考試要求：1．能以立體幾何中的定義、基本事實(shí)和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．2．能運(yùn)用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形中平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．
必備知識(shí)·回顧教材重“四基”
一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理
應(yīng)用判定定理時(shí)，要注意“內(nèi)”“外”“平行”三個(gè)條件必須具備，缺一不可．應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)要體會(huì)輔助面的作用.
2．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理
判定平面α與平面β平行時(shí)，必須具備兩個(gè)條件：(1)平面β內(nèi)兩條相交直線a，b，即a?α，b?α，a∩b＝P.(2)兩條相交直線a，b都與平面β平行，即a∥β，b∥β.
3．常用結(jié)論(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面．(2)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等．(3)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．(5)同一條直線與兩個(gè)平行平面所成角相等．(6)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行．(7)面面平行判定定理的推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行．
二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的畫“√”，錯(cuò)的畫“×”．(1)若直線a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則a∥α.(　　)(2)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(　　)(3)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面．(　　)(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(　　)
2．平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是(　　)A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD　解析：ABC錯(cuò)誤，兩個(gè)平面可能相交．
3．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的(　　)A．一條直線不相交　　　　　B．兩條直線不相交C．無(wú)數(shù)條直線不相交D．任意一條直線都不相交D　解析：因?yàn)橹本€a∥平面α，直線a與平面α無(wú)公共點(diǎn)，因此直線a和平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交．故選D．
4．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)且過(guò)點(diǎn)B的所有直線中(　　)A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一的與a平行的直線A　解析：當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且過(guò)點(diǎn)B時(shí)，不存在與a平行的直線．故選A．
5．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為_(kāi)_______．
平行　解析：連接BD，設(shè)BD∩AC＝O，連接EO，在△BDD1中，E為DD1的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
關(guān)鍵能力·研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼”
考點(diǎn)1　直線、平面平行的基本問(wèn)題——基礎(chǔ)性
考點(diǎn)2　 直線、平面平行的判定與性質(zhì)——應(yīng)用性
考點(diǎn)3　面面平行的判定與性質(zhì)及平行的綜合問(wèn)題——綜合性
1．(2022·上海二模)設(shè)α，β是兩個(gè)不重合的平面，l，m是兩條不重合的直線，則“α∥β”的一個(gè)充分不必要條件是(　　)A．l?α，m?α，且l∥β，m∥βB．l?α，m?β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m
C　解析：對(duì)于A，若l?α，m?α且l∥β，m∥β，若l，m是平行直線，則它們可能都平行于α，β的交線，所以A不正確；對(duì)于B，l?α，m?β，且l∥m，可得l，m都平行于α，β的交線，所以B不正確；對(duì)于C，l⊥α且l∥m，可得m⊥α，再由m⊥α，m⊥β，得到α∥β，所以l⊥α，m⊥β且l∥m是α∥β的一個(gè)充分不必要條件，所以C正確；對(duì)于D，由l∥α，m∥β，且l∥m，可能有l(wèi)，m都平行于α，β的交線，所以D不正確．故選C．
2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，給出下面三個(gè)結(jié)論：①若α∥β，m?α，n?β，則m∥n；②若m，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③若m，n是兩條異面直線，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，則α∥β.其中正確結(jié)論的序號(hào)為(　　)A．①②　　　B．①③　　　C．②③　　　D．③D　解析：由題意，若α∥β，m?α，n?β，則m與n平行或異面，故①錯(cuò)誤；若m，n?α，m∥β，n∥β，則α與β可能平行也可能相交，故②錯(cuò)誤；若m，n是兩條異面直線，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，則α∥β，故③正確．故正確的結(jié)論只有③.故選D．
BC　解析：如圖，對(duì)于A，連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN.
易得AM，CN交于點(diǎn)P，即MN?平面APC，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于B，由A知M，N在平面APC內(nèi)，由題易知AN∥C1Q，且AN?平面APC，C1Q?平面APC．所以B選項(xiàng)正確．對(duì)于C，由A知，A，P，M三點(diǎn)共線，所以C選項(xiàng)正確．對(duì)于D，由A知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
關(guān)于平行關(guān)系的判定，關(guān)鍵是理清各類平行及其內(nèi)在聯(lián)系，掌握平行的判定定理和性質(zhì)定理的條件，結(jié)合題意構(gòu)造圖形，通過(guò)圖形分析判定．同時(shí)也要注意一些常見(jiàn)結(jié)論，如垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行等．
例1　如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH. 求證：PA∥GH.
證明：如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)．又M是PC的中點(diǎn)，所以AP∥OM.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，所以PA∥平面BMD．又因?yàn)槠矫鍼AHG∩平面BMD＝GH，且PA?平面PAHG，所以PA∥GH.
解決線面平行問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)利用判定定理判定直線與平面平行，關(guān)鍵是找出平面內(nèi)與已知直線平行的直線．可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒(méi)有，則需作出該直線，?？紤]作三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過(guò)已知直線作一平面找其交線．(2)線面平行的性質(zhì)定理是空間圖形中產(chǎn)生線線平行的主要途徑，常用于作截面．
1．(多選題)如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是棱AC，PD的中點(diǎn)，則(　　)
A．EF∥平面PAB　　B．EF∥平面PBCC．CF∥平面PABD．AF∥平面PBC
AB　解析：如圖，連接BD．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，且E是棱AC的中點(diǎn)，所以E是BD的中點(diǎn)，所以EF∥PB，則EF∥平面PAB，EF∥平面PBC，故A，B正確．因?yàn)锳D∥BC，所以AD∥平面PBC．假設(shè)AF∥平面PBC，又AF∩AD＝A，則平面PAD∥平面PBC．因?yàn)槠矫鍼AD與平面PBC相交，則假設(shè)不成立，即AF∥平面PBC不成立，故D錯(cuò)誤．同理可得C錯(cuò)誤．故選AB．
2．如圖，已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是PA，BD上的點(diǎn)，且PE∶EA＝BF∶FD．求證：EF∥平面PBC．
證明：(方法一)連接AF，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接PG.
(方法二)過(guò)點(diǎn)F作FM∥AD，交AB于點(diǎn)M，連接EM.
考向1　面面平行的判定與性質(zhì)例2　 如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)．求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；
證明：因?yàn)镚，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以GH是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C1.又因?yàn)锽1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面．
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC．因?yàn)镋F?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因?yàn)锳1G∥EB且A1G＝EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB．又因?yàn)锳1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因?yàn)锳1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.
在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D．證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M.因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點(diǎn)，連接MD．因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以A1B∥DM.因?yàn)锳1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1.又因?yàn)镈C1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D．
證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．
考向2　平行關(guān)系的綜合問(wèn)題例3　如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形．(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；證明：因?yàn)樗倪呅蜤FGH為平行四邊形，所以EF∥HG.因?yàn)镠G?平面ABD，EF?平面ABD，所以EF∥平面ABD．又因?yàn)镋F?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB．又因?yàn)锳B?平面EFGH，EF?平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.同理可證，CD∥平面EFGH.
例3　如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形．(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍．
利用線面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來(lái)確定交線的位置．對(duì)于最值問(wèn)題，常用函數(shù)思想來(lái)解決．
1．設(shè)α，β，γ為三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有(　　)A．①②B．②③C．①③D．①②③C　解析：由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)n∥β，m?γ時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)，所以平行，③正確．
2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N，Q分別為BC，PA，PB的中點(diǎn)．(1)證明：平面MNQ∥平面PCD．證明：因?yàn)锳BCD是平行四邊形，M，N，Q分別為BC，PA，PB的中點(diǎn)，所以NQ∥AB∥CD，MQ∥PC．又NQ?平面PCD，CD?平面PCD，MQ?平面PCD，PC?平面PCD，所以NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD．因?yàn)镹Q∩MQ＝Q，且NQ，MQ?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PCD．
一題N解·深化綜合提“素養(yǎng)”
如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3.證明：平面ABF∥平面DCE.
思路參考：應(yīng)用面面平行的判定定理證明．證明：因?yàn)镈E⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因?yàn)锳F?平面DCE，DE?平面DCE，所以AF∥平面DCE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB∥CD．因?yàn)锳B?平面DCE，所以AB∥平面DCE.因?yàn)锳B∩AF＝A，AB?平面ABF，AF?平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.
思路參考：利用兩個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行證明．證明：因?yàn)镈E⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AB∥CD．又AF∩AB＝A，AF，AB?平面ABF，DE∩CD＝D，DE，DC?平面DCE，所以平面ABF∥平面DCE.
思路參考：利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行證明．證明：因?yàn)镈E⊥平面ABCD，所以DE⊥AD．在正方形ABCD中，AD⊥CD，又DE∩CD＝D，所以AD⊥平面DCE.同理AD⊥平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.
1．本題考查空間中面與面平行的證明方法，基本的解題策略是借助“平行”的有關(guān)定理來(lái)證明．解決此類題目要注意對(duì)定理的熟練應(yīng)用．2．基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題要熟練掌握相關(guān)定理，具備良好的直觀想象能力、邏輯推理的核心素養(yǎng)，本題的解答過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探索的魅力．3．基于高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系，本題通過(guò)“平行”關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，將面面平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行以及線線垂直問(wèn)題，切入點(diǎn)比較多，既體現(xiàn)基礎(chǔ)性又體現(xiàn)綜合性．
如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝4，M是棱CC1上的一點(diǎn)．若N是AB的中點(diǎn)，且CN∥平面AB1M，求CM的長(zhǎng)．
(方法二)如圖(2)，取BB1的中點(diǎn)Q，連接NQ，CQ.

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