1．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝1，PC＝3.
(1)求證：BC⊥平面PAB；
(2)求二面角A-PC-B的大?。?br>2．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AA1上，AD∥平面BC1E.
(1)求證：平面BC1E⊥平面BB1C1C；
(2)當(dāng)三棱錐B1-BC1E的體積最大時(shí)，求直線AC與平面BC1E所成角的正弦值．
3．如圖所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，AB＝2，AA1＝23，E為線段DD1上一點(diǎn)．
(1)求證：AC⊥B1D；
(2)若平面AB1E與平面ABCD的夾角的余弦值為25，求直線BE與平面AB1E所成角的正弦值．
4．如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABC，△PAC中，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)．
(1)求證：BC⊥平面PAC；
(2)記平面AEF與平面ABC的交線為直線l，點(diǎn)Q為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，求直線PQ與平面AEF所成的角的取值范圍．
參考答案
1．解：(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC，同理PA⊥AB，
所以△PAB為直角三角形，
又因?yàn)镻B＝PA2+AB2＝2，BC＝1，PC＝3，
所以PB2＋BC2＝PC2，則△PBC為直角三角形，故BC⊥PB.
又因?yàn)锽C⊥PA，PA∩PB＝P，
所以BC⊥平面PAB.
(2)由(1)知BC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，則BC⊥AB，
以A為原點(diǎn)，AB為x軸，過A且與BC平行的直線為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，所以AP＝(0，0，1)，AC＝(1，1，0)，BC＝(0，1，0)，PC＝(1，1，－1)．
設(shè)平面PAC的法向量為m＝(x1，y1，z1)，
則m·AP＝0，m·AC＝0，即z1=0，x1+y1=0，
令x1＝1，則y1＝－1，所以m＝(1，－1，0)為平面PAC的一個(gè)法向量，
設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x2，y2，z2)，
則n·BC=0，n·PC=0，即y2=0，x2+y2?z2=0，
令x2＝1，則z2＝1，所以n＝(1，0，1)為平面PBC的一個(gè)法向量，
所以cs 〈m，n〉＝m·nmn＝12×2＝12.
又因?yàn)槎娼茿-PC-B為銳二面角，
所以二面角A-PC-B的大小為π3.
2．解：(1)證明：取BC1中點(diǎn)M，連接EM，MD，如圖所示．
∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)， ∴AD⊥BC，
又∵M(jìn)是BC1的中點(diǎn)，∴DM∥CC1 ，
又∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，有AA1∥CC1，AA1⊥平面ABC，
∴DM∥AE，DM⊥平面ABC，
∵AD∥平面BC1E，且AD?平面ADME，平面ADME∩平面BC1E＝EM，∴AD∥ME，
∵CC1⊥平面ABC，且AD?平面ABC，
∴CC1⊥AD，
又∵CC1∩BC＝C，且CC1，BC?平面BB1C1C，
∴AD⊥平面BB1C1C.
又∵AD∥ME，∴ME⊥平面BB1C1C，
∵M(jìn)E?平面BC1E，
∴平面BC1E⊥平面BB1C1C.
(2)由(1)知ME⊥平面BB1C1C，
則VB1?BC1E＝13S△B1BC1·ME，
設(shè)BC＝2a，則BD＝a，AD＝9?a2，S△B1BC1＝12×2a×3＝3a，
∴VB1?BC1E＝13·3a·9?a2≤a2+9?a22＝92，
由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)a＝9?a2時(shí)等號(hào)成立，
即三棱錐B1-BC1E的體積最大，此時(shí)a＝322.
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DB所在直線為y軸，DM所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則有A322，0，0，C0，?322，0，B0，322，0，E322，0，32，C10，?322，3，∴AC＝?322，?322，0，C1B＝(0，32，－3)，BE＝322，?322，32，設(shè)平面BC1E的法向量為n＝(x1，y1，z1)，
則有n·C1B=32y1?3z1=0，n·BE=322x1?322y1+32z1=0，
取y1＝2，解得n＝(0，2，2)為平面BC1E的一個(gè)法向量，
設(shè)直線AC與平面BC1E所成的角為θ，
則sin θ＝|cs〈n，AC〉|＝33×2+4＝66，
故直線AC與平面BC1E所成角的正弦值為66.
3．解：(1)證明：連接BD，
∵底面ABCD為菱形，∴AC⊥BD.
又BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴BB1⊥AC.
又BD∩BB1＝B，BD，BB1?平面BDB1，
∴AC⊥平面BDB1．又B1D?平面BDB1，∴AC⊥B1D.
(2)設(shè)CD的中點(diǎn)為F，連接AF，如圖．
∵△ACD為等邊三角形，∴AF⊥CD，
又CD∥AB，則AF⊥AB.
又AA1⊥平面ABCD，則AA1⊥AB，AA1⊥AF.
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，3，0)，E(－1，3，h)(0≤h≤23)，B1(2，0，23)，
AB1＝(2，0，23)，AE＝(－1，3，h)，
設(shè)平面AB1E的法向量為n＝(x，y，z)，
∴n·AB1=0，n·AE=0，∴2x+23z＝0，?x+3y+?z＝0，
令x＝3，則n＝(3，h＋3，－3)為平面AB1E的一個(gè)法向量．
又平面ABCD的一個(gè)法向量為m＝(0，0，1)，
則cs 〈n，m〉＝n·mnm＝?3?2+23?+15.
又平面AB1E與平面ABCD的夾角的余弦值為25，
∴3?2+23?+15＝25，0≤h≤23，
∴h＝32?=?532舍去，∴BE＝?3，3，32，
cs〈BE，n〉＝BE·nBEn＝?6512·752＝?81785.
∴直線BE與平面AB1E所成角的正弦值為81785.
4．解：(1)證明： 因?yàn)镃是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，∴BC⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面PAC.
(2)∵E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，∴BC∥EF.
又EF?平面AEF，BC?平面AEF，∴BC∥平面AEF，
又BC?平面ABC，平面AEF∩平面ABC＝l，
∴BC∥l.
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x軸，y軸，過C且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，
則A(2，0，0)，B(0，4，0)，P(1，0，3)，
∴E12，0，32，F(xiàn)12，2，32，
∴AE＝?32，0，32，EF＝(0，2，0)，
∵BC∥l，∴可設(shè)Q(2，y，0)，平面AEF的法向量為m＝(x，y，z)，
則AE·m=?3x2+3z2=0，EF·m=2y=0，取z＝3，得m＝(1，0，3)為平面AEF的一個(gè)法向量，又PQ＝(1，y，－3)，則|cs〈PQ，m〉|＝PQ·mPQ·m＝14+y2∈0，12.
∴直線PQ與平面AEF所成角的取值范圍為0，π6

相關(guān)試卷

2025版高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)練習(xí)第七章立體幾何與空間向量高考大題研究課六向量法求空間角與距離：

這是一份2025版高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)練習(xí)第七章立體幾何與空間向量高考大題研究課六向量法求空間角與距離，共14頁。

2025版高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)課后定時(shí)檢測(cè)練習(xí)54向量法求空間角與距離（Word版附解析）：

這是一份2025版高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)課后定時(shí)檢測(cè)練習(xí)54向量法求空間角與距離（Word版附解析），共9頁。

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.6-利用空間向量求空間角、距離-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】：

這是一份2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.6-利用空間向量求空間角、距離-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】，共17頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.6.1-向量法求空間角-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.6.1-向量法求空間角-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)分層作業(yè)43向量法求空間角含答案

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)分層作業(yè)43向量法求空間角含答案
2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練第七章　§7.7　向量法求空間角

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練第七章　§7.7　向量法求空間角
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第7章 §7.7　向量法求空間角

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第7章 §7.7　向量法求空間角
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部