1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.理解排列、組合的概念.3.能利用計(jì)數(shù)原理、排列組合解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
第一部分 落實(shí)主干知識(shí)
第二部分 探究核心題型
1.基本計(jì)數(shù)原理(1)完成一件事，可以有n類辦法，在第1類辦法中有m1種方法，在第2類辦法中有m2種方法……在第n類辦法中有mn種方法.那么，完成這件事共有N＝ 種方法.(2)完成一件事需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么，完成這件事共有N＝ 種方法.
3.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n ，且m，n∈N＋))個(gè)元素的所有 的個(gè)數(shù)，用符號(hào) 表示.(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n ，且m，n∈N＋))個(gè)元素的所有 的個(gè)數(shù)，用符號(hào) 表示.
4.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
＝____________ (n，m∈
1.排列數(shù)、組合數(shù)常用公式
2.解決排列、組合問(wèn)題的十種技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排.(2)合理分類與準(zhǔn)確分步.(3)排列、組合混合問(wèn)題要先選后排.(4)相鄰問(wèn)題捆綁處理.(5)不相鄰問(wèn)題插空處理.(6)定序問(wèn)題倍縮法處理.
(7)分排問(wèn)題直排處理.(8)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題先整體后局部.(9)構(gòu)造模型.(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同.(　　) (2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事.(　　)(3)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.(　　)(4)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(　　)
3.書(shū)架的第1層放有4本不同的語(yǔ)文書(shū)，第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，第3層放有6本不同的體育書(shū).從書(shū)架上任取1本書(shū)，不同的取法種數(shù)為_(kāi)_____，從第1,2,3層各取1本書(shū)，不同的取法種數(shù)為_(kāi)_______.
由分類加法計(jì)數(shù)原理知，從書(shū)架上任取1本書(shū)，不同的取法種數(shù)為4＋5＋6＝15.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，從1,2,3層各取1本書(shū)，不同的取法種數(shù)為4×5×6＝120.
4.將4名學(xué)生分別安排到甲、乙、丙三地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)地方至少安排一名學(xué)生參加，則不同的安排方案共有______種.
故共有6×6＝36(種)不同的安排方案.
例1　(1)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”.在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是A.60　　　B.48　　　C.36　　　D.24
長(zhǎng)方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×6＝36，另含4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是36＋12＝48.
(2)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有A.144個(gè)　　　B.120個(gè)　　　C.96個(gè)　　　D.72個(gè)
①當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為5，個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，有4×3×2＝24(個(gè))；②當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為5，個(gè)位數(shù)字為2時(shí)，有4×3×2＝24(個(gè))；③當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為5，個(gè)位數(shù)字為4時(shí)，有4×3×2＝24(個(gè))；④當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為4，個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，有4×3×2＝24(個(gè))；⑤當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為4，個(gè)位數(shù)字為2時(shí)，有4×3×2＝24(個(gè)).由分類加法計(jì)數(shù)原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(個(gè)).
(3)如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”平面模型，圖中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”(由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成)，給△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個(gè)三角形和“趙爽弦圖”ABCD涂色，
且相鄰區(qū)域(即圖中有公共點(diǎn)的區(qū)域)不同色，已知有4種不同的顏色可供選擇.則不同的涂色方法種數(shù)是A.48　　　B.54　　　C.72　　　D.108
設(shè)“趙爽弦圖”ABCD為①區(qū)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個(gè)三角形分別為②，③，④，⑤區(qū).第一步給①區(qū)涂色，有4種涂色方法.第二步給②區(qū)涂色，有3種涂色方法.第三步給③區(qū)涂色，有2種涂色方法.第四步給④區(qū)涂色，若④區(qū)與②區(qū)同色，⑤區(qū)有2種涂色方法；若④區(qū)與②區(qū)不同色，則④區(qū)有1種涂色方法，⑤區(qū)有1種涂色方法.所以共有4×3×2×(2＋1×1)＝72(種)涂色方法.
完成一件事的方法種數(shù)的計(jì)算步驟(1)審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的.(2)分析完成這件事應(yīng)采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類這四種方法中的哪一種.(3)弄清在每一類或每一步中的方法種數(shù).(4)根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算出完成這件事的方法種數(shù).
跟蹤訓(xùn)練1　(1)某生產(chǎn)過(guò)程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中選出4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩名工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩名工人中安排1人，則不同的安排方案共有A.24種　　　B.36種　　　C.48種　　　D.72種
分兩類：①第一道工序安排甲時(shí)有1×1×4×3＝12(種)；②第一道工序不安排甲時(shí)有1×2×4×3＝24(種).所以共有12＋24＝36(種).
(2)用0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)字可以組成________個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)(用數(shù)字作答).
當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，有6×5×4＝120(個(gè))無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2,4,6中的一個(gè)時(shí)，千位數(shù)字不能為0，有3×5×5×4＝300(個(gè))無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有120＋300＝420(個(gè))無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).
(3)某學(xué)校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示.為了讓效果更美觀，要求在四個(gè)區(qū)域內(nèi)種植花卉，且相鄰區(qū)域花卉顏色不同.現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有______種.(用數(shù)字作答)
先在A中種植，有5種不同的種植方法，再在B中種植，有4種不同的種植方法，再在C中種植，有3種不同的種植方法，最后在D中種植，有3種不同的種植方法，所以不同的種植方案共有5×4×3×3＝180(種).
例2　(1)(2023·濟(jì)寧模擬)為了強(qiáng)化學(xué)校的體育教育教學(xué)工作，提高學(xué)生身體素質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生之間的溝通，凝聚班級(jí)集體的力量，激發(fā)學(xué)生對(duì)體育的熱情，某中學(xué)舉辦田徑運(yùn)動(dòng)會(huì).某班從甲、乙等6名學(xué)生中選4名學(xué)生代表班級(jí)參加學(xué)校4×100米接力賽，其中甲只能跑第一棒或第二棒，乙只能跑第二棒或第四棒，那么甲、乙都參加的不同棒次安排方案種數(shù)為A.48　　　B.36　　　C.24　　　D.12
故甲、乙都參加的不同棒次安排方案種數(shù)為24＋12＝36.
(2)(2023·新高考全國(guó)Ⅰ)某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有______種(用數(shù)字作答).
②當(dāng)從8門課中選修3門時(shí)，
綜上所述，不同的選課方案共有16＋24＋24＝64(種).
排列問(wèn)題和組合問(wèn)題的區(qū)分方法(1)排列問(wèn)題：若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果有影響，則是排列問(wèn)題，即排列問(wèn)題與選取的順序有關(guān).(2)組合問(wèn)題：若交換任意兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，則是組合問(wèn)題，即組合問(wèn)題與選取的順序無(wú)關(guān).
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(2024·溫州模擬)學(xué)校高三大理班周三上午四節(jié)、下午三節(jié)有六門科目可供安排，其中語(yǔ)文和數(shù)學(xué)各自都必須上兩節(jié)而且兩節(jié)連上，而英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物最多上一節(jié)，則不同的課程安排有______種情況.
根據(jù)題意，分2種情況討論：①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午，
②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)分別安排在上午和下午，若語(yǔ)文在上午，有3種安排方法；
同理，數(shù)學(xué)在上午、語(yǔ)文在下午的安排方法也有144種，則不同的安排方法有48＋144＋144＝336(種).
(2)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人，組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，則共有______種不同的選法(用數(shù)字作答).
由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，
所以依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有480＋180＝660(種)不同的選法.
題型三　排列組合的綜合應(yīng)用
命題點(diǎn)1　相鄰、相間問(wèn)題例3　(2022·新高考全國(guó)Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有A.12種　　　B.24種　　　C.36種　　　D.48種
命題點(diǎn)2　定序問(wèn)題例4　(2023·揚(yáng)州模擬)花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法種數(shù)為_(kāi)_____.
由題意，取下6盞不同的花燈，
因?yàn)槊看沃蝗∫槐K花燈，而且只能從下往上取，所以必須除去重復(fù)的排列順序，即先取上方的順序，
命題點(diǎn)3　分組、分配問(wèn)題例5　(2023·湖南新高考教學(xué)教研聯(lián)盟聯(lián)考)某高校計(jì)劃在今年暑假安排編號(hào)為A，B，C，D，E，F(xiàn)的6名教師，到4個(gè)不同的學(xué)校進(jìn)行宣講，每個(gè)學(xué)校至少安排1人，其中B，D必須安排在同一個(gè)學(xué)校.則不同的安排方法共有A.96種 B.144種C.240種 D.384種
將這6名教師分成四組，再分配到不同的學(xué)校.若教師人數(shù)依次為3,1,1,1，
若教師人數(shù)依次為2,2,1,1，
故不同的安排方法共有96＋144＝240(種).
求解排列組合問(wèn)題的6種主要方法
跟蹤訓(xùn)練3　(1)(多選)已知A，B，C，D，E五個(gè)人并排站在一起，則下列說(shuō)法正確的有A.若A，B不相鄰，則共有72種不同排法B.若A不站在最左邊，B不站在最右邊，則共有72種不同排法C.若A在B右邊，則共有60種不同排法D.若A，B兩人站在一起，則共有48種不同排法
(2)(2023·聊城模擬)某綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，開(kāi)設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”“世界數(shù)學(xué)通史”“幾何原本”“什么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求每位學(xué)生從大一到大三的三個(gè)學(xué)年內(nèi)將四門選修課程全部修完，且每學(xué)年最多選修兩門，若同一學(xué)年內(nèi)選修的課程不分前后順序，則每位學(xué)生共有_____種不同的選修方式(用數(shù)字作答).
由題意可知三年內(nèi)將四門選修課程全部修完，且每學(xué)年最多選修兩門，則四門學(xué)科可按2,1,1和2,2,0兩種情況分成三組，
一、單項(xiàng)選擇題1.從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)的個(gè)數(shù)是A.30　　　B.42　　　C.36　　　D.35
因?yàn)閍＋bi為虛數(shù)，所以b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知可以組成6×6＝36(個(gè))虛數(shù).
2.(2024·鞍山模擬)為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排5名大學(xué)生到3個(gè)學(xué)校進(jìn)行支教活動(dòng)，每個(gè)學(xué)校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大學(xué)生，則不同的安排方法共有A.50種　　　B.60種　　　C.80種　　　D.100種
綜上所述，共有80種安排方法.
3.(2023·廣州模擬)如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5”的不同的排法有
A.96種　　　B.64種　　　C.32種　　　D.16種
根據(jù)題意，分3步進(jìn)行，第一步，要求“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5”，則中間的數(shù)字只能為兩組數(shù)1,4或2,3中的一組，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的排法種數(shù)為4×8×2＝64.
4.在數(shù)學(xué)中，有一個(gè)被稱為自然常數(shù)(又叫歐拉數(shù))的常數(shù)e≈2.718 28.小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時(shí)，打算將自然常數(shù)e的前6位數(shù)字2,7,1,8,2,8進(jìn)行某種排列得到密碼.如果排列時(shí)要求兩個(gè)2不相鄰，兩個(gè)8相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同的密碼個(gè)數(shù)為A.36　　　B.48　　　C.72　　　D.120
如果排列時(shí)要求兩個(gè)8相鄰，兩個(gè)2不相鄰，兩個(gè)8捆綁看作一個(gè)元素與7,1全排列，排好后有4個(gè)空位，兩個(gè)2插入其中的2個(gè)空位中，注意到兩個(gè)2、兩個(gè)8均為相同元素，
5.一輛七座(含司機(jī))旅游客車載著6名游客前往某地游覽，6名游客返程時(shí)恰有2名游客坐的是出發(fā)時(shí)的座位的方法數(shù)為A.135　　　B.150　　　C.165　　　D.180
剩下4個(gè)人均沒(méi)有坐在出發(fā)時(shí)的位置上，設(shè)這四個(gè)人分別為A，B，C，D，設(shè)他們出發(fā)時(shí)坐的位置分別為a，b，c，d，返程時(shí)，若A從b，c，d三個(gè)位置中任選一個(gè)位置有3種選擇，不妨假設(shè)A選擇b，
6.在如圖所示的5個(gè)區(qū)域內(nèi)種植花卉，每個(gè)區(qū)域種植1種花卉，且相鄰區(qū)域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數(shù)是
A.1 440 B.720C.1 920 D.960
如圖，設(shè)5個(gè)區(qū)域分別是A，B，C，D，E.第一步：選擇1種花卉種植在A區(qū)域，有6種方法可以選擇；第二步：從剩下的5種不同的花卉中選擇1種種植在B區(qū)域，有5種方法可以選擇；
第三步：從剩下的4種花卉中選擇1種種植在C區(qū)域，有4種方法可以選擇；
第四步：若區(qū)域D與區(qū)域A種植同1種花卉，則區(qū)域E可選擇的花卉有4種；若區(qū)域D與區(qū)域A種植不同種花卉，則區(qū)域D有3種花卉可以選擇，區(qū)域E可選擇的花卉有4種，
故不同的種植方法種數(shù)是6×5×4×(1×4＋3×4)＝1 920.
7.在一次學(xué)校組織的研究性學(xué)習(xí)成果報(bào)告會(huì)上，有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6項(xiàng)成果要匯報(bào)，如果B成果不能最先匯報(bào)，而A，C，D成果按先后順序匯報(bào)(不一定相鄰)，那么不同的匯報(bào)安排種數(shù)為A.100　　　B.120　　　C.300　　　D.600
8.(2023·濰坊模擬)過(guò)去的一年，我國(guó)載人航天事業(yè)突飛猛進(jìn)，其中航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航天員選拔時(shí)要接受特殊環(huán)境的耐受性測(cè)試，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖擊五項(xiàng).若這五項(xiàng)測(cè)試每天進(jìn)行一項(xiàng)，連續(xù)5天完成，且前庭功能和失重飛行須安排在相鄰兩天測(cè)試，超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測(cè)試，則不同的選拔測(cè)試安排方案有A.24種　　　B.36種　　　C.48種　　　D.60種
故選拔測(cè)試的安排方案有6×2＋8×2＋8＝36(種).
二、多項(xiàng)選擇題9.現(xiàn)將8把椅子排成一排，4位同學(xué)隨機(jī)就座，則下列說(shuō)法中正確的是A.4個(gè)空位全都相鄰的坐法有120種B.4個(gè)空位中只有3個(gè)相鄰的坐法有240種C.4個(gè)空位均不相鄰的坐法有120種D.4個(gè)空位中至多有2個(gè)相鄰的坐法有840種
至多有2個(gè)相鄰即都不相鄰或者有兩個(gè)相鄰，由C可知都不相鄰的坐法有120種，
所以一共有120＋240＋720＝1 080(種)坐法，故D錯(cuò).
10.安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2023年成都大運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說(shuō)法正確的是A.若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法種數(shù)為45
若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則有45種安排方法，故A正確；
三、填空題11.甲、乙、丙、丁四個(gè)人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己所寫的賀卡，共有______種不同的取法.
第一步：由甲取1張不是自己所寫的那張賀卡，有3種取法；第二步：由甲取出的那張賀卡的供卡人取，也有3種不同取法；第三步：由剩余兩人中任1個(gè)人取，此時(shí)只有1種取法；第四步：最后1個(gè)人取，只有1種取法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有3×3×1×1＝9(種)取法.
12.算盤是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具，其形長(zhǎng)方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位檔撥一顆上珠和一顆下珠，個(gè)位檔撥一顆上珠，則表示數(shù)字65.若在個(gè)、十、百、千位檔中隨機(jī)選擇一檔撥一顆下珠，再隨機(jī)選擇兩個(gè)檔位各撥一顆上珠，則可能出現(xiàn)的數(shù)字個(gè)數(shù)為_(kāi)_____，其中所撥數(shù)字小于600的有_____個(gè).
在個(gè)、十、百、千位檔中隨機(jī)選擇一檔撥一顆下珠，再隨機(jī)選擇兩個(gè)檔位各撥一顆上珠，
13.(2023·鄭州質(zhì)檢)某數(shù)學(xué)興趣小組的5名學(xué)生負(fù)責(zé)講述“宋元數(shù)學(xué)四大家”——秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰的故事，每名學(xué)生只講一個(gè)數(shù)學(xué)家的故事，每個(gè)數(shù)學(xué)家的故事都有學(xué)生講述，則不同的分配方案有________種.
所以分配方案有10×24＝240(種).
14.現(xiàn)有15個(gè)省三好學(xué)生名額分給1,2,3,4四個(gè)班級(jí)，其中1班至少有2個(gè)名額，2班、4班每班至少有3個(gè)名額，3班最多有2個(gè)名額，則共有______種不同分配方案.
由3班最多有2個(gè)名額，得3班有2個(gè)、1個(gè)或0個(gè)名額三種情況.(1)當(dāng)3班有2個(gè)名額時(shí)，先給1班1個(gè)名額，2班、4班各2個(gè)名額，然后將剩下的8個(gè)名額分給1班、2班和4班，每個(gè)班至少一個(gè)名額.
(2)當(dāng)3班有1個(gè)名額時(shí)，先給1班1個(gè)名額，2班、4班各2個(gè)名額，然后將剩下的9個(gè)名額分給1班、2班和4班，每個(gè)班至少一個(gè)名額.
(3)當(dāng)3班沒(méi)有分得名額時(shí)，先給1班1個(gè)名額，2班、4班各2個(gè)名額，然后將剩下的10個(gè)名額分給1班、2班和4班，每個(gè)班至少一個(gè)名額.
所以一共有21＋28＋36＝85(種)不同的分配方案.
15.如圖，一只青蛙開(kāi)始時(shí)位于數(shù)軸上原點(diǎn)的位置，每次向數(shù)軸的左側(cè)或右側(cè)隨機(jī)跳躍一個(gè)單位長(zhǎng)度，記an為第n次跳躍后對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)字(n＝1,2，…，14)，則滿足 ＝16，a14＝2的跳躍方法有
A.336種　　　B.448種　　　C.315種　　　D.420種
當(dāng)a8＝－4，a14＝2時(shí)，前8次向左跳躍6次，向右跳躍2次，后6次向右跳躍6次，
當(dāng)a8＝4，a14＝2時(shí)，前8次向右跳躍6次，向左跳躍2次，后6次向左跳躍4次，向右跳躍2次，
16.因演出需要，身高互不相等的8名演員要排成一個(gè)“波浪形”，即演員們的身高從最左邊數(shù)起：第一個(gè)到第三個(gè)依次遞增，第三個(gè)到第六個(gè)依次遞減，第六、七、八個(gè)依次遞增，則不同的排列方式有A.181種　　　B.109種　　　C.84種　　　D.96種
上面的數(shù)字表示排列的位置，必須按照如圖的方式排列，其中第3個(gè)位置必須比1,2,4,5,6要高，第8個(gè)位置必須比6,7高，1,6兩處要比排列里其他位置低，
設(shè)8個(gè)演員按照從矮到高的順序依次編號(hào)為①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，則第3個(gè)位置可選演員編號(hào)最小是⑥，最大是⑧，下面分類討論：
(1)第3個(gè)位置選⑥號(hào)：先從①，②，③，④，⑤號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的3個(gè)號(hào)放入位置4,5,6，順序是確定的，只有一種情況，然后⑦，⑧號(hào)放入最后兩個(gè)位置也是確定的，此時(shí)共 ＝10(種)情況；
(2)第3個(gè)位置選⑦號(hào)：先從①，②，③，④，⑤，⑥號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的4個(gè)號(hào)中編號(hào)最小的放入第6個(gè)位置，剩下3個(gè)選2個(gè)放入4,5兩個(gè)位置，
(3)第3個(gè)位置選⑧號(hào)：先從①，②，③，④，⑤，⑥，⑦號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，

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