備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（人教A版-理）第五章平面向量與復(fù)數(shù) 第4節(jié) 復(fù)數(shù)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第4節(jié)　復(fù)　數(shù)
考試要求　1.理解復(fù)數(shù)的基本概念；2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；4.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算；5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位).
(2)分類：
項(xiàng)目
滿足條件(a，b為實(shí)數(shù))
復(fù)數(shù)的分類
a＋bi為實(shí)數(shù)?b＝0
a＋bi為虛數(shù)?b≠0
a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0
(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R).
(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算
(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
＝＝＋i(c＋di≠0).
(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.
如圖所示給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即＝＋，＝－.

1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系
z·＝|z|2＝||2.
4.兩個(gè)注意點(diǎn)
(1)兩個(gè)虛數(shù)不能比較大??；
(2)利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時(shí)，注意a，b，c，d∈R的前提條件.

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(　　)
(2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.(　　)
(3)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).(　　)
(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)虛部為b；(2)虛數(shù)不可以比較大小.
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(2021·全國(guó)Ⅱ卷)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　A
解析?。剑剑?，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第一象限.
3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，則z(＋i)＝(　　)
A.6－2i B.4－2i
C.6＋2i D.4＋2i
答案　C
解析　因?yàn)閦＝2－i，所以z(＋i)＝(2－i)·(2＋2i)＝6＋2i，故選C.
4.(2021·全國(guó)甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，則z＝(　　)
A.－1－i B.－1＋i
C.－＋i D.－－i
答案　B
解析　z＝＝＝＝－1＋i.
5.(易錯(cuò)題)已知復(fù)數(shù)z1滿足(2－i)z1＝6＋2i，z1與z2＝m－2ni(m，n∈R)互為共軛復(fù)數(shù)，則z1的虛部為_(kāi)_______，m＋n＝________.
答案　2　3
解析　由(2－i)z1＝6＋2i，得z1＝＝＝＝2＋2i，則z2＝2－2i，則m＝2，n＝1，所以m＋n＝3.
6.如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1和z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A和B，則＝________.

答案?。璱
解析　由題圖得z1＝－2－i，z2＝i，
所以＝＝
＝＝－－i.

考點(diǎn)一　復(fù)數(shù)的相關(guān)概念
1.(2021·浙江卷)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i為虛數(shù)單位)，則a＝(　　)
A.－1 B.1 C.－3 D.3
答案　C
解析　因?yàn)?1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，即a＝－3.故選C.
2.(2021·全國(guó)乙卷)設(shè)2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，則z＝(　　)
A.1－2i B.1＋2i C.1＋i D.1－i
答案　C
解析　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，代入2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故選C.
3.(2021·西安調(diào)研)下面關(guān)于復(fù)數(shù)z＝－1＋i(其中i為虛數(shù)單位)的結(jié)論正確的是(　　)
A.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限
B.|z|

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