3.1函數(shù)的概念及其表示一．選擇題（共4小題）1．定義：若函數(shù)在區(qū)間，上的值域?yàn)?/span>，，則稱區(qū)間，是函數(shù)的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間的“復(fù)區(qū)間長度”為，已知函數(shù)，則　　A．，是的一個(gè)“完美區(qū)間” B．，是的一個(gè)“完美區(qū)間” C．的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為 D．的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為2．設(shè)定義在上的函數(shù)的值域?yàn)?/span>，若集合為有限集，且對任意、，存在使得，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為　　A．3 B．5 C．7 D．無窮個(gè)3．設(shè)函數(shù)，，，，為實(shí)數(shù)，則　　A．若的值域?yàn)?/span>，，則 B．若的值域?yàn)?/span>，，則 C．若，則的值域可能為， D．若，則的值域可能為，4．對于函數(shù)，若存在區(qū)間，，當(dāng)，時(shí)的值域?yàn)?/span>，，則稱為倍值函數(shù)．若是倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A． B． C．， D．，二．填空題（共4小題）5．一般地，若的定義域?yàn)?/span>，，值域?yàn)?/span>，，則稱，為的“倍跟隨區(qū)間”；特別地，若的定義域?yàn)?/span>，，值域也為，，則稱，為的“跟隨區(qū)間”．（1）若，為的跟隨區(qū)間，則　　．（2）若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則的取值范圍是　　．6．已知函數(shù)，，對于任意的，，總存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 　　．7．設(shè)，表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，又稱取整函數(shù)．定義，給出下列說法：①，②的值域是，0，，③是奇函數(shù)，④正確的序號(hào)是　　8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，值域?yàn)?/span>，，則的值為　　．三．解答題（共2小題）9．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的定義域；（2）若，若有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性？若存在，求出的取值范圍．10．如圖，某城市設(shè)立以城中心為圓心、公里為半徑的圓形保護(hù)區(qū)，從保護(hù)區(qū)邊緣起，在城中心正東方向上有一條高速公路、西南方向上有一條一級(jí)公路，現(xiàn)要在保護(hù)區(qū)邊緣弧上選擇一點(diǎn)作為出口，建一條連接兩條公路且與圓相切的直道．已知通往一級(jí)公路的道路每公里造價(jià)為萬元，通往高速公路的道路每公里造價(jià)是萬元，其中，，為常數(shù)，設(shè)，總造價(jià)為萬元．（1）把表示成的函數(shù)，并求出定義域；（2）當(dāng)時(shí)，如何確定點(diǎn)的位置才能使得總造價(jià)最低？
                       3.1函數(shù)的概念及其表示參考答案與試題解析一．選擇題（共4小題）1．定義：若函數(shù)在區(qū)間，上的值域?yàn)?/span>，，則稱區(qū)間，是函數(shù)的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間的“復(fù)區(qū)間長度”為，已知函數(shù)，則　　A．，是的一個(gè)“完美區(qū)間” B．，是的一個(gè)“完美區(qū)間” C．的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為 D．的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為【分析】根據(jù)題意，因?yàn)?/span>恒成立，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?/span>，；設(shè)區(qū)間，是函數(shù)的“完美區(qū)間“，則當(dāng)，時(shí)，，，所以；則；根據(jù)定義，即可判斷，；再根據(jù)“完美區(qū)間”和“復(fù)區(qū)間長度”的定義求復(fù)區(qū)間長度，判斷， 即可．【解答】解：因?yàn)?/span>恒成立，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?/span>，；設(shè)區(qū)間，是函數(shù)的“完美區(qū)間“，則當(dāng)，時(shí)，，，所以；則；函數(shù)在區(qū)間，上時(shí)，故值域?yàn)?/span>，；故，不是的一個(gè)“完美區(qū)間”，故不正確；，而函數(shù)的最小值為0，區(qū)間，不可能是的一個(gè)“完美區(qū)間”，故 錯(cuò)誤①當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)，則函數(shù)在，上單調(diào)遞減；所以函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減；因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，上的值域?yàn)?/span>，，所以，所以，則，所以，即，所以，整理得（舍去）；或，整理得，因?yàn)?/span>，所以解得（舍去）或；則，此時(shí)，滿足原方程組，所以，是方程組的唯一解；故此情況下存在，使得區(qū)間，是函數(shù)的“完美區(qū)間”，此區(qū)間，的“復(fù)區(qū)間長度”為；②當(dāng)時(shí)，（1）若，則，，此時(shí)（1），若函數(shù)在區(qū)間，上的值域?yàn)?/span>，，則，（b）；因?yàn)?/span>，所以（b），即，解得（舍去）或；故此情況下存在，，使得區(qū)間，是函數(shù)的“完美區(qū)間”，此區(qū)間，的“復(fù)區(qū)間長度”為；（2）當(dāng)時(shí)，，，；此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，若函數(shù)在區(qū)間，上的值域?yàn)?/span>，，則，所以此時(shí)與是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，解得，，所以，因?yàn)?/span>，所以此情況不滿足題意．綜上所述，函數(shù)的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為；故 正確；錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的概念與性質(zhì)和函數(shù)綜合，考查了分類討論的思想方法，屬于難題．2．設(shè)定義在上的函數(shù)的值域?yàn)?/span>，若集合為有限集，且對任意、，存在使得，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為　　A．3 B．5 C．7 D．無窮個(gè)【分析】討論，是否相等，利用求解．【解答】解：任意、，存在使得，且集合為有限集，從集合中取兩個(gè)不同的數(shù)或同一個(gè)數(shù)取兩次的積等于第三個(gè)數(shù)，這第三個(gè)數(shù)也在集合中．（1）時(shí)：①集合中只有一個(gè)元素，則，，②集合中有多個(gè)元素，則，（2）時(shí)，，，，1，，綜上所述滿足條件的集合有5個(gè)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)值域，分類討論的思想，由抽象到具體，有難度．3．設(shè)函數(shù)，，，，為實(shí)數(shù)，則　　A．若的值域?yàn)?/span>，，則 B．若的值域?yàn)?/span>，，則 C．若，則的值域可能為， D．若，則的值域可能為，【分析】根據(jù)已知條件，分別討論，，三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，確定值域的大致范圍，結(jié)合選項(xiàng)判斷．【解答】解：，①若，則，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)，，時(shí)，由二次函數(shù)的單調(diào)性，可得，；，．又時(shí)，是開口向上的拋物線，有最小值，當(dāng)時(shí)，即可滿足的值域?yàn)?/span>，，因此錯(cuò)誤，正確；②若，則，易知，，不能滿足的值域?yàn)?/span>，，故錯(cuò)誤；③由②知，時(shí)，不能滿足的值域?yàn)?/span>，；若，則是開口向下的拋物線，有最大值，無最小值，令，則存在，使得，，又函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞減，，由對稱關(guān)系，在時(shí)單調(diào)遞增，且（1）；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，，，，因此，的值域只能是，的子集，故時(shí)，的值域不可能為，，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)合函數(shù)值域的求法，考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查二次函數(shù)的性質(zhì)與復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬難題．4．對于函數(shù)，若存在區(qū)間，，當(dāng)，時(shí)的值域?yàn)?/span>，，則稱為倍值函數(shù)．若是倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A． B． C．， D．，【分析】可看出在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，從而可得出，，即得出，是方程的兩個(gè)不同根，從而得出，可設(shè)，通過求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得出的極小值為（1），并判斷出在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，并得出趨向0時(shí)，趨向正無窮，趨向正無窮時(shí)，趨向正無窮，這樣即可得出時(shí)，方程有兩個(gè)不同根，即得出的取值范圍．【解答】解：在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，（a），（b），即，，即，為方程的兩個(gè)不同根，，設(shè)，，時(shí)，；時(shí)，，是的極小值點(diǎn)，的極小值為：（1），又趨向0時(shí)，趨向；趨向時(shí)，趨向，時(shí)，和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，方程有兩個(gè)解，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對倍值函數(shù)的理解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)極值點(diǎn)的方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．二．填空題（共4小題）5．一般地，若的定義域?yàn)?/span>，，值域?yàn)?/span>，，則稱，為的“倍跟隨區(qū)間”；特別地，若的定義域?yàn)?/span>，，值域也為，，則稱，為的“跟隨區(qū)間”．（1）若，為的跟隨區(qū)間，則　2　．（2）若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則的取值范圍是　　．【分析】（1）結(jié)合圖象和跟隨區(qū)間定義可解此問題；（2）根據(jù)跟隨區(qū)間定義與函數(shù)是在，上是減函數(shù)可解此問題．【解答】解：（1），為的跟隨區(qū)間，函數(shù)值域?yàn)?/span>，．二次函數(shù)的對稱軸方程為：，函數(shù)在，上單調(diào)遞增．，解得：，故的值為2；（2）設(shè)跟隨區(qū)間為：，．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>，，．函數(shù)是定義域上的減函數(shù)且定義域、值域都是，，，，，又，，，代入得：，同理：，可令，方程在范圍內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，又函數(shù)的值域，，由二者圖象可知：，．故答案為：，，【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于難題．6．已知函數(shù)，，對于任意的，，總存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 　　．【分析】先求出函數(shù)的值域，設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?/span>，討論的取值，求出的值域，根據(jù)題意，有，由數(shù)集的概念，求出的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，，的值域是，；（2）又當(dāng)，時(shí)，①若，則在，上是增函數(shù)，最小值，最大值（2）；的值域是，，，，，即，解得，此時(shí)無解；②若，則在，上是減函數(shù)，最小值（2），最大值；的值域是，，，，，即，解得，此時(shí)無解；③若，則在，上是先減后增的函數(shù)，最小值是，最大值是，（2），；當(dāng)時(shí)，的值域是，，，，，即，解得，或（不符合條件，舍去）；則取；當(dāng)時(shí)，的值域是，，，，，即；解得，或，不符合條件，舍去；綜上知，實(shí)數(shù)的取值范圍是：，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)恒成立問題、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了運(yùn)算求解的能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，是難題．7．設(shè)，表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，又稱取整函數(shù)．定義，給出下列說法：①，②的值域是，0，，③是奇函數(shù)，④正確的序號(hào)是　①②　【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：在①中，若是整數(shù)，則，此時(shí)不等式成立，若不是整數(shù)，則根據(jù)定義可知，且，此時(shí)不等式，成立，故①正確．在②中，，；，，；；；的可能取值為；，0，1，的值域?yàn)?/span>，0，，故②正確；在③中，，比如，；．不是奇函數(shù)．故③錯(cuò)誤．在④中，錯(cuò)誤，比如，，；；，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查高斯函數(shù)的定義及應(yīng)用，正確理解題意是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，值域?yàn)?/span>，，則的值為　　．【分析】由函數(shù)的值域?yàn)?/span>，可得，此時(shí)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域是，，值域是，及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論，可得答案．【解答】解：，故，即，此時(shí)函數(shù)，若函數(shù)的定義域是，，值域是，，則①當(dāng)時(shí)，（a），（b），即，，兩式相減得：，即，，，而，，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)，；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值即為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，，，若，則（a），，（舍去）；若，則（b），，解得（舍去）或；③當(dāng)時(shí)，（b）且（a），即，，則，必然有一根小于1，矛盾，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)，，綜上所述，，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，難度較大，屬于難題．三．解答題（共2小題）9．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的定義域；（2）若，若有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性？若存在，求出的取值范圍．【分析】（1）把代入函數(shù)解析式，由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求解絕對值的不等式得答案；（2），設(shè)，得，，求得等式右邊關(guān)于的函數(shù)的值域可得的取值范圍；（3）分與兩類變形，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的的范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，由，得，解得或．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，；（2），，設(shè)，有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，整理得，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，又，的取值范圍是；（3）當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，此時(shí)需要滿足，即，函數(shù)在，上遞減；當(dāng)時(shí)，，在，上遞減，，，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減．綜上，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在定義域上連續(xù)，且單調(diào)遞減．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)定義域的求法，考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查函數(shù)單調(diào)性的判定及其應(yīng)用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬難題．10．如圖，某城市設(shè)立以城中心為圓心、公里為半徑的圓形保護(hù)區(qū)，從保護(hù)區(qū)邊緣起，在城中心正東方向上有一條高速公路、西南方向上有一條一級(jí)公路，現(xiàn)要在保護(hù)區(qū)邊緣弧上選擇一點(diǎn)作為出口，建一條連接兩條公路且與圓相切的直道．已知通往一級(jí)公路的道路每公里造價(jià)為萬元，通往高速公路的道路每公里造價(jià)是萬元，其中，，為常數(shù)，設(shè)，總造價(jià)為萬元．（1）把表示成的函數(shù)，并求出定義域；（2）當(dāng)時(shí)，如何確定點(diǎn)的位置才能使得總造價(jià)最低？【分析】（1）由題意可得，，可得，由正切函數(shù)的定義域可得可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>；（2）由（1）可得，可化為，由基本不等式可得，由取等號(hào)的條件可得答案．【解答】解：（1）與圓相切于，，在中，，（2分）同理，可得（4分），，（6分）可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>（8分）（2）由（1）可得，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又，所以，故當(dāng)取，即點(diǎn)在東偏南的方向上，總造價(jià)最低．（16分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題

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3.1 函數(shù)的概念及其表示

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