基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)
知識(shí)點(diǎn)1　分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有　　　　不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=　　　種不同的方法.?名師點(diǎn)睛應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理的注意事項(xiàng)(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,怎么才算是完成這件事.(2)確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),準(zhǔn)確地對(duì)“這件事”進(jìn)行分類,不同類方案的任意兩種方法不同,也就是分類必須既“不重復(fù)”也“不遺漏”.從集合的角度看,若完成一件事分A,B兩類方案,則A∩B=?,A∪B=U(U表示全集).
過(guò)關(guān)自診1.分類加法計(jì)數(shù)原理中每類方案的特征是什么?2.從3名女同學(xué)和4名男同學(xué)中任意選出一人主持一次班會(huì),則不同的選法種數(shù)為(　　)　　　　　　　　　　　　　A.8B.7C.5D.4
提示 任何一類方案中的任何一種方法都可以獨(dú)立完成這件事.
解析 從3名女同學(xué)和4名男同學(xué)中任意選出一人主持一次班會(huì),有兩類方案:第1類方案是從3名女同學(xué)中選出一人,有3種選法;第2類方案是從4名男同學(xué)中選出一人,有4種選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知,不同的選法種數(shù)為N=3+4=7.
知識(shí)點(diǎn)2　分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要　　　　步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=　　　　種不同的方法.?名師點(diǎn)睛應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的注意事項(xiàng)(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事必須要完成幾步.(2)根據(jù)題意正確分步,要求各步之間必須關(guān)聯(lián),只有按照這幾步逐步地去做,才能完成這件事,各步驟之間既不能重復(fù)也不能遺漏.
過(guò)關(guān)自診1.分類加法計(jì)數(shù)原理每一類方案中的方法和分步乘法計(jì)數(shù)原理每一步中的方法有何區(qū)別?
提示 分類加法計(jì)數(shù)原理每一類方案中的每種方法可以單獨(dú)完成一件事情,而分步乘法計(jì)數(shù)原理每一步中的方法不能獨(dú)立完成一件事情.
2.[北師大版教材習(xí)題]甲有5件不同顏色的上衣,6條不同樣式的褲子和4雙不同的鞋子,如果把1件上衣、1條褲子和1雙鞋子看作一種搭配方法,那么甲著裝時(shí),共有多少種不同的搭配方法?
解 任選1件上衣、1條褲子和1雙鞋子,可以分三個(gè)步驟完成:第1步,從5 件不同顏色的上衣中任選1件,有5種選法;第2步,從6條不同樣式的褲子中任選1條,有6種選法;第3步,從4雙不同的鞋子中任選1雙,有4種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有不同的搭配方法的種數(shù)為5×6×4=120.
知識(shí)點(diǎn)3　分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:都是有關(guān)做一件事的　　　　　　　種數(shù)的問(wèn)題.?2.區(qū)別:分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是　　　　　問(wèn)題,其中各種方法　　　　　　　,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是　　　　問(wèn)題,各個(gè)步驟中的方法　　　　　　,只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事.?
過(guò)關(guān)自診1.當(dāng)一個(gè)事件既需要分步又需要分類時(shí),分步和分類有何先后順序嗎?
提示 當(dāng)一個(gè)事件既需要分步又需要分類時(shí),通常要明確是先分類后分步還是先分步后分類,并且要明確分類的標(biāo)準(zhǔn)和分步的程序問(wèn)題.
2.[人教B版教材例題]某班班委由2位女同學(xué)、3位男同學(xué)組成,現(xiàn)要從該班班委里選出2人去參加學(xué)校組織的培訓(xùn)活動(dòng),要求至少要有1位女同學(xué)參加,則不同的選法共有多少種?
解 按照選擇的女同學(xué)人數(shù)分為兩種情況,即2位都是女同學(xué)和只有1位女同學(xué).2位都是女同學(xué)的選法顯然只有1種.只有1位女同學(xué)的選法,可以分為兩步完成:先從2位女同學(xué)中選出1人,有2種選法;再?gòu)?位男同學(xué)中選出1人,有3種選法.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有不同的選法種數(shù)為2×3=6.依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,不同的選法種數(shù)為6+1=7.
探究點(diǎn)一　分類加法計(jì)數(shù)原理
【例1】 某校高三共有三個(gè)班,各班人數(shù)如下表:
(1)從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席,有多少種不同的選法?(2)從高三(1)班男生、高三(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng),有多少種不同的選法?
解 (1)從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席,共有三類不同的方案.第1類,從高三(1)班中選出1名學(xué)生,有50種不同的選法;第2類,從高三(2)班中選出1名學(xué)生,有60種不同的選法;第3類,從高三(3)班中選出1名學(xué)生,有55種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席,不同選法的種數(shù)為50+60+55=165.
(2)從高三(1)班男生、高三(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng),共有三類不同的方案.第1類,從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法;第2類,從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法;第3類,從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生,有20種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,從高三(1)班男生、高三(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng),不同選法的種數(shù)為30+30+20=80.
規(guī)律方法　利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路
變式訓(xùn)練1[北師大版教材例題]在1,2,3,…,200中,能夠被5整除的數(shù)共有多少個(gè)?
解 能夠被5整除的數(shù),末位數(shù)字是0或5,因此,我們把1,2,3,…,200中能夠被5整除的數(shù)分成2類來(lái)計(jì)數(shù):第1類,末位數(shù)字是0的數(shù),共有20個(gè);第2類,末位數(shù)字是5的數(shù),共有20個(gè).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,在1,2,3,…,200中,能夠被5整除的數(shù)共有N=20+20=40個(gè).
探究點(diǎn)二　分步乘法計(jì)數(shù)原理
【例2】 一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤,每個(gè)撥號(hào)盤上有從0到9共十個(gè)數(shù)字,這4個(gè)撥號(hào)盤可以組成多少個(gè)四個(gè)數(shù)字的組合號(hào)碼?(各位置上的數(shù)字允許重復(fù))
解 4個(gè)撥號(hào)盤組成四個(gè)數(shù)字的組合號(hào)碼可以分四步完成:第1步,第1個(gè)撥號(hào)盤有10種撥號(hào)方式,所以m1=10;第2步,第2個(gè)撥號(hào)盤有10種撥號(hào)方式,所以m2=10;第3步,第3個(gè)撥號(hào)盤有10種撥號(hào)方式,所以m3=10;第4步,第4個(gè)撥號(hào)盤有10種撥號(hào)方式,所以m4=10.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共可以組成N=10×10×10×10=10 000個(gè)四個(gè)數(shù)字的組合號(hào)碼.
變式探究 若各位置上的數(shù)字不允許重復(fù),那么這個(gè)撥號(hào)盤可以組成多少個(gè)四個(gè)數(shù)字的組合號(hào)碼??
解 4個(gè)撥號(hào)盤組成四個(gè)數(shù)字的組合號(hào)碼可以分四步完成:第1步,第1個(gè)撥號(hào)盤有10種撥號(hào)方式,即m1=10;第2步,去掉第1步撥的數(shù)字,第2個(gè)撥號(hào)盤有9種撥號(hào)方式,即m2=9;第3步,去掉前兩步撥的數(shù)字,第3個(gè)撥號(hào)盤有8種撥號(hào)方式,即m3=8;第4步,去掉前三步撥的數(shù)字,第4個(gè)撥號(hào)盤有7種撥號(hào)方式,即m4=7.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共可以組成N=10×9×8×7=5 040個(gè)四個(gè)數(shù)字不重復(fù)的組合號(hào)碼.
規(guī)律方法　利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路
變式訓(xùn)練2[蘇教版教材例題]3名同學(xué)每人從5本不同的電子書中任選1本,共有多少種不同的選法?
解 3名同學(xué)每人從5本不同的電子書中任選1本,可以分三個(gè)步驟完成:第1步,第一名同學(xué)選1本電子書有5種不同的選法;第2步,第二名同學(xué)選1本電子書有5種不同的選法;第3步,第三名同學(xué)選1本電子書有5種不同的選法.因此,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,3名同學(xué)每人各選1本電子書的不同選法種數(shù)是5×5×5=125.
探究點(diǎn)三　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
【例3】 某外語(yǔ)組有9人,每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門,其中7人會(huì)英語(yǔ),3人會(huì)日語(yǔ),從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教,有多少種不同的選法?
解 由題意知,有1人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ),6人只會(huì)英語(yǔ),2人只會(huì)日語(yǔ).設(shè)既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的人為甲,則甲有入選、不入選兩類情形,入選后又要分兩種:(1)教英語(yǔ);(2)教日語(yǔ).第1類:甲入選.(1)甲教英語(yǔ),再?gòu)闹粫?huì)日語(yǔ)的2人中選1人,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,有1×2=2種選法;
(2)甲教日語(yǔ),再?gòu)闹粫?huì)英語(yǔ)的6人中選1人,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,有1×6=6種選法.故甲入選的不同選法種數(shù)為2+6=8.第2類:甲不入選.可分兩步:第1步,從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人有6種選法,第2步,從只會(huì)日語(yǔ)的2人中選1人有2種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,有6×2=12種不同的選法.綜上,共有不同選法種數(shù)為8+12=20.
規(guī)律方法　1.使用兩個(gè)原理的原則使用兩個(gè)原理解題時(shí),一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是對(duì)于較復(fù)雜應(yīng)用問(wèn)題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決;“分步”就是把問(wèn)題分化為幾個(gè)互相關(guān)聯(lián)的步驟,然后逐步解決.2.應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的四個(gè)步驟(1)明確完成的這件事是什么.(2)思考如何完成這件事.(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.(4)選擇計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.
變式訓(xùn)練3集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},從集合A,B中各取1個(gè)元素,作為點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo).(1)可以得到多少個(gè)不同的點(diǎn)?(2)這些點(diǎn)中,位于第一象限的有幾個(gè)??
解 (1)從集合A,B中各取1個(gè)元素,可以分為兩類方案:第1類方案是集合A中元素為x,B中元素為y,共有3×4=12個(gè)不同的點(diǎn);第2類方案是集合A中元素為y,B中元素為x,共有4×3=12個(gè)不同的點(diǎn).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為12+12=24.(2)第一象限內(nèi)的點(diǎn),x,y均為正數(shù),所以只能取集合A,B中的正數(shù),共有2×2+2×2=8個(gè)不同的點(diǎn).
1.知識(shí)清單:(1)分類加法計(jì)數(shù)原理;(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.方法歸納:分類討論.3.常見(jiàn)誤區(qū):分不清“分類”與“分步”的判斷方法,導(dǎo)致計(jì)數(shù)錯(cuò)誤.
1.某校高一年級(jí)共8個(gè)班,高二年級(jí)共6個(gè)班,從中選一個(gè)班級(jí)擔(dān)任學(xué)校星期一早晨的升旗任務(wù),安排方法的種數(shù)為(　　)A.8B.6C.14D.48
解析 由分類加法計(jì)數(shù)原理,完成升旗這一任務(wù)的安排方法的種數(shù)為8+6=14.
2.準(zhǔn)備用3個(gè)字符,其中首字符用A,B,后兩個(gè)字符用a,b,c(允許重復(fù)),給一些書編號(hào)(每本書的編號(hào)均不相同),則最多能給(　　)本書編號(hào).A.8B.9C.12D.18
解析 需分三步完成:第1步,首字符有2種編法;第2步,第二個(gè)字符有3種編法;第3步,第三個(gè)字符有3種編法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,最多能給2×3×3=18本書編號(hào).
3.某體育場(chǎng)南側(cè)有4個(gè)大門,北側(cè)有3個(gè)大門,小李到體育場(chǎng)看比賽,則他進(jìn)、出體育場(chǎng)的方案種數(shù)為(　　)A.12B.7C.14D.49
解析 完成進(jìn)、出體育場(chǎng)這件事,需要分兩個(gè)步驟完成:第1步,進(jìn)體育場(chǎng),共有4+3=7種方法,第2步,出體育場(chǎng),共有4+3=7種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,進(jìn)、出體育場(chǎng)的方案種數(shù)為7×7=49.
4.一個(gè)科技小組中有4名女同學(xué)和5名男同學(xué),從中任選1人參加競(jìng)賽,不同的選派方法的種數(shù)為　　　　　;若從中任選1名女同學(xué)和1名男同學(xué)參加競(jìng)賽,不同的選派方法的種數(shù)為　　　　　.?
解析 任選1人參加競(jìng)賽,分兩類:第1類,從女同學(xué)中選出1人,有4種不同選法;第2類,從男同學(xué)中選出1人,有5種不同選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有不同選派方法的種數(shù)為4+5=9.任選1名女同學(xué)和1名男同學(xué)參加競(jìng)賽,分兩步:第1步,從女同學(xué)中選出1人,有4種不同的選法;第2步,從男同學(xué)中選出1人,有5種不同選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有不同選派方法的種數(shù)為4×5=20.

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6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

版本： 人教A版 (2019)

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