7.5 正態(tài)分布                  本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第七章《隨機(jī)變量及其分布列》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)正態(tài)分布        本節(jié)課是前面學(xué)習(xí)了離散型隨機(jī)變量，離散型隨機(jī)變量的取值是可列的。而連續(xù)型隨機(jī)變量，連續(xù)型隨機(jī)變量是在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可取任何值。其重要的代表——正態(tài)分布。《正態(tài)分布》該節(jié)內(nèi)容通過(guò)研究頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線，引出擬合的函數(shù)式，進(jìn)而得到正態(tài)分布的概念，然后，分析正態(tài)曲線的特點(diǎn)和性質(zhì)，最后研究了它的應(yīng)用——隨機(jī)變量落在某個(gè)區(qū)間的概率。正態(tài)分布是描述隨機(jī)現(xiàn)象的一種最常見(jiàn)的分布，在現(xiàn)實(shí)生活中有非常廣泛的應(yīng)用。 課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 通過(guò)誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量；2.通過(guò)具體實(shí)例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特點(diǎn)；3.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義；4.了解3σ原則,會(huì)求隨機(jī)變量在特殊區(qū)間內(nèi)的概率.1.數(shù)學(xué)抽象：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)2.邏輯推理：正態(tài)分布的概念 3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求隨機(jī)變量在特殊區(qū)間內(nèi)的概率4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想重點(diǎn)：認(rèn)識(shí)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.了解3σ原則.難點(diǎn)：.會(huì)求隨機(jī)變量在特殊區(qū)間內(nèi)的概率.多媒體  教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、    探究新知現(xiàn)實(shí)中，除了前面已經(jīng)研究過(guò)的離散型隨機(jī)變量外，還有大量問(wèn)題中的隨機(jī)變量，不是離散的，它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸，但取一點(diǎn)的概率為0，我們稱(chēng)這類(lèi)隨機(jī)變量為連續(xù)性隨機(jī)變量，下面我們看一個(gè)具體問(wèn)題.探究1:自動(dòng)流水線包裝的食鹽,每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.  由于各種不可控的因素,任意抽取一袋食鹽,它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多 或少會(huì)存在一定的誤差(實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量).  用X表示這種誤差,則X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量. 檢測(cè)人員在一次產(chǎn)品檢驗(yàn)中, 隨機(jī)抽取了100袋食鹽,獲得誤差X (單位:g)的觀測(cè)值如下: -0.6-1.4-0.7 3.3-2.9-5.21.4 0.1  4.4  0.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5-3.7 2.7 1.1-3.0-2.6-1.9 1.7 2.6 0.4 2.6-2.0-0.2 1.8-0.7-1.3-0.5-1.3 0.2-2.1 2.4 -1.5-0.4 3.8-0.11.5 0.3-1.8 0.0 2.5 3.5-4.2-1.0-0.2 0.10.9 1.12.2 0.9-0.6-4.4-1.1 3.9-1.0-0.61.7 0.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.8 1.7 1.4 4.4 1.2-1.8-3.1-2.1-1.6 2.2 0.34.8-0.8-3.5-2.7 3.8 1.4-3.5-0.9-2.2 -0.7-1.3 1.5-1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7-0.9 (1).如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)的分布?(2).如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍?huà)誤差X的分布?        可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布,如右圖.所示.頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率,所有小矩形的面積之和為1.       觀察圖形，誤差觀測(cè)值有正有負(fù),并大致對(duì)稱(chēng)地分布在X=0的兩側(cè),而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.        隨著樣本數(shù)據(jù)量越來(lái)越大,讓分組越來(lái)越多,組距越來(lái)越小,由頻率的穩(wěn)定性可知,規(guī)率分布直方圖的輪廓就越來(lái)越穩(wěn)定,接近一條光滑的鐘形曲線,如右圖所示。        根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可用以用上圖中的鐘型曲線來(lái)描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布.任意抽取一袋鹽，誤差落在[-2,-1]內(nèi)的概率，可以用圖中黃色陰影部分的面積表示. 問(wèn)題1：由函數(shù)知識(shí)可知，圖中的鐘形曲線是一個(gè)函數(shù)，那么，這個(gè)函數(shù)是否存在解析式呢？        對(duì)任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱(chēng)f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱(chēng)它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線,如上圖所示.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布(normal dis-tribution),記為X~N(u,σ2).特別地,當(dāng)u=0, σ=1時(shí),稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 正態(tài)分布的定義正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位,它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)踐之中.在現(xiàn)實(shí)生活中,很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布    例如,某些物理量的測(cè)量誤差某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等一定條件下生長(zhǎng)的小麥的株高、穗長(zhǎng)、單位面積產(chǎn)量自動(dòng)流水線生產(chǎn)的各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容)某地每年7月的平均氣溫、平均濕度、降水量等探究2：觀察正態(tài)曲線及相應(yīng)的密度函數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點(diǎn)？ 其中μ∈R，＞0為參數(shù).由X的密度函數(shù)及圖像可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線有以下特點(diǎn)：（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng).（3）曲線在x=μ處達(dá)到峰值 (最高點(diǎn))（4）當(dāng)|X|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸.（5）X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1 . 探究3：觀察正態(tài)曲線、相應(yīng)的密度函數(shù)及概率的性質(zhì)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點(diǎn)？（1） 當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移； (2)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定 .σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中. 正態(tài)分布的期望和方差參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機(jī)變量的分布相對(duì)于均值μ的離散程度。概念辨析1、把一個(gè)正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到新的一條曲線b。下列說(shuō)法中不正確的是（      ）A.曲線b仍然是正態(tài)曲線；B.曲線a和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等;C.以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體的期望大2;D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2。答案：D二、典例解析例1：李明上學(xué)有時(shí)坐公交車(chē),有時(shí)騎自行車(chē).他各記錄了50次坐公交車(chē)和騎自行車(chē)所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到,坐公交車(chē)平均用時(shí)30 min，樣本方差為36;騎自行車(chē)平均用時(shí)34 min,樣本方差為4；假設(shè)坐公交車(chē)用時(shí)X和騎自行車(chē)用時(shí)Y都服從正態(tài)分布.(1)估計(jì)X,Y的分布中的參數(shù);(2）根據(jù)(1)中的估計(jì)結(jié)果,利用信息技術(shù)工具畫(huà)出X和Y的分布密度曲線;(3）如果某天有38 min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具?如果某天只有34 min可用,又應(yīng)該選擇哪種交通工具?請(qǐng)說(shuō)明理由.分析:對(duì)于第(1)問(wèn),正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ 完全確定,根據(jù)正態(tài)分布參數(shù)的意義可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)估計(jì).對(duì)于第(3)問(wèn),這是一個(gè)概率決策問(wèn)題,首先要明確決策的準(zhǔn)則,在給定的時(shí)間內(nèi)選擇不遲到概率大的交通工具;然后結(jié)合圖形,相據(jù)概率的表示,比較概率的大小,作出判斷解:(1)隨機(jī)變量X的樣本均值為30,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6;隨機(jī)變量Y的樣本均值為34,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.用樣本均值估計(jì)參數(shù)μ.用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)參數(shù)σ,可以得到X~N(30,6),Y~N(34,2).(2)X和Y的分布密度曲線如圖所示,(3)應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.由圖可知,Y的密度曲線X的密度曲線P(X≤38)<P(Y ≤ 38),P(X ≤ 34)>P(Y ≤ 34).所以,如果有38min可用,那么騎自行車(chē)不遲到的概率大,應(yīng)選擇騎自行車(chē);如果只有34min可用,那么坐公交車(chē)不遲到的概率大,應(yīng)選擇坐公交車(chē),正態(tài)分布的3σ原則[??3?,?+3?]中的值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱(chēng)為3?原則.①P(μ－  σ ≤ X≤ μ＋σ)0.682 7；②P(μ－2σ ≤ X≤μ＋2σ)0.954 5；③P(μ－3σ ≤ X≤μ＋3σ)0.997 3.       特別地，盡管正態(tài)變量的取值范圍是(?∞,+∞),但在一次試驗(yàn)中,?的取值幾乎總落在區(qū)間[??3?,?+3?]內(nèi),而在此區(qū)間外取值的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布?(?,?2)的隨機(jī)變量?只取例2. 假設(shè)某地區(qū)高二學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，且均值為170（單位：cm，下同），標(biāo)準(zhǔn)差為10.在該地區(qū)任意抽取一名高二學(xué)生，求這名學(xué)生的身高：（1）不高于170的概率；（2）在區(qū)間[160，180]內(nèi)的概率；（3）不高于180的概率.解：設(shè)該學(xué)生的身高為X，由題意可知X~N(170 ，102 ).（1）P(X≤170 )=50％,（2）因?yàn)榫禐?/span>170，標(biāo)準(zhǔn)差為10，而160=170-10,180=170+10，所以P(160≤X≤ 180 ) =P(|X –170|≤10) ≈68.3％，(3）由（2）以及正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性可知P(170≤X≤ 180 )= P(160≤X≤ 180 ) ≈ 68.3％=34.15％，由概率加法公式可知P(X≤ 180 )= P(X≤ 170 )+ P(170≤X≤ 180 ) ≈ 50％+34.15％=84.15％.    服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性和曲線與x軸之間面積為1.(2)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);(3)熟記P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.③若b<μ,則P(X<b)=.跟蹤訓(xùn)練1．某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來(lái)的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布（單位：）.該生產(chǎn)線上的檢測(cè)員某天隨機(jī)抽取了兩包食鹽，稱(chēng)得其質(zhì)量均大于大于.（1）求正常情況下，任意抽取一包食鹽，質(zhì)量大于的概率約為多少;（2）檢測(cè)員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測(cè)員的判斷是否合理？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：設(shè)正常情況下，該生產(chǎn)線上包裝出來(lái)的白糖質(zhì)量為，由題意可知．(1)由于，所以根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性與“原則”可知.(2)檢測(cè)員的判斷是合理的. 因?yàn)槿绻a(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話，由（1）可知，隨機(jī)抽取兩包檢查，質(zhì)量都小于的概率約為，幾乎為零，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認(rèn)為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，檢測(cè)員的判斷是合理的.     通過(guò)具體的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動(dòng)，說(shuō)出自己見(jiàn)解。從而引入正態(tài)分布的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                                                   通過(guò)問(wèn)題分析，讓學(xué)生掌握正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。                                                                                                通過(guò)典例解析，在具體的問(wèn)題情境中，深化對(duì)正態(tài)分布的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。         三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是(　　)  A.f(x)=,μ,σ(σ>0)都是實(shí)數(shù)B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=解析:對(duì)照正態(tài)分布密度函數(shù):f(x)=(x∈R),注意指數(shù)中的σ和系數(shù)的分母中的σ要一致,以及指數(shù)部分是一個(gè)負(fù)數(shù).答案:B 2.在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2).若ξ在(-∞,-1)內(nèi)取值的概率為0.1,則ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為(　　)A.0.8 B.0.4 C.0.2        D.0.1解析:∵ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2),∴曲線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=0.∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1.∴ξ在區(qū)間(0,1)內(nèi)取值的概率為0.5-0.1=0.4,故選B.答案:B3.某縣農(nóng)民月均收入服從N(500,202)的正態(tài)分布,則此縣農(nóng)民月均收入在500元到520元間人數(shù)的百分比約為　　　　　. 解析:因?yàn)樵率杖敕恼龖B(tài)分布N(500,202),所以μ=500,σ=20,μ-σ=480,μ+σ=520.所以月均收入在[480,520]范圍內(nèi)的概率為0.683.由圖像的對(duì)稱(chēng)性可知,此縣農(nóng)民月均收入在500到520元間人數(shù)的百分比約為34.15%.答案:34.15%4.某種零件的尺寸ξ(單位:cm)服從正態(tài)分布N(3,12),則不屬于區(qū)間[1,5]這個(gè)尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)的　　　　　. 解析:零件尺寸屬于區(qū)間[μ-2σ,μ+2σ],即零件尺寸在[1,5]內(nèi)取值的概率約為95.4%,故零件尺寸不屬于區(qū)間[1,5]內(nèi)的概率為1-95.4%=4.6%.答案:4.6%5. 設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X~N(110,202),且知試卷滿分150分,這個(gè)班的學(xué)生共54人,求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(即90分及90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù).解:μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ),∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈2P(X-μ<-σ)+0.683=1,∴P(X-μ<-σ)=0.158 5.∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.158 5=0.841 5.∴54×0.841 5≈45(人),即及格人數(shù)約為45人.∵P(X>130)=P(X-110>20)=P(X-μ>σ),∴P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈0.683+2P(X-μ>σ)=1,∴P(X-μ>σ)=0.158 5,即P(X>130)=0.158 5.∴54×0.158 5≈9(人),即130分以上的人數(shù)約為9人.  通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。    四、小結(jié)五、課時(shí)練 通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。 課后通過(guò)對(duì)教學(xué)過(guò)程的反思與研究, 才能不斷完善教學(xué)設(shè)計(jì)中的不足, 才能提升教材分析的能力和課堂教學(xué)實(shí)效.1. 多元展示, 多方評(píng)價(jià). 在教學(xué)過(guò)程中我借問(wèn)題牽引，保證了課堂教學(xué)的順利實(shí)施；而在整個(gè)過(guò)程中，我對(duì)學(xué)生所作練習(xí)、疑問(wèn)及時(shí)解析評(píng)價(jià)；學(xué)生之間、小組之間的互相評(píng)價(jià)補(bǔ)充，使學(xué)生共享成果分享喜悅，堅(jiān)定了學(xué)好數(shù)學(xué)的信念，實(shí)現(xiàn)了預(yù)期目標(biāo).2. 創(chuàng)造性的使用教材. 有別于教材，我在教學(xué)中,讓學(xué)生考察了分別考察了兩類(lèi)題型之后再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納, 這樣更貼近學(xué)生的認(rèn)知水平， 學(xué)生課后反饋，效果較為理想.  

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊(cè)7.1 條件概率與全概率公式優(yōu)秀課件ppt

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊(cè)電子課本

7.5 正態(tài)分布

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第三冊(cè)

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