知識點總結(jié)
導(dǎo)數(shù)與不等式
構(gòu)造法證明不等式是指在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時，根據(jù)所要證明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證明．常見的構(gòu)造方法有：
(1)直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，二是利用常見的放縮結(jié)論，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)， eq \f(x,x＋1)≤ln (x＋1)≤x(x＞－1)；
(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；
(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號，導(dǎo)函數(shù)零點也不易求得，因此函數(shù)單調(diào)性與極值點都不易獲得，則可構(gòu)造函數(shù)f(x)和g(x)，利用其最值求解．
零點與隱零點問題
1．已知函數(shù)有零點求參數(shù)范圍常用的方法
(1)分離參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從f(x)中分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的極值和最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分類討論法：一般命題情境為沒有固定區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．
2．隱零點問題的解題技巧(能夠判斷其存在但無法直接表示的，稱之為“隱零點”)
對于隱零點問題，常用代數(shù)變形、整體代換、構(gòu)造函數(shù)、不等式應(yīng)用等技巧．
典型例題分析
考向一 移項作差構(gòu)造函數(shù)證明不等式
例1 (2021·南昌調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝1－ eq \f(ln x,x)，g(x)＝ eq \f(ae,ex)＋ eq \f(1,x)－bx，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)的一個公共點是A(1，1)，且在點A處的切線互相垂直．
(1)求a，b的值；
(2)證明：當(dāng)x≥1時，f(x)＋g(x)≥ eq \f(2,x).
若f(x)與g(x)的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，然后根據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)性或最值證明不等式．
考向二 單變量不等式恒成立或存在性問題
例2 已知函數(shù)f(x)＝ eq \f(1＋ln x,x).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，a＋\f(1,2)))上存在極值，求正實數(shù)a的取值范圍；
(2)如果當(dāng)x≥1時，不等式f(x)≥ eq \f(k,x＋1)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
(1)“恒成立”“存在性”問題一定要正確理解其實質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)含條件，進行等價轉(zhuǎn)化．
(2)構(gòu)造函數(shù)是求范圍問題中的一種常用方法，解題過程中盡量采用分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．
考向三 構(gòu)造雙函數(shù)
例3 已知兩函數(shù)f(x)＝8x2＋16x－m(m∈R)，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，若?x1∈[－3，3]，?x2∈[－3，3]，恒有f(x1)>g(x2)成立，求m的取值范圍．
常見的雙變量不等式恒成立問題的類型
(1)對于任意的x1∈[a，b]，總存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)?f(x1)max≤g(x2)max.
(2)對于任意的x1∈[a，b]，總存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)min≥g(x2)min.
(3)若存在x1∈[a，b]，對任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)?f(x1)min≤g(x2)min.
(4)若存在x1∈[a，b]，對任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)max≥g(x2)max.
(5)對于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)?f(x1)max≤g(x2)min.
(6)對于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)?f(x1)min≥g(x2)max.
考向四 判斷函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)
例4 已知函數(shù)f(x)＝ex－x－a(a∈R).
(1)當(dāng)a＝0時，求證：f(x)>x；
(2)討論函數(shù)f(x)在R上的零點個數(shù)，并求出相對應(yīng)的a的取值范圍．
利用導(dǎo)數(shù)確定含參函數(shù)零點或方程根的個數(shù)的常用方法
(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，轉(zhuǎn)化成確定g(x)的零點個數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點的個數(shù)．
(2)利用零點存在定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù)．
考向五 已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)問題
例5 函數(shù)f(x)＝ax＋x ln x在x＝1處取得極值．
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若y＝f(x)－m－1在定義域內(nèi)有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．
利用函數(shù)零點求參數(shù)范圍的方法
(1)分離參數(shù)(a＝g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y＝g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線y＝a與y＝g(x)的圖象的交點個數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解．
(2)利用零點存在定理構(gòu)建不等式求解．
(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解(客觀題常用).
考向六 可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點個數(shù)的問題
例6 已知直線l：y＝x＋1，函數(shù)f(x)＝aex.
(1)當(dāng)a＝1，x＞0時，證明：曲線y＝f(x)－ eq \f(1,2)x2在直線l的上方；
(2)若直線l與曲線y＝f(x)有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．
處理函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)圖象的交點問題的常用方法
(1)數(shù)形結(jié)合，即分別作出兩函數(shù)的圖象，觀察交點情況．
(2)將函數(shù)交點問題轉(zhuǎn)化為方程f(x)＝g(x)根的個數(shù)問題，通過構(gòu)造函數(shù)y＝f(x)－g(x)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，并作出草圖，根據(jù)草圖確定根的情況．
考向七 與函數(shù)零點有關(guān)的證明問題
例7 已知函數(shù)f(x)＝ln eq \f(e,x)＋a2x2－ax.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)若a＝0且x∈(0，1)，求證：f(x)< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)－x2))ex.
處理函數(shù)隱性零點的三個步驟
(1)確定零點的存在范圍(可以由零點存在定理確定，也可以由函數(shù)的圖象特征得到)；
(2)根據(jù)零點的意義進行代數(shù)式的替換，替換過程中，盡可能將復(fù)雜目標(biāo)式變形為常見的整式或分式，盡可能將指、對數(shù)函數(shù)式用有理式替換；
(3)結(jié)合前兩步，確定目標(biāo)式的范圍．
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．若，則 ( )
A．B．
C．D．
2．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則在上的單調(diào)增區(qū)間為
A．B．C．和D．和
3．設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
4．已知在區(qū)間內(nèi)任取兩個不相等的實數(shù)，不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù)，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
7．已知函數(shù)的圖象如圖，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若存在，則稱為二元函數(shù)在點處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記為.已知二元函數(shù)，，則（ ）
A．B．關(guān)于t的函數(shù)
C．的最小值為D．關(guān)于t的函數(shù)有極小值
三、填空題
9．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f ￠（x）= __________．
10．某箱子的容積與底面邊長的關(guān)系為，則當(dāng)箱子的容積最大時，箱子的底面邊長為__________．
11．若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)取值的集合為__________.
12．已知函數(shù)，下列說法正確的是___________.
①的圖像關(guān)于點對稱
②的圖象與有無數(shù)個交點
③的圖象與只有一個交點
④
四、解答題
13．要使函數(shù)y=1+2x+4xa在x∈（﹣∞，﹣1]時，y＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
14．已知函數(shù)（為常數(shù)）
1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
2）不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
15．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求在上的最值；
(2)曲線與軸有且只有一個公共點，求的取值范圍.
16．已知函數(shù).
(1)求的最小值；
(2)若，證明：.
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，，令，則不等式的解集是
A．B．
C．D．[-1，2]
2．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函數(shù)，，若，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函數(shù)與，設(shè)，，若存在，，使得，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
5．設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為，若在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”.已知實數(shù)m為常數(shù)，，若對滿足的任何一個實數(shù)m，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，則的最大值為（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．已知函數(shù)在上恒不大于0，則的最大值為（ ）
A．B．C．0D．1
二、多選題
7．英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀給出了一種近似求方程根的方法—牛頓迭代法.做法如下：如圖，設(shè)是的根，選取作為初始近似值，過點作曲線的切線，與軸的交點的橫坐標(biāo)，稱是的一次近似值，過點作曲線的切線，則該切線與軸的交點的橫坐標(biāo)為，稱是的二次近似值.重復(fù)以上過程，得到的近似值序列，其中，稱是的次近似值，這種求方程近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程的近似解，則（ ）
A．若取初始近似值為1，則該方程解得二次近似值為
B．若取初始近似值為2，則該方程近似解的二次近似值為
C．
D．
8．已知函數(shù)，則（ ）．
A．B．若有兩個不相等的實根，則
C．D．若，均為正數(shù)，則
三、填空題
9．已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，則曲線e在點處的切線斜率為________．
10．當(dāng)時，不等式恒成立，則a的取值范圍是________
11．用長為的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是________．
12．對于函數(shù) ，我們把使 的實數(shù) 叫做函數(shù) 的零點，且有如下零點存在定理：如果函數(shù) 在區(qū)間 上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 ，那么，函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有零點．給出下列命題：
①若函數(shù) 在 上是單調(diào)函數(shù)，則 在 上有且僅有一個零點；
②函數(shù) 有3個零點；
③函數(shù) 和 的圖像的交點有且只有一個；
④設(shè)函數(shù) 對 都滿足 ，且函數(shù) 恰有6個不同的零點，則這6個零點的和為18；
其中所有正確命題的序號為________．(把所有正確命題的序號都填上)
四、解答題
13．設(shè)函數(shù)，其中，是實數(shù)．已知曲線與軸相切于坐標(biāo)原點．
（1）求常數(shù)的值；
（2）當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）求證：．
14．已知函數(shù)有極小值．
（1）求實數(shù)的值；
（2）設(shè)函數(shù)．證明：當(dāng)時，．
15．已知函數(shù)，曲線在處的切線斜率為.
（1）求證：函數(shù)在區(qū)間上沒有零點；
（2）當(dāng)時，求證：.
16．形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時，可以利用對數(shù)法：在函數(shù)解析式兩邊取對數(shù)得，兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得，于是.已知，.
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)若，恒成立，求的取值范圍.
3.3 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值及生活實際中的應(yīng)用
思維導(dǎo)圖
知識點總結(jié)
導(dǎo)數(shù)與不等式
構(gòu)造法證明不等式是指在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時，根據(jù)所要證明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證明．常見的構(gòu)造方法有：
(1)直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，二是利用常見的放縮結(jié)論，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)， eq \f(x,x＋1)≤ln (x＋1)≤x(x＞－1)；
(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；
(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號，導(dǎo)函數(shù)零點也不易求得，因此函數(shù)單調(diào)性與極值點都不易獲得，則可構(gòu)造函數(shù)f(x)和g(x)，利用其最值求解．
零點與隱零點問題
1．已知函數(shù)有零點求參數(shù)范圍常用的方法
(1)分離參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從f(x)中分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的極值和最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分類討論法：一般命題情境為沒有固定區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．
2．隱零點問題的解題技巧(能夠判斷其存在但無法直接表示的，稱之為“隱零點”)
對于隱零點問題，常用代數(shù)變形、整體代換、構(gòu)造函數(shù)、不等式應(yīng)用等技巧．
典型例題分析
考向一 移項作差構(gòu)造函數(shù)證明不等式
例1 (2021·南昌調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝1－ eq \f(ln x,x)，g(x)＝ eq \f(ae,ex)＋ eq \f(1,x)－bx，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)的一個公共點是A(1，1)，且在點A處的切線互相垂直．
(1)求a，b的值；
(2)證明：當(dāng)x≥1時，f(x)＋g(x)≥ eq \f(2,x).
解 (1)因為f(x)＝1－ eq \f(ln x,x)，所以f′(x)＝ eq \f(ln x－1,x2)，f′(1)＝－1.
因為g(x)＝ eq \f(ae,ex)＋ eq \f(1,x)－bx，g′(x)＝－ eq \f(ae,ex)－ eq \f(1,x2)－b.
因為曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)的一個公共點是A(1，1)，且在點A處的切線互相垂直，
所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1，
從而g(1)＝a＋1－b＝1，且g′(1)＝－a－b－1＝1，解得a＝b＝－1.
(2)證明：g(x)＝－ eq \f(e,ex)＋ eq \f(1,x)＋x，則f(x)＋g(x)≥ eq \f(2,x)?1－ eq \f(ln x,x)－ eq \f(e,ex)－ eq \f(1,x)＋x≥0.
令h(x)＝1－ eq \f(ln x,x)－ eq \f(e,ex)－ eq \f(1,x)＋x(x≥1)，
則h(1)＝0，h′(x)＝－ eq \f(1－ln x,x2)＋ eq \f(e,ex)＋ eq \f(1,x2)＋1＝ eq \f(ln x,x2)＋ eq \f(e,ex)＋1.
因為x≥1，所以h′(x)＝ eq \f(ln x,x2)＋ eq \f(e,ex)＋1＞0，h(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以h(x)≥h(1)＝0，即1－ eq \f(ln x,x)－ eq \f(e,ex)－ eq \f(1,x)＋x≥0.
故當(dāng)x≥1時，f(x)＋g(x)≥ eq \f(2,x).
若f(x)與g(x)的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，然后根據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)性或最值證明不等式．
考向二 單變量不等式恒成立或存在性問題
例2 已知函數(shù)f(x)＝ eq \f(1＋ln x,x).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，a＋\f(1,2)))上存在極值，求正實數(shù)a的取值范圍；
(2)如果當(dāng)x≥1時，不等式f(x)≥ eq \f(k,x＋1)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
解 (1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝ eq \f(1－1－ln x,x2)＝－ eq \f(ln x,x2)，令f′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)x∈(0，1)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．所以1為函數(shù)f(x)的極大值點，且是唯一的極值點，
所以0＜a＜1＜a＋ eq \f(1,2)，故 eq \f(1,2)＜a＜1，即正實數(shù)a的取值范圍為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
(2)當(dāng)x≥1時，k≤ eq \f(（x＋1）（1＋ln x）,x)恒成立，令g(x)＝ eq \f(（x＋1）（1＋ln x）,x)(x≥1)，
則g′(x)＝ eq \f(x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋ln x＋1＋\f(1,x)))－（x＋1）（1＋ln x）,x2)
＝ eq \f(x－ln x,x2).令h(x)＝x－ln x(x≥1)，
則h′(x)＝1－ eq \f(1,x)≥0，所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)＞0，g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以g(x)≥g(1)＝2，故k≤2，即實數(shù)k的取值范圍是(－∞，2].
(1)“恒成立”“存在性”問題一定要正確理解其實質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)含條件，進行等價轉(zhuǎn)化．
(2)構(gòu)造函數(shù)是求范圍問題中的一種常用方法，解題過程中盡量采用分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．
考向三 構(gòu)造雙函數(shù)
例3 已知兩函數(shù)f(x)＝8x2＋16x－m(m∈R)，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，若?x1∈[－3，3]，?x2∈[－3，3]，恒有f(x1)>g(x2)成立，求m的取值范圍．
解 若?x1∈[－3，3]，?x2∈[－3，3]，恒有f(x1)>g(x2)成立，
只需在[－3，3]上，f(x)min>g(x)min即可．
f(x)＝8x2＋16x－m＝8(x＋1)2－m－8，
f(x)min＝f(－1)＝－m－8，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，g′(x)＝6x2＋10x＋4＝2(x＋1)(3x＋2)，
當(dāng)x∈[－3，－1)∪ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，3))時，g′(x)>0，故[－3，－1)與 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，3))是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(2,3)))時，g′(x)－21，解得mx；
(2)討論函數(shù)f(x)在R上的零點個數(shù)，并求出相對應(yīng)的a的取值范圍．
解 (1)證明：當(dāng)a＝0時，f(x)＝ex－x，
令g(x)＝f(x)－x＝ex－x－x＝ex－2x，
則g′(x)＝ex－2.
令g′(x)＝0，得x＝ln 2.當(dāng)x0，g(x)單調(diào)遞增．ln 2是g(x)的極小值點，也是最小值點，
即g(x)min＝g(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2ln eq \f(e,2)>0，故當(dāng)a＝0時，f(x)>x成立．
(2)f′(x)＝ex－1，由f′(x)＝0，得x＝0.
所以當(dāng)x0，f(x)單調(diào)遞增．
所以0是函數(shù)f(x)的極小值點，也是最小值點，即f(x)min＝f(0)＝1－a.
當(dāng)1－a>0，即a0，
所以f(x)在(－∞，0)內(nèi)只有一個零點．
由(1)得ex>2x，令x＝a，得ea>2a，
所以f(a)＝ea－a－a＝ea－2a>0，
于是f(x)在(0，＋∞)內(nèi)只有一個零點．
因此，當(dāng)a>1時，f(x)在R上有兩個零點．
綜上，當(dāng)a1時，函數(shù)f(x)在R上有兩個零點．
利用導(dǎo)數(shù)確定含參函數(shù)零點或方程根的個數(shù)的常用方法
(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，轉(zhuǎn)化成確定g(x)的零點個數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點的個數(shù)．
(2)利用零點存在定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù)．
考向五 已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)問題
例5 函數(shù)f(x)＝ax＋x ln x在x＝1處取得極值．
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若y＝f(x)－m－1在定義域內(nèi)有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．
解 (1)函數(shù)f(x)＝ax＋x ln x的定義域為(0，＋∞).
f′(x)＝a＋ln x＋1.因為f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，則f(x)＝－x＋x ln x，f′(x)＝ln x.令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)

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