基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測
知識點(diǎn)　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問題最基本、最重要的方法.
名師點(diǎn)睛處理具體問題時(shí),一是合理分類,準(zhǔn)確分步:分類時(shí),要不重不漏;分步時(shí),要合理設(shè)計(jì)步驟、順序,使各步互不干擾.對于一些較復(fù)雜的題目,往往既要分類又要分步.二是特殊優(yōu)先,一般在后:解含有特殊元素、特殊位置的計(jì)數(shù)問題時(shí),應(yīng)優(yōu)先安排特殊元素,優(yōu)先確定特殊位置,再考慮其他元素與其他位置.
過關(guān)自診1.復(fù)雜事件在分類時(shí),如何理解“不重不漏”?
提示 分類時(shí),首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn),然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類.一般地,標(biāo)準(zhǔn)不同,分類的結(jié)果也不同;其次,分類時(shí)要注意滿足一個(gè)基本要求:完成這件事的任何一種方法必須屬于且只能屬于某一類方案.簡單地說,就是應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理時(shí)要做到“不重不漏”.
2.有A,B兩種類型的車床各一臺,現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都會(huì)操作兩種車床,丙只會(huì)操作A種車床,要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車床,則不同的選派方法有(　　)　　　　　　　　　　　　　A.6種B.5種C.4種D.3種
解析 不同的選派情況可分為3類:第1類,若選甲、乙,有2種方法;第2類,若選甲、丙,有1種方法;第3類,若選乙、丙,有1種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,不同的選派方法有2+1+1=4種.
3.某班有3名學(xué)生準(zhǔn)備參加校運(yùn)會(huì)的100米、200米、跳高、跳遠(yuǎn)四項(xiàng)比賽,如果每班每項(xiàng)限報(bào)1人,則這3名學(xué)生的參賽的不同方法有(　　)A.24種B.48種C.64種D.81種
解析 由于每班每項(xiàng)限報(bào)1人,故當(dāng)前面的學(xué)生報(bào)了某項(xiàng)之后,后面的學(xué)生不能再報(bào),由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有4×3×2=24種不同的參賽方法.
【例1】 用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字,(1)可以組成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號碼?(2)可以組成多少個(gè)三位數(shù)?(3)可以組成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?
解 (1)三位數(shù)字的電話號碼,按從左到右的順序,第1位上的數(shù)字可以是0,數(shù)字也可以重復(fù),每個(gè)位置上的數(shù)字都有5種取法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可以組成5×5×5=53=125個(gè)三位數(shù)字的電話號碼.(2)三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能為0,但可以有重復(fù)數(shù)字,首先考慮百位上的數(shù)字的取法,除0外共有4種取法,個(gè)、十位上的數(shù)字可以取0,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可以組成4×5×5=100個(gè)三位數(shù).(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù),個(gè)位數(shù)字可取0,2,4,因此,可以分兩類,一類是個(gè)位數(shù)字是0,可以組成4×3=12個(gè)三位數(shù);另一類是個(gè)位數(shù)字不是0,則個(gè)位上的數(shù)字有2種取法,即2或4,再考慮百位上的數(shù)字,因?yàn)?不能是百位上的數(shù)字,所以有3種取法,十位有3種取法,因此有2×3×3=18個(gè)三位數(shù).由分類加法計(jì)數(shù)原理,可以組成的能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為12+18=30.
變式探究 由本例中的五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)?
解 完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事,可以分四步:第1步定個(gè)位,只能從1,3中任取一個(gè),有2種方法;第2步定千位,把1,2,3,4中除去個(gè)位中使用的一個(gè)數(shù),在剩下的3個(gè)數(shù)中任取一個(gè),有3種方法;第3步,把剩下的包括0在內(nèi)的3個(gè)數(shù)字排百位,有3種方法;第4步,排十位,有2種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共能組成2×3×3×2=36個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù).
規(guī)律方法　對于組數(shù)問題應(yīng)掌握的原則(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字,是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(或特殊元素)分類,分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成;如果正面分類較多,可采用間接法求解.(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位.
變式訓(xùn)練1我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如1 230,2 022),則首位為3的“六合數(shù)”共有(　　)A.18個(gè)B.12個(gè)C.10個(gè)D.7個(gè)
解析 首位為3的“六合數(shù)”的其他位的3個(gè)數(shù)字為0,1,2,則這樣的首位為3的“六合數(shù)”共有3×2×1=6個(gè);首位為3的“六合數(shù)”的其他位的3個(gè)數(shù)字為1,1,1,則這樣的首位為3的“六合數(shù)”共有1個(gè);首位為3的“六合數(shù)”的其他位的3個(gè)數(shù)字為0,0,3,則這樣的首位為3的“六合數(shù)”共有3個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理,首位為3的“六合數(shù)”共有6+1+3=10個(gè),故選C.
探究點(diǎn)二　抽取(分配)問題
【例2】 高三年級的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐,其中甲工廠必須有班級去,每班去哪個(gè)工廠可自由選擇,則不同的分配方案有(　　)A.16種B.18種C.37種D.48種
解析 (方法一　直接法)以甲工廠分配班級情況進(jìn)行分類,共分為三類.第1類,三個(gè)班級都去甲工廠,此時(shí)分配方案只有1種;第2類,有兩個(gè)班級去甲工廠,剩下的班級去另外三個(gè)工廠中的一個(gè),其分配方案有3×3=9種;第3類,有一個(gè)班級去甲工廠,另外兩個(gè)班級可以在其他三個(gè)工廠中選擇,其分配方案有3×3×3=27種.綜上所述,不同的分配方案共有1+9+27=37種.(方法二　間接法)三個(gè)班自由選擇去哪個(gè)工廠的分配方案共4×4×4=64種;甲工廠無人去的分配方案共3×3×3=27種.故有64-27=37種不同的分配方案.
規(guī)律方法　抽取(分配)問題的常見類型及其解法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時(shí),一般選用枚舉法、樹狀圖法等.(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時(shí),一般有兩種方法:①直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理.一般地,若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行;若按對象特征抽取的,則按分類進(jìn)行.②間接法:去掉限制條件計(jì)算所有的抽取方法數(shù),然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.
變式訓(xùn)練2 7名學(xué)生中有3名學(xué)生會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋,有2名學(xué)生會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋,另2名學(xué)生既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋.現(xiàn)從中選出會(huì)下象棋和會(huì)下圍棋的學(xué)生各1人參加比賽,共有多少種不同的選法?
解 分4類完成:第1類,從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的選法種數(shù)為N1=3×2=6.第2類,從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的選法種數(shù)為N2=3×2=6.
第3類,從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的選法種數(shù)為N3=2×2=4.第4類,從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,另一名參加圍棋比賽,不同的選法種數(shù)為N4=2.綜上,由分類加法計(jì)數(shù)原理可知,不同選法共有N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2=18種.
【例3】 將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi),每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色,如果顏色可以反復(fù)使用,共有多少種不同的涂色方法?
解 第1個(gè)小方格可以從五種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法.①當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí),有4×3=12種不同的涂法,第4個(gè)小方格有3種不同的涂法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×12×3=180種不同的涂法.②當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí),有4種涂法,由于相鄰兩格不同色,因此,第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×4×4=80種不同的涂法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有180+80=260種不同的涂法.
變式探究 本例中的區(qū)域改為如圖所示,其他條件均不變,則不同的涂法共有多少種?
解 依題意,可分兩類:①④不同色,①④同色. 第1類,①④不同色,則①②③④所涂的顏色各不相同,可將這件事情分成四步來完成.第1步涂①,從5種顏色中任選一種,有5種涂法;第2步涂②,從余下的4種顏色中任選一種,有4種涂法;第3步涂③與第4步涂④時(shí),分別有3種涂法和2種涂法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,不同的涂法為5×4×3×2=120種.第2類,①④同色,則①②③不同色,我們可將涂色工作分成三步來完成.第1步涂①④,有5種涂法;第2步涂②,有4種涂法;第3步涂③,有3種涂法.于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,不同的涂法有5×4×3=60種.由分類加法計(jì)數(shù)原理,所求的涂色方法共有120+60=180種.
規(guī)律方法　解決涂色(種植)問題的一般思路涂色問題一般是綜合利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解,有幾種常用方法:(1)按區(qū)域的不同,以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù),用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析.(2)以顏色為主分類討論,適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問題,用分類加法計(jì)數(shù)原理分析.(3)若是空間問題,將空間問題平面化,轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題.種植問題按種植的順序分步進(jìn)行,用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)或按種植品種恰當(dāng)選取情況分類,用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).
變式訓(xùn)練3[2023江蘇南通期中]如圖,一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)區(qū)域,現(xiàn)給5個(gè)區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色.現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的涂色方法共有　　　　　種.?
解析 第1步,先給①②③號區(qū)域涂色,分別有4種、3種和2種涂色方法.第2步,給④號和⑤號區(qū)域涂色,當(dāng)④號與②號同色時(shí),④號有1種涂色方法,⑤號有2種涂色方法;當(dāng)④號與②號不同色時(shí),④號有1種涂色方法,⑤號有1種涂色方法.則④號和⑤號共有1×2+1×1=3種涂色方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有4×3×2×3=72種涂色方法.
1.知識清單:(1)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系;(2)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.2.方法歸納:分類討論、間接法.3.常見誤區(qū):分類標(biāo)準(zhǔn)不明確,出現(xiàn)重復(fù)或遺漏問題.
1.從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為(　　)A.30B.20C.10D.6
解析 從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加,和為偶數(shù)可分為兩類.第1類,取出的兩數(shù)都是偶數(shù),共有3種取法;第2類,取出的兩數(shù)都是奇數(shù),共有3種取法.由分類加法計(jì)數(shù)原理得,共有N=3+3=6種取法.
2.某?？萍紭枪灿?層,每層均有兩個(gè)樓梯,由一樓到五樓的走法有(　　)A.10種B.16種C.25種D.32種
解析 走法共分四步.第1步,一層到二層2種走法;第2步,二層到三層2種走法;第3步,三層到四層2種走法;第4步,四層到五層2種走法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知走法一共有24=16種.故選B.
3.如圖所示,用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色,每個(gè)格子涂1種顏色,要求相鄰的2個(gè)格子顏色不同,則不同的涂色方法共有　　　　　種.(用數(shù)字作答)?
解析 首先給最左邊的一個(gè)格子涂色,有6種選擇,左邊第二個(gè)格子有5種選擇,第三個(gè)格子有5種選擇,第四個(gè)格子也有5種選擇.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得,共有6×5×5×5=750種涂色方法.

相關(guān)課件

高中數(shù)學(xué)6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理授課課件ppt：

這是一份高中數(shù)學(xué)6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理授課課件ppt，共35頁。PPT課件主要包含了目錄索引，m+n，m×n，不同方法，“分類”，相互獨(dú)立，“分步”，互相依存，本節(jié)要點(diǎn)歸納等內(nèi)容，歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)選擇性必修 第三冊6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理作業(yè)課件ppt：

這是一份數(shù)學(xué)選擇性必修 第三冊6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理作業(yè)課件ppt，共23頁。

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理作業(yè)ppt課件：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理作業(yè)ppt課件，共25頁。PPT課件主要包含了ABD等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)課件 更多

高中數(shù)學(xué)6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理教課ppt課件

高中數(shù)學(xué)6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理教課ppt課件
數(shù)學(xué)人教A版 (2019)6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課文內(nèi)容ppt課件

數(shù)學(xué)人教A版 (2019)6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課文內(nèi)容ppt課件
人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理教案配套課件ppt

人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理教案配套課件ppt
2021學(xué)年6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理授課課件ppt

2021學(xué)年6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理授課課件ppt
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊電子課本

6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部