高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量與復(fù)數(shù)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第2節(jié)　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
考綱要求　1.了解平面向量的基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．

知識(shí)梳理
1．平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
2．平面向量的正交分解
把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐標(biāo)的求法
①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.

1．平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然．
2．若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
3．向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系．兩個(gè)相等的向量，無(wú)論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的．
診斷自測(cè)

1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底．(　　)
(2)設(shè)a，b是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成＝.(　　)
(4)平面向量不論經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(1)共線向量不可以作為基底．
(3)若b＝(0,0)，則＝無(wú)意義．

2. 若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)P1)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　)
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
答案　A
解析　由題意得＝且＝(3，－3)，
設(shè)P(x，y)，則(x－1，y－3)＝(1，－1)，
所以x＝2，y＝2，則點(diǎn)P(2,2)．
3．已知向量a＝(－1,3)，b＝(2,1)，則3a－2b＝(　　)
A．(－7,7) B．(－3，－2)
C．(6,2) D．(4，－3)
答案　A
解析　3a－2b＝(－3,9)－(4,2)＝(－7,7)．

4．(2021·南陽(yáng)調(diào)研)已知向量a＝(m,1)，b＝(3，m－2)，則m＝3是a∥b的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．既不充分也不必要條件
D．充要條件
答案　A
解析　∵a＝(m,1)，b＝(3，m－2)，
若a∥b，則m(m－2)－3＝0，
得m＝3或m＝－1，
所以“m＝3”是“a∥b”的充分不必要條件．
5．(2020·合肥質(zhì)檢)設(shè)向量a＝(－3,4)，向量b與向量a方向相反，且|b|＝10，則向量b的坐標(biāo)為(　　)
A. B．(－6,8) C． D．(6，－8)
答案　D
解析　因?yàn)橄蛄縝與a方向相反，則可設(shè)b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ0，b>0，則＋＝(2a＋b)＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，
即a＝，b＝時(shí)，等號(hào)成立．
∴＋的最小值為8.
感悟升華　1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.
2．向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解．
【訓(xùn)練2】　(1)(2021·太原聯(lián)考)已知向量e1＝(1,1)，e2＝(0,1)，若a＝e1＋λe2與b＝－(2e1－3e2)共線，則實(shí)數(shù)λ＝________.
(2)(2021·安徽江南十校調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(－3,4)，若點(diǎn)C在∠AOB的平分線上，且||＝3，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
答案　(1)－　(2)(－3,9)
解析　(1)由題意知a＝e1＋λe2＝(1,1＋λ)，
b＝－(2e1－3e2)＝(－2,1)．
由于a∥b，所以1×1＋2(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
(2)因?yàn)辄c(diǎn)C在∠AOB的平分線上，
所以存在λ∈(0，＋∞)，使得＝λ.
∴＝λ(0,1)＋λ＝，
又||＝3，
所以2＋2＝(3)2，解得λ＝5.
故向量＝(－3,9).

A級(jí)　基礎(chǔ)鞏固
一、選擇題
1．設(shè)A(0,1)，B(1,3)，C(－1,5)，D(0，－1)，則＋等于(　　)
A．－2 B．2 C．－3 D．3
答案　C
解析　由題意得＝(1,2)，＝(－1,4)，＝(0，－2)，所以＋＝(0,6)＝－3(0，
－2)＝－3.
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(1，m)，若實(shí)數(shù)λ滿足a＋b＝λc，則λ＋m等于(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案　B
解析　由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得a＋b＝(5,5)，
λc＝(λ，λm)，據(jù)此有解得λ＝5，m＝1，∴λ＋m＝6.
3．(2021·鄭州質(zhì)檢)已知向量＝(1,4)，＝(m，－1)，若∥，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A. B．－4 C．4 D．－
答案　D
解析　∵向量＝(1,4)，＝(m，－1)，
∴＝＋＝(1＋m,3)，
又∥，所以1×3－4(1＋m)＝0，解得m＝－.
4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ ＋μ ，則λ＋μ＝(　　)
A．2 B． C．2 D．4
答案　A
解析　因?yàn)閨OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，
又＝λ ＋μ ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
5．(2020·濟(jì)南調(diào)研)在△ABC中，＝，若P是直線BN上的一點(diǎn)，且滿足＝m＋，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A．－4 B．－1 C．1 D．4
答案　B
解析　根據(jù)題意設(shè)＝n(n∈R)，則＝＋＝＋n＝＋n(－)＝＋n＝(1－n)＋.
又＝m＋，∴解得
6．(2021·東北師大附中等五校聯(lián)考)已知向量a＝，b＝(cos α，1)，α∈，且a∥b，則sin＝(　　)
A．－ B． C． D．－
答案　C
解析　向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，
則＝tan α·cos α＝sin α，
又α∈，知cos α＝－，
所以sin＝－cos α＝.
7.

給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為90°，如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)，若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是(　　)
A．1 B． C． D．2
答案　B
解析　因?yàn)辄c(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，
∴x2＋y2＝1，則2xy≤x2＋y2＝1.
又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)，
故x＋y的最大值為.
8．(2021·合肥檢測(cè))△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，m＝(a，b)，n＝(cos B，cos A)，則“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案　D
解析　由m∥n得bcos B－acos A＝0，即sin Bcos B＝sin Acos A，
可得sin 2B＝sin 2A，因?yàn)榻茿，B，C分別是△ABC的內(nèi)角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，可得△ABC是等腰三角形或直角三角形．
因此，由“m∥n”不能推出“△ABC是等腰三角形”．
因?yàn)橛伞啊鰽BC是等腰三角形”不能推出“A＝B”，所以由“△ABC是等腰三角形”也不能推出“m∥n”．
故“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的既不充分也不必要條件．
二、填空題
9．已知A(2,3)，B(4，－3)，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，且|AP|＝|BP|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
答案　(8，－15)
解析　設(shè)P(x，y)，由點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，
則＝，得(x－2，y－3)＝(x－4，y＋3)，
即解得
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8，－15)．
10．(2021·百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，則＝________.
答案?。?br /> 解析　因?yàn)閍＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，所以2x·(－2)－y·1＝0，所以＝－.
11．已知矩形ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為線段AO的中點(diǎn)，若＝m＋n，則m＋n的值為_(kāi)_______．
答案　－
解析　如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)E為線段AO的中點(diǎn)，

所以＝(＋)＝＋
＝－＋－＝－.
又＝m＋n，
所以m＝，n＝－，故m＋n＝－.
12．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是________．
答案　k≠1
解析　若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，
則向量，不共線．
∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.
B級(jí)　能力提升
13．(2021·西安質(zhì)檢)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAB＝60°，設(shè)＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則＝(　　)
A. B． C．3 D．2
答案　A
解析　如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，

因?yàn)椤螪AB＝60°，所以設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，m)(m>0)．
＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，則λ＝m，且μ＝m，所以＝.
14．已知點(diǎn)P為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足＋2＝0，＋＋4＝0，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λμ＝(　　)
A. B．－ C．－ D．
答案　D
解析　如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接DO.

由＋2＝0，知AB∥CD，AB＝2CD，
所以CD綉OB，所以四邊形OBCD為平行四邊形．
又由＋＋4＝0，得－2＋4＝0，
即＝2，所以D，P，O三點(diǎn)共線，且P為OD上靠近D的三等分點(diǎn)，
所以＝＋＝＋＝＋，
所以λ＝，μ＝，所以λμ＝.
15．如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________.

答案　
解析　以AB，AD所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則＝，＝，＝(1,1)．
∵＝λ＋μ
＝，
∴解得∴λ＋μ＝.
16．(2021·蘭州調(diào)研)在△ABC中，點(diǎn)D，E是線段BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且＋＝x＋y，則xy的最大值為_(kāi)_______．
答案　1
解析　設(shè)DE的中點(diǎn)為M，連接AM(如圖)．

則＋＝2＝x＋y，
所以＝＋，
又B，C，M三點(diǎn)共線，
所以x＋y＝2，且x>0，y>0，
又x＋y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，取等號(hào)，
∴xy≤1，即xy的最大值為1.

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