1.了解函數(shù)奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.2.會(huì)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.
第一部分 落實(shí)主干知識(shí)
第二部分 探究核心題型
f(－x)＝－f(x)
2.周期性(1)一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，x∈D，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)任意的x∈D，都有x＋T∈D，且滿足 ，那么函數(shù)y＝f(x)稱作周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱作這個(gè)函數(shù)的 .(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)y＝f(x)的所有 中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就稱作函數(shù)y＝f(x)的 .
f(x＋T)＝f(x)
1.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.2.函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量x的值：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0.(　　)(2)不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù).(　　)(3)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，則函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù).(　　)(4)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則kT(k∈N＋)也是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.(　　)
2.(2023·濟(jì)南統(tǒng)考)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－6x，則f(－1)等于A.－7 B.－5 C.5 　D.7
因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)＝5.
3.(2023·鹽城檢測(cè))已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f(x)＝x2＋1，則f(2 024.5)等于
由f(x＋2)＝f(x)可知，函數(shù)f(x)的周期為2，當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2＋1，
4.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其在[0，＋∞)上的圖象如圖所示.則不等式xf(x)>0的解集為_(kāi)____________.
根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得f(x)的圖象如圖所示.xf(x)>0即圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同號(hào)，且均不為0.結(jié)合圖象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).
(－2,0)∪(0,2)
題型一　函數(shù)奇偶性的判斷
例1　(1)(多選)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是
對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠－1}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù).
(2)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，則函數(shù)f(x)＋2為_(kāi)_______函數(shù).(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
由題意得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)＋2，故f(0)＝－2.令y＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2，故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2].故f(x)＋2為奇函數(shù).
判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則即為非奇非偶函數(shù).(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.
跟蹤訓(xùn)練1　(2024·哈爾濱模擬)下列函數(shù)中不具有奇偶性的是
A項(xiàng)，f(x)的定義域?yàn)镽，由f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)知，f(x)為奇函數(shù)；
D項(xiàng)，f(x)的定義域?yàn)镽，由f(－x)＝f(x)知，f(x)為偶函數(shù).
題型二　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
命題點(diǎn)1　利用奇偶性求值(解析式)例2　(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在區(qū)間[－2 025,2 025]上的最大值是M，最小值為m，則M＋m等于A.0 B.2 C.1 D.3
由題意知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令g(x)＝f(x)－1＝x5＋2x3＋3x，則函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，∴g(x)在區(qū)間[－2 025,2 025]上的最大值與最小值之和為0，即M－1＋m－1＝0，∴M＋m＝2.
(2)(2023·呂梁統(tǒng)考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，－x0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(－2)＝－1，所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2，由f(2x)－f(x－3)>－2，可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)，
所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)，所以2x>x－7，得到x>－7，所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集為(－7，＋∞)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以f(－2 024)＋f(2 024)＝f(－2 023)＋f(2 023)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0，又f(0)＝0，故f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝0，故D錯(cuò)誤.
(2)已知f(x)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意x，y滿足f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，且f(－2)＝f(1)≠0，則下列說(shuō)法正確的是A.f(0)＝1B.函數(shù)g(2x＋1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱C.g(1)＋g(－1)＝0D.若f(1)＝1，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝1
對(duì)于A，令x＝y(tǒng)＝0，代入已知等式得f(0)＝f(0)g(0)－g(0)f(0)＝0，得f(0)＝0，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)間(3)＝cs 2π＝1≠0，所以g(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱，所以函數(shù)g(2x＋1)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，令y＝0，x＝1，代入已知等式得f(1)＝f(1)g(0)－g(1)f(0)，可得f(1)[1－g(0)]＝－g(1)f(0)＝0，結(jié)合f(1)≠0得1－g(0)＝0，g(0)＝1，再令x＝0，代入已知等式得f(－y)＝f(0)g(y)－g(0)f(y)，將f(0)＝0，g(0)＝1代入上式，得f(－y)＝－f(y)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
令x＝1，y＝－1，代入已知等式，得f(2)＝f(1)g(－1)－g(1)f(－1)，因?yàn)閒(－1)＝－f(1)，所以f(2)＝f(1)[g(－1)＋g(1)]，又因?yàn)閒(2)＝－f(－2)＝－f(1)，所以－f(1)＝f(1)[g(－1)＋g(1)]，因?yàn)閒(1)≠0，所以g(1)＋g(－1)＝－1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，分別令y＝－1和y＝1，代入已知等式，得以下兩個(gè)等式：f(x＋1)＝f(x)g(－1)－g(x)f(－1)，f(x－1)＝f(x)g(1)－g(x)f(1)，
兩式相加易得f(x＋1)＋f(x－1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＋f(x)＝－f(x＋1)，即f(x)＝－f(x＋1)－f(x＋2)，有－f(x)＋f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)－f(x＋1)－f(x＋2)＝0，即f(x－1)＝f(x＋2)，所以f(x)為周期函數(shù)，且一個(gè)周期為3，因?yàn)閒(1)＝1，所以f(－2)＝1，
所以f(2)＝－f(－2)＝－1，f(3)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫(huà)出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問(wèn)題.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex＋x＋m，則f(－1)等于A.e B.－e C.e＋1 D.－e－1
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，則f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e.
(2)若f(x)＝sin x＋x3＋x，則不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是
f(x)的定義域?yàn)镽，f(－x)＝sin(－x)－x3－x＝－sin x－x3－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，f′(x)＝cs x＋3x2＋1>0，所以f(x)在R上是增函數(shù)，由f(x＋1)＋f(2x)>0，得f(x＋1)>－f(2x)＝f(－2x)，
方法一　因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則f(1)＝f(－1)，
由(2x－1)(2x＋1)>0，
此時(shí)f(x)為偶函數(shù)，符合題意.故a＝0.
所以g(x)為奇函數(shù).
則y＝x＋a也應(yīng)為奇函數(shù)，所以a＝0.
因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，故f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的一個(gè)周期為2，
(2)(2023·瀘州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且周期為3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是A.2 024 B.2 023 C.1 D.0
因?yàn)閒(x)的周期為3，f(－1)＝1，則f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1，又f(0)＝－2，則f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以f(x)為偶函數(shù)，故f(1)＝f(－1)＝1，則f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0.
(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問(wèn)題.
跟蹤訓(xùn)練3　(多選)(2023·深圳模擬)已知非常數(shù)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，則A.f(2)＝0B.f(x＋4)為偶函數(shù)C.f(x)為周期函數(shù)D.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－4,0)對(duì)稱
因?yàn)閒(x＋2)＋f(x)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的一個(gè)周期是4，故C正確；又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，f(0)＝0，所以f(2)＋f(0)＝0，即f(2)＝0，故A正確；
又f(x)的一個(gè)周期為4，且為奇函數(shù)，所以f(x＋4)為奇函數(shù)，故B不正確；因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，所以f(x)的圖象也關(guān)于點(diǎn)(－4,0)對(duì)稱，故D正確.
一、單項(xiàng)選擇題1.(2023·寧波統(tǒng)考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，則f(2 024)等于A.－1 B.0 C.1 D.2
因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期為2的周期函數(shù)，所以f(2 024)＝f(0)＝0.
2.(2023·全國(guó)乙卷)已知f(x)＝ 是偶函數(shù)，則a等于A.－2 B.－1 C.1 D.2
又因?yàn)閤≠0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，則x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.
3.(2023·長(zhǎng)沙模擬)已知偶函數(shù)f(x)對(duì)于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，則f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系是A.f(－1)

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