2．理解做圓周運(yùn)動(dòng)、離心運(yùn)動(dòng)、近心運(yùn)動(dòng)的條件．
1．(多選)(2023·重慶市調(diào)研)如圖1甲為某游樂園颶風(fēng)飛椅游玩項(xiàng)目，如圖乙為颶風(fēng)飛椅結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖．其裝置由傘型轉(zhuǎn)盤A、中間圓柱B、底座C和軟繩懸掛飛椅D(可視為質(zhì)點(diǎn))組成，在距轉(zhuǎn)盤下表面軸心O距離為d的圓周上，用軟繩分布均勻地懸掛16座飛椅(圖乙中只畫兩座)，設(shè)A、B、C總質(zhì)量為M，單個(gè)飛椅與人的質(zhì)量之和均為m，懸掛飛椅D的繩長(zhǎng)均為L(zhǎng)，當(dāng)水平轉(zhuǎn)盤以角速度ω穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)，各軟繩與豎直方向成θ角，重力加速度為g.則下列判斷正確的是( )
圖1
A．轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)角速度為eq \r(\f(gtanθ,d＋Lsinθ))
B．底座C對(duì)水平地面壓力隨轉(zhuǎn)速增加而減小
C．底座C對(duì)水平地面壓力與轉(zhuǎn)速無(wú)關(guān)，恒為Mg＋16mg
D．軟繩與豎直方向夾角θ大小與軟繩長(zhǎng)、轉(zhuǎn)速和乘客質(zhì)量均有關(guān)
2．(多選)(2023·廣西桂林市、賀州市期末聯(lián)考)如圖2所示，照片中的汽車在水平公路上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知圖中雙向四車道的總寬度為15m，內(nèi)車道內(nèi)邊緣間最遠(yuǎn)的距離為150m．假設(shè)汽車受到的最大靜摩擦力等于車重的0.7倍．g取10m/s2，則汽車( )
圖2
A．所受的合力可能為零
B．只受重力和地面支持力的作用
C．所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供
D．最大速度不能超過(guò)3eq \r(70)m/s
3．(2023·四川樂山市第一次調(diào)查研究)如圖3所示，在半徑為R的半球形碗的光滑內(nèi)表面上，一質(zhì)量為m的小球在距碗口高度為h的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g，則小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為( )
圖3
A.eq \r(\f(gh,R2－h(huán)2))B.eq \f(gh,R2－h(huán)2)
C．geq \r(\f(h,?R－h(huán)?2))D.eq \r(\f(g,h))
4．(多選)(2023·四川綿陽(yáng)市第二次診斷)如圖4所示，金屬塊Q放在帶有光滑小孔的水平桌面上，一根穿過(guò)小孔的細(xì)線，上端與Q相連，下端拴著一個(gè)小球P.小球P在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圓錐擺)，細(xì)線與豎直方向的夾角為30°；現(xiàn)使小球P在原水平面內(nèi)做半徑更大的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且細(xì)線與豎直方向的夾角為60°，金屬塊Q更靠近小孔．且這兩種情況下Q均處于靜止?fàn)顟B(tài)，則后一種情況與原來(lái)相比較( )
圖4
A．小球P的線速度更大
B．小球P運(yùn)動(dòng)的周期更大
C．小球P的向心力大小之比為3∶1
D．金屬塊Q所受摩擦力大小之比為3∶1
5.(多選)如圖5所示，一根原長(zhǎng)為l0的輕彈簧套在光滑直桿AB上，其下端固定在桿的A端，質(zhì)量為m的小球也套在桿上且與彈簧的上端相連．球與桿一起繞過(guò)桿A端的豎直軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且桿與水平面間的夾角始終為30°.已知桿處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)彈簧的壓縮量為eq \f(l0,2)，重力加速度為g.則下列說(shuō)法正確的是( )
圖5
A．彈簧為原長(zhǎng)時(shí)，桿的角速度為eq \r(\f(g,2l0))
B．當(dāng)桿的角速度為eq \r(\f(g,l0))時(shí)，彈簧處于壓縮狀態(tài)
C．在桿的角速度增大的過(guò)程中，小球與彈簧所組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒
D．在桿的角速度由0緩慢增大到eq \f(2,3)eq \r(\f(2g,l0))過(guò)程中，小球的機(jī)械能增加了eq \f(5mgl0,4)
6．如圖6所示，兩個(gè)相同的小木塊A和B(均可看做質(zhì)點(diǎn))，質(zhì)量均為m，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩連接，置于水平圓盤的同一半徑上，A與豎直軸的距離為L(zhǎng)，此時(shí)繩子恰好伸直且無(wú)彈力，木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g.若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，下列說(shuō)法正確的是( )
圖6
A．木塊A、B所受的摩擦力始終相等
B．木塊B所受摩擦力總等于木塊A所受摩擦力的兩倍
C．ω＝eq \r(\f(kg,L))是輕繩開始產(chǎn)生彈力的臨界角速度
D．若ω＝eq \r(\f(2kg,3L))，則木塊A、B將要相對(duì)圓盤發(fā)生滑動(dòng)
7．(2023·湖南長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)期末)如圖7所示，M是水平放置的半徑足夠大的圓盤，繞過(guò)其圓心的豎直軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，規(guī)定經(jīng)過(guò)圓心O水平向右為x軸的正方向．在圓心O正上方距盤面高為h處有一個(gè)正在間斷滴水的容器，從t＝0時(shí)刻開始該容器從O點(diǎn)正上方隨傳送帶沿與x軸平行的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為v.已知容器在t＝0時(shí)刻滴下第一滴水，以后每當(dāng)前一滴水剛好落到盤面上時(shí)再滴一滴水．不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，求：
圖7
(1)每一滴水經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間落到盤面上；
(2)要使每一滴水在盤面上的落點(diǎn)都位于同一直線上，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω應(yīng)為多大；
(3)第二滴水與第三滴水在盤面上落點(diǎn)間的最大距離x.
答案精析
1．AC [對(duì)單個(gè)的飛椅：mgtanθ＝mω2(d＋Lsinθ)，解得ω＝eq \r(\f(gtanθ,d＋Lsinθ))，選項(xiàng)A正確；對(duì)飛椅，豎直方向Tcsθ＝mg，對(duì)整體豎直方向：N＝Mg＋16Tcsθ＝Mg＋16mg，則底座C對(duì)水平地面壓力大小不變，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，C正確；由mgtanθ＝mω2(d＋Lsinθ)可知，gtanθ＝ω2(d＋Lsinθ)，則軟繩與豎直方向夾角θ大小與軟繩長(zhǎng)L、角速度ω(轉(zhuǎn)速n)有關(guān)，與乘客質(zhì)量無(wú)關(guān)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．]
2．CD [汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則所受的合力不可能為零，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，豎直方向受重力和地面支持力的作用，水平方向受摩擦力作用，提供汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；車在水平公路上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則汽車所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供，只由摩擦力提供，選項(xiàng)C正確；汽車轉(zhuǎn)彎的最大半徑為r＝eq \f(150,2)m＋15m＝90m，由牛頓第二定律可得μmg＝meq \f(v2,r)，解得v＝eq \r(μgr)＝eq \r(0.7×10×90)m/s＝
3eq \r(70)m/s，即汽車的最大速度不能超過(guò)3eq \r(70)m/s，選項(xiàng)D正確．]
3．D [根據(jù)受力分析和向心力公式可得：mgtanθ＝mrω2，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為：r＝Rsinθ；
解得：ω＝eq \r(\f(g,Rcsθ))＝eq \r(\f(g,h))，故選D.]
4．AC [設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，細(xì)線的拉力大小為T線，細(xì)線的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，孔到圓心的高度為h，P球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由重力和細(xì)線的拉力的合力提供向心力，則有：
F向＝meq \f(v2,htanθ)＝mgtanθ
解得：v＝eq \r(gh)tanθ，由題意后一種情況θ更大，則小球P的線速度更大，故A正確；周期T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πhtanθ,\r(gh)tanθ)＝2πeq \r(\f(h,g))，所以小球P的周期不變，故B錯(cuò)誤；小球的向心力為：F向＝mg
tanθ，所以向心力之比為：eq \f(tan60°,tan30°)＝3，故C正確；細(xì)線拉力T線＝eq \f(mg,csθ)，對(duì)金屬塊Q，由平衡條件可知，Q受到桌面的靜摩擦力的大小等于細(xì)線的拉力大小，所以金屬塊Q所受摩擦力大小之比為eq \f(cs30°,cs60°)＝eq \r(3)，故D錯(cuò)誤．]
5．CD [彈簧為原長(zhǎng)時(shí)，小球受重力和桿的彈力，合力提供向心力，有mgtan30°＝mω2l0
cs30°，桿的角速度ω＝eq \r(\f(2g,3l0))，故A錯(cuò)誤；當(dāng)桿的角速度為eq \r(\f(g,l0))＞eq \r(\f(2g,3l0))時(shí)，彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，故B錯(cuò)誤；在桿的角速度增大的過(guò)程中，小球的動(dòng)能增大，重力勢(shì)能增大，彈簧的彈性勢(shì)能可能也增大，小球與彈簧所組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，故C正確；設(shè)桿的角速度等于eq \f(2,3)eq \r(\f(2g,l0))時(shí)小球的速度為v，彈簧伸長(zhǎng)量為l，桿的支持力為N，則Ncs30°＝klsin30°＋mg，Nsin30°＋klcs30°＝mω2(l0＋l)cs30°，mgsin30°＝keq \f(l0,2)，聯(lián)立解得l＝eq \f(l0,2)，初、末狀態(tài)的彈性勢(shì)能相等，則小球增加的機(jī)械能為ΔE＝ΔEk＋ΔEp，v＝ω×eq \f(3,2)l0cs30°＝eq \f(\r(3),2)eq \r(2gl0)，ΔEk＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(3,4)mgl0，ΔEp＝mg×l0sin30°＝eq \f(1,2)mgl0，故ΔE＝eq \f(5,4)mgl0，故D正確．]
6．D [當(dāng)角速度較小時(shí)，A、B均靠靜摩擦力提供向心力，由于B轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑較大，則B先達(dá)到最大靜摩擦力，角速度繼續(xù)增大，則輕繩出現(xiàn)拉力，當(dāng)A的靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，角速度增大，A、B開始發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，可知B的靜摩擦力方向一直指向圓心，在繩子出現(xiàn)張力前，A、B的角速度相等，半徑之比為1∶2，則靜摩擦力之比為1∶2，當(dāng)輕繩出現(xiàn)張力后，A、B的靜摩擦力之比不是1∶2，故A、B錯(cuò)誤．當(dāng)摩擦力剛好提供B做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力時(shí)，輕繩開始產(chǎn)生拉力，則kmg＝mω2·2L，解得ω＝eq \r(\f(kg,2L))，故C錯(cuò)誤；當(dāng)A的摩擦力達(dá)到最大時(shí)，A、B將要開始滑動(dòng)，對(duì)A有：kmg－T＝mLω′2，對(duì)B有：T＋kmg＝m·2Lω′2，解得ω′＝eq \r(\f(2kg,3L))，故D正確．]
7．(1)eq \r(\f(2h,g)) (2)nπeq \r(\f(g,2h))(n＝1,2,3，…) (3)5veq \r(\f(2h,g))
解析 (1)水滴在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，有h＝eq \f(1,2)gt2，解得t＝eq \r(\f(2h,g)).
(2)分析題意可知，在相鄰兩滴水的下落時(shí)間內(nèi)，圓盤轉(zhuǎn)過(guò)的角度應(yīng)為nπ(n＝1,2,3，…)，所以角速度可由ωt＝nπ得ω＝eq \f(nπ,t)＝nπeq \r(\f(g,2h))(n＝1,2,3，…)．
(3)第二滴水落在圓盤上時(shí)到O點(diǎn)的距離為：
x2＝v·2t＝2veq \r(\f(2h,g))，
第三滴水落在圓盤上時(shí)到O點(diǎn)的距離為：
x3＝v·3t＝3veq \r(\f(2h,g))，
當(dāng)?shù)诙嗡c第三滴水在盤面上的落點(diǎn)位于同一直徑上圓心兩側(cè)時(shí)，兩點(diǎn)間的距離最大，則：
x＝x2＋x3＝5veq \r(\f(2h,g)).

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