考試要求：1．能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題．2．了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用．
必備知識(shí)·回顧教材重“四基”
一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．兩條異面直線所成角的求法設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則
求兩異面直線l1，l2的夾角θ，須求出它們的方向向量a，b的夾角〈a，b〉，由于夾角范圍不同，有cs θ＝|cs〈a，b〉|.
求直線l與平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n與直線l的方向向量a的夾角，則sin θ＝|cs〈n，a〉|.
3．二面角的平面角求法(1)如圖(1)，AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝_______________.
(2)如圖(2)(3)，n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角θ的大小滿足|cs θ|＝|cs〈n1，n2〉|，二面角的平面角的大小是___________________________．
向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)
利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，求出兩平面α，β的法向量n1，n2后，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補(bǔ)．一進(jìn)一出相等，同進(jìn)同出互補(bǔ)．
4．利用空間向量求距離(1)點(diǎn)到直線的距離如圖所示，
已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離PQ＝_____________________．
(2)點(diǎn)到平面的距離如圖所示，
已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則點(diǎn)B到平面α的距離為BO＝_________．
求點(diǎn)到平面的距離，若用向量知識(shí)，則離不開以該點(diǎn)為端點(diǎn)的平面的斜線段．有時(shí)利用等積法求解可能更方便．
3．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點(diǎn)，則B1M與D1N所成角的余弦值為(　　)
A　解析：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．
(1)直線PB與平面POC所成角的余弦值為________；
(2)點(diǎn)B到平面PCD的距離為________．
5．過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，則平面ABP與平面CDP的夾角為________．
45°　解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝PA＝1，則A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．
關(guān)鍵能力·研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼”
考點(diǎn)1　異面直線所成的角——基礎(chǔ)性
考點(diǎn)2　 直線與平面所成的角——綜合性
考點(diǎn)3　求二面角——應(yīng)用性
考點(diǎn)4　求空間距離問題——綜合性
1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)，則EF與A1D所成角的大小為(　　)A．60°B．90° C．45°D．75°
B　解析：如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
2．如圖，在四棱錐A-BCDE中，DE∥CB，BE⊥平面ABC，BE＝3，AB＝CB＝AC＝2DE＝2，則異面直線DC與AE所成角的余弦值為(　　)
A　解析：如圖所示，取BC的中點(diǎn)F，連接AF，DF，可得DF∥BE.因?yàn)锽E⊥平面ABC，所以DF⊥平面ABC．又由AB＝CB＝AC且F為BC的中點(diǎn)，所以AF⊥BC，故以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，以FA，F(xiàn)B，F(xiàn)D所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
利用向量法求異面直線所成角的問題，關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，并進(jìn)一步求出相關(guān)的向量，利用向量的夾角公式求解．在求解過程中易出現(xiàn)因忽視異面直線所成角的范圍而致錯(cuò)的情況.
證明：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD，取AB中點(diǎn)E，連接DE，因?yàn)锳D＝DC＝CB＝1，AB＝2，
解：由(1)知，PD，AD，BD兩兩互相垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
利用向量求線面角的2種方法(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)．(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線與平面所成的角．
1．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為________．
2．(2022·北京卷)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分別為A1B1，AC的中點(diǎn)．(1)求證：MN∥平面BCC1B1.
證明：取AB中點(diǎn)K，連接NK，MK，因?yàn)镸為A1B1的中點(diǎn)．所以B1M∥BK，且B1M∥BK，所以四邊形BKMB1是平行四邊形，故MK∥BB1，MK?平面BCC1B1，BB1?平面BCC1B1，所以MK∥平面BCC1B1，因?yàn)镵是AB的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)，所以NK∥BC，因?yàn)镹K?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，所以NK∥平面BCC1B1，又NK∩MK＝K，所以平面NMK∥平面BCC1B1，又MN?平面NMK，所以MN∥平面BCC1B1.
2．(2022·北京卷)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分別為A1B1，AC的中點(diǎn)．(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：AB⊥MN；條件②：BM＝MN.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
解：因?yàn)閭?cè)面BCC1B1為正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，平面BCC1B1∩平面ABB1A1＝BB1，所以CB⊥平面ABB1A1，所以CB⊥AB，又NK∥BC，所以AB⊥NK，若選①：因?yàn)锳B⊥MN，又MN∩NK＝N，所以AB⊥平面MNK，又MK?平面MNK，所以AB⊥MK，又MK∥BB1，所以AB⊥BB1，所以BC，BA，BB1兩兩垂直．
考向1　由向量法求二面角的三角函數(shù)值例2　(2022·新高考Ⅱ卷)如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E為PB的中點(diǎn)．(1)證明：OE∥平面PAC；
證明：連接OA，OB，依題意，OP⊥平面ABC，又OA?平面ABC，OB?平面ABC，則OP⊥OA，OP⊥OB，所以∠POA＝∠POB＝90°，又PA＝PB，OP＝OP，則△POA≌△POB，所以O(shè)A＝OB，延長BO交AC于點(diǎn)F，又AB⊥AC，則在Rt△ABF中，O為BF中點(diǎn)，連接PF，在△PBF中，O，E分別為BF，BP的中點(diǎn)，則OE∥PF，因?yàn)镺E?平面PAC，PF?平面PAC，所以O(shè)E∥平面PAC．
例2　(2022·新高考Ⅱ卷)如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E為PB的中點(diǎn)．(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值．
解：過點(diǎn)A作AM∥OP，以AB，AC，AM分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
考向2　由二面角求幾何值或參數(shù)值例3　(2021·新高考Ⅰ卷)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點(diǎn)．(1)證明：OA⊥CD；
證明：因?yàn)锳B＝AD，O為BD的中點(diǎn)，所以O(shè)A⊥BD．因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，OA?平面ABD，所以O(shè)A⊥平面BCD．因?yàn)镃D?平面BCD，所以O(shè)A⊥CD．
例3　(2021·新高考Ⅰ卷)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點(diǎn)．(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積．
解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OA所在的直線分別為y軸、z軸，過點(diǎn)O且垂直于BD的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
在已知二面角的條件下求幾何量或參數(shù)的值時(shí)，注意用好二面角的定義，求出相關(guān)的量，或由此寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，為用向量法求解問題做好必要的條件準(zhǔn)備．
如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD和圓O所在的平面互相垂直，已知AB＝2，EF＝1.(1)求證：平面DAF⊥平面CBF；
證明：因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，CB?平面ABCD，所以CB⊥平面ABEF.因?yàn)锳F?平面ABEF，所以CB⊥AF.又因?yàn)锳B為圓的直徑，所以FB⊥AF.又CB∩BF＝B，所以AF⊥平面CBF.因?yàn)锳F?平面DAF，所以平面DAF⊥平面CBF.
如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD和圓O所在的平面互相垂直，已知AB＝2，EF＝1.(2)當(dāng)AD的長為何值時(shí)，二面角D-FC-B的平面角的大小為60°？
解：設(shè)EF，CD的中點(diǎn)分別為G，H，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，設(shè)AD＝t，
例4　(1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，則點(diǎn)B到直線A1C1的距離為________．
(2)如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)．①求點(diǎn)D到平面PEF的距離；②求直線AC到平面PEF的距離．
解：①以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
1．空間距離包括空間內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線與平面的距離以及兩平行平面之間的距離，其中兩點(diǎn)間的距離可以用向量的模長處理，其他三種距離的求解都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離．2．用向量法求點(diǎn)面距的步驟：
D　解析：建立空間直角坐標(biāo)系如圖．
一題N解·深化綜合提“素養(yǎng)”
如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)證明：SD⊥平面SAB；(2)求AB與平面SBC所成角的正弦值的大小．
(2)解：因?yàn)镃D∥AB，所以CD與平面SBC所成的角即為AB與平面SBC所成的角．如圖，取SC的中點(diǎn)M，連接BM，DM.
因?yàn)镈S＝DC，BS＝BC，所以SC⊥DM，SC⊥BM.因?yàn)镈M∩BM＝M，所以SC⊥平面BDM，所以平面BDM⊥平面SBC．作DN⊥BM，垂足為點(diǎn)N，則DN⊥平面SBC．因?yàn)镈M∩BM＝M，連接CN.CN為CD在平面SBC上的射影，∠DCN即為CD與平面SBC所成的角．
思路參考：建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解．(1)證明：同解法1.(2)解：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD，CB所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
思路參考：變換建系的方法，空間直角坐標(biāo)系中各點(diǎn)坐標(biāo)會(huì)發(fā)生變化，但求角的方法是不變的．
(1)證明：同解法1.(2)解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DE為x軸正半軸，射線DC為y軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
1．本題考查線面角的運(yùn)算，解法靈活，基本解題策略一種是利用定義尋找線面角，然后通過解三角形計(jì)算，另一種是建立空間直角坐標(biāo)系，通過法向量與方向向量夾角處理．2．基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題需要熟練掌握線面角的尋找以及空間向量求線面角的方法，具有良好的運(yùn)算求解能力、空間想象能力．本題的解答過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探索的魅力．3．基于高考數(shù)學(xué)評價(jià)體系，解答本題的過程中，通過不同的思路引導(dǎo)，將求線面角轉(zhuǎn)化為最基本的數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性；解題過程中知識(shí)的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了綜合性．
如圖1，四邊形ABCD為菱形，且∠A＝60°，AB＝2，E為邊AB的中點(diǎn)．現(xiàn)將四邊形EBCD沿DE折起至EBHD，如圖2.若二面角A-DE-H的大小為60°，求平面ABH與平面ADE夾角的余弦值．
圖1　　　　　　　　　圖2
解：(方法一)分別取AE，AD的中點(diǎn)O，K，連接OK，OB．由DE⊥平面ABE，可知∠AEB為二面角A-DE-H的平面角，即有∠AEB＝60°.因?yàn)镺為AE的中點(diǎn)，所以BO⊥AE.因?yàn)锽O⊥DE，所以BO⊥平面ADE，則以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線KO，OE，OB為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
(方法二)延長HB，DE交于點(diǎn)L，連接AL，取AE的中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AL于點(diǎn)M，連接MB，如圖．
由DE⊥平面ABE，可知∠AEB為二面角A-DE-H的一個(gè)平面角，即有∠AEB＝60°.
(方法三)延長HB，DE交于點(diǎn)L，連接AL，過點(diǎn)D作DQ∥AE且與LA的延長線交于點(diǎn)Q，連接QH.分別取DQ，AE中點(diǎn)M，O，連接AM，BO.再取MD中點(diǎn)O′，連接OO′.因?yàn)镼D∥AE，HD∥BE且QD，HD為平面HDQ內(nèi)兩條相交直線，AE，BE為平面ABE內(nèi)兩條相交直線，所以平面HDQ∥平面ABE.因?yàn)镈E⊥平面ABE，所以DE⊥平面HDQ，即∠HDQ為二面角A-DE-H的一個(gè)平面角，即有∠HDQ＝60°.

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