?銳角三角函數(shù)
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

評卷人
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一、單選題
1．如圖，在直角中，延長斜邊到點C，使，連接，若tanB=，則的值（????）

A． B． C． D．
2．如圖，小正方形的邊長均為1，、、分別是小正方形的三個頂點，則的值為（???）

A． B． C．1 D．
3．在中，，，，則的值是（????）
A． B． C． D．
4．正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖放置，則sin∠AOB的值為（????）

A． B． C． D．1
5．在中，若tanA=1，cosB=，則下列判斷最確切的是（????）
A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形
C．是直角三角形 D．是一般銳角三角形
6．如果是銳角，則下列成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，某飛機在空中處探測到地平面目標，此時從飛機上看目標的俯角為，飛行高度，則飛機到目標的距離為（????）

A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正確的是(　　)
A．sin B＝ B．cos B＝ C．tan B＝ D．tan B＝
9．如果把∠C為直角的各邊的長都擴大到原來的2倍，那么銳角A的各三角比的值（?????）
A．都擴大到原來的2倍 B．都縮小到原來的一半
C．都沒有變化 D．有些有變化
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，則sinB的值是（　?。?br /> A． B． C． D．
11．若銳角、滿足條件時，下列式子中正確的是（ ）
A． B． C． D．
12．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，對角線AC=4，則菱形ABCD的周長為（　?。?br />
A．12 B．20 C．8 D．16
13．如圖，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，則AC的長為（???）
??
A． B． C． D．2
14．如圖，點，，在正方形網(wǎng)格的格點上，則等于（????）

A． B． C． D．
15．如圖，△ABC與△DEF都是正方形網(wǎng)格中的格點三角形（頂點在格點上），那么△ABC與△DEF的周長比為（　?。?br />
A． B．1：2 C．1：3 D．1：4
16．如圖，在等腰中，．若，，則底邊(　　)

A． B． C． D．
17．如圖，在高樓前D點測得樓頂A的仰角為30°，向高樓前進60 m到達C點，又測得樓頂A的仰角為45°，則該高樓的高度大約為(　　)

A．82 m B．160 m C．52 m D．30 m
18．如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比為1：，壩高BC＝3m，則AC的長度為（?????）

A．6m B．m C．9m D．m

評卷人
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二、填空題
19．如圖，在菱形紙片中，，，將菱形紙片翻折，使點落在的中點處，折痕為，點，分別在邊，上，則的值為 ．

20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，則cosA＝ ．
21．如圖，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上，則∠BAC的余弦值是 ．

22．如圖，在菱形中，，是銳角，于點，是的中點，連接，．若，則的值為 ．

23．比較大?。? ； ．（填“，或”）
24．已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，請你結(jié)合材料，若（為銳角），則的度數(shù)是 ．
25．如圖，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到．請比較大?。? ．

26．如圖，在市區(qū)A道路上建造一座立交橋，要求橋面的高度h為4.8米，引橋的坡角為14°，則引橋的水平距離l為 米（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．

27．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=12，那么AC= ．
28．cos45°-tan60°= ；
29．在中，，則的形狀是 ．
30．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝20，c＝20，則∠B的度數(shù)為 .

31．如圖，在RtABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝10，D是AC的中點，則BD＝ ．

32．如圖，在四邊形中，，，，．則的長的值為 ．

33．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠C＝30°，BC＝2＋，tanB＝，那么AD等于 .

34．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，且cosα＝，則線段CE的最大值為 ．

35．如圖，正方形紙片中，對角線、交于點O，折疊正方形紙片，使落在上，點A恰好與上的點F重合，展開后折痕分別交、于點E、G，連結(jié)．給出下列結(jié)論：①；②四邊形是菱形；③；④；⑤．其中結(jié)論正確的是 ．


評卷人
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三、解答題
36．如圖，將矩形沿對角線對折，點落在處，與相交于點．

（1）求證：是等腰三角形；
（2）若，，求的正弦值．
37．計算：
（1）；
（2）．
38．（1）在△ABC中，∠B＝45°，cosA．求∠C的度數(shù)．
（2）在直角三角形ABC中，已知sinA，求tanA的值．
39．如圖，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°.
(1)求BD和AD的長；
(2)求tanC的值．

40．如圖，在一條筆直的海岸線上有，兩個觀測站，在的正東方向．有一艘小船從處沿北偏西方向出發(fā)，以每小時20海里速度行駛半小時到達處，從處測得小船在它的北偏東的方向上．

（1）求的距離；
（2）小船沿射線的方向繼續(xù)航行一段時間后，到達點處，此時，從測得小船在北偏西的方向．求點與點之間的距離．（上述兩小題的結(jié)果都保留根號）
41． 如圖，AB和CD是同一地面上的兩座相距36米的樓房，在樓AB的樓頂A點測得樓CD的樓頂C的仰角為45°，樓底D的俯角為30°, 求樓CD的高．

42．計算： ．
43．計算：（1） ；???????（2）．
44．（1）已知3tanα﹣2cos30°=0，求銳角α；
（2）已知2sinα﹣3tan30°=0，求銳角α．
45．如圖，菱形中，，F(xiàn)是中點，連接，，垂足是E．

（1）求證：；
（2）若，求四邊形的面積．
46．如圖，在中，，是邊上的中線，過點作，垂足為，交于點，．

（1）求的值：
（2）若，求的長．
47．某數(shù)學興趣小組的同學想要測量一樓房的高度，如圖，樓房后有一假山，假山坡腳C與樓房水平距離為15米，其斜坡坡度為，山坡坡面上點E處有一休息亭，一名同學從坡腳C出沿山坡走了20米達到?jīng)鐾?，在此處測得樓頂A的仰角為．
（1）求點E距水平地面的高度；
（2）求樓房的高．（留根號）

48．如圖①，、是兩座垂直于同一水平地面且高度不同的鐵塔．小明和小麗為了測量兩座鐵塔的高度，從地面上的點處測得鐵塔頂端的仰角為39°，鐵塔頂端的仰角為27°，沿著向前走20米到達點處，測得鐵塔頂端的仰角為53°．已知，點、、構(gòu)成的中，．

（1）圖②是圖①中的一部分，求鐵塔的高度；
（2）小明說，在點處只要再測量一個角，通過計算即可求出鐵塔的高度，那么可以測量的角是_____，若將這個角記為，則鐵塔的高度是______；（用含的式子表示）
（3）小麗說，除了在點處測量角的度數(shù)外，還可以在點處再測量一條線段的長度，通過計算也可求出鐵塔的高度，那么可以測量的線段是______．（請寫出兩個不同的答案，可用文字描述）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，）

參考答案：
1．D
【分析】延長，過點作，垂足為，由，即，設，則，然后可證明，然后相似三角形的對應邊成比例可得：，進而可得，，從而可求．
【詳解】解：如圖，延長，過點作，垂足為，
，即，
設，則，
，，
，
，
，，
，
．
故選：．

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，是基礎知識要熟練掌握，解題的關(guān)鍵是：正確添加輔助線，將放在直角三角形中．
2．B
【分析】連接，先根據(jù)勾股定理求得AB、BC、AC的長，然后再利用勾股定理逆定理證得是直角三角形，最后根據(jù)正弦的定義解答即可
【詳解】解：如圖：連接，
每個小正方形的邊長均為1，
，，，
，
是直角三角形，
．
故答案為．

【點睛】本題主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及正弦的定義，根據(jù)題意證得是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
3．D
【分析】首先根據(jù)勾股定理求得AC的長，然后利用正弦函數(shù)的定義即可求解．
【詳解】∵∠C=90°，BC=1，AB=4，
∴，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化成直角三角形的邊長的比．
4．B
【分析】如圖，連接AD，CD，根據(jù)勾股定理可以得到OD=AD，則OC是等腰三角形底邊上的中線，根據(jù)三線合一定理，可以得到△ODC是直角三角形．根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以求解．
【詳解】解：如圖，連接AD，CD，設正方形網(wǎng)格的邊長是1，則根據(jù)勾股定理可以得到：
OD=AD=，OC=AC=，∠OCD=90°．
則CD=，
∴sin∠AOB=，
故選：B．

【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的概念，注意到圖中的等腰三角形是解決本題的關(guān)鍵．
5．B
【分析】先根據(jù)正切值、余弦值求出、的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，然后根據(jù)等腰直角三角形的定義即可得．
【詳解】、是的內(nèi)角，且，，
，，
，
是等腰直角三角形，
故選：B．
【點睛】本題考查了特殊角的正切值與余弦值、三角形的內(nèi)角和定理、等腰直角三角形的定義，熟記特殊角的正切值與余弦值是解題關(guān)鍵．
6．B
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)是對邊比斜邊，余弦函數(shù)是鄰邊比斜邊，三角形的兩邊之和大于第三邊，可得答案.
【詳解】解：∵a、b是直角邊，c是斜邊，
∴sin+cos=+=，
∵a+b>c，
∴>1，
∴.
故選B.
【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，利用正弦函數(shù)是對邊比斜邊，余弦函數(shù)是鄰邊比斜邊是解題關(guān)鍵.
7．B
【分析】由題意得∠ABC=，然后根據(jù)解直角三角形，即可求出AB的長度．
【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=，，
∵，
∴．
故選：B．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用——仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是掌握正弦的定義進行解題．
8．C
【詳解】∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴AB= ，
∴sinB= ，cosB=，tanB=，
故選C.
9．C
【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切的定義即可得．
【詳解】在中，，
，
，
則當各邊的長都擴大到原來的2倍，銳角A的各三角比的值都沒有變化，
故選：C．

【點睛】本題考查了正弦、余弦、正切的定義，熟記定義是解題關(guān)鍵．
10．D
【分析】直接利用勾股定理得出AB的長，再利用銳角三角函數(shù)得出答案．
【詳解】解：如圖所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴，
∴．
故選：D．

【點睛】本題考查勾股定理的應用和銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，解題的關(guān)鍵是理解三角函數(shù)的定義．
11．D
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性進行判斷即可.
【詳解】∵，
∴，，，.
故只有D選項正確.
故選D.
【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的增減性，銳角的余弦值和余切值是隨著角度的增大而減小，銳角的正弦值和正切值隨著角度的增大而增大.
12．D
【分析】連接BD交AC于點O，由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=OC=AC=2，∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°，求出∠BAO=30°，由直角三角形的性質(zhì)得OB=OA=2，AB=2OB=4，即可得出答案．
【詳解】解：連接BD交AC于點O，如圖：

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=OC=AC=2，∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°，
∴∠BAO=30°，
∴OB= OA==2，AB=2OB=4，
∴菱形ABCD的周長=4AB=16；
故選：D．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．B
【分析】過A點作AH⊥BC于H點，先由sin∠B及AB=3算出AH的長，再由tan∠C算出CH的長，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的長．
【詳解】解：過A點作AH⊥BC于H點，如下圖所示：
??
由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：．
故選：B．
【點睛】本題考查了解直角三角形及勾股定理等知識，如果圖形中無直角三角形時，可以通過作垂線構(gòu)造直角三角形進而求解．
14．D
【分析】連接格點CD，根據(jù)勾股定理求出三角形的邊長，再利用勾股定理的逆定理判斷出直角三角形，最后由三角函數(shù)的意義求解即可．
【詳解】解：如圖，連接格點CD，

∵AD2=22+22=8，CD2=12+12=2，AC2=12+32=10，
∴AD2+CD2=AC2，
∴∠ADC=90°，
由勾股定理得，
AC=，CD=，
∴sin∠BAC==，
故選：D．
【點睛】本題考查了三角函數(shù)的意義，勾股定理等知識，根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形和利用勾股定理求邊長是解決問題的關(guān)鍵．
15．A
【分析】設正方形網(wǎng)格的邊長為1，根據(jù)勾股定理求出△EFD、△ABC的邊長，運用三邊對應成比例，則兩個三角形相似這一判定定理證明△BAC∽△EDF，即可解決問題．
【詳解】解：如圖，設正方形網(wǎng)格的邊長為1，

由勾股定理得：
DE2＝22+22，EF2＝22+42，
∴DE＝2，EF＝2；
同理可求：AC＝，BC＝，
∵DF＝2，AB＝2，
∴，
∴△BAC∽△EDF，
∴C△ABC：C△DEF＝1：，
故選A．
【點睛】本題主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性質(zhì)定理的應用問題，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．C
【分析】首先如圖過點A作AD⊥BC交BC于D點，據(jù)此接著利用等腰三角形性質(zhì)可以得出∠BAD=∠BAC=，BC=2BD，然后在Rt△ABD中，根據(jù)求出BD，最后利用BC=2BD求出答案即可.
【詳解】
如圖，過點A作AD⊥BC交BC于D點，則△ABD是直角三角形，
∵△ABC為等腰三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠BAC=，BC=2BD，
在Rt△ABD中，，
∴，
∴，
故選：C.
【點睛】本題主要考查了解直角三角形的綜合運用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.
17．A
【詳解】解：Rt△ABC中，∠ACB=45°，
∴BC=AB，
Rt△ABD中，∠ADB=30°，
∴BD=AB÷tan30°=AB，
∴DC=BD-BC=（-1）AB=60米，
∴AB= ≈82米，即樓的高度約為82.0米，
故選A.
18．D
【分析】根據(jù)坡度的概念求出AC即可．
【詳解】解：∵迎水坡AB的坡比為1：，
∴，
即，
解得，，
故選：D．
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用坡度坡角問題，掌握坡度的概念是解題的關(guān)鍵．
19．
【分析】連接AE交GF于O，連接BE，BD，則△BCD為等邊三角形，設AF=x=EF，則BF=3-x，依據(jù)勾股定理可得Rt△BEF中，BF2+BE2=EF2，解方程（3-x）2+（）2=x2，即可得到EF=，再根據(jù)Rt△EOF中，OF=，即可得出tan∠EFG=．
【詳解】解：如圖，連接AE交GF于O，連接BE，BD，則△BCD為等邊三角形，

∵E是CD的中點，
∴BE⊥CD，
∴∠EBF=∠BEC=90°，
Rt△BCE中，CE=cos60°×3=1.5，BE=sin60°×3=，
∴Rt△ABE中，AE=，
由折疊可得，AE⊥GF，EO=AE=，
設AF=x=EF，則BF=3-x，
∵Rt△BEF中，BF2+BE2=EF2，
∴（3-x）2+（）2=x2，
解得x=，即EF=，
∴Rt△EOF中，OF=，
∴tan∠EFG=．
故答案為：．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形以及折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，對應邊和對應角相等．解題時，常設要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切危\用勾股定理列出方程求出答案．
20．
【分析】根據(jù)勾股定理求出邊BC的長，利用余弦定理cosA=即可解得．
【詳解】Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，所以BC==6,所以cosA===.
【點睛】本題考查勾股定理以及余弦定理．
21．
【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵AB2＝32+42＝25、AC2＝22+42＝20、BC2＝12+22＝5，∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°，則cos∠BAC，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理及其逆定理，熟知在一個三角形中，如果兩條邊長的平方之和等于第三邊長的平方，那么這個三角形是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
22．
【分析】延長DM交CB的延長線于點H．首先證明△ADM≌△BHM，得出AD=HB=4，MD=MH，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EH=ED，設BE=x，利用勾股定理構(gòu)建方程求出x，即BE，結(jié)合AB得出cosB的值.
【詳解】解：延長DM交CB的延長線于點H．如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=4，AD∥CH，
∴∠ADM=∠H，
∵M是AB的中點，
∴AM=BM，
在△ADM和△BHM中，
，
∴△ADM≌△BHM（AAS），
∴AD=HB=4，MD=MH，
∵∠EMD=90°，
∴EM⊥DH，
∴EH=ED，
設BE=x，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB=∠EAD=90°，
∵AE2=AB2-BE2=DE2-AD2，
∴42-x2=（4+x）2-42，
解得：x=，或x=（舍），
∴BE=，
∴cosB=.
故答案為：.

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．
23．
【分析】①把、分別與1進行比較，即可得到答案；
②分別求出、的值，然后進行比較即可．
【詳解】解：∵，，
∴；
∵，，
又∵，
∴；
故答案為：；；
【點睛】本題考查了三角函數(shù)的比較大小，解題的關(guān)鍵是正確的掌握三角函數(shù)的值，然后進行比較．
24．
【分析】設，先根據(jù)公式可得到一個關(guān)于x的分式方程，解方程可求出x的值，再根據(jù)特殊角的正切函數(shù)值即可得出答案．
【詳解】設
由題意得：


解得
經(jīng)檢驗，是分式方程的根
即
為銳角

故答案為：．
【點睛】本題考查了分式方程的解法、特殊角的正切函數(shù)值，熟記特殊角的正切函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
25．＜
【分析】由旋轉(zhuǎn)可得：＜ 如圖，構(gòu)建直角三角形 且再利用銳角三角函數(shù)的定義可得：由＜ 從而可得答案．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可得：＜
如圖，構(gòu)建直角三角形 且

由三角函數(shù)定義可得：
＜
＜
＜
故答案為：＜．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
26．19.2
【分析】根據(jù)題意利用正切列式進行求解即可．
【詳解】解：由題意可得：
tan14°=，
解得：l＝19.2，
故答案為：19.2．
【點睛】本題主要考查解直角三角形，熟練掌握利用三角函數(shù)進行求解問題是解題的關(guān)鍵．
27．5
【分析】先根據(jù)正切的定義得到sinA==，則可得到AB=13，然后根據(jù)勾股定理計算AC的長．
【詳解】在△ABC中，∠C=90°，
∵sinA==，BC=12，
∴AB=13，
∴AC==5．
故答案為5．
【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理.解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點.
28．
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行計算．
【詳解】解：原式．
故答案是：．
【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是記住特殊角的三角函數(shù)值．
29．鈍角三角形
【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到，，從而求出∠A與∠B的度數(shù)，即可判斷△ABC的形狀．
【詳解】∵
∴，
即，
∴，
∴
∴是鈍角三角形
故答案為：鈍角三角形
【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，三角形的分類與特殊角度的三角函數(shù)值，熟記特殊角度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
30．45°
【分析】根據(jù)特殊的三角函數(shù)值,表示出∠B的正弦值即可解題.
【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝20，c＝20，
∴sinB=,
∴∠B=45°.
【點睛】本題考查了三角函數(shù)的特殊值,屬于簡單題,熟悉特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.
31．
【分析】利用銳角三角函數(shù)即可求出BC，然后利用勾股定理即可求出AC，從而求出CD，再利用勾股定理即可求出結(jié)論．
【詳解】解：∵在RtABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴sinA＝＝，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝6，
∴AC＝＝＝8，
∵D是AC的中點，
∴CD＝AC＝4，
∴BD＝＝＝；
故答案為：．
【點睛】此題考查的是解直角三角形，掌握利用銳角三角函數(shù)和勾股定理解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵．
32．
【分析】如圖，延長BC，AD交于E，解直角三角形分別求出AE、DE、CE、BC的長，再運用勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖，延長BC，AD交于E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴BC=BE-CE=，
∴．

故答案為：
【點睛】本題考查了解直角三角形的知識，理解題意、明確思路、正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
33．1
【分析】設AD=x，則BD=2x，CD=x，所以2x+x=2+，從而求出AD的長度．
【詳解】解：設AD=x，
∵tanB== ，
∴BD=2x，
∵∠C=30°，
∴CD=x，
∵BC＝2+，
∴2x+x=2+，
∴x=1．即AD=1，
故答案為1．
【點睛】此題主要考查了解直角三角形，關(guān)鍵是利用三角函數(shù)求出CD=x，進而得出AD的長．
34．6.4
【分析】作AG⊥BC于G，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BG＝CG，再利用余弦的定義計算出BG＝8，則BC＝2BG＝16，設BD＝x，則CD＝16﹣x，證明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣x2+x，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求CE的最大值.
【詳解】解：作AG⊥BC于G，如圖，
∵AB＝AC，
∴BG＝CG，
∵∠ADE＝∠B＝α，
∴cosB＝cosα＝＝，
∴BG＝×10＝8，
∴BC＝2BG＝16，
設BD＝x，則CD＝16﹣x，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
而∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴，即，
∴CE＝﹣x2+x
＝﹣（x﹣8）2+6.4，
當x＝8時，CE最大，最大值為6.4.
故答案為：6.4.

【點睛】此題考查了等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定及性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題，正確掌握各知識并綜合運用解題是關(guān)鍵.
35．①②③④
【分析】①由四邊形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折疊的性質(zhì)，可求得∠ADG的度數(shù)；②由折疊的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，易得△EFG是等腰三角形，即可證得AE=GF；③設AE=x，由等腰直角三角形的性質(zhì)，得到，然后求出x，即可得到答案；④由，然后進行判斷即可；⑤易證得四邊形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得BE=2OG；
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折疊的性質(zhì)可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正確．
∵∠EFD=∠AOF=90°，
∴EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
∵∠AGE=∠FGE，
∴∠FEG=∠FGE，
∴EF=GF，
∵AE=EF，
∴AE=GF，
∵AE=EF=GF，AG=GF，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四邊形AEFG是菱形，故②正確；
設AE=x，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=EF=AE=，
∴x+x=1，
解得，x=，
∴tan∠AED=，故③正確；
∵△AGD與△OGD同高，且，
∴；故④正確；
∴∠OGF=∠OAB=45°，
∴EF=GF=OG，
∴BE=EF=×OG=2OG．
故⑤錯誤．
綜合上述，正確的有①②③④．
故答案為：①②③④．
【點睛】此題考查的是四邊形綜合題，涉及到正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．
36．（1）見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得∠ADB=∠CBD，結(jié)合折疊性質(zhì)得出∠ADB=∠DBF，再根據(jù)等腰三角形的判定即可證得結(jié)論；
（2）設BF=DF=x，則AF=4﹣x，利用勾股定理求解x值，再根據(jù)正弦定義求解即可．
【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
由折疊性質(zhì)得：∠DBF=∠CBD，
∴∠ADB=∠DBF，
∴BF=DF，
∴△BFD是等腰三角形；
（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，AB=CD=2，∠A=90°，
設BF=DF=x，則AF=4﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2= x2
解得：x= ，
∴sin∠AFB= ，
即 的正弦值為．
【點睛】本題考查矩形性質(zhì)、折疊性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、正弦定義、解一元一次方程，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．
37．（1）；（2）．
【分析】（1）根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值代入計算即可；
（2）根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值代入計算即可．
【詳解】解：（1）原式

；
（2）原式

．
【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊銳角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．
38．（1）75°；（2）．
【分析】（1）由條件根據(jù)∠A的余弦值求得∠A的值，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求∠C即可；
（2）根據(jù)角A的正弦設BC=4x，AB=5x，得AC的長，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵在△ABC中，cosA，∴∠A＝60°
∵∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝75°；
（2）∵sinA，∴設BC＝4x，AB＝5x，
∴AC＝3x，
∴tanA．

【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的知識以及三角形的內(nèi)角和定理，屬基礎題．
39．(1) BD＝3，AD＝3；(2) tanC＝.
【詳解】（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°．
在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，
∴BD＝AB·sin30°＝3，
∴．
（2），
在Rt△BDC中，．

40．（1）海里；（2）海里．
【分析】（1）過點作于點,利用余弦定義解出AP、AD的長，再由直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解得PD的長，最后根據(jù)等腰直角三角形兩直角邊相等的性質(zhì)解題即可；
（2）過點作于點，根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，解得BF的長，在中，由勾股定理解得BC的長即可．
【詳解】解：（1）如圖，過點作于點，
在中，，，
∵，
∴

在中，，，
∴．
∴海里
（2）如圖，過點作于點，
在中，，，
∴
在中，．
在中，，，
∴海里．
∴點與點之間的距離為海里．

【點睛】本題考查解直角三角形的應用之方向角的問題，其中涉及含30°角的直角三角形的性質(zhì)、余弦、三角形內(nèi)角和、勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形、掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
41．樓CD的高是（36+12）米
【分析】在題中兩個直角三角形中，知道已知角和其鄰邊，只需根據(jù)正切值求出對邊后相加即可．
【詳解】延長過點A的水平線交CD于點E

則有AE⊥CD，四邊形ABDE是矩形，AE=BD=36
∵∠CAE=45°∴△AEC是等腰直角三角形∴CE=AE=36
在Rt△AED中，tan∠EAD=
∴ED=36×tan30°=12
∴CD=CE+ED=36+12
答：樓CD的高是（36+12）米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，借助俯角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
42．
【分析】代入特殊角的三角函數(shù)值以及根據(jù)零指數(shù)冪、二次根式的性質(zhì)計算即可．
【詳解】


．
【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)冪、二次根式，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
43．（1）1；（2）．
【分析】（1）先計算特殊角的正弦、余弦、余切值，再計算二次根式的乘除法與減法即可得；
（2）先計算特殊角的正弦與余弦值，再計算二次根式的除法與加減法即可得．
【詳解】（1）原式，
，
；
（2）原式，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的加減乘除運算，熟記各運算法則是解題關(guān)鍵．
44．（1）α=30°；（2）α=60°．
【分析】（1）先求出tanα的值，然后求出角的度數(shù)；
（2）先求出sinα的值，然后求出角的度數(shù)．
【詳解】解：（1）解得：tanα=，
則α=30°；
（2）解得：sinα=，
則α=60°．
【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值．
45．（1）見解析；（2）
【分析】（1）由四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的四條邊都相等，對角相等，又由∠D=120°可得∠A=∠C=60°，則△ABD、△CBD是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出BF垂直平分AD，易得∠AFB=∠CEB，所以由角角邊可得△ABF≌△CBE，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，即可得BF=BE；
（2）由（1）得△ABF是直角三角形，∠A=60°，解三角形求出AB，即可求得菱形ABCD和Rt△ABF的面積，菱形面積減去兩個直角三角形的面積即可．
【詳解】（1）證明：連接BD

∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC=120°，
∴AB=CB=CD=AD，∠A=∠C=60°，
∵F是AD中點，BE⊥DC，
∴△ABD、△CBD是等邊三角形，
∵F是AD中點，BE⊥DC，
∴BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CEB =90°，
∵∠A=∠C，AB=CB，
∴△ABF≌△CBE（AAS），
∴BF=BE；
（2）由（1）得△ABF是直角三角形，∠A=60°，
∵BF=，sin60°=，
∴AB=CB=CD=AD=4，AF=AB=2，
∴=，=，
∴四邊形BEDF的面積==．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．
46．（1）；（2）4
【分析】（1）根據(jù)∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，可得出CD=BD，則∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可證明∠B=∠CAM，由AM=2CM，可得出CM：AC=1：，即可得出sinB的值；
（2）根據(jù)sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=，得AC=2，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）∵，是斜邊的中線，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
由（1）知，
∴．
∴．
【點睛】本題主要考查了勾股定理和銳角三角比，熟練掌握根據(jù)銳角三角比解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
47．（1）米；（2）（15+）米
【分析】（1）過點E作EF⊥BC于點F．在Rt△CEF中，求出CF=2EF，然后根據(jù)勾股定理解答；
（2）過點E作EH⊥AB于點H．在Rt△AHE中，∠HAE=45°，結(jié)合（1）中結(jié)論得到CF的值，再根據(jù)AB=AH+BH，求出AB的值．
【詳解】解：（1）過點E作EF⊥BC于點F．
在Rt△CEF中，CE=20，，
∴，
解得：EF=（負值舍去），
∴點E距水平面BC的高度為米；

（2）過點E作EH⊥AB于點H．
則HE=BF，BH=EF．
在Rt△AHE中，∠HAE=90°-45°=45°，
∴AH=HE，
由（1）得CF=2EF=，
又∵BC=15，
∴HE=BC+CF=15+，
∴AB=AH+BH=15++=15+，
∴樓房AB的高為（15+）米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用--仰角俯角問題、坡度坡角問題，要求學生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．
48．（1）鐵塔的高度為米；（2）；；（3）的長度或點到直線的距離或線段，其中點為的平行線與的交點．（寫出兩個即可）
【分析】（1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和銳角三角函數(shù)可以計算出AB的長．
（2）測得∠BED=a，解直角三角形ABE求得BE，進而解直角三角形BED求得DE，最后在Rt△CED中，由正切可求CD；
（3）測得FD長度或F到DE的距離即可通過計算求得CD．①測得FD=m，在Rt△BDF中，利用勾股定理求得BD，在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，利用CD=DE?tan27°求得結(jié)果，
②測得F到DE的距離為n，通過三角形相似求得BD，然后在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，根據(jù)CD=DE?tan27°求得CD，
【詳解】解：（1）在中，，
∴，即，
在中，，
∴，即，
∵，
∴，
∴米，
答：鐵塔的高度為米；
（2）（2）在點E處只要再測量一個角，通過計算即可求出鐵塔CD的高度，那么可以測量的角是∠BED，
在Rt△ABE中，，
在中，，
在中，；
（3）在點F處再測量FD長度或F到DE的距離，通過計算也可求出鐵塔CD的高度，
①測得FD=m，在Rt△BDF中，利用勾股定理求得BD，在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，利用CD=DE?tan27°求得結(jié)果，
②測得F到DE的距離為n，通過三角形相似求得BD，然后在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，根據(jù)CD=DE?tan27°求得CD；
故答案為FM長度或F到DE的距離．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題需要同學們理解仰角、俯角的定義，根據(jù)實際構(gòu)造直角三角形，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題求解．

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