6.2 向心力  6.3向心加速度 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解向心力的概念及其表達(dá)式的含義.知道向心力的大小與哪些因素有關(guān)，并能用來(lái)進(jìn)行計(jì)算.3.知道向心加速度和線速度、角速度的關(guān)系，能夠用向心加速度公式求解有關(guān)問題．【知識(shí)要點(diǎn)】一、向心力1．定義：物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)所受合力方向始終指向圓心，這個(gè)指向圓心的合力就叫做向心力．2．大小：F＝mω2r＝m.3．方向：總是沿半徑指向圓心，方向時(shí)刻改變．二、向心加速度1．定義：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度指向圓心，這個(gè)加速度稱為向心加速度．2．向心加速度的大小的表達(dá)式：a＝＝rω2＝r＝ωv.3．向心加速度的作用：向心加速度的方向始終與線速度的方向垂直，只改變線速度的方向，不改變線速度的大?。?/span>4．勻速圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)：向心加速度的方向始終指向圓心，方向時(shí)刻改變，是一個(gè)變加速度，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)不是勻變速運(yùn)動(dòng)，而是變加速運(yùn)動(dòng)．【題型分類】題型一、對(duì)向心力的理解例1　關(guān)于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的向心力，下列說法正確的是(　　)A．因向心力總是沿半徑指向圓心，且大小不變，故向心力是一個(gè)恒力B．因向心力指向圓心，且與線速度的方向垂直，所以它不能改變線速度的大小C．它是物體所受的合力D．向心力和向心加速度的方向都是不變的解析　做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的向心力是物體所受的合力，由于始終指向圓心，且與線速度垂直，故不能改變線速度的大小，只能改變線速度的方向，向心力雖大小不變，但方向時(shí)刻改變，不是恒力，由此產(chǎn)生的向心加速度也是變化的，所以A、D錯(cuò)誤，B、C正確．答案　BC例2如圖所示，有一個(gè)水平大圓盤繞過圓心的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，小強(qiáng)站在距圓心為r處的P點(diǎn)相對(duì)圓盤靜止．關(guān)于小強(qiáng)的受力，下列說法正確的是(　　)A．小強(qiáng)在P點(diǎn)不動(dòng)，因此不受摩擦力作用B．若使圓盤以較小的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小強(qiáng)在P點(diǎn)受到的摩擦力為零C．小強(qiáng)隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓盤對(duì)他的摩擦力充當(dāng)向心力D．如果小強(qiáng)隨圓盤一起做變速圓周運(yùn)動(dòng)，那么其所受摩擦力仍指向圓心解析　由于小強(qiáng)隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，一定需要向心力，該力一定指向圓心方向，而重力和支持力在豎直方向上，它們不能充當(dāng)向心力，因此他會(huì)受到摩擦力作用，且充當(dāng)向心力，A、B錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)小強(qiáng)隨圓盤一起做變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，合力不再指向圓心，則其所受的摩擦力不再指向圓心．D錯(cuò)．答案　C【同類練習(xí)】1．下列關(guān)于向心力的說法中正確的是(　　)A．物體受到向心力的作用才可能做圓周運(yùn)動(dòng)B．向心力是指向圓心方向的合力，是根據(jù)力的作用效果來(lái)命名的，但受力分析時(shí)應(yīng)該畫出C．向心力可以是重力、彈力、摩擦力等各種力的合力，也可以是其中某一種力或某幾種力的合力D．向心力只改變物體運(yùn)動(dòng)的方向，不改變物體運(yùn)動(dòng)的快慢答案　CD解析　向心力是一種效果力，實(shí)際上是由某種或某幾種性質(zhì)力提供，受力分析時(shí)不分析向心力，A、B錯(cuò)，C對(duì)．向心力只改變物體線速度的方向，不改變線速度的大小，D對(duì)．2．在馬戲團(tuán)表演的場(chǎng)地里，表演者騎在大象背上，大象繞著場(chǎng)地走動(dòng)，若大象是沿著半徑為R的圓周勻速走動(dòng)，則關(guān)于大象和表演者的受力情況，下面說法正確的是(　　)A．表演者騎在大象背上不動(dòng)，他受到的力是平衡力B．表演者的向心力是地面摩擦力通過大象作用于他的C．大象和表演者所受向心力大小與兩者的質(zhì)量成正比D．大象與表演者一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是地面摩擦力提供的答案　CD題型二、對(duì)向心加速度的理解及計(jì)算例3　如圖所示，一個(gè)大輪通過皮帶拉著小輪轉(zhuǎn)動(dòng)，皮帶和兩輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，大輪的半徑是小輪的2倍，大輪上的一點(diǎn)S到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離是大輪半徑的.當(dāng)大輪邊緣上P點(diǎn)的向心加速度是12 m/s2 時(shí)，大輪上的S點(diǎn)和小輪邊緣上的Q點(diǎn)的向心加速度分別是多少？解析　同一輪子上的S點(diǎn)和P點(diǎn)角速度相同：ωS＝ωP，由向心加速度公式a＝ω2r可得：＝，則aS＝aP·＝12× m/s2＝4 m/s2.又因?yàn)槠Ш蛢奢喼g無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，所以傳動(dòng)皮帶的兩輪邊緣各點(diǎn)線速度大小相等：vP＝vQ.由向心加速度公式a＝可得：＝.則aQ＝aP·＝12× m/s2＝24 m/s2答案　4 m/s2　24 m/s2【同類練習(xí)】如圖所示為A、B兩物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度隨半徑變化的圖像，其中A為雙曲線的一個(gè)分支，由圖可知(　　)A．A物體運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變B．A物體運(yùn)動(dòng)的角速度大小不變C．B物體運(yùn)動(dòng)的角速度大小不變D．B物體運(yùn)動(dòng)的角速度與半徑成正比答案　AC解析　因?yàn)?/span>A為雙曲線的一個(gè)分支，說明a與r成反比，由a＝可知，A物體運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變，故A對(duì)，B錯(cuò)；而OB為過原點(diǎn)的直線，說明a與r成正比，由a＝ω2r可知，B物體運(yùn)動(dòng)的角速度大小不變，故C對(duì)，D錯(cuò)．題型三、圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題例4　如圖所示，半徑為r的圓筒繞豎直中心軸OO′旋轉(zhuǎn)，小物塊a靠在圓筒的內(nèi)壁上，它與圓筒內(nèi)壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．現(xiàn)要使a不下落，則圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω至少為(　　)A.  B.C.  D.解析　對(duì)物塊a受力分析知f＝mg，F向＝N＝mω2r，又由于f≤μN(yùn)，所以解這三個(gè)方程得角速度ω至少為，D選項(xiàng)正確．【例2】做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，10 s內(nèi)沿半徑為20 m的圓周運(yùn)動(dòng)100 m，試求物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)：(1)線速度的大??；(2)角速度的大??；(3)周期的大?。?/span>解析　(1)依據(jù)線速度的定義式v＝可得v＝＝ m/s＝10 m/s.(2)依據(jù)v＝ωr可得ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s.(3)T＝＝ s＝4π s.答案　(1)10 m/s　(2)0.5 rad/s　(3)4π s【同類練習(xí)】  如圖所示，質(zhì)量為1 kg的小球用細(xì)繩懸掛于O點(diǎn)，將小球拉離豎直位置釋放后，到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度為2 m/s，已知球心到懸點(diǎn)的距離為1 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩的拉力的大?。?/span>答案　14 N解析　小球在最低點(diǎn)時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力mg和繩的拉力T提供(如圖所示)，即T－mg＝所以T＝mg＋＝(1×10＋) N＝14 N小球?qū)K的拉力與繩對(duì)小球的拉力是一對(duì)作用力和反作用力，所以小球在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩的拉力大小為14 N.【成果鞏固訓(xùn)練】1．以下關(guān)于向心力及其作用的說法中正確的是（　?。?/span>A．向心力既改變圓周運(yùn)動(dòng)物體速度的方向，又改變速度的大小B．在物體所受力中，只有指向圓心的力才是向心力C．向心力是按照力的性質(zhì)命名的D．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的合外力即為物體的向心力【答案】D【解析】A、向心力的方向與速度方向垂直，不改變速度的大小，只改變速度的方向，故A錯(cuò)誤； B、向心力是效果力，不是物體做圓周運(yùn)動(dòng)受到的力，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體向心力由合力提供，故BC錯(cuò)誤，D正確． 2．蕩秋千是人們平時(shí)喜愛的一項(xiàng)休閑娛樂活動(dòng)。如圖所示，某同學(xué)正在蕩秋千，A和B分別為運(yùn)動(dòng)過程中的最低點(diǎn)和一個(gè)最高點(diǎn)。若忽略空氣阻力，則下列說法正確的是（　?。?/span>A．在經(jīng)過A位置時(shí)，該同學(xué)處于失重狀態(tài)B．在B位置時(shí)，該同學(xué)受到的合力為零C．由A到B過程中，該同學(xué)的機(jī)械能守恒D．在A位置時(shí)，該同學(xué)對(duì)秋千踏板的壓力大于秋千踏板對(duì)該同學(xué)的支持力【答案】C【解析】A．在A位置時(shí)，該同學(xué)的加速度豎直向上，處于超重狀態(tài)，A錯(cuò)誤；B．在B位置時(shí)，該同學(xué)的速度為零，向心力為零，即沿繩子方向的合力為零，其合力等于重力沿圓弧切向分力，不為零，B錯(cuò)誤；C．該同學(xué)由A到B的過程中，受到重力和拉力，拉力的方向始終與速度方向垂直，拉力不做功，只有重力做功，機(jī)械能守恒，C正確；D．根據(jù)牛頓第三定律知，在A位置時(shí)，該同學(xué)對(duì)秋千踏板的壓力等于秋千踏板對(duì)該同學(xué)的支持力，D錯(cuò)誤。故選C。3．如圖所示,把一個(gè)小球放在玻璃漏斗中,見動(dòng)漏斗,可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng).（   ）A．小球所受合外力沿水平方向B．小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道平面越接近漏斗口,小球所受合外力越大C．小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道平面越接近漏斗口,小球所受合外力越小D．小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道平面越接近漏斗口,小球做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度越小【答案】A【解析】小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)受重力和支持力兩個(gè)力作用，兩個(gè)力的合力提供向心力，方向沿水平方向，故A正確．由受力圖可知，小球受到的合外力為F合=mgtanθ，則小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道平面越接近漏斗口，小球所受合外力不變，選項(xiàng)BC錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律得：mgtanθ=m，解得v=，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道平面越接近漏斗口，軌道半徑越大，則線速度越大，故D錯(cuò)誤；故選A．4．如圖所示，光滑固定的水平圓盤中心有一個(gè)光滑的小孔,用一細(xì)繩穿過小孔連接質(zhì)量分別為m1 ,m2;的小球A和B.讓兩小球同時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng),B球繞O點(diǎn)做圓錐擺運(yùn)動(dòng)，懸線與豎直方向的夾角為,A球在光滑的圓盤面上繞圓盤中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩球做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同,OA ,OB的繩長(zhǎng)相等，則兩球的質(zhì)量之比為A．1：1 B．1： C．1： D．1：【答案】A【解析】對(duì)A球，繩子的拉力提供向心力，所以有對(duì)B球，繩子的拉力的分力提供向心力，即聯(lián)立解得：A.1：1與分析相符，故A項(xiàng)正確；B.1：與分析不符，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C.1：與分析不符，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D.1：與分析不符，故D項(xiàng)錯(cuò)誤。5．如圖所示，摩擦輪A和B固定在一起通過中介輪C進(jìn)行傳動(dòng)，A為主動(dòng)輪，A的半徑為20cm，B的半徑為10cm，A、B兩輪邊緣上的向心加速度之比(   ) A．1∶1   B．1∶2C．2∶1   D．2∶3【答案】B【解析】AB線速度相等，由向心加速度可知，加速度之比為1:26．一豎直倒立的圓錐筒，筒側(cè)壁傾斜角度α不變．一小球在的內(nèi)壁做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，球與筒內(nèi)壁的摩擦可忽略，小球距離地面的高度為H，則下列說法中正確的是（  ）A．H越小，小球?qū)?cè)壁的壓力越大B．H越大，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度越大C．H越小，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力越小D．H越大，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期越小【答案】BA．對(duì)小球受力分析：豎直方向上合力為0：解得：，可知側(cè)壁對(duì)小球的支持力不變，根據(jù)牛頓第三定律可知小球?qū)?cè)壁的壓力不變，A錯(cuò)誤；B．根據(jù)牛頓第二定律：變形得：越大，越大，根據(jù)方程可知小球線速度越大，動(dòng)能越大，B正確；C．小球所受向心力恒為不變，C錯(cuò)誤；D．根據(jù)牛頓第二定律：解得：，越大，越大，根據(jù)方程可知周期越大，D錯(cuò)誤。故選B。7．在粗糙水平桌面上，長(zhǎng)為l=0.2m的細(xì)繩一端系一質(zhì)量為m=2kg的小球，手握住細(xì)繩另一端O點(diǎn)在水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，小球也隨手的運(yùn)動(dòng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。細(xì)繩始終與桌面保持水平，O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=0.15m，小球與桌面的動(dòng)摩擦因數(shù)為，。當(dāng)細(xì)繩與O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡相切時(shí)，則下列說法正確的是（　?。?/span>A．小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小為6NB．O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為C．小球做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為2D．小球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為m【答案】B【解析】AD．小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑如圖根據(jù)幾何關(guān)系有則有解得正交分解兩式相比解得故AD錯(cuò)誤；B．小球和點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，根據(jù)可知故B正確；C．小球做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度故C錯(cuò)誤。故選B。 8．一物體沿半徑為的圓形軌道在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度為，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎?，?jīng)周期運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎龞|，如圖所示，求：（1）物體從到過程通過的路程和位移．（2）物體運(yùn)動(dòng)的角速度和向心加速度的大?。?/span>【答案】（1）從A到B的路程為：  ，位移為：，方向由A指向B ；（2）物體運(yùn)動(dòng)的角速度和向心加速度的大小分別為， ．【解析】（1）物體從A到B的過程中路程為：物體從A到B的過程中位移大小為：方向由A指向B．（2）角速度為：向心加速度為：答案：（1）  ，方向由A指向B.（2）物體運(yùn)動(dòng)的角速度，向心加速度的大小．9．如圖所示，用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成的由半圓形APB（圓半徑比細(xì)管的內(nèi)徑大得多）和直線BC組成的軌道固定在水平桌面上，已知APB部分的半徑R=1.0m，BC段長(zhǎng)L=1.5m。彈射裝置將一個(gè)質(zhì)量為0.1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）以v0=3m/s的水平初速度從A點(diǎn)射入軌道，小球從C點(diǎn)離開軌道隨即水平拋出，桌子的高度h=0.8m，不計(jì)空氣阻力，g取，求：(1)小球在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度ω、向心加速度a的大小及圓管在水平方向上對(duì)小球的作用力大小；(2)小球落到地面D點(diǎn)時(shí)的速度大小。【答案】(1)，，；(2)【解析】(1)小球在半圓形管內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度向心加速度大小為根據(jù)牛頓第二定律得，圓管對(duì)小球的水平作用力大小(2)對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)動(dòng)能定理得解得10．如圖所示，圓形玻璃平板半徑為r，一質(zhì)量為m的小木塊放置在玻璃板的邊緣，隨玻璃板一起繞圓心O在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．玻璃板轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T.求：（1）木塊的角速度大??；（2）木塊的線速度大??；（3）木塊所受摩擦力的大?。?/span>【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得木塊的角速度大小為(2)木塊的線速度大小為(3)木塊所受摩擦力提供木塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有  

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