人教A版 (2019)選擇性必修第三冊(cè)6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理精品課件ppt-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

1.通過(guò)實(shí)例，總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.3.能根據(jù)具體問(wèn)題的特征，選擇分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.重點(diǎn)：歸納出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，能應(yīng)用它們解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.難點(diǎn)：正確理解“完成一件事”的含義，正確區(qū)分“分類”和“分步”.
一般地，有如下分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m+n種不同的方法.
【提示】（1）分類加法計(jì)數(shù)原理中的“完成一件事有兩類不同方案”，是指完成這件事的所有方案可以分為兩類，即任何一類方案中的任何一種方法都可以完成任務(wù)，兩類方案中沒(méi)有相同的方法，且完成這件事的任何一種方法都在某一類方案中.（2）分類時(shí)要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，即分類要按同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類，一般地，標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不同.（3）分類時(shí)要注意滿足一個(gè)基本要求：完成這件事的任何一種方法必須屬于且只能屬于某一類方案，即“不重不漏”.
2.分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣
如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1+m2+…+mn種不同的方法.
一般地，有如下分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.
【提示】（1）分步乘法計(jì)數(shù)原理中的“完成一件事需要兩個(gè)步驟”，是指完成這件事的任何一種方法都要分成兩個(gè)步驟，任取一種方法，相繼完成這兩個(gè)步驟就能完成這件事，即各個(gè)步驟是相互依存的，每個(gè)步驟都要做完才能完成這件事.（2）分步時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定分步標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)不同，分成的步驟數(shù)也會(huì)不同.（3）合理的步驟應(yīng)當(dāng)滿足：①完成這件事情必須連續(xù)做完所有步驟，即分別從各個(gè)步驟中選一種完成該步驟的方法，將各步驟中所選方法依次完成就得到完成這件事情的一種方法；②完成任何一個(gè)步驟可選用的方法與其他步驟所選用的方法無(wú)關(guān).簡(jiǎn)而言之，就是應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)要做到“步驟完整” .
2.分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣
如果完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.
兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系：
三、用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的方法歸納
【歸納】用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，最重要的是在開(kāi)始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn)：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分類還是需要分步.分類要做到“不重不漏”.分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù).分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù).分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).
【提示】（1）有些計(jì)數(shù)問(wèn)題既需要進(jìn)行“分類”，又需要進(jìn)行“分步”，此時(shí)就要注意綜合運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理來(lái)解決問(wèn)題.解決這類問(wèn)題時(shí)，首先要明確是先“分類”后“分步”，還是先“分步”后“分類”；其次，在“分類”和“分步”的過(guò)程中，均要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)和分步標(biāo)準(zhǔn).（2）在既需要分類又需要分步的題目中，可以先根據(jù)對(duì)題意的理解，合理地畫出示意圖（如樹(shù)狀圖）或列出表格，使問(wèn)題的實(shí)質(zhì)能直觀地表示出來(lái).
一、分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
例1 甲、乙、丙、丁4個(gè)人各寫1張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己寫的賀卡，共有多少種不同的取法？
【解】（方法一）當(dāng)甲取乙寫的賀卡時(shí)，分配方案如下：
此時(shí)，乙有甲、丙、丁3種取法，若乙確定，則丙丁也確定，故有3種不同的取法.同理，當(dāng)甲取丙或丁寫的賀卡時(shí)，也各有3種不同的取法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有3+3+3＝9（種）不同的取法.
（方法二）設(shè)甲、乙、丙、丁4個(gè)人所寫賀卡分別為A，B，C，D，為避免重復(fù)或遺漏，甲、乙、丙、丁4個(gè)人取賀卡的方案也可以用如圖所示的“樹(shù)狀圖”來(lái)表示.
◆應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的一般方法1.審題：搞清需要完成的一件事是“什么事”，怎樣才算完成這件事.2.分類：看完成這件事是否需要分類，確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，將完成這件事的方法進(jìn)行分類.3. 計(jì)數(shù)：求出每一類的方法數(shù).4.求和：應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)求和.
【注意】在運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行分類時(shí)應(yīng)滿足：完成這件事情的任何一種方法必須屬于且只屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法，即“類”與“類”間有“獨(dú)立性”和“并列性”.
◆分類列舉的常用方法1.枚舉法：在完成一件事情時(shí)，如果方法不是很多，可以列舉出來(lái)，那么我們就可以一種一種地?cái)?shù)，進(jìn)而確定完成這件事共有多少種方法.2.樹(shù)狀圖法：當(dāng)計(jì)數(shù)問(wèn)題涉及的對(duì)象數(shù)目較多，但又不太多時(shí)可采用畫樹(shù)狀圖的方法，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題.用樹(shù)狀圖分析，可以有效地避免結(jié)果的重復(fù)和遺漏.【注意】畫等可能結(jié)果的樹(shù)狀圖時(shí)，需要注意畫出的同一級(jí)的每一個(gè)“枝條”必須是等可能的，這是列舉所有等可能結(jié)果的保障.要統(tǒng)計(jì)最終結(jié)果，只要數(shù)最后“樹(shù)梢”上共有幾個(gè)“果子”即可.本題在審題時(shí)要注意是否為有放回摸球.
訓(xùn)練題1.［2020·重慶高二檢測(cè)］小王有70元錢，現(xiàn)有單價(jià)分別為20元和30元的兩種商品.若他至少購(gòu)買1件，則不同的購(gòu)買方法共有（　　）A.7種 B.8種 C.6種 D.9種2.［2020·福建莆田高二月考］已知兩條異面直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定的不同的平面?zhèn)€數(shù)為（　?。〢.40 B.16 C.13 D.10
3.布袋里有3個(gè)除顏色外完全相同的球，其顏色分別是紅、黃、藍(lán).試驗(yàn)：（1）從中先摸出一個(gè)球，看一下顏色，將它放回布袋，再摸出一個(gè)球，看一下顏色.請(qǐng)畫出樹(shù)狀圖，并寫出所有可能的結(jié)果.（2）從中先摸出一個(gè)球，看一下顏色，不將它放回布袋，再摸出一個(gè)球，看一下顏色.請(qǐng)畫出樹(shù)狀圖，并寫出所有可能的結(jié)果.
解：（1）樹(shù)狀圖如圖所示，試驗(yàn)一共有以下9種等可能的結(jié)果：紅紅、紅黃、紅藍(lán)、黃紅、黃黃、黃藍(lán)、藍(lán)紅、藍(lán)黃和藍(lán)藍(lán).
（2）如果第一次摸到紅球，由于不再把它放回，因此第二次摸時(shí)只能從黃、藍(lán)兩個(gè)球中摸一個(gè).同樣，如果第一次摸到其他球，第二次摸都只有兩種可能.樹(shù)狀圖如圖所示，試驗(yàn)一共有以下6種等可能的結(jié)果：紅黃、紅藍(lán)、黃紅、黃藍(lán)、藍(lán)紅和藍(lán)黃.
（1）從三個(gè)班中任選一名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？（2）從（1）班男生、（2）班男生或（3）班女生中任選一名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng)，有多少種不同的選法？
4.某校高二共有三個(gè)班，各班人數(shù)如下表：
解：（1）從三個(gè)班中任選一名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，共有三類不同的方案：第一類，從（1）班任選一名學(xué)生，有50種不同選法；第二類，從（2）班任選一名學(xué)生，有60種不同選法；第三類，從（3）班任選一名學(xué)生，有55種不同選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法共有N＝50+60+55＝165（種）.（2）由題設(shè)知共有三類不同的方案：第一類，從（1）班男生中任選一名學(xué)生，有30種不同選法；第二類，從（2）班男生中任選一名學(xué)生，有30種不同選法；第三類，從（3）班女生中任選一名學(xué)生，有20種不同選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選法共有N＝30+30+20＝80（種）.
二、分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
例2 已知集合M＝{-3，-2，-1，0，1，2}，P（a，b）（a，b∈M）表示平面上的點(diǎn)，則：（1）P可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？（2）P可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？（3）P可表示多少個(gè)不在直線y＝x上的點(diǎn)？
【解】（1）確定平面上的點(diǎn)P（a，b）可分兩步完成：第一步，確定a的值，共有6種方法；第二步，確定b的值，也有6種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到的平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6×6＝36.（2）確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：第一步，確定a，由于a0，所以有2種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到的第二象限點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3×2＝6.（3）點(diǎn)P（a，b）在直線y＝x上的充要條件是a＝b，即a和b必須在集合M中取同一元素，共有6種取法，故在直線y＝x上的點(diǎn)有6個(gè).結(jié)合（1）得不在直線y＝x上的點(diǎn)共有36-6＝30（個(gè)）.
◆應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的一般方法1.審題：搞清需要完成的一件事是“什么事”，怎樣才算完成這件事.2.分步：看完成這件事是否需要分步，確定一個(gè)適合于它的分步標(biāo)準(zhǔn).3.計(jì)數(shù)：分別求出每一步中的不同方法.4.求積：用分步乘法計(jì)數(shù)原理求積.◆利用分步乘法計(jì)數(shù)原理的三個(gè)注意點(diǎn)1.要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的.2.各步中的方法相互依存，缺一不可，只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事.3.對(duì)完成每一步的不同方法數(shù)要根據(jù)條件準(zhǔn)確確定.
訓(xùn)練題1.［2020·陜西西安高三月考］已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，則方程（x-a）2+（y-b）2＝4可表示不同的圓的個(gè)數(shù)為（　　）A.7 B.9 C.12 D.162.［2020·重慶長(zhǎng)壽中學(xué)高二月考］某班小張等4位同學(xué)報(bào)名參加A，B，C三個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，且小張不能報(bào)A小組，則不同的報(bào)名方法有（　　）A.27種 B.36種 C.54種 D.81種
3.［2020·江蘇常熟高二月考］要安排一份5天的值班表，每天有一個(gè)人值班，共有5個(gè)人，每個(gè)人值多天或不值班，但相鄰兩天不能由同一個(gè)人值班，此值班表共有多少種不同的排法？
解：先排第一天，可排5人中的任一人，有5種排法；再排第二天，此時(shí)不能排第一天已排的人，有4種排法；再排第三天，此時(shí)不能排第二天已排的人，有4種排法.同理，第四、五天各有4種排法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，值班表不同的排法共有5× 4×4×4×4＝1 280（種）.
三、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
例3 某外語(yǔ)組有9人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一種，其中7人會(huì)英語(yǔ)，3人會(huì)日語(yǔ)，從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各1人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教，有多少種不同的選法？【解】由題意知，有1人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，6人只會(huì)英語(yǔ)，2人只會(huì)日語(yǔ).（方法一）分兩類.第一類：從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人教英語(yǔ)，有6種選法，則說(shuō)日語(yǔ)的有2+1＝3（種）選法，此時(shí)共有6×3＝18（種）選法；第二類：從不只會(huì)英語(yǔ)的1人中選1人教英語(yǔ)，有1種選法，則會(huì)日語(yǔ)的有2種選法，此時(shí)有1×2＝2（種）選法.所以由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有18+2＝20（種）選法.
（方法二）設(shè)既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后又要分兩種：（1）教英語(yǔ)；（2）教日語(yǔ).第一類：甲入選.（1）甲教英語(yǔ)，再?gòu)闹粫?huì)日語(yǔ)的2人中選1人，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有1×2＝2（種）選法；（2）甲教日語(yǔ)，再?gòu)闹粫?huì)英語(yǔ)的6人中選1人，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有1×6＝6（種）選法.故甲入選的不同選法共有2+6＝8（種）.第二類：甲不入選.可分兩步，第一步，從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人有6種選法；第二步，從只會(huì)日語(yǔ)的2人中選1人有2種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有6×2＝12（種）不同的選法.綜上，共有8+12＝20（種）不同的選法.
◆應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路解決較為復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題，一般要綜合應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，需注意：合理分類，準(zhǔn)確分步.即要扣緊兩個(gè)原理，根據(jù)具體問(wèn)題首先弄清楚是“分類”還是“分步”，搞清楚“分類”或者“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn). （1）分類時(shí)需要滿足兩個(gè)條件：①類與類之間要互斥（保證不重復(fù)）；②總數(shù)要完備（保證不遺漏），也就是要確定一個(gè)合理的分類標(biāo)準(zhǔn).（2）分步時(shí)應(yīng)按事件發(fā)生的連貫過(guò)程進(jìn)行分析，必須做到步與步之間互相獨(dú)立，互不干擾，并確保連續(xù)性.
訓(xùn)練題 1.［2020·湖南師大附中高二期末］某單位有4位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是0，1，2，5，為遵守所在城市元月15日至18日4天的限行規(guī)定（奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行），四人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，若甲的車（車牌尾數(shù)為2）最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)是（　?。〢.4 B.12 C.16 D.242.［2020·河北衡水高二月考］如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有（?。〢.40個(gè) B.30個(gè) C.20個(gè)D.10個(gè)3.［2020·江蘇無(wú)錫一中高二期中］若形如“a1a2a3”的三位正整數(shù)滿足a1>a2且a2

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