω1范圍時繩處于松弛狀態(tài)，球受到重力與環(huán)的彈力兩個力的作用，彈力與豎直方向夾角為θ，則有：mgtan θ＝mRsin θ?ω2，即為：，當(dāng)繩恰好伸直時有：θ＝60°，對應(yīng)，故AB正確；
CD、設(shè)在ω1＜ω＜ω2時繩中有張力且小于2mg，此時有：FNcs 60°＝mg+FTcs 60°，F(xiàn)Nsin 60°+FTsin 60°＝mω2Rsin 60°，當(dāng)FT取最大值2mg時代入可得：，即當(dāng)時繩將斷裂，小球又只受到重力、環(huán)的彈力兩個力的作用，故C錯誤，D正確。
本題選擇錯誤的，故選：C。
【點評】本題主要考查了圓周運動向心力公式的應(yīng)用以及同學(xué)們受力分析的能力，要求同學(xué)們能找出臨界狀態(tài)并結(jié)合幾何關(guān)系解題，難度適中。
13．（杭州期中）設(shè)計師設(shè)計了一個非常有創(chuàng)意的募捐箱。如圖所示，O點為漏斗形口的圓心，某個硬幣在募捐箱上類似于漏斗形的部位滾動很多圈之后，從下方的圓孔掉入募捐箱。硬幣直徑遠(yuǎn)小于漏斗形孔徑。如果把硬幣在不同位置的運動近似看成水平面內(nèi)的勻速圓周運動，空氣阻力和摩擦阻力忽略不計，則關(guān)于這枚硬幣在a、b兩處的說法正確的是（ ）
A．在a、b兩處做圓周運動的圓心都為O點
B．向心力的大小Fa＝Fb
C．角速度的大小ωa＜ωb
D．線速度的大小va＞vb
【分析】根據(jù)a、b的運動情況判斷圓心的位置；
根據(jù)受力情況判斷向心力的大小，根據(jù)F＝mrω2判斷角速度；
根據(jù)能量關(guān)系判斷動能，進一步判斷線速度。
【解答】解：A、在a、b兩處做圓周運動的圓心是通過O點的豎直軸上，不是以O(shè)點為圓心的，故A錯誤；
B、設(shè)在a、b所在弧的切線與水平方向的夾角為α、β，根據(jù)力的合成可得a的向心力Fa＝mgtanα、b的向心力Fb＝mgtanβ，而α＜β，故向心力的大小Fa＜Fb，故B錯誤；
C、根據(jù)F＝mrω2可知，F(xiàn)a＜Fb，ra＞rb，則角速度的大小ωa＜ωb，故C正確；
D、硬幣下滑過程中，重力做正功，動能增加，線速度增大，故vb＞va，故D錯誤。
故選：C。
【點評】本題主要是考查圓周運動的知識，解答此類問題的關(guān)鍵是能夠?qū)ξ矬w進行受力分析，確定哪些力的合力或哪個力的分力提供了向心力，根據(jù)向心力的計算公式進行解答。
14．（七里河區(qū)校級月考）汽車勻速率地行駛在如圖所示凹凸路面上，則在A、B、C、D四點中，最易爆胎和最易騰空而起的點是（ ）
A．D與CB．C與BC．B與AD．A與D
【分析】以車為研究對象，在這些點由重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，研究支持力與半徑的關(guān)系，確定何處支持力最大，何處最小即可判斷。
【解答】解：在坡頂
mg﹣FN＝m，
解得：FN＝mg﹣m，
FN＜mg，
半徑越小，F(xiàn)N越小，越容易飛離地面，所以C點容易容易飛離地面，
在坡谷
FN﹣mg＝m，
FN＝mg+m，
FN＞mg，r越小，F(xiàn)N越大。
而D點半徑比B點小，則D點最容易爆胎，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
【點評】本題考查運用物理知識分析處理實際問題的能力，注意向心力公式的應(yīng)用。
15．（德州期中）如圖所示為某學(xué)校學(xué)生以整齊的步伐跑操時的情景，對于恰好通過彎道的某一班級中的同學(xué)，下列說法正確的是（ ）
A．所有同學(xué)的線速度大小相等
B．所有同學(xué)的角速度大小相等
C．所有同學(xué)的向心加速度大小相等
D．所有同學(xué)的向心力大小相等
【分析】線速度的方向沿軌跡的切線方向，只有大小和方向都相同時線速度才相同。根據(jù)各位同學(xué)的運動情況分析線速度和角速度的關(guān)系。根據(jù)F＝mω2r分析向心力關(guān)系。
【解答】解：AB、各位學(xué)生以整齊的步伐通過圓形彎道時，因每一排的連線是一條直線，且與跑道垂直，相當(dāng)于共軸轉(zhuǎn)動，所以全班同學(xué)的角速度相同，由于同一排同學(xué)的半徑不同，因此它們的線速度大小不同，故A錯誤，B正確；
C、根據(jù)a＝ω2r知，同一排的學(xué)生的半徑不同，則所有同學(xué)的向心加速度大小不相等，故C錯誤；
D、根據(jù)F＝mω2r知，同一列的學(xué)生受到的向心力大小不一定相等，向心力方向也不同，所以所有同學(xué)的向心力不同，故D錯誤；
故選：B。
【點評】解決本題時，要搞清線速度是矢量，只有大小和方向都相同時線速度才相同。要分析清楚各個同學(xué)存在的相等量，再選擇相應(yīng)的公式解答。
二．多選題（共15小題）
16．（沙坪壩區(qū)校級月考）如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定兩個很靠近的同心圓軌道，外圓內(nèi)表面光滑，內(nèi)圓外表面粗糙，一質(zhì)量為m的小球從軌道的最低點以初速度v0向右運動，球的直徑略小于兩圓間距，球運動的軌道半徑為R，不計空氣阻力，下列說法正確的是（ ）
A．若小球至少能完成一個完整的圓周運動，則v0必須大于
B．若v0＝，則小球在整個運動過程中克服摩擦力做功等于mgR
C．若小球在整個運動過程中機械能守恒，則v0一定大于等于
D．若小球第一次運動到最高點時對圓環(huán)的作用力為0.5mg，則小球在最低點對外圓環(huán)的壓力一定為6.5mg
【分析】小球至少完成一個完整的圓周運動，恰好運動到最高點，此時的速度為零，根據(jù)動能定理分析。
小球在整個運動過程中，內(nèi)圓粗糙，小球與內(nèi)圓接觸時要受到摩擦力作用，要克服摩擦力做功；外圓光滑，小球與外圓接觸時不受摩擦力作用，只有重力做功，機械能守恒，應(yīng)用牛頓第二定律與機械能守恒定律分析答題。
小球由最低點運動到最高點，小球由接觸外環(huán)到接觸內(nèi)環(huán)，必然有機械能損失。
【解答】解：A、小球至少完成一個完整的圓周運動，恰好運動到最高點，此時的速度為零，設(shè)克服摩擦力做功為Wf，根據(jù)動能定理可知，﹣Wf﹣mg×2R＝0﹣，解得，故A正確；
B、由題意可知，小球在球心高度以下時不受摩擦力的作用，若v0＝，小球最終將在兩側(cè)高度為R的下部位置來回振動，在圓心等高處小球的動能為零，由能量守恒得：
，
解得：摩擦生熱Q＝mgR，
由功能關(guān)系可知：克服摩擦力做功等于mgR，故B正確；
C、若小球在運動過程中機械能守恒，有兩種情況：
1、能達(dá)到最高點時，在最高點靠重力提供向心力，根據(jù)mg＝m 得，v＝，根據(jù)機械能守恒知，，解得，可知v0一定不小于，
2、小球最高點在圓心以下位置的情況，此過程也是機械能守恒的，有：≤mgR，解得：v0≤，故C錯誤；
D、若小球第一次運動到最高點，內(nèi)環(huán)對小球的支持力為0.5mg，根據(jù)牛頓第二定律，有：mg﹣0.5mg＝m，最高點機械能：，解得：，最低點對外環(huán)有壓力，則6.5mg﹣mg＝m，最低點重力勢能為零，可得最低點機械能：E2＝，由最低點運動到最高點，小球由接觸外環(huán)到接觸內(nèi)環(huán)，必然有機械能損失，E1＜E2才合理，但以上是假設(shè)情況，小球在最低點對外圓環(huán)的壓力不一定是6.5mg，故D錯誤。
故選：AB。
【點評】該題考查了圓周運動的相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是理清運動過程，抓住臨界狀態(tài)，明確最高點的臨界條件，運用機械能守恒定律和向心力知識結(jié)合進行研究．
17．（龍崗區(qū)校級模擬）如圖所示，半徑為R的半球形容器固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)軸與過容器球心O的豎直線重合，轉(zhuǎn)臺以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)。有兩個質(zhì)量均為m的小物塊落入容器內(nèi)，經(jīng)過一段時間后，兩小物塊都隨容器一起轉(zhuǎn)動且相對容器內(nèi)壁靜止，兩物塊和球心O點的連線相互垂直，且A物塊和球心O點的連線與豎直方向的夾角θ＝60°，已知重力加速度大小為g，則下列說法正確的是（ ）
A．若A物塊受到的摩擦力恰好為零，B物塊受到的摩擦力的大小為
B．若A物塊受到的摩擦力恰好為零，B物塊受到的摩擦力的大小為
C．若B物塊受到的摩擦力恰好為零，A物塊受到的摩擦力的大小為
D．若B物塊受到的摩擦力恰好為零，A物塊受到的摩擦力的大小為
【分析】A物塊受到的摩擦力恰好為零，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求摩擦力；
分析此時B物體摩擦力的方向，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，根據(jù)牛頓第二定律求出摩擦力的大??；
【解答】解：AB、當(dāng)A摩擦力恰為零時，物塊與圓心連線與豎直方向的夾角為60°，受力如圖1所示，
圖1
根據(jù)牛頓第二定律得：
mgtan60°＝mrω2
r＝Rsin60°
此時B滑塊有沿斜面向上滑的趨勢，摩擦力沿罐壁切線向下，受力如圖2所示。
圖2
豎直方向上：Ncs30°﹣fsin30°﹣mg＝0
水平方向上：Nsin30°+fcs30°＝mr′ω2
其中r′＝Rsin30°，聯(lián)立解得：f＝，故A錯誤，B正確；
CD、當(dāng)B摩擦力恰為零時，物塊與圓心連線與豎直方向的夾角為300
根據(jù)牛頓第二定律得：mgtan30°＝mrω2
其中r＝Rsin30°
此時A滑塊有沿斜面向下滑的趨勢，摩擦力沿罐壁切線向上，
豎直方向上：Ncs60°+fsin60°﹣mg＝0
水平方向上：Nsin60°﹣fcs60°＝mr′ω2
r′＝Rsin60°，聯(lián)立解得：f＝，故C正確。D錯誤；
故選：BC。
【點評】解決本題的關(guān)鍵搞清物塊做圓周運動向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進行求解
18．（蔡甸區(qū)校級模擬）內(nèi)壁光滑、由絕緣材料制成的半徑R＝m的圓軌道固定在傾角為θ＝45°的斜面上，與斜面的切點是A，直徑AB垂直于斜面，直徑MN在豎直方向上，它們處在水平方向的勻強電場中。質(zhì)量為m，電荷量為q的小球（可視為點電荷）剛好能靜止于圓軌道內(nèi)的A點，現(xiàn)對在A點的該小球施加一沿圓環(huán)切線方向的速度，使其恰能繞圓環(huán)完成圓周運動。g取10m/s2，下列對該小球運動的分析，正確的是（ ）
A．小球可能帶負(fù)電
B．小球運動到 N 點時動能最大
C．小球運動到 B 點時對軌道的壓力為 0
D．小球初速度大小為 10m/s
【分析】物體可以靜止在A點，則小球必然受到水平向左的電場力，且電場力與重力的大小相等，兩者合力垂直斜面向下；再根據(jù)“等效重力法”得到等效重力、等效最高點和等效最低點；最后運用類比法將只受重力的豎直平面內(nèi)的圓周運動規(guī)律遷移到此題中即可解決問題。
【解答】解：此題用“等效重力法”分析，受力如下圖所示：
小球能靜止在A點，故電場力的大小與重力的大小相等，兩者合力，方向垂直斜面向下；根據(jù)“等效重力法”：等效重力為F合、等效最高點為B點、等效最低點為A點；可將只受重力的豎直平面內(nèi)的圓周運動規(guī)律完全遷移過來；
A、小球能靜止在A點，小球受到的電場力為水平向左方向，小球必然帶正電，故A錯誤；
B、小球做圓周運動時，在等效最低點的動能最大，所以小球在A點的動能最大，故B錯誤；
C、小球恰能繞圓環(huán)完成圓周運動，則小球在等效最高點B點由等效重力充當(dāng)向心力，小球?qū)υ?B 點對軌道的壓力為 0，故C正確；
D、小球在等效最高點B點由等效重力充當(dāng)向心力，由向心力公式得：①，小球從A點到B點的過程中由動能定理得：②，聯(lián)立①②代入數(shù)據(jù)得：vA＝10m/s，故D正確；
故選：CD。
【點評】“等效重力法”是解決此類問題的方法，在使用的過程中一定要找到“等效重力、等效最高點和等效最低點”；同時要具備一定的知識遷移能力，能將只受重力的豎直平面內(nèi)的圓周運動規(guī)律遷移到此題中。
19．（棗莊期末）如圖所示，質(zhì)量為m的物塊置于水平轉(zhuǎn)臺上，用長為l的輕質(zhì)細(xì)繩跟豎直轉(zhuǎn)軸相連，細(xì)繩與豎直轉(zhuǎn)軸的夾角θ＝37°，此時細(xì)繩繃直但無拉力。物塊與轉(zhuǎn)臺之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。讓物塊隨轉(zhuǎn)臺由靜止開始緩慢加速轉(zhuǎn)動，則（ ）
A．當(dāng)角速度ω＝時，細(xì)繩中無拉力
B．當(dāng)角速度ω＝時，細(xì)繩中有拉力
C．當(dāng)角速度ω＝時，物塊受到的摩擦力為零
D．當(dāng)角速度ω＝時，物塊受到的摩擦力不為零
【分析】對物體受力分析知物塊離開圓盤前合力F＝f+Tsinθ＝mrω2，N+Tcsθ＝mg，根據(jù)題目提供的條件，結(jié)合臨界條件分析即可。
【解答】解：AB、當(dāng)轉(zhuǎn)臺的角速度比較小時，物塊只受重力、支持力和摩擦力，當(dāng)細(xì)繩恰好要產(chǎn)生拉力時：μmg＝，解得：ω1＝，由于＜，所以當(dāng)ω＝時，細(xì)線中無張力，故A正確，B錯誤；
CD、隨速度的增大，細(xì)繩上的拉力增大，當(dāng)物塊恰好要離開轉(zhuǎn)臺時，物塊受到重力和細(xì)繩的拉力的作用，則：mgtan37°＝m，解得：ω2＝，由于ω1＜＜ω2，所以當(dāng)ω＝時，物塊與轉(zhuǎn)臺間的摩擦力不為零。故C錯誤，D正確。
故選：AD。
【點評】此題考查牛頓運動定律的應(yīng)用，注意臨界條件的分析，至繩中出現(xiàn)拉力時，摩擦力為最大靜摩擦力；轉(zhuǎn)臺對物塊支持力為零時，N＝0，f＝0．題目較難，計算也比較麻煩。
20．（如皋市校級月考）如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平轉(zhuǎn)盤上，沿半徑方向放著用細(xì)線相連的物體A和B，A和B質(zhì)量都為m，它們位于圓心兩側(cè)，與圓心距離分別為RA＝r，RB＝2r，A、B與盤間的動摩擦因數(shù)μ相同。若最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當(dāng)圓盤緩慢加速到兩物體恰要與圓盤發(fā)生相對滑動時，下列說法正確的是（ ）
A．在加速過程中，A、B所受靜摩擦力均一直增大
B．此時繩子張力為T＝3μmg
C．此時燒斷繩子物體A仍將隨盤一塊轉(zhuǎn)動
D．若將A沿半徑方向向外移動一小段距離，A、B仍能與圓盤保持相對靜止
【分析】本題考查對過程的分析能力，從“圓盤緩慢加速”到“兩物體恰要與圓盤發(fā)生相對滑動”這段時間內(nèi)，兩個物塊的受力情況發(fā)生了三次大的變化，對應(yīng)著有三個重要的臨界狀態(tài)。
【解答】解：
第一個過程，兩物塊僅受靜摩擦力，不受繩子上的拉力，向心力由各自受到的靜摩擦力提供，方向指向各自圓心。如圖1所示。因為，隨著角速度ω的增大，靜摩擦力都增大，由于，而，物塊B需要的向心力總是比A大，所以B先達(dá)到最大靜摩擦力μmg，此時A受靜摩擦力為mg.
第二個過程，物塊B將要滑動，繩子上產(chǎn)生張力，隨著需要的向心力繼續(xù)增大，fB不能增大了，所以繩子的張力TB逐漸增大，如圖2所示。B需要的向心力始終是A需要的向心力的2倍，而且TA＝TB，所以，這個過程中，A受到的靜摩擦力會減小，直至為零。
第三個過程，物塊A受到的靜摩擦力反向增大，直至增大到最大靜摩擦力。如圖3所示。
A、兩物塊最大靜摩擦力均為μmg；轉(zhuǎn)盤緩慢加速過程中，開始時兩物塊均由指向圓心的靜摩擦力提供向心力，繩子無拉力，根據(jù)F向＝mω2r 可知，隨著ω增加，B物塊最先達(dá)到最大靜摩擦力時，A物塊靜摩擦力為mg；此后，直到A達(dá)到最大靜摩擦力時，系統(tǒng)才會運動。但要注意，系統(tǒng)剛要運動時A物塊的摩擦力方向該沿半徑向外，所以在加速過程中，A、B所受靜摩擦力均一直增大錯誤，故A錯誤；
B、兩物體恰要與圓盤發(fā)生相對滑動時，對兩物塊列向心力方程：
對物塊A：
對物塊B：TB+μmg＝mω2?2r
且TA＝TB
解得：TA＝TB＝3μmg 故B正確；
C、此時物塊A的向心力f向＝TA﹣μmg＝3μmg﹣μmg＝2μmg，如果剪斷繩子，摩擦力不足以提供向心力，將離心運動，故C錯誤；
D、用極限思維，如果rA＝rB，只要繩子夠結(jié)實，ω可以無窮大?？梢妰晌飰K的半徑越接近，系統(tǒng)越穩(wěn)定，所以D正確。
故選：BD。
【點評】（1）最后的臨界狀態(tài)是解這道題的關(guān)鍵。
（2）“燒繩子”問題怎么處理？關(guān)鍵看一下沒燒之前物體的狀態(tài)。
（3）關(guān)于圓周運動的是否穩(wěn)定，可以用“極端假設(shè)法”思考。
21．（濰坊期中）兩根長度不同的細(xì)線分別拴接質(zhì)量不同的小球，兩線的另一端固定在天花板的同一點上，若兩球以相同的角速度在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，下列說法正確的是（ ）
A．質(zhì)量大的球，繩與豎直方向的夾角小
B．質(zhì)量小的球，繩與豎直方向的夾角大
C．接球的繩越長，繩與豎直方向的夾角越大
D．兩小球位于同一水平面上
【分析】兩個小球均做勻速圓周運動，對它們受力分析，找出向心力來源，可先求出角速度，再由角速度與線速度、周期、向心加速度的關(guān)系公式求解
【解答】解：ABD、對其中一個小球受力分析，如圖，受重力，繩子的拉力，由于小球做勻速圓周運動，故合力提供向心力：
將重力與拉力合成，合力指向圓心，則繩子拉力T＝，
由向心力公式得：F＝mgtanθ＝mω2r；
又有幾何關(guān)系可知：tanθ＝
聯(lián)立解得：h＝＝，即角速度一定時，高度h不變，故兩小球位于同一水平面上，角度與r有關(guān)，與小球質(zhì)量無關(guān)，故AB錯誤，故D正確；
C、由于h一定，且tanθ＝，故接球的繩越長，r越大，角度θ越大，故C正確；
故選：CD。
【點評】本題主要是考查圓周運動的知識，解答此類問題的關(guān)鍵是能夠?qū)ξ矬w進行受力分析，確定哪些力的合力或哪個力的分力提供了向心力，根據(jù)向心力的計算公式進行解答。
22．（湖北期末）如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一固定的絕緣圓軌道，半徑為R，在其圓心處固定一帶電量為+Q的點電荷。有一質(zhì)量為m、帶電量為+q的小球（小球可視為質(zhì)點且其所受重力小于其所受的庫侖力）沿著軌道內(nèi)側(cè)做圓周運動，A、B兩點分別是軌道的最高點和最低點，不計切摩擦和空氣阻力，則（ ）
A．小球通過A點的最小速率為
B．小球以速率通過A點時，軌道對小球的作用力大小為k
C．若小球恰能沿軌道做完整的圓周運動，則小球在B點時的速率為
D．若小球恰能沿軌道做完整的圓周運動，則小球在B點時的速率為2
【分析】分析小球的受力情況，在最高點時，根據(jù)向心力公式可知，通過A點的最小速率。
代入向心力公式，確定軌道對小球的作用力大小。
小球運動過程中，庫侖力不做功，根據(jù)動能定理分析小球在B點的速度。
【解答】解：A、小球在最高點A點時，mg+FNA﹣k＝m，當(dāng)mg+FNA＝k時，小球通過A點的最小速率為零，故A錯誤；
B、vA＝，代入上式解得：FNA＝k，故B正確；
CD、小球恰好沿軌道做完整的圓周運動，則在A點的速率為零，運動過程中，庫侖力不做功，根據(jù)動能定理可知，mg?2R＝，解得小球在B點的速率：vB＝2，故C錯誤，D正確。
故選：BD。
【點評】此題考查了向心力的計算，關(guān)鍵對小球進行受力分析，找出向心力的提供者，結(jié)合動能定理分析求解即可。
23．（鼓樓區(qū)校級期末）如圖所示，長度為L的輕繩連著一個質(zhì)量為m的小球，懸于O點，O點正下方P處有一個小釘子，剛開始讓輕繩拉直，與豎直方向夾角為θ＝60°，將小球由靜止釋放，不考慮空氣阻力，不計輕繩撞到釘子的機械能損失。已知重力加速度為g。下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)小球擺到最低點時，輕繩撞到釘子瞬間前后，小球的角速度變大
B．當(dāng)小球擺到最低點時，輕繩撞到釘子之前的瞬間，小球?qū)K的張力為2mg
C．釘子離懸點越近，當(dāng)小球擺到最低點輕繩撞到釘子后，繩子越容易斷
D．若輕繩撞到釘子后小球恰好能做完整的圓周運動，則輕繩撞到釘子瞬間前后小球的向心加速度之比為1：5
【分析】當(dāng)繩擺到豎直位置時，與釘在O點正下方P的釘子相碰后，小球圓周運動的半徑減小，線速度大小不變，根據(jù)角速度與線速度的關(guān)系v＝ωr，分析角速度的變化。
由向心加速度公式an＝分析向心加速度的變化。
根據(jù)牛頓第二定律分析小球所受拉力的變化。
根據(jù)小球運動到最高點的臨界條件，由牛頓第二定律求最高點的速度，由機械能守恒或動能定理求得小球圓周運動的半徑大小，求得向心加速度。
【解答】解：A、當(dāng)小球擺到最低點時，輕繩撞到釘子瞬間前后，線速度大小不變，由于撞到釘子前后半徑減小，根據(jù)可知，小球的角速度變大，故A正確；
B、根據(jù)動能定理可知：mgL（1﹣cs60°）＝，解得v＝，在最低點，根據(jù)牛頓第二定律可知：F﹣mg＝，解得F＝2mg，故B正確；
C、到達(dá)最低點的速度不變，根據(jù)F﹣mg＝可知，F(xiàn)＝mg+，r越小，F(xiàn)越大，故釘子離懸點越遠(yuǎn)，當(dāng)小球擺到最低點輕繩撞到釘子后，繩子越容易斷，故C錯誤；
D、輕繩撞到釘子瞬間前，向心加速度為＝g，若輕繩撞到釘子后小球恰好能做完整的圓周運動，此時圓周運動的半徑為r，則剛好做圓周運動，在最高點，mg＝，在運動過程中，根據(jù)動能定理可知：mg（）＝，聯(lián)立解得r＝，向心加速度a2＝＝5g，故加速度之比為1：5，故D正確。
故選：ABD。
【點評】此題考查了向心力的相關(guān)知識，小球在運動過程中只有重力做功，機械能守恒，應(yīng)用機械能守恒定律與牛頓第二定律即可正確解題；解題時要注意，小球恰好到達(dá)最高點時，重力提供向心力。
24．（龍崗區(qū)期末）如圖所示是兩個做圓錐擺運動的小球1、小球2，擺線跟豎直方向的夾角分別為53°和37°，兩球做勻速圓周運動所在的水平面到各自懸點的距離之比為2：1，下列有關(guān)判斷正確的是（ ）
A．兩球運動周期之比為：1
B．兩球運動線速度之比為16：9
C．兩球運動角速度之比為1：
D．兩球運動向心加速度之比為16：9
【分析】小球受重力和拉力，靠兩個力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出周期、線速度、角速度以及向心加速度之比。
【解答】解：由題可知，可以設(shè)兩個小球的質(zhì)量都是m；設(shè)1球做勻速圓周運動所在的水平面到懸點的距離為2h，則2球做勻速圓周運動所在的水平面到懸點的距離為h，則1球做圓周運動的半徑：r1＝h1tanθ1＝2h?tan53°＝，2球做圓周運動的半徑：r2＝htan37°＝
以1球為研究對象，根據(jù)重力與繩子的拉力的合力提供向心力，可得：mgtanθ1＝m，解得：＝
同理，以2球為研究對象，可得：＝
AC、兩球運動的角速度之比：＝，根據(jù)T＝，兩球的周期之比：，故AC正確；
B、兩球的線速度之比：＝＝，故B錯誤；
D、根據(jù)公式：an＝ω?v．則：＝，故D正確。
故選：ACD。
【點評】此題考查了圓周運動的相關(guān)計算，解決本題的關(guān)鍵搞清向心力的來源，運用牛頓第二定律得出線速度、周期的關(guān)系。
25．（汕頭一模）如圖甲，固定在豎直面內(nèi)的光滑圓形管道內(nèi)有一小球在做圓周運動，小球直徑略小于管道內(nèi)徑，管道最低處N裝有連著數(shù)字計時器的光電門，可測球經(jīng)過N點時的速率vN，最高處裝有力的傳感器M，可測出球經(jīng)過M點時對管道作用力F（豎直向上為正），用同一小球以不同的初速度重復(fù)試驗，得到F與vN2的關(guān)系圖象如圖乙，c為圖象與橫軸交點坐標(biāo)，b為圖象延長線與縱軸交點坐標(biāo)，重力加速度為g，則下列說法中正確的是（ ）
A．若小球經(jīng)過N點時滿足vN2＝c，則經(jīng)過M點時對軌道無壓力
B．當(dāng)小球經(jīng)過N點時滿足vN2＝c，則經(jīng)過M點時對內(nèi)管道壁有壓力
C．小球做圓周運動的半徑為
D．F＝﹣b表示小球經(jīng)過N點時速度等于0
【分析】根據(jù)圖象判斷經(jīng)過M點時對管道作用力F的方向；根據(jù)圖象及結(jié)合動能定理以及向心力的公式求解半徑。
【解答】解：A、由乙圖可得，當(dāng)vN2＝c時，球經(jīng)過M點時對管道作用力F＝0，故A正確。
B、由圖可知當(dāng)vN2＝c時，經(jīng)過M點時對管道作用力F＞0，F(xiàn)的方向為豎直向上，故對外管道壁有壓力，故B錯誤。
C、設(shè)圓的半徑為R，從最高點M到最低點N，由動能定理得：2mgR＝
當(dāng)vN2＝c時有：＝c﹣4gR
此時經(jīng)過M點時對管道作用力為：F＝0
故有：mg＝＝m
解得：R＝，故C正確。
D、小球經(jīng)過N點時速度不能等于0，故F＝﹣b的情況不存在，故D錯誤。
故選：AC。
【點評】在處理圓周運動時，會熟練運用動能定理、向心力公式來處理；在雙環(huán)軌道中，球?qū)鼙诘淖饔昧Ω鶕?jù)速度的大小來判斷。
26．（4月份月考）如圖所示，一個固定在豎直平面內(nèi)的半圓形管道ABC，半圓形管道在最高點C通過很小的一段圓弧與傾角為30°的光滑斜面平滑連接，管道里有一個直徑略小于管道內(nèi)徑的小球，小球在管道內(nèi)做圓周運動，小球經(jīng)過管道的C點時管道對小球的作用力大小為F，已知半圓形管道的半徑R＝1.0m，小球可看做質(zhì)點且質(zhì)量m＝1.0kg，g＝10m/s2，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)小球經(jīng)過管道的C點時F＝6N，則小球的速度為4.0m/s
B．當(dāng)小球經(jīng)過管道的C點時F＝15N，則小球的速度為5.0m/s
C．小球從C點滑到斜面底端的最長時間為s
D．當(dāng)小球從C點滑到斜面底端的時間為1.0s時，則小球經(jīng)過管道的C點時F＝2.25N
【分析】當(dāng)小球經(jīng)過管道的C點時，如果只受重力，v0＝＝；當(dāng)經(jīng)過管道C點時的速度v＞v0時，則小球受到管道向下的壓力；當(dāng)經(jīng)過管道C點時的速度v＜v0時，則小球受到管道向上的支持力。小球通過C點的最小速度為零。
【解答】解：A、當(dāng)小球經(jīng)過管道的C點時F＝6N＜mg，可能是底部的支持力，也可能是頂部對小球的壓力，若為支持力，則有：mg﹣F＝m，解得：v＝2m/s；若為壓力，mg+F＝m，解得：v＝4m/s；小球的速度為4.0m/s或者2m/s，故A錯誤；
B、當(dāng)小球經(jīng)過管道的C點時，如果只受重力，則mg＝m，解得v0＝＝；當(dāng)經(jīng)過管道C點時的速度v＞v0時，則小球受到管道向下的壓力；當(dāng)經(jīng)過管道C點時的速度v＜v0時，則小球受到管道向上的支持力。所以小球的速度是5.0m/s時，有F+mg＝m，代入解得，F(xiàn)＝15N，故B正確。
C、小球從C點沿斜面向下滑的加速度為a＝gsin30°＝5m/s2，當(dāng)小球在C點的速度最小時，滑到底端的時間最長，小球通過C點的最小速度為0，代入解得t＝，故C正確。
D、斜面長x＝vct+，代入數(shù)據(jù)得：vc＝1.5m/s＜，故小球受到管道向上的支持力有：mg﹣F＝m，解得：F＝7.75N，故D錯誤。
故選：BC。
【點評】根據(jù)C點的速度判斷小球的受力情況，知道小球通過C點的最小速度為0．熟練應(yīng)用位移公式求解未知量。
27．（鄲城縣月考）如圖所示，豎直桿上固定有水平桿BC，小球a、b分別用細(xì)線懸于豎直桿的A點和水平桿上的C點，勻速轉(zhuǎn)動豎直桿，使a、b兩球在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運動，穩(wěn)定時，兩球懸線與豎直方向的夾角分別為θ、α，不計小球的大小，則下列說法正確的是（ ）
A．b球懸線的延長線交豎直桿于A點
B．若AB＝BC，則α＝45°
C．若a、b兩球的質(zhì)量相等，則α＝0
D．若增大轉(zhuǎn)動的角速度，則兩球一定仍在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運動
【分析】分析小球受力，合力提供向心力，根據(jù)幾何關(guān)系，確定b球懸線的延長線與豎直桿的交點。
根據(jù)幾何關(guān)系確定AB＝BC時，角α的數(shù)值。
b球在水平面上做圓周運動，據(jù)此分析。
【解答】解：A、兩小球?qū)儆谕S轉(zhuǎn)動的模型，角速度相等，分析小球a的受力情況，受重力、細(xì)線拉力，設(shè)連接小球a的細(xì)線長為La，合力提供向心力，mgtanθ＝mω2Lasinθ，解得：Lacsθ＝，
同理，Lbcsα＝，其中Lacsθ＝ha，將b球懸線延長交于豎直桿，則交點與b點的豎直高度與A點與a點的豎直高度相等，即b球懸線的延長線交豎直桿于A點，故A正確；
B、若AB＝BC，根據(jù)幾何關(guān)系可知，tanα＝＝1，則α＝45°，故B正確；
C、b球做勻速圓周運動，細(xì)線拉力與重力的合力提供向心力，方向為水平方向，故細(xì)線與豎直方向的夾角α≠0，故C錯誤；
D、若增大轉(zhuǎn)動的角速度，b球懸線延長線與豎直桿的交點A'在A點的下方，由A選項分析可知，a球與A點的豎直距離與b球與A'的豎直距離相等，則兩球不在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運動，故D錯誤。
故選：AB。
【點評】此題考查了向心力的相關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是對兩小球進行受力分析，明確細(xì)線拉力和重力的合力提供向心力。
28．（市中區(qū)校級月考）圖甲所示是兩個圓錐擺，圖乙所示為同一小球在光滑而固定的圓錐筒內(nèi)的A、B位置先后分別做勻速圓周運動的情景，下列說法正確的是（ ）
A．圖甲中增大θ，但保持圓錐的高度不變，則圓錐擺的角速度不變
B．圖甲中增大θ，但保持圓錐的高度不變，則圓錐擺的角速度增大
C．圖乙中的小球在A、B兩位置角速度相等
D．圖乙中的小球在A、B兩位置所受筒壁的支持力大小相等
【分析】分析每種模型的受力情況，根據(jù)合力提供向心力求出相關(guān)的物理量，進行分析。
圖甲中，圓錐的高度h不變，利用高度h和夾角表示軌道半徑r。
圖乙中，設(shè)頂角為2θ，根據(jù)合力提供向心力，確定角速度關(guān)系和支持力大小關(guān)系。
【解答】解：AB、圖甲中，保持圓錐的高度h不變，小球受到的重力和拉力的合力提供向心力，mgtanθ＝mω2r，r＝Lsinθ，解得：ω＝＝，故增大θ，保持圓錐的高度h不變，角速度不變，故A正確，B錯誤；
C、圖乙中，對小球受力分析，受到重力和支持力，它們的合力提供向心力，設(shè)頂角為2θ，根據(jù)牛頓第二定律，＝mrω2知，軌道半徑大的角速度小，故A球角速度小于B球角速度，故C錯誤；
D、圖乙中，在A、B兩位置所受筒壁的支持力為：N＝，所以在A、B兩位置所受筒壁的支持力大小相等，故D正確。
故選：AD。
【點評】此題考查圓周運動常見的模型，每一種模型都要注意受力分析找到向心力，從而根據(jù)公式判定運動情況，如果能記住相應(yīng)的規(guī)律，做選擇題可以直接應(yīng)用，從而大大的提高做題的速度。
29．（煙臺期末）如圖，兩彈性輕繩一端系在天花板的O點，另一端分別系著質(zhì)量均為m的小球a、b，并讓兩小球都以O(shè)'為圓心在同水平面上做勻速圓周運動。已知兩彈性繩的彈力都與其伸長量成正比，且原長恰好都等于OO'，則（ ）
A．小球a、b的運動周期相同
B．小球a的向心力大于小球b的向心力
C．小球a、b的線速度大小相同
D．彈性繩1的勁度系數(shù)大于彈性繩2的勁度系數(shù)
【分析】分析小球的受力情況，繩子的彈力和重力的合力提供向心力，列出周期和線速度公式。
確定輕繩的彈力和伸長量，根據(jù)胡克定律求解勁度系數(shù)。
【解答】解：設(shè)彈性輕繩與豎直方向的夾角為θ，原長為L，
AC、小球受到繩子的彈力和重力的合力提供向心力，有：mgtanθ＝m＝
解得運動周期為：T＝
線速度為：v＝
則小球a、b的運行周期相同，線速度大小不等，故A正確，C錯誤。
B、小球a的繩與豎直方向的夾角大，故小球a的向心力大于小球b的向心力，故B正確。
D、輕繩的彈力F＝，輕繩的伸長量x＝，根據(jù)胡克定律可知，彈性繩的勁度系數(shù)k＝，小球a的繩與豎直方向的夾角大，彈性繩1的勁度系數(shù)小于彈性繩2的勁度系數(shù)，故D錯誤。
故選：AB。
【點評】此題考查了向心力的相關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是分析小球的受力情況，列出相應(yīng)的向心力公式，求解周期和線速度。
30．（宿遷期末）如圖所示，足夠大的水平圓臺中央固定一光滑豎直細(xì)桿，原長為L的輕質(zhì)彈簧套在豎直桿上，質(zhì)量均為m的光滑小球A、B用長為L的輕桿及光滑鉸鏈相連，小球A穿過豎直桿置于彈簧上。讓小球B以不同的角速度ω繞豎直桿勻速轉(zhuǎn)動，當(dāng)轉(zhuǎn)動的角速度為ω0時，小球B剛好離開臺面。彈簧始終在彈性限度內(nèi)，勁度系數(shù)為k，重力加速度為g，則（ ）
A．小球均靜止時，彈簧的長度為L﹣
B．角速度ω＝ω0時，小球A對彈簧的壓力為mg
C．角速度ω0＝
D．角速度從ω0繼續(xù)增大的過程中，小球A對彈簧的壓力不變
【分析】依據(jù)胡克定律，結(jié)合受力分析，判定A選項；
根據(jù)整體法，結(jié)合當(dāng)轉(zhuǎn)動的角速度為ω0時，小球B剛好離開臺面，即可分析；
對B受力分析，根據(jù)牛頓第二定律，及向心力表達(dá)式，即可求解；
整體受力分析，即可判定豎直方向受力情況。
【解答】解：A、光滑小球均靜止時，則可知，桿沒有作用力，否則B球不可能平衡的，對A受力分析，重力與彈簧的彈力，處于平衡，依據(jù)胡克定律，那么彈簧的形變量△x＝，因此彈簧的長度為L′＝L﹣，故A正確；
B、角速度ω＝ω0時，球B在桿及重力作用下，提供向心力，做勻速圓周運動，那么，桿對小球A有作用力，因此彈簧對A的支持力大于mg，則球A對彈簧的壓力也大于mg，故B錯誤；
C、當(dāng)轉(zhuǎn)動的角速度為ω0時，小球B剛好離開臺面，對B分析，桿的拉力與重力的合力提供向心力，如下圖所示：
根據(jù)矢量的合成法則，結(jié)合牛頓第二定律，則有＝mLcsθ，
對AB整體分析，彈簧的彈力F′＝2mg
依據(jù)胡克定律，則彈簧的形變量L″＝，
根據(jù)幾何知識，則有：＝sinθ
綜上所述，解得：ω0＝，故C正確；
D、由上分析，可知，當(dāng)轉(zhuǎn)動的角速度為ω0時，小球B剛好離開臺面，彈簧彈力等于2mg，當(dāng)角速度從ω0繼續(xù)增大的過程中，彈簧彈力仍等于2mg，因此小球A對彈簧的壓力不會變，故D正確；
故選：ACD。
【點評】考查物體做勻速圓周運動的應(yīng)用，掌握牛頓第二定律與向心力表達(dá)式的內(nèi)容，理解矢量的合成法則與三角函數(shù)，及幾何知識的運用，注意當(dāng)球B離開臺面后，彈簧的受力就會不變是解題的關(guān)鍵。
三．填空題（共10小題）
31．（洛南縣校級期中）如圖所示，圓錐擺的擺長為L、擺角為α，當(dāng)質(zhì)量為m的擺球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動時，擺線的拉力為 ，擺球做圓周運動的向心力為 mgtanα ，擺球的向心加速度為 gtanα ，擺球做圓周運動的周期為 2π 。（已知重力加速度為g）
【分析】小球受重力和拉力，靠兩個力的合力提供向心力，根據(jù)平行四邊形定則求出拉力的大小，結(jié)合牛頓第二定律求出向心加速度的大小，根據(jù)線速度與角速度、周期的關(guān)系求出周期的大小。
【解答】解：小球的受力如圖所示，小球受重力mg和繩子的拉力F，因為小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，靠合力提供向心力，根據(jù)平行四邊形定則知，
拉力為：F＝；
拉力與重力沿水平方向的合力提供向心力，F(xiàn)＝mgtanα，根據(jù)牛頓第二定律得：mgtanα＝ma，解得：a＝gtanα；
小球做圓周運動根據(jù)牛頓第二定律得：mgtanα＝mr
小球運動的周期為：T＝2π。
故答案為：；mgtanα；gtanα；2π。
【點評】此題考查了向心力的相關(guān)計算，解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運動向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進行求解，難度不大。
32．（涪城區(qū)校級期中）隨著航天技術(shù)的發(fā)展，許多實驗可以搬到太空中進行，飛船繞地球做勻速圓周運動時，無法用天平稱量物體的質(zhì)量。假設(shè)某宇航員在這種環(huán)境下設(shè)計了如圖所示裝置（圖中O為光滑的小孔）來間接測量物體的質(zhì)量：給待測物體一個初速度，使它在桌面上做勻速圓周運動。設(shè)飛船中具有基本測量工具。實驗時需要測量的物理量是彈簧秤示數(shù)F、圓周運動的周期T、 圓周運動的軌道半徑R ；待測物體質(zhì)量的表達(dá)式為 （用測定量表示）。
【分析】物體做圓周運動時，由于物體處于完全失重狀態(tài)，對支持面沒有壓力，則物體做圓周運動的向心力由拉力提供，結(jié)合牛頓第二定律列出表達(dá)式，從而得出待測物體質(zhì)量的表達(dá)式以及所需測量的物理量。
【解答】解：因為衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時處于完全失重狀態(tài)，物體對支持面沒有壓力，所以物體與桌面間沒有摩擦力；
物體做勻速圓周運動的向心力由拉力提供，根據(jù)牛頓第二定律有：
F＝mR，則得m＝
可知要測出物體的質(zhì)量，則需測量彈簧秤的示數(shù)F，圓周運動的軌道半徑R，以及物體做圓周運動的周期T。
故答案為：圓周運動的軌道半徑R；。
【點評】解決本題的關(guān)鍵知道物體做圓周運動向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進行求解。
33．（海淀區(qū)學(xué)業(yè)考試）如圖是向心力演示儀的示意圖，轉(zhuǎn)動手柄1，可使變速塔輪2和3以及長槽4和短槽5隨之勻速轉(zhuǎn)動，槽內(nèi)的小球就做勻速圓周運動。小球做圓周運動的向心力由橫臂6的擋板對小球的壓力提供，球?qū)醢宓姆醋饔昧νㄟ^橫臀的杠桿使彈簧測力套筒7下降，從而露出標(biāo)尺8，標(biāo)尺8上露出的紅白相間等分格子的多少可以顯示出兩個球所受向心力的大小。皮帶分別套在塔輪2和3上的不同圓盤上，可改變兩個塔輪的轉(zhuǎn)速比，以探究物體做圓周運動向心力大小的影響因素?，F(xiàn)將小球A和B分別放在兩邊的槽內(nèi)，如圖所示。要探究向心力與角速度的關(guān)系，應(yīng)保證兩球的質(zhì)量和運動半徑相同，使兩球的角速度 不同 （選填“相同”或“不同”）。皮帶套的兩個塔輪的半徑分別為RA、RB．某次實驗讓RA＝2RB，則A、B兩球的角速度之比為 1：2 。
【分析】要探究向心力與角速度的關(guān)系，應(yīng)保證兩球的質(zhì)量和運動半徑相同，改變角速度大小進行實驗；根據(jù)v＝R?ω求解角速度之比。
【解答】解：要探究向心力與角速度的關(guān)系，根據(jù)F＝mR?ω2可知，應(yīng)保證兩球的質(zhì)量和運動半徑相同，使兩球的角速度不同，比較向心力的大小；
某次實驗讓RA＝2RB，根據(jù)v＝R?ω可知線速度相同，角速度之比為1：2。
故答案為：不同；1：2。
【點評】解決該題需認(rèn)真分析實驗器材以及實驗原理，熟記圓周運動的相關(guān)公式，知道皮帶傳動的物理特征。
34．（香坊區(qū)校級月考）如圖所示，豎直圓筒內(nèi)壁光滑，半徑為R，頂部有入口A，在A的正下方h處有出口B．一質(zhì)量為m的小球從入口A沿圓筒內(nèi)壁切線方向水平射入圓筒內(nèi)，要使小球從出口B飛出，小球進入入口A處的速度v0＝ nπR．（n＝1，2，3…） ，運動過程中小球?qū)ν脖诘膲毫＝ ．（n＝1，2，3…） 。（重力加速度為g）
【分析】將小球的運動分解為水平方向和豎直方向，在水平方向上做勻速圓周運動，在豎直方向上做自由落體運動，抓住等時性以及圓周運動的周期性進行求解。
【解答】解：小球在豎直方向做自由落體運動，
所以小球在桶內(nèi)的運動時間為t＝
在水平方向，以圓周運動的規(guī)律來研究，
得到t＝．（n＝1，2，3…）
所以v0＝nπR．（n＝1，2，3…）
在運動的過程中，徑向的合力提供向心力，則
N＝m＝．（n＝1，2，3…）
故答案為：nπR．（n＝1，2，3…）；．（n＝1，2，3…）。
【點評】解決本題的關(guān)鍵掌握曲線運動的處理方法，抓住等時性以及在水平方向上運動的周期性進行求解。
35．（長寧區(qū)校級期中）如圖所示，質(zhì)量為m＝0.2kg的小球固定在長為L＝0.9m的輕桿的一端，桿可繞O點的水平轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動．（g＝10m/s2）當(dāng)小球在最高點的速度分別為6m/s，球?qū)U的作用力的大小 6 N，方向 豎直向上 （填“豎直向下”或“豎直向上”）．
【分析】根據(jù)重力和桿子作用力的合力提供向心力求出桿對球的作用力大小和方向，從而得出球?qū)U的作用力大小和方向．
【解答】解：當(dāng)小球在最高點的速度為6m/s時，根據(jù)牛頓第二定律得，
，
解得F＝＝6N．桿對球的作用力表現(xiàn)為拉力．
所以球?qū)U的作用力方向豎直向上．
故答案為：6，豎直向上．
【點評】本題考查了向心力的基本運用，知道小球在最高點向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進行求解，基礎(chǔ)題．
36．（番禺區(qū)校級月考）如圖所示，質(zhì)量m＝1kg的小球從某高度下落后剛好沿一光滑的圓弧AB滾下后落在地面的C點，已知圓弧半徑R＝0.5m，A點距離地面的高度H＝1.3m，測得小球經(jīng)過B時的速度大小為10m/s，運動過程中忽略空氣阻力的影響，取重力加速度g＝10m/s2，則：
（1）小球經(jīng)過B點時對B點的壓力是 210 N；（答案取整數(shù)，不留小數(shù)點）
（2）小球落地點C到地面上D點的距離是 4 m．（答案取整數(shù)，不留小數(shù)點）
【分析】（1）在B點，根據(jù)牛頓第二定律求出小球?qū)點的壓力。
（2）小球從B點拋出后做平拋運動，根據(jù)高度求出平拋運動的時間，結(jié)合初速度和時間求出水平位移。
【解答】解：（1）小球經(jīng)過B點時的速度大小為10m/s，
根據(jù)牛頓第二定律可知，F(xiàn)﹣mg＝m
解得軌道對小球的支持力：F＝210N
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球?qū)點的壓力為210N。
（2）小球從B點做平拋運動，
豎直方向上：H﹣R＝
水平方向上：s＝vBt
解得：s＝4m
故答案為：（1）210；（2）4。
【點評】此題考查了圓周運動和平拋運動的綜合，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，以及圓周運動向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵。
37．（順慶區(qū)校級期中）人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時處于完全失重狀態(tài)，所以在這種環(huán)境中已無法用天平稱量物體的質(zhì)量．為了在這種環(huán)境測量物體的質(zhì)量，某科學(xué)小組設(shè)計了如圖所示的裝置（圖中O為光滑的小孔）：給待測物體一個初速度，穩(wěn)定后它在桌面上做圓周運動．設(shè)衛(wèi)星中具有基本測量工具．
①實驗時物體與桌面間是否有滑動摩擦力？ 否 （填“是”或“否”）；
②實驗時需要測量的物理量有物體做勻速圓周運動的周期T，以及 半徑r 和 繩的拉力F ；
③待測質(zhì)量表達(dá)式為m＝ ．（用②小題中的物理量表示）
【分析】（1）物體處于完全失重狀態(tài)，沒有壓力，則沒有摩擦力．
（2）根據(jù)拉力提供向心力，得出質(zhì)量的表達(dá)式，確定需要測量的物理量．
【解答】解：（1）因為物體處于完全失重狀態(tài)，則物體對桌面的壓力為零，所以物體與桌面間沒有滑動摩擦力．
（2、3）物體做圓周運動，靠拉力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有：，解得質(zhì)量的表達(dá)式m＝．
所以需要測量半徑r，繩子的拉力F．
故答案為：否；半徑r：繩的拉力F；
【點評】解決本題的關(guān)鍵知道物體處于完全失重狀態(tài)，以及知道物體做勻速圓周運動向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律分析求解．
38．（七里河區(qū)校級月考）汽車質(zhì)量為2t，凸形橋、凹形橋半徑均為50m，車速為10m/s，車與橋面間的動摩擦因數(shù)為0.2，車經(jīng)過凸形橋頂點時對橋面的壓力大小為 16000 N，所受摩擦力大小為 3200 N；車經(jīng)過凹形橋頂點時對橋面的壓力大小為 24000 N，所受摩擦力大小為 4800 N。
【分析】轎車在凹形橋和凸形橋的最低點和最高點，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出橋面對轎車的支持力，從而得出轎車對橋面的壓力。然后由摩擦力的公式求出摩擦力。
【解答】解：車經(jīng)過凸形橋頂點時根據(jù)牛頓第二定律有：mg﹣N＝
則N＝mg﹣
根據(jù)牛頓第三定律，對橋面的壓力為16000N。
車受到的摩擦力：f1＝μN＝0.2×16000N＝3200N
車經(jīng)過凹形橋底點時根據(jù)牛頓第二定律有：N′﹣mg＝
則：＝24000N
根據(jù)牛頓第三定律，對橋面的壓力等于24000N。
車受到的摩擦力：f2＝μN′＝0.2×24000N＝4800N
故答案為：16000；3200；24000；4800
【點評】解決本題的關(guān)鍵搞清向心力的來源，明確是車受到的重力與支持力的合力提供向心力，然后根據(jù)牛頓第二定律進行求解。
39．（天津期中）如圖所示，半徑為R的光滑圓形軌道豎直固定，軌道最高點為P，最低點為Q。一質(zhì)量為m的小球在圓形軌道內(nèi)側(cè)做圓周運動，小球通過Q時的速度為v，通過P時的速度為，小球通過P點和Q點時對軌道的彈力大小分別為F1和F2，彈力大小之差為ΔF＝F2﹣F1，則△F＝ 6mg （重力加速度為g）。
【分析】小球在最高點和最低點時，根據(jù)重力和支持力的合力提供向心力列式，再根據(jù)牛頓第三定律求△F。
【解答】解：在P點，由合力提供向心力有：
在Q點，由合力提供向心力有：
由牛頓第三定律有：F1＝F1′，F(xiàn)2＝F2′
據(jù)題，vP＝，vQ＝v
聯(lián)立可得：ΔF＝F2﹣F1＝F2′﹣F1′＝6mg。
故答案為：6mg
【點評】本題的關(guān)鍵要明確圓周運動向心力的來源：指向圓心的合力，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對小球的彈力。
40．（海原縣校級月考）一長度一定的繩子一端固定在光滑軸上，一端連接一小球在豎直面內(nèi)做圓周運動圓周的半徑為R，當(dāng)小球通過最高點時的速度為 時繩子對小球的作用力為0；當(dāng)通過最高點時的速度 大于 （填大于，等于或小于）這個速度時繩對小球有拉力。
【分析】繩拉著小球在豎直面內(nèi)做圓周運動圓周，小球通過最高點時，v＝ 繩子對小球的作用力為0，v＞，繩對小球有拉力。
【解答】解：繩拉著小球在豎直面內(nèi)做圓周運動，小球通過最高點時，如果繩對小球的作用力為0，則小球的重力提供向心力，則mg＝m，解得：v＝；
當(dāng)通過最高點時如果繩對小球有拉力即F≠0，則繩子的拉力和重力的合力提供向心力，則mg+F＝m，解得：v＝＞，即此時的速度大于。
故答案為：； 大于
【點評】解決本題的關(guān)鍵掌握細(xì)繩拉著小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，在最高點速度為時繩子的拉力F＝0。
四．計算題（共2小題）
41．（城西區(qū)校級月考）如圖所示為賽車場的一個“梨形”賽道，兩個彎道分別為半徑R＝90m的大圓弧和r＝40m的小圓弧，直道與彎道相切。大、小圓弧圓心O、O′距離L＝100m。賽車沿彎道路線行駛時，路面對輪胎的最大靜摩擦力是賽車重力的2.25倍，假設(shè)發(fā)動機功率足夠大，重力加速度g＝10m/s2，計算結(jié)果允許保留π、允許保留根號。
（1）求賽車在小圓弧彎道上勻速圓周運動不發(fā)生側(cè)滑的最大速度。
（2）如果賽車在從小圓弧到大圓弧的直道上做勻加速直線運動，在從大圓弧到小圓弧的直道上做勻減速直線運動，在彎道上以能夠允許的最大速度做勻速圓周運動，為使得賽車?yán)@行一周的時間最短
a：求賽車在直道上加速時的加速度大?。?br>b：求賽車?yán)@行一周的最短時間。
【分析】（1）根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合最大靜摩擦力提供向心力求出在兩個彎道上的最大速度。
（2）a、賽車在繞過小彎道后加速，根據(jù)幾何關(guān)系求出直道的距離，結(jié)合速度位移公式求出加速度。
b、根據(jù)幾何關(guān)系求出小圓弧和大圓弧的長度，結(jié)合運動學(xué)公式求出在圓弧上的運動時間以及在直線上的運動時間，從而得出完成一圈的最短時間。
【解答】解：（1）當(dāng)最大靜摩擦力提供向心力時，此時速度最大，則，解得v＝
（2）a、在大圓環(huán)上運動的速度最大為vm，則，解得
當(dāng)彎道半徑一定 時，在彎道上的最大速度是一定的，且在大彎道上的最大速度大于小彎道上的最大速度，故要想時間最短，故可在繞過小圓弧彎道后加速，直道的長度為：
故在在直道上的加速度大小為為：a＝
b、設(shè)R與OO'的夾角為α，由幾何關(guān)系可得：csα＝，解得α＝60°，小圓弧的圓心角為：120°，大圓弧的圓心角為240°
經(jīng)過小圓弧彎道的時間為t＝2πr××＝，
經(jīng)過小圓弧彎道的時間為
在直道上運動的時間
故需總時間
答：（1）賽車在小圓弧彎道上勻速圓周運動不發(fā)生側(cè)滑的最大速度為 30m/s
（2）a：賽車在直道上加速時的加速度大小為；
b：賽車?yán)@行一周的最短時間為
【點評】解答此題的關(guān)鍵是由題目獲得條件：①在彎道上由最大靜摩擦力提供向心力②由數(shù)學(xué)知識求得圓弧的長度，另外還要熟練掌握勻速圓周運動的知識。
42．（翼城縣校級期中）為確保彎道行車安全，汽車進入彎道前必須減速。如圖所示，AB為進入彎道前的平直公路，BC為水平圓弧形彎道。已知AB段的距離SAB＝14m，彎道半徑R＝24m。汽車到達(dá)A點時速度vA＝16m/s，汽車與路面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.6，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g＝10m/s2．要確保汽車進入彎道后不側(cè)滑。求汽車
（1）在彎道上行駛的最大速度；
（2）在AB段做勻減速運動的最小加速度；
（3）為提高BC處轉(zhuǎn)彎的最大速度，請?zhí)岢龉方ㄔO(shè)時的合理建議。
【分析】（1）汽車在彎道上行駛時，由靜摩擦力提供向心力，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值時速度最大，通過最大靜摩擦力等于向心力求出在彎道的最大速度。
（2）根據(jù)勻變速直線運動的速度位移公式，求出AB段勻減速運動的最小加速度。
（3）根據(jù)最大速度與哪些因素有關(guān)，提出合理建議。
【解答】解：（1）在BC彎道，由牛頓第二定律得：
μmg＝m
代入數(shù)據(jù)解得：vmax＝12m/s
（2）汽車勻減速至B處，速度減為12m/s時，加速度最小，由運動學(xué)公式得：
﹣2aminSAB＝﹣
代入數(shù)據(jù)解得：amin＝4m/s2
（3）BC彎道路面建成外高內(nèi)低，增大地面摩擦因數(shù)，使BC彎道的軌道半徑變大。
答：（1）在彎道上行駛的最大速度為12m/s；
（2）在AB段做勻減速運動的最小加速度為4m/s2。
（3）為提高BC處轉(zhuǎn)彎的最大速度，建議：BC彎道路面建成外高內(nèi)低，增大地面摩擦因數(shù)，使BC彎道的軌道半徑變大。
【點評】解決本題的關(guān)鍵是明確汽車做圓周運動向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式結(jié)合進行求解。序號
1
2
3
4
5
6
Fn
ω
ω2
序號
1
2
3
4
5
6
Fn
r
序號
1
2
3
4
5
6
Fn
m
圖形
受力分析
力的分解方法
滿足的方程及向心加速度
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Fcs θ＝mg,Fsin θ＝mω2lsin θ))
或mgtan θ＝mω2lsin θ
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(FNcs θ＝mg,FNsin θ＝mω2r))
或mgtan θ＝mω2r
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F升cs θ＝mg,F升sin θ＝mω2r))
或mgtan θ＝mω2r
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(FN＝mg,F拉＝mBg＝mω2r))

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