§2.3　函數(shù)的奇偶性、周期性考試要求　1.了解函數(shù)奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.2.會依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進行簡單的應(yīng)用．知識梳理1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有________，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于______對稱奇函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有________，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于______對稱 2.周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有________________，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個________的正數(shù)，那么這個________________就叫做f(x)的最小正周期．常用結(jié)論1．奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．2．函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0.(　　)(2)不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)．(　　)(3)對于函數(shù)y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)y＝f(x)一定是奇函數(shù)．(　　)(4)若T是函數(shù)f(x)的一個周期，則kT(k∈N*)也是函數(shù)的一個周期．(　　) 教材改編題1．若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上(　　)A．單調(diào)遞增，且有最小值f(1)B．單調(diào)遞增，且有最大值f(1)C．單調(diào)遞減，且有最小值f(2)D．單調(diào)遞減，且有最大值f(2)2．已知函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，有f(x)＝x＋2x，則f(－2)＝________.3．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，若f(1)＝1，則f(2 023)＝________.題型一　函數(shù)奇偶性的判斷例1 下列函數(shù)是奇函數(shù)的是________．(填序號)①f(x)＝tan x；②f(x)＝x2＋x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|1＋x|.聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件(1)定義域關(guān)于原點對稱，否則即為非奇非偶函數(shù)．(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．跟蹤訓(xùn)練1 下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是(　　)A．y＝ln(－x)   B．y＝C．y＝2x＋   D．y＝ 題型二　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用命題點1　利用奇偶性求值(解析式)例2 (1)(2022·十堰模擬)已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2＋ax＋a＋1，則f(－2)等于(　　)A．－2  B．2  C．－6  D．6(2)(2023·呂梁模擬)已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x＋x－1，則當(dāng)x<0時，f(x)等于(　　)A．2－x－x－1   B．2－x＋x＋1C．－2－x－x－1  D．－2－x＋x＋1聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2　利用奇偶性解不等式例3 函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，若f(2)＝1，則滿足－1≤f(x－1)≤1的x的取值范圍是(　　)A．[－2,2]   B．[－1,3]C．[0,2]   D．[1,3]聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題．跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知函數(shù)f(x)＝sin x＋x3＋＋3，若f(a)＝1，則f(－a)等于(　　)A．1  B．3  C．4  D．5(2) (2023·青島模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x－2，則不等式f(x)≤2的解集是________．(3)(2021·新高考全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數(shù)，則a＝________. 題型三　函數(shù)的周期性例4 (1)已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)，且f(x)－f(－x)＝0，當(dāng)－2≤x≤0時，f(x)＝2x，則 f(2 022)等于(　　)A.  B.  C．2  D．4聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意實數(shù)x滿足f(x)f(x＋2)＝1且f(1)＝2，則f(2 023)＝________.聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進而解決問題．跟蹤訓(xùn)練3 已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，其周期為4，當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝2x－2，則下列結(jié)論不正確的是(　　)A．f(2 023)＝0B．f(x)的值域為[－1,2]C．f(x)在[4,6]上單調(diào)遞增D．f(x)在[－6,6]上有8個零點

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