一、必備知識(shí)分層透析
二、重點(diǎn)題型分類研究
題型1: 正態(tài)曲線及其性質(zhì)
題型2：正態(tài)分布的概率計(jì)算
題型3：正態(tài)分布的應(yīng)用
題型4：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
題型5：3原則及其應(yīng)用
題型6：數(shù)學(xué)建模：正態(tài)分布與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的綜合應(yīng)用
三、高考（模擬）題體驗(yàn)
一、必備知識(shí)分層透析
知識(shí)點(diǎn)1：正態(tài)曲線
（1）連續(xù)型隨機(jī)變量
除了離散型隨機(jī)變量外，還有大量問(wèn)題中的隨機(jī)變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸，但取一點(diǎn)的概率為0，我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.
（2）正態(tài)的曲線的定義
函數(shù)，其中,為參數(shù).
顯然對(duì)于任意，，它的圖象在軸的上方，可以證明軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1，我們稱為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.
①函數(shù)的自變量為,定義域?yàn)?br>②解析式中含有兩個(gè)常數(shù)和,這兩個(gè)是無(wú)理數(shù)，其中為圓周率，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)
③解析式中含兩個(gè)參數(shù)和,其中可取任意實(shí)數(shù)，,不同的正態(tài)曲線和的取值是不同的.
④解析式的前面是一個(gè)系數(shù)，后面是一個(gè)以為底的指數(shù)函數(shù)的形式,指數(shù)為,其中這個(gè)參數(shù)在解析式中的兩個(gè)位置出現(xiàn)，注意保持一致.
（3）正態(tài)曲線的幾何意義
由正態(tài)曲線，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形（圖中陰影部分）的面積，就是落在區(qū)間的概率的近似值.
（4）正態(tài)曲線的特點(diǎn)
①曲線位于軸上方，與軸不相交；
②曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；
③曲線在時(shí)達(dá)到峰值；
④當(dāng)時(shí)，曲線上升；當(dāng)時(shí)，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以軸為漸近線，向它無(wú)限靠近.
⑤曲線與軸之間的面積為1；
⑥決定曲線的位置和對(duì)稱性；
當(dāng)一定時(shí)，曲線的對(duì)稱軸位置由確定；如下圖所示，曲線隨著的變化而沿軸平移。
⑦確定曲線的形狀；
當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定。越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。
知識(shí)點(diǎn)2：正態(tài)分布
（1）正態(tài)分布
若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，(,其中，為參數(shù))，稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記為.
（2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
若隨機(jī)變量,則當(dāng),時(shí)，稱隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)解析式為,,其相應(yīng)的密度曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線.
知識(shí)點(diǎn)3：正態(tài)分布的原則：正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間的概率值
假設(shè)，可以證明：對(duì)給定的是一個(gè)只與有關(guān)的定值.
特別地，，
，
.
上述結(jié)果可用右圖表示.
此看到，盡管正態(tài)變量的取值范圍是，但在一次試驗(yàn)中，的值幾乎總是落在區(qū)間內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.
在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為原則.
二、重點(diǎn)題型分類研究
題型1: 正態(tài)曲線及其性質(zhì)
典型例題
例題1．（2022春·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）如圖是三個(gè)正態(tài)分布，，的密度曲線，則三個(gè)隨機(jī)變量，，對(duì)應(yīng)曲線的序號(hào)分別依次為（ ）.
A．①②③B．③②①C．②③①D．①③②
例題2．（2022春·黑龍江佳木斯·高二建三江分局第一中學(xué)?？计谀┠呈杏屑滓覂蓚€(gè)工廠生產(chǎn)同一型號(hào)的汽車零件，零件的尺寸分別記為，已知均服從正態(tài)分布，，，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值大于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值
B．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值
C．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性
D．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性
例題3．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)某地區(qū)數(shù)學(xué)考試成績(jī)的數(shù)據(jù)分析，男生成績(jī)服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．越大，男生成績(jī)?cè)诘母怕试叫?br>B．越大，男生成績(jī)大于72的概率為0.5
C．越大，男生成績(jī)小于71.99與大于72.01的概率相等
D．越大，男生成績(jī)落在與落在的概率相等
例題4．（多選）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)的圖像如圖，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
例題5．（多選）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）以下關(guān)于正態(tài)密度曲線的說(shuō)法中正確的是（ ）．
A．曲線都在軸的上方，左右兩側(cè)與軸無(wú)限接近，最終可與軸相交
B．曲線關(guān)于直線對(duì)稱
C．曲線呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的鐘形形狀
D．曲線與軸之間的面積為1
同類題型演練
1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量，其分布密度函數(shù)為，則的值為（ ）
A．1B．2C．4D．8
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．越大，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大
B．越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5
C．越大，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．越小，該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等
3．（多選）（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（多選）（2022春·江蘇·高二校聯(lián)考期末）陽(yáng)山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培歷史，產(chǎn)于中國(guó)著名桃鄉(xiāng)江蘇無(wú)錫陽(yáng)山鎮(zhèn).水蜜桃果形大、色澤美，皮韌易剝、香氣濃郁，汁多味甜，入口即化，有“水做骨肉”的美譽(yù)，陽(yáng)山水蜜桃早桃品種5月底開(kāi)始上市，7月15日前后，甜度最高的湖景桃也將大量上市.已知甲、乙兩個(gè)品種的陽(yáng)山水蜜桃的質(zhì)量（單位：斤）分別服從正態(tài)分布，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．乙品種水蜜桃的平均質(zhì)量
B．甲品種水蜜桃的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右
C．甲品種水蜜桃的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小
D．乙品種水蜜桃的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)
5．（多選）（2022春·山西太原·高二?？计谥校┮阎S機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（ ）
A．B．C．D．
題型2：正態(tài)分布的概率計(jì)算
典型例題
例題1．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量，， ，且，又，則實(shí)數(shù)（ ）
A．0B．C．D．
例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量，且對(duì)任意，，則（ ）
A．B．C．D．
例題4．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為（ ）
A．9B．8C．D．6
例題5．（2023·北京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量，，，則______.
同類題型演練
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）假設(shè)某校高二年級(jí)全體同學(xué)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)服從正態(tài)分布，如果規(guī)定競(jìng)賽成績(jī)大于或等于90分為等，那么在參加競(jìng)賽的學(xué)生中隨機(jī)選擇一名，他的競(jìng)賽成績(jī)?yōu)榈鹊母怕蕿椋? ）（附：若，則，，）
A．0.0455B．0.0214C．0.0428D．0.02275
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩個(gè)隨機(jī)變量，，其中，（），若，且，則（ ）
A．0.4B．0.3C．0.2D．0.1
3．（2023秋·遼寧·高二沈陽(yáng)市第三十一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．3B．4C．1D．2
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則（ ）
A．0.43B．0.28C．0.14D．0.07
5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)的概率是0.5，則（ ）
附：若，則，.
A．0.1587B．0.1359C．0.2718D．0.3413
題型3：正態(tài)分布的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某房產(chǎn)銷售公司有800名銷售人員，為了了解銷售人員上一個(gè)季度的房屋銷量，公司隨機(jī)選取了部分銷售人員對(duì)其房屋銷量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到上一季度銷售人員的房屋銷量，則全公司上一季度至少完成22套房屋銷售的人員大概有（ ）
附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．
A．254人B．127人C．18人D．36人
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某種包裝的大米質(zhì)量ξ（單位：）服從正態(tài)分布，根據(jù)檢測(cè)結(jié)果可知，某公司購(gòu)買該種包裝的大米3000袋．大米質(zhì)量在以上的袋數(shù)大約為（ ）
A．10B．20C．30D．40
例題3．（2023秋·河北石家莊·高三石家莊精英中學(xué)校考階段練習(xí)）某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高時(shí)，發(fā)現(xiàn)株高（單位：cm）服從正態(tài)分布，若測(cè)量10000株水稻，株高在的約有__________株.（若，，）.
例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某班有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布.已知，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的有________人.
例題5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在2021年6月某區(qū)的高二期末質(zhì)量檢測(cè)考試中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布．已知參加本次考試的學(xué)生約有9450人，如果某學(xué)生在這次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?08分，那么他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約排在該區(qū)的名次是______．附:若,則，.
同類題型演練
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在某地區(qū)的高三第一次聯(lián)考中，數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，試卷滿分分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績(jī)高于120分的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)诜值椒郑ê趾头郑┲g的人數(shù)為人，則可以估計(jì)參加本次聯(lián)考的總?cè)藬?shù)約為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）貴陽(yáng)一中有2000人參加2022年第二次貴陽(yáng)市模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?05分到120分（含105分和120分）之間的人數(shù)約為（ ）
A．300B．400C．600D．800
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）日常生活中，許多現(xiàn)象都服從正態(tài)分布.若，記，，.小明同學(xué)一般情況下都是騎自行車上學(xué)，路上花費(fèi)的時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布.已知小明騎車上學(xué)遲到的概率為.某天小明的自行車壞了，他打算步行上學(xué)，若步行上學(xué)路上花費(fèi)的時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，要使步行上學(xué)遲到的概率不大于，則小明應(yīng)該至少比平時(shí)出門的時(shí)間早_____________分鐘.
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）首屆國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)得主，雜交水稻之父袁隆平院士為全世界糧食問(wèn)題和農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展貢獻(xiàn)了中國(guó)力量，某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高時(shí)，發(fā)現(xiàn)株高(單位：cm)服從正態(tài)分布N(100，102)，若測(cè)量10000株水稻，株高在(80,90)的約有________株．
(附～，，)
5．（2022春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）為了解高二學(xué)生體育健康情況，學(xué)校組織了一次體育健康測(cè)試，成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(70，72)，已知成績(jī)?cè)?7分以上的學(xué)生有208人，如果成績(jī)大于84分為優(yōu)秀，則本次體育健康測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的大約有___________人．
(參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2c)=0.96)
題型4：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
典型例題
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）高鐵是當(dāng)代中國(guó)重要的一類交通基礎(chǔ)設(shè)施，乘坐高鐵已經(jīng)成為人們喜愛(ài)的一種出行方式，已知某市市郊乘車前往高鐵站有①，②兩條路線可走，路線①穿過(guò)市區(qū)，路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布；路線②走環(huán)城公路，路程長(zhǎng)，但意外阻塞較少，所需時(shí)間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布，若住同一地方的甲、乙兩人分別有分鐘與分鐘可用，要使兩人按時(shí)到達(dá)車站的可能性更大，則甲乙選擇的路線分別是（ ）
A．①、②B．②、①C．①、①D．②、②
例題2．（多選）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，那么當(dāng)n比較大時(shí)，可視為服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)，．任意正態(tài)分布，可通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（且）．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記，則（ ）
A．
B．當(dāng)時(shí)，
C．隨機(jī)變量，當(dāng)減小，增大時(shí)，概率保持不變
D．隨機(jī)變量，當(dāng)都增大時(shí)，概率單調(diào)增大
例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了解市高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考情況，該市教研機(jī)構(gòu)組織了一次檢測(cè)考試，并隨機(jī)抽取了部分高三理科學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該市此次檢測(cè)理科數(shù)學(xué)的平均成績(jī)；（精確到個(gè)位）
（2）研究發(fā)現(xiàn)，本次檢測(cè)的理科數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布（，約為19.3）.
①按以往的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，理科數(shù)學(xué)成績(jī)能達(dá)到升一本分?jǐn)?shù)要求的同學(xué)約占，據(jù)此估計(jì)本次檢測(cè)成績(jī)達(dá)到升一本的理科數(shù)學(xué)成績(jī)大約是多少分？（精確到個(gè)位）
②已知市理科考生約有10000名，某理科學(xué)生此次檢測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?07分，則該學(xué)生全市排名大約是多少名？
（說(shuō)明：表示的概率，用來(lái)將非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即，從而利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求時(shí)的概率，這里,相應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率，即.參考數(shù)據(jù)：，，）.
同類題型演練
1．（多選）（2022·高二單元測(cè)試）（多選）若隨機(jī)變量，，其中，則下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記（k，b為實(shí)常數(shù)），若，，則__________.
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某省2021年開(kāi)始將全面實(shí)施新高考方案．在6門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計(jì)分；思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目采用等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為A，B，C，D，E共5個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為15%，35%，35%，13%和2%，并按給定的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換賦分．該省組織了一次高一年級(jí)統(tǒng)一考試，并對(duì)思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目的原始分進(jìn)行了等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分．假設(shè)該省此次高一學(xué)生化學(xué)學(xué)科原始分Y服從正態(tài)分布．若，令，則．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：若以此次高一學(xué)生化學(xué)學(xué)科原始分D等級(jí)的最低分為實(shí)施分層教學(xué)的劃線分，試估計(jì)該劃線分大約為_(kāi)_________分（結(jié)果保留1位小數(shù)）
附：若，．
題型5：3原則及其應(yīng)用
典型例題
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了保障某種藥品的主要藥理成分在國(guó)家藥品監(jiān)督管理局規(guī)定的值范圍內(nèi)，某制藥廠在該藥品的生產(chǎn)過(guò)程中，檢驗(yàn)員在一天中按照規(guī)定每間隔2小時(shí)對(duì)該藥品進(jìn)行檢測(cè)，每天檢測(cè)4次：每次檢測(cè)由檢驗(yàn)員從該藥品生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取20件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)量其主要藥理成分含量（單位：）根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條藥品生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的其主要藥理成分含量服從正態(tài)分布.
(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示某次抽取的20件產(chǎn)品中其主要藥理成分含量在之外的藥品件數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望；
(2)在一天的四次檢測(cè)中，如果有一次出現(xiàn)了主要藥理成分含量在之外的藥品，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)異常情況，需對(duì)本次的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查；如果有兩次或兩次以上出現(xiàn)了主要藥理成分含量在之外的藥品，則需停止生產(chǎn)并對(duì)原材料進(jìn)行檢測(cè).
①下面是檢驗(yàn)員在某次抽取的20件藥品的主要藥理成分含量：
經(jīng)計(jì)算得，，，
其中為抽取的第件藥品的主要藥理成分含量，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)本次的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？
②試確定一天中需停止生產(chǎn)并對(duì)原材料進(jìn)行檢測(cè)的概率（精確到0.001）.
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，，，，.
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了了解揚(yáng)州市高中生周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們的周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間，制成如下的頻數(shù)分布表：
（1）從周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生中抽取人，在的學(xué)生中抽取人，現(xiàn)從這人中隨機(jī)推薦人參加體能測(cè)試，記推薦的人中來(lái)自的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）由頻數(shù)分布表可認(rèn)為：周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間服從正態(tài)分布，其中為周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得．可以用該樣本的頻率估計(jì)總體的概率，現(xiàn)從揚(yáng)州市所有高中生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，記周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間在之外的人數(shù)為，求（精確到）；
參考數(shù)據(jù)1：當(dāng)時(shí)，，，．
參考數(shù)據(jù)2：，.
例題3．（2022·湖南郴州·高二安仁縣第一中學(xué)階段練習(xí)）為了不斷提高教育教學(xué)能力，某地區(qū)教育局利用假期在某學(xué)習(xí)平臺(tái)組織全區(qū)教職工進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)．第一學(xué)習(xí)階段結(jié)束后，為了解學(xué)習(xí)情況，負(fù)責(zé)人從平臺(tái)數(shù)據(jù)庫(kù)中隨機(jī)抽取了300名教職工的學(xué)習(xí)時(shí)間（滿時(shí)長(zhǎng)15小時(shí)），將其分成六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．
(1)求的值；
(2)以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)教職工學(xué)習(xí)時(shí)間近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)，經(jīng)計(jì)算知．若該地區(qū)有5000名教職工，試估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)；
(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的教職工中隨機(jī)抽取5人，并從中隨機(jī)抽取3人作進(jìn)一步分析，分別求這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在與內(nèi)的教職工平均人數(shù)．（四舍五入取整數(shù)）
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．
例題4．（2022春·河北保定·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某食品廠生產(chǎn)一種零食，該種零食每袋的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布.
(1)當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢20袋該種零食時(shí)，測(cè)得1袋零食的質(zhì)量為73，他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)，判斷該質(zhì)檢員的決定是否有道理，并說(shuō)明判斷的依據(jù).
(2)規(guī)定：這種零食的質(zhì)量在62.8~69.4的為合格品.
①求這種零食的合格率；（結(jié)果精確到0.001）
②從該種零食中任意挑選袋，合格品的袋數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望大于58，求的最小值.
參考數(shù)據(jù)：若，則，，.
同類題型演練
1．（2022秋·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）某市對(duì)新形勢(shì)下的中考改革工作進(jìn)行了全面的部署安排. 中考錄取科目設(shè)置分為固定賦分科目和非固定賦分科目，固定賦分科目（語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、體育與健康）按卷面分計(jì)算；非固定賦分科目（化學(xué)、生物、道德與法治、歷史、地理）按學(xué)生在該學(xué)科中的排名進(jìn)行等級(jí)賦分，即根據(jù)改革方案，將每門等級(jí)考試科目中考生的原始成績(jī)從高到低分為A，，，，，，，共個(gè)等級(jí). 參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為，，，，，，，. 等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到，，，，，，，八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī). 該市學(xué)生的中考化學(xué)原始成績(jī)制成頻率分布直方圖如圖所示：
(1)求圖中的值；
(2)估計(jì)該市學(xué)生中考化學(xué)原始成績(jī)不少于多少分才能達(dá)到等級(jí)及以上（含等級(jí)）？
(3)由于中考改革后學(xué)生各科原始成績(jī)不再返回學(xué)校，只告知各校參考學(xué)生的各科平均成績(jī)及方差. 已知某校初三共有名學(xué)生參加中考，為了估計(jì)該校學(xué)生的化學(xué)原始成績(jī)達(dá)到等級(jí)及以上（含等級(jí)）的人數(shù)，將該校學(xué)生的化學(xué)原始成績(jī)看作服從正態(tài)分布，并用這名學(xué)生的化學(xué)平均成績(jī)作為的估計(jì)值，用這名學(xué)生化學(xué)成績(jī)的方差作為的估計(jì)值，計(jì)算人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）．
附：，，.
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）浙江省東魁楊梅是現(xiàn)在世界上最大果形的楊梅，有“乒乓楊梅”、“楊梅之皇”的美譽(yù).東魁楊梅始于浙江黃巖區(qū)江口街道東岙村一棵樹(shù)齡約120多年的野楊梅樹(shù)，經(jīng)過(guò)東岙村和白龍岙村村民不斷改良，形成了今天東魁楊梅的品種.栽培東魁楊梅一舉多得，對(duì)開(kāi)發(fā)山區(qū)資源，綠化荒山，保持水土，增加山區(qū)經(jīng)濟(jì)收入具有積極意義.根據(jù)多年的經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為東魁楊梅果實(shí)的果徑（單位：mm），但因氣候、施肥和技術(shù)的不同，每年的和都有些變化.現(xiàn)某農(nóng)場(chǎng)為了了解今年的果實(shí)情況，從摘下的楊梅果實(shí)中隨機(jī)取出1000顆，并測(cè)量這1000顆果實(shí)的果徑，得到如下頻率分布直方圖.
(1)用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)近似代替，標(biāo)準(zhǔn)差s近似代替，已知.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，把果徑與的差的絕對(duì)值在內(nèi)的果實(shí)稱為“標(biāo)準(zhǔn)果”.現(xiàn)從農(nóng)場(chǎng)中摘取20顆果，請(qǐng)問(wèn)這20顆果恰好有一顆不是“標(biāo)準(zhǔn)果”的概率；（結(jié)果精確到0.01）
(2)隨著直播帶貨的發(fā)展，該農(nóng)場(chǎng)也及時(shí)跟進(jìn).網(wǎng)絡(luò)銷售在大大提升銷量的同時(shí)，也增加了壞果賠付的成本.現(xiàn)該農(nóng)場(chǎng)有一款“”的主打產(chǎn)品，該產(chǎn)品按盒銷售，每盒20顆，售價(jià)80元，客戶在收到貨時(shí)如果有壞果，每一個(gè)壞果該農(nóng)場(chǎng)要賠付4元.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，知若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個(gè)數(shù)滿足，若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個(gè)數(shù)滿足，（為常數(shù)），請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析，選擇哪款包裝盒可以獲得更大利潤(rùn)?
參考數(shù)據(jù)：；；；；；.
3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某車間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10個(gè)零件，測(cè)量其內(nèi)徑的數(shù)據(jù)如下（單位：）：
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
設(shè)這10個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為．
（1）求與．
（2）假設(shè)這批零件的內(nèi)徑（單位：）服從正態(tài)分布．
①?gòu)倪@批零件中隨機(jī)抽取5個(gè)，設(shè)這5個(gè)零件中內(nèi)徑大于的個(gè)數(shù)為，求；
②若該車間又新購(gòu)一臺(tái)新設(shè)備，安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個(gè)零件，測(cè)量其內(nèi)徑分別為76，85，93，99，108（單位：），以原設(shè)備生產(chǎn)性能為標(biāo)準(zhǔn)，試問(wèn)這臺(tái)設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試，說(shuō)明你的理由．
參考數(shù)據(jù)：若，則，，取．
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某工廠引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備M，為對(duì)其進(jìn)行評(píng)估，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：
經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計(jì)值.
（1）為評(píng)估設(shè)備M對(duì)原材料的利用情況，需要研究零件中某材料含量y和原料中的該材料含量x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8對(duì)觀測(cè)值，求y與x的線性回歸方程.
附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，；②參考數(shù)據(jù)：，，，.
（2）為評(píng)判設(shè)備M生產(chǎn)零件的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判(P表示相應(yīng)事件的概率)；
①；②；
③.
評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為甲；僅滿足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙；若僅滿足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部不滿足，則等級(jí)為丁，試判斷設(shè)備M的性能等級(jí).
（3）將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品.從樣本中隨意抽取2件零件，再?gòu)脑O(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計(jì)算其中次品總數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望E(Y).
5．（2022春·四川·高三樹(shù)德中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）年月日，國(guó)家主席習(xí)近平在第七十五屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)一般性辯論上發(fā)表重要講話，指出要加快形成綠色發(fā)展方式和生活方式，建設(shè)生態(tài)文明和美麗地球．中國(guó)將提高國(guó)家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭(zhēng)于年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取年前實(shí)現(xiàn)碳中和．某企業(yè)為了響應(yīng)中央號(hào)召，準(zhǔn)備在企業(yè)周邊區(qū)域內(nèi)通過(guò)植樹(shù)造林實(shí)現(xiàn)減碳，從某育苗基地隨機(jī)采購(gòu)了株銀杏樹(shù)樹(shù)苗進(jìn)行栽種，測(cè)量樹(shù)苗的高度，得到如下頻率分布直方圖，已知不同高度區(qū)間內(nèi)樹(shù)苗的售價(jià)區(qū)間如下表．
（1）現(xiàn)從株樹(shù)苗中，按售價(jià)分層抽樣抽取株，再?gòu)闹腥芜x三株，求售價(jià)之和高于元的概率；
（2）已知該育苗基地銀杏樹(shù)樹(shù)苗高度服從正態(tài)分布，并用該企業(yè)采購(gòu)的株樹(shù)苗作樣本，來(lái)估計(jì)總體期望和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），且．
①若該育苗基地共有株銀杏樹(shù)樹(shù)苗，并將樹(shù)苗的高度從高到低進(jìn)行排列，得到數(shù)列，求的估計(jì)值．
②若從該育苗基地銀杏樹(shù)樹(shù)苗中任選株，記樹(shù)苗高度超過(guò)的株數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望．
參考數(shù)據(jù)：若，，，．
題型6：數(shù)學(xué)建模：正態(tài)分布與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的綜合應(yīng)用
典型例題
例題1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）一研究機(jī)構(gòu)從某市人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右的320個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取50個(gè)社區(qū)，對(duì)這50個(gè)社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸）進(jìn)行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右且垃圾數(shù)量超過(guò)28噸/天的社區(qū)確定為“超標(biāo)”社區(qū)．
(1)通過(guò)頻數(shù)分布表估算出這50個(gè)社區(qū)這一天的垃圾量的平均值；（精確到0.1）
(2)若該市人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右的社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布，其中近似為（1）中的樣本平均值，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算得，請(qǐng)利用正態(tài)分布知識(shí)估計(jì)這320個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)；
(3)通過(guò)研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50個(gè)社區(qū)中這一天共有8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)，研究機(jī)構(gòu)決定對(duì)這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)的垃圾來(lái)源進(jìn)行跟蹤調(diào)查．現(xiàn)計(jì)劃在這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)中任取5個(gè)先進(jìn)行跟蹤調(diào)查，設(shè)為抽到的這一天的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)個(gè)數(shù)，求的分布與數(shù)學(xué)期望．
例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某紡織廠為了生產(chǎn)一種高端布料，準(zhǔn)備從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批優(yōu)質(zhì)棉花，廠方技術(shù)員從農(nóng)場(chǎng)存儲(chǔ)的優(yōu)質(zhì)棉花中隨機(jī)抽取了100處棉花，分別測(cè)量了其纖維長(zhǎng)度（單位：mm）的均值，收集到100個(gè)樣本數(shù)據(jù)，并制成如下頻數(shù)分布表：
(1)求這100個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
(2)將收集到的數(shù)據(jù)繪成直方圖可以認(rèn)為這批棉花的纖維長(zhǎng)度服從分布
其中，
①利用正態(tài)分布，求；
②紡織廠將農(nóng)場(chǎng)送來(lái)的這批優(yōu)質(zhì)棉進(jìn)行二次檢驗(yàn)，從中隨機(jī)抽取20處測(cè)量其纖維均值（i＝1，2…，20），數(shù)據(jù)如下：
若20個(gè)樣本中纖維均值的頻率不低于①中即可判斷該批優(yōu)質(zhì)棉花合格，否則認(rèn)為農(nóng)場(chǎng)運(yùn)送時(shí)摻雜了次品，判斷該批棉花不合格．按照此依據(jù)判斷農(nóng)場(chǎng)送來(lái)的這批棉花是否為合格的優(yōu)質(zhì)棉花，并說(shuō)明理由．
附：若，則，，
例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨著時(shí)代發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步，教師職業(yè)越來(lái)越受青睞，考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一．當(dāng)前，中小學(xué)教師資格考試分筆試和面試兩部分．已知某市2021年共有10000名考生參加了中小學(xué)教師資格考試的筆試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100人的筆試成績(jī)（滿分視為100分）作為樣本，整理得到如下頻數(shù)分布表：
(1)假定筆試成績(jī)不低于90分為優(yōu)秀，若從上述樣本中筆試成績(jī)不低于80分的考生里隨機(jī)抽取2人，求至少有1人筆試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率；
(2)由頻數(shù)分布表可認(rèn)為該市全體考生的筆試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，其中近似為100名樣本考生筆試成績(jī)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），，據(jù)此估計(jì)該市全體考生中筆試成績(jī)不低于82.4的人數(shù)（結(jié)果四舍五入精確到個(gè)位）；
(3)考生甲為提升綜合素養(yǎng)報(bào)名參加了某拓展知識(shí)競(jìng)賽，該競(jìng)賽要回答3道題，前兩題是哲學(xué)知識(shí)，每道題答對(duì)得3分，答錯(cuò)得0分；最后一題是心理學(xué)知識(shí)，答對(duì)得4分，答錯(cuò)得0分．已知考生甲答對(duì)前兩題的概率都是，答對(duì)最后一題的概率為，且每道題答對(duì)與否相互獨(dú)立，求考生甲的總得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．（參考數(shù)據(jù)：；若，則，，．）
同類題型演練
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某防護(hù)服生產(chǎn)企業(yè)為了獎(jiǎng)勵(lì)員工的辛勤勞動(dòng)和提升員工工作效率，決定制定一個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)方案，首先從1000名員工中隨機(jī)抽取50人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均每天完成防護(hù)服的件數(shù)，統(tǒng)計(jì)如下表所示：
(1)請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（每組完成件數(shù)區(qū)間以區(qū)間中點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)）；
(2)經(jīng)過(guò)企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)研討，決定分層次對(duì)優(yōu)秀員工進(jìn)行物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì)，首先預(yù)設(shè)全體員工平均每天完成件數(shù)X服從正態(tài)分布，其中為（1）中的，．其次根據(jù)表中樣本數(shù)據(jù)的頻率近似為總體的頻率，獎(jiǎng)勵(lì)分三個(gè)等級(jí)：、、，分別對(duì)應(yīng)每人價(jià)值50元、100元、200元的物品獎(jiǎng)勵(lì)，若該等級(jí)員工頻率不低于預(yù)設(shè)的概率，則該等級(jí)的每位員工的獎(jiǎng)勵(lì)翻倍，求該企業(yè)需要準(zhǔn)備的獎(jiǎng)品總價(jià)值的期望．
附：若X服從正態(tài)分布，則，，．
2．（2022春·山西·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）我國(guó)脫貧攻堅(jiān)經(jīng)過(guò)8年奮斗，取得了重大勝利.為鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，某項(xiàng)目組對(duì)某種農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量情況進(jìn)行持續(xù)跟蹤，隨機(jī)抽取了10件產(chǎn)品，檢測(cè)結(jié)果均為合格，且質(zhì)量指標(biāo)分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知質(zhì)量指標(biāo)不低于60分的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.
(1)從這10件農(nóng)產(chǎn)品中任意抽取兩件農(nóng)產(chǎn)品，記這兩件農(nóng)產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望
(2)根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這種農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本質(zhì)量指標(biāo)平均數(shù)，近似為方差，生產(chǎn)合同中規(guī)定，所有農(nóng)產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)品的占比不得低于15%.那么這種農(nóng)產(chǎn)品是否滿足生產(chǎn)合同的要求？請(qǐng)說(shuō)明理由.
附：若，則，，.
3．（2022春·云南昆明·高二云南師大附中?？计谥校槠占皞魅静》乐沃R(shí)，增強(qiáng)市民的疾病防范意識(shí)，提高自身保護(hù)能力，某市舉辦傳染病防治知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽．現(xiàn)從該市所有參賽者中隨機(jī)抽取了100名參賽者的競(jìng)賽成績(jī)，并以此為樣本繪制了如表所示的頻率分布表．
(1)求這100名參賽者的競(jìng)賽成績(jī)的樣本均值和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
(2)若該市所有參賽者的成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布，用樣本估計(jì)總體，近似為樣本均值，近似為樣本方差，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問(wèn)題：（參考數(shù)據(jù)：）
①如果按照的比例將參賽者的競(jìng)賽成績(jī)劃分為參與獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、特等獎(jiǎng)四個(gè)等級(jí)，試確定各等級(jí)的分?jǐn)?shù)線（精確到整數(shù)）；
②若該市共有10000名市民參加了競(jìng)賽，試估計(jì)參賽者中獲得特等獎(jiǎng)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．
附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，．
三、高考（模擬）題體驗(yàn)
1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，且，則（ ）
A．0.6B．0.4C．0.2D．0.9
2．（2022·陜西西安·西安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則
B．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都減去同一個(gè)數(shù)后，方差不變
C．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則
D．若方差，則
3．（多選）（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，且，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則____________．
5．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量服從，且，則__________.
6．（2022·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）重慶八中某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布.若，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，至少有2名學(xué)生的成績(jī)高于120的概率是__________.
7．（2022·江蘇蘇州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，，，______.
8．（2022·吉林·吉林省實(shí)驗(yàn)?？寄M預(yù)測(cè)）基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)，也稱強(qiáng)基計(jì)劃，是教育部開(kāi)展的招生改革工作，主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．強(qiáng)基計(jì)劃的校考由試點(diǎn)高校自主命題，?？歼^(guò)程中筆試通過(guò)后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，年有名學(xué)生報(bào)考某試點(diǎn)高校，若報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生的筆試成績(jī)．筆試成績(jī)高于分的學(xué)生進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．
(1)從報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，求這人中至少有一人進(jìn)入面試的概率；
(2)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生進(jìn)入了面試，且他們通過(guò)面試的概率分別為、、、．設(shè)這名學(xué)生中通過(guò)面試的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：若，則，，，．
9．（2022·廣西桂林·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）W企業(yè)D的產(chǎn)品p正常生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)品p尺寸服從正態(tài)分布，從當(dāng)前生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取200件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，產(chǎn)品尺寸匯總?cè)缦卤恚?br>根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和生產(chǎn)線的實(shí)際情況，產(chǎn)品尺寸在以外視為小概率事件．一旦小概率事件發(fā)生視為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，產(chǎn)品尺寸在以內(nèi)為正品，以外為次品．， ，．
(1)判斷生產(chǎn)線是否正常工作，并說(shuō)明理由；
(2)用頻率表示概率，若再隨機(jī)從生產(chǎn)線上取3件產(chǎn)品復(fù)檢，正品檢測(cè)費(fèi)10元/件，次品檢測(cè)費(fèi)15元/件，記這3件產(chǎn)品檢測(cè)費(fèi)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望及方差．
10．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）經(jīng)過(guò)全國(guó)上下的共同努力，我國(guó)的新冠疫情得到很好的控制，但世界一些國(guó)家的疫情并沒(méi)有得到有效控制，疫情防控形勢(shì)仍然比較嚴(yán)峻，為扎緊疫情防控的籬笆，提高疫情防控意識(shí)，某市宣傳部門開(kāi)展了線上新冠肺炎世界防控現(xiàn)狀及防控知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從全市的參與者中隨機(jī)抽取了1000名幸運(yùn)者的成績(jī)進(jìn)行分析，他們的得分（滿分100分）情況如下表：
(1)若此次知識(shí)競(jìng)賽得分X整體服從正態(tài)分布，用樣本來(lái)估計(jì)總體，設(shè)，分別為抽取的1000名幸運(yùn)者得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值代替），求，的值；（結(jié)果保留整數(shù)）
(2)在（1）的條件下，為感謝市民的積極參與，對(duì)參與者制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分不超過(guò)79分的可獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分超過(guò)79分的可獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).假定每次抽獎(jiǎng)，抽到10元紅包的概率為，抽到20元紅包的概率為.已知胡老師是這次活動(dòng)中的參與者，估算胡老師在此次活動(dòng)中所獲得紅包的數(shù)學(xué)期望.（結(jié)果保留整數(shù)）
參考數(shù)據(jù)：；；，.
10.02
9.78
10.04
9.92
10.14
10.04
9.22
10.13
9.91
9.95
10.09
9.96
9.88
10.01
9.98
9.95
10.05
10.05
9.96
10.12
周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間（分鐘）
人數(shù)
直徑/
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合計(jì)
件數(shù)
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
樹(shù)苗高度（）
樹(shù)苗售價(jià)（元/株）
垃圾量（噸）
頻數(shù)
5
6
9
12
8
6
4
長(zhǎng)度（單位：mm）
[23，25）
[25，27）
[27，29）
[29，31）
[31，33）
[33，35）
[35，37）
[37，39]
頻數(shù)
4
9
16
24
18
14
10
5
24.1
31.8
32.7
28.2
28.4
34.3
29.1
34.8
37.2
30.8
30.6
25.2
32.9
27.1
35.9
28.9
33.9
29.5
35.0
29.9
筆試成績(jī)
人數(shù)
5
15
35
30
10
5
平均每天完成件數(shù)X
人數(shù)
6
14
22
5
3
競(jìng)賽成績(jī)
人數(shù)
6
10
18
33
16
11
6
產(chǎn)品尺寸/mm
[76，78.5]
(78.5，79]
(79，79.5]
(79.5，80.5]
件數(shù)
4
27
27
80
產(chǎn)品尺寸/mm
(80.5，81]
(81，81.5]
(81.5，83]
件數(shù)
36
20
6
得分
頻數(shù)
25
150
200
250
225
100
50

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7.5 正態(tài)分布

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年級(jí)： 選擇性必修 第三冊(cè)

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