高中數(shù)學(xué)6.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理一等獎?wù)n件ppt-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(1)1.通過實例能歸納總結(jié)出分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理;2.正確理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)具體問題的特征,選擇“分類”或“分步”.3.能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.重點：分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用難點：準確應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決問題一、分類加法計數(shù)原理完成一件事,如果有n類辦法,且:第一類辦法中有m1種不同的方法,第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.利用分類加法計數(shù)原理解題的注意事項(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事可以有哪些辦法,怎么才算是完成這件事.(2)完成這件事的n類辦法,無論用哪類辦法中的哪種方法都可以單獨完成這件事,而不需要用到其他的方法.(3)確立恰當?shù)姆诸悩藴?/span>,準確地對“完成這件事的辦法”進行分類,要求每一種方法必屬于某一類辦法,不同類辦法的任意兩種方法不同,也就是分類必須既不重復(fù)也不遺漏.從集合的角度看,若完成一件事分A,B兩類辦法,則A∩B=?,A∪B=I(I表示全集).二、分步乘法計數(shù)原理完成一件事,如果需要分成n個步驟,且:做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.利用分步乘法計數(shù)原理解題的注意事項(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事需要幾步.(2)完成這件事需要分成若干個步驟,只有每個步驟都完成了,才算完成這件事,無論缺少哪一步,這件事都不可能完成.(3)根據(jù)題意正確分步,要求各步之間必須連續(xù),只有按照這幾步逐一去做,才能完成這件事,各步之間既不能重復(fù)也不能遺漏.(4)對于同一個題目,標準不同,分步也不同.分步的基本要求:一是完成一件事,必須且只需連續(xù)做完幾步,既不漏步也不重步;二是不同步驟的方法不能互相替代. 一、問題導(dǎo)學(xué) 計數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過列舉一個一個地數(shù)是計數(shù)的基本方法，但當問題中的數(shù)量很大時，列舉的方法效率不高，能否設(shè)計巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？下面先分析一個簡單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計數(shù)方法.問題1. 用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？探究與發(fā)現(xiàn)問題2.你能說說這個問題的特征嗎？你能舉出一些生活中類似的例子嗎？二、典例解析例1.在填寫高考志愿時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，如表， A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué) 如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路(1)分類:將完成這件事的辦法分成若干類;(2)計數(shù):求出每一類中的方法數(shù);(3)結(jié)論:將每一類中的方法數(shù)相加得最終結(jié)果.問題3. 如果完成一件事有三類不同方案，在第一類方案中有 m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，在第三類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情有N類不同方案，在每一類中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)該如何計數(shù)呢？跟蹤訓(xùn)練1.在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是(　　)A．18 　　　B．36 C．72 　　　D．48 問題4. 用前6個大寫的英文字母和1~9個阿拉伯數(shù)字，以A1， A1，…A9，B1，B2，…的方式給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？問題5.你能說說這個問題的特征嗎？你能舉出一些生活中類似的例子嗎？例2.設(shè)某班有男生30名，女生24名?，F(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？問題6. 如果完成一件事有三個步驟, 做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法? 如果完成一件事需要有n個步驟,做每一步中都有若干種不同方法,那么應(yīng)當如何計數(shù)呢? 如果完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事的方法總數(shù)如何計算？分步乘法計數(shù)原理一般結(jié)論：例3.書架上第1層放有4本不同的計算機書,第 2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育雜志.(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?(2)從書架的第1、 2、 3層各取1本書,有多少種不同取法?(3)從書架上取2本不同學(xué)科的書,有多少種不同的取法? 應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路跟蹤訓(xùn)練2.　有6名同學(xué)報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？(不一定6名同學(xué)都參加)(1)每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限；(2)每項限報一人，且每人至多參加一項；(3)每項限報一人，但每人參加的項目不限． 1.某教師有相同的語文參考書3本，相同的數(shù)學(xué)參考書4本，從中取出4本贈送給4位學(xué)生，每位學(xué)生1本，則不同的贈送方法共有(　　)A．20種　　B．15種 C．10種　　D．4種2.現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個講座，不同的選法的種數(shù)是(　　)A．56 B．65 C．30 D．113. 4張卡片的正、反面分別標有0與1,2與3,4與5,6與7,將其中3張卡片排放在一起,可組成　　　　　個不同的三位數(shù). 4.如圖所示的電路圖,從A到B共有　　　　　條不同的線路可通電. 5.如圖,一只螞蟻沿著長方體的棱,從頂點A爬到相對頂點C1,求其中經(jīng)過3條棱的路線共有多少條? 6.某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區(qū)支教,有多少種不同的選法? 兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法. 2.區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨立”確保不重復(fù) 參考答案：知識梳理學(xué)習(xí)過程問題1. 因為英文字母共有26個，阿拉伯數(shù)字共有10個，所以總共可以編出26+10=36種不同的號碼.問題2.上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）確定分類標準，根據(jù)問題條件分為字母號碼和數(shù)字號碼兩類；（2）分別計算各類號碼的個數(shù)；（3）各類號碼的個數(shù)相加，得出所有號碼的個數(shù).例1. 分析:要完成的事情是“選一個專業(yè)” .因為這名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又因為這兩所大學(xué)沒有共同的強項專業(yè)，所以符合分類加法計數(shù)原理的條件.解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所，在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法，因為沒有一個強項專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)N=5+4=9.問題3.分類加法計數(shù)原理：完成一件事,如果有n類辦法,且:第一類辦法中有m1種不同的方法,第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.跟蹤訓(xùn)練1.解析：方法一　按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個、7個、6個、5個、4個、3個、2個、1個．由分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個).方法二　按個位上的數(shù)字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個．由分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個).方法三　考慮兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的大小關(guān)系，利用對應(yīng)思想解決．所有的兩位數(shù)共有90個，其中，個位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位數(shù)為11，22，33，…，99，共9個；有10，20，30，…，90共9個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，則剩余的兩位數(shù)有90－18＝72(個).在這72個兩位數(shù)中，每一個個位數(shù)字(a)小于十位數(shù)字(b)的兩位數(shù)都有一個十位數(shù)字(a)小于個位數(shù)字(b)的兩位數(shù)與之對應(yīng)，故滿足條件的兩位數(shù)的個數(shù)是72÷2＝36.故選B.答案：B問題4. 解：方法一：解決計數(shù)問題可以用“樹狀圖”列舉出來方法二：由于6個英文字母中的任意一個都能與6個數(shù)字中的任意一個組成一個號碼，而且它們互不相同，因此共有6×9=54種不同的號碼.問題5.上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）由問題條件中的“和”，可確定完成編號要分兩步；（2）分別計算各步號碼的個數(shù)；（3）將各步號碼的個數(shù)相乘，得出所有號碼的個數(shù).例2.分析:選出一組參賽代表，可分兩步：第一步, 選男生；第二步,選女生.解：第一步,從30名男生中選出1人,有30種不同選擇；第二步,從24名女生中選出1人,有24種不同選擇；根據(jù)分步計數(shù)原理，共有 30×24=720種不同方法.問題6. N＝m1×m2×m3N＝m1×m2×…×mn例3.解：（1）根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得：N＝4＋3+2＝9；（2）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：N＝4 ×3×2＝24；（3）需先分類再分步.第一類：從一、二層各取一本，有4×3=12種方法；第二類：從一、三層各取一本,有4×2=8種方法；第三類：從二、三層各取一本,有3×2=6種方法；根據(jù)兩個基本原理，不同的取法總數(shù)是N=4×3+4×2+3×2=26答: 從書架上取2本不同種的書,有26種不同的取法.跟蹤訓(xùn)練2.　解：(1)每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法種數(shù)為36＝729.(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法種數(shù)為6×5×4＝120.(3)每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這6人中選出1人參賽．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法種數(shù)為63＝216.達標檢測1. 解析：若4本中有3本語文參考書和1本數(shù)學(xué)參考書，則有4種方法，若4本中有1本語文參考書和3本數(shù)學(xué)參考書，則有4種方法，若4本中有2本語文參考書和2本數(shù)學(xué)參考書，則有6種方法，若4本都是數(shù)學(xué)參考書，則有一種方法，所以不同的贈送方法共有4＋4＋6＋1＝15(種).故選B.答案：B2.解析：(1)第一名同學(xué)有5種選擇方法，第二名也有5種選擇方法，…，依次，第六名同學(xué)有5種選擇方法，綜上，6名同學(xué)共有56種不同的選法．故選A.3. 解析:分三個步驟:第一步:百位可放8-1=7個數(shù);第二步:十位可放6個數(shù);第三步:個位可放4個數(shù).根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可以組成N=7×6×4=168個不同的三位數(shù).答案:1684.解析:先分三類.第一類,經(jīng)過支路①有3種方法;第二類,經(jīng)過支路②有1種方法;第三類,經(jīng)過支路③有2×2=4種方法,所以總的線路條數(shù)N=3+1+4=8.答案:85.解:從總體上看有三類方法,分別經(jīng)過AB,AD,AA1.從局部上看每一類又需分兩步完成.故第一類:經(jīng)過AB,有m1=1×2=2條;第二類:經(jīng)過AD,有m2=1×2=2條;第三類:經(jīng)過AA1,有m3=1×2=2條.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,從頂點A到頂點C1經(jīng)過3條棱的路線共有N=2+2+2=6條.6.解:由題意知,有1人既會英語又會日語,6人只會英語,2人只會日語.方法一:分兩類.第一類:從只會英語的6人中選1人有6種選法,從會日語的3人中選1人有3種選法.此時共有6×3=18(種)選法.第二類:從“全能”的人中選1人有1種選法,從只會日語的2人中選1人有2種選法,此時有1×2=2(種)選法.所以由分類加法計數(shù)原理知,共有18+2=20(種)選法.方法二:設(shè)既會英語又會日語的人為甲,則甲有入選和不入選兩類情形,入選后又分兩種情況:(1)教英語;(2)教日語.第一類:甲入選.(1)甲教英語,再從只會日語的2人中選1人,由分步乘法計數(shù)原理,有1×2=2(種)選法;(2)甲教日語,再從只會英語的6人中選1人,由分步乘法計數(shù)原理,有1×6=6(種)選法.故甲入選的不同選法共有2+6=8(種).第二類:甲不入選.可分兩步:第一步,從只會英語的6人中選1人有6種選法;第二步,從只會日語的2人中選1人有2種選法.由分步乘法計數(shù)原理,有6×2=12(種)不同的選法.綜上,共有8+12=20(種)不同的選法.

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