1.直線與平面垂直(1)定義
如果直線 l 與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l 與平面α互相垂直，記作 l⊥α，直線 l 叫做平面α的垂線，平面α叫做直線 l 的垂面.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
2.直線和平面所成的角(1)定義平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是 0°的角.
(1)二面角的有關(guān)概念
①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.
(2)平面和平面垂直的定義
兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，
就說這兩個平面互相垂直.
(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理
(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也
(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).(3)使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個平面”.
題組一 走出誤區(qū)1.(多選題)已知兩條直線 l，m 及三個平面α，β，γ，下
)B.l⊥α，m⊥β，l⊥mD.l?α，m?β，l⊥m
列條件中能推出α⊥β的是(A.l?α，l⊥βC.α⊥γ，β∥γ答案：ABC
2.(教材改編題)(多選題)下列命題中正確的是(
A.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β答案：ABC
3.(教材改編題)P 是△ABC 所在平面α外一點，O 是 P在平面α內(nèi)的射影.若 P 到△ABC 的三個頂點距離相等，則O 是△ABC 的_______心；若 P 到△ABC 的三邊的距離相等，則 O 是△ABC 的_______心；若 PA ，PB，PC 兩兩垂直，則 O 是△ABC 的________心.
4.(2019 年北京)已知 l，m 是平面α外的兩條不同直線.
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：_______________________.
答案：如果 l⊥α，m∥α，則 l⊥m
考點一 線面垂直的判定與性質(zhì)
[例 1](2021 年彭州期中)如圖 6-5-1，直四棱柱 ABCD-＝3，E 為 CD 上一點，DE＝1，EC＝3.
(1)證明：BE⊥平面 BB1C1C；(2)求三棱錐 B1-EA1C1 的體積.
【題后反思】證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵
(1)證明線面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于
平面的傳遞性；③面面垂直的性質(zhì).
(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂
直，則需借助線面垂直的性質(zhì).
【變式訓(xùn)練】(2021 年河北期中)如圖 6-5-3，在三棱錐 A-BCD 中，
＝2∠CDB＝90°.(1)證明：BC⊥平面 ABD.(2)在側(cè)面 ACD 內(nèi)作一點 H，使得 BH⊥平面 ACD，寫出作法(無須證明)，并求
(1)證明：因為∠CBD＝90°，所以 BC⊥BD，又因為平面 ABC⊥平面 BCD，平面 ABC∩平面 BCD＝BC，所以 BD⊥平面 ABC，所以 BD⊥AB.
可得AC2＝AD2＝BC2＋AB2，則AB⊥BC.又因為 AB∩BD＝B，所以 BC⊥平面 ABD.
(2)解：作法：如圖 D47，取 CD 的中點 E，連接 AE，
過 B 作 BH⊥AE，垂足 H 即要求作的點，
因為 AB⊥BD，AB⊥BC，BC∩BD＝B，所以 AB⊥平面 BCD，連接 BE，則 AB⊥BE.
考點二 面面垂直的判定與性質(zhì)[例 2]如圖 6-5-4，在四棱錐 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA ⊥AD，E 和 F 分別是 CD 和 PC 的中點，求證：(1)PA ⊥底面 ABCD；(2)BE∥平面 PAD；
(3)平面 BEF⊥平面 PCD.
證明：(1)∵平面 PAD⊥底面 ABCD，且 PA 垂直于這兩個平面的交線 AD，PA ?平面 PAD，∴PA ⊥底面 ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E 為 CD 的中點，∴AB∥DE，且 AB＝DE.∴四邊形 ABED 為平行四邊形.∴BE∥AD.
平面 PAD，AD?平面 PAD，
∴BE∥平面 PAD.
(3)∵AB⊥AD，而且 ABED 為平行四邊形.
∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知 PA ⊥底面 ABCD，
CD?平面 ABCD，
∴PA ⊥CD，且 PA ∩AD＝A，PA ，AD?平面 PAD，∴CD⊥平面 PAD，
又∵PD?平面 PAD，∴CD⊥PD.
∵E 和 F 分別是 CD 和 PC 的中點，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又 BE⊥CD 且 EF∩BE＝E，∴CD⊥平面 BEF，又 CD?平面 PCD，∴平面 BEF⊥平面 PCD.
(1)證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理.
(2)已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.
(2021 年瀘州模擬)如圖 6-5-5，在四棱錐 S-ABCD 中，底面 ABCD 是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，
(1)求證：平面 SBD⊥平面 SAD；
側(cè)面△SAB 的面積.
由側(cè)面 SAD⊥底面 ABCD.可得 BD⊥平面 SAD，又 BD?平面 SBD，可得平面 SBD⊥平面 SAD.
考點三 垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用
[例 3]如圖 6-5-6，AB 是⊙O 的直徑，PA 垂直于⊙O
所在的平面，C 是圓周上不同于 A，B 的一動點.
(1)證明：△PBC 是直角三角形；
(2)若 PA ＝AB＝2，且當(dāng)直線 PC 與平面ABC所成角的正切值為 時，求直線 AB 與平面 PBC 所成角的正弦值.
(1)證明：∵AB 是⊙O 的直徑，C 是圓周上不同于 A，
B 的一動點.∴BC⊥AC，
∵PA ⊥平面 ABC，
∴BC⊥PA ，又 PA ∩AC＝A，PA ，AC?平面 PAC，∴BC⊥平面 PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC 是直角三角形.
(2)解：如圖 6-5-7，過 A 作 AH⊥PC 于 H，
∵BC⊥平面 PAC，∴BC⊥AH，
又 PC∩BC＝C，PC，BC?平面 PBC，∴AH⊥平面 PBC，
∴∠ABH 是直線 AB 與平面 PBC 所成的角，∵PA ⊥平面 ABC，∴∠PCA 就是 PC 與平面 ABC 所成的角，
(1)證明垂直關(guān)系時，要充分利用定義、判定和性質(zhì)實現(xiàn)線線垂直、線面垂直、面面垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.(2)線面角的計算，首先要利用定義和題目中的線面垂
直作出所求角，然后在一個直角三角形中求解.
【變式訓(xùn)練】(2021 年臺江期中)如圖 6-5-8 所示，在四邊形 ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝ ，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線 BD 折成四面體 A′-BCD，使平面 A′BD⊥平面
BCD，則下列結(jié)論錯誤的是(圖 6-5-8
⊙邏輯推理、直觀想象在平行、垂直關(guān)系證明中的
邏輯推理在該部分主要體現(xiàn)在空間平行、垂直關(guān)系的證明與探究，其理論根據(jù)就是空間垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，需要掌握推理的基本形式，表述論證的過程.平行、垂直關(guān)系證明的起點就是平面圖形中的線線平行、垂直關(guān)系.
[例 4](2020 年全國Ⅱ)如圖 6-5-9，已知三棱柱 ABC-
A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
(1)證明：因為 M，N 分別為 BC，B1C1 的中點，所以
又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.因為△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN.所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.
處理平行與垂直的綜合問題的主要數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化，要熟練掌握線線、線面、面面之間的平行與垂直的轉(zhuǎn)化.
1.如圖 6-5-11，在底面為菱形的四棱錐 P-ABCD 中，
PA ⊥AD，PA ⊥CD，E 為側(cè)棱 PC 上一點.(1)若 BE⊥PC，求證：PC⊥平面 BDE；
(2)若 PA ∥平面 BDE，求平面 BDE 把四棱錐 P-ABCD
(1)證明：如圖 D49，連接 AC，因為四邊形 ABCD 為
因為 PA ⊥AD，PA ⊥CD，且 AD∩CD＝D，所以 PA ⊥底面 ABCD，所以 PA ⊥BD.
又 PA ∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC ，所以 BD⊥PC.又因為 BE⊥PC，BD∩BE＝B，所以 PC⊥平面 BDE.(2)解：設(shè) AC∩BD＝O，連接 OE，因為四邊形 ABCD
為菱形，所以 AO＝OC.
因為 PA ∥平面 BDE，平面 PAC∩平面 BDE＝OE，
所以平面 BDE 把四棱錐 P-ABCD 分成兩部分的體積比為 1∶3(或 3∶1).
2.(2021 年定遠模擬)如圖6-5-12，在三棱柱ABC-A1B1C1
中，AA1⊥底面A1B1C1，D是AB中點.(1)證明：AC1∥平面B1CD；(2)若∠ACB＝90°，AA1＝BC，證明：平面A1C1B⊥平面B1CD.
證明：(1)如圖 D50，設(shè) BC1 與 B1C 相交于點 E，連接DE，由題意可得，D，E 分別為 AB，BC1 的中點，所以DE 是△ABC1 的中位線，所以 DE∥AC1，因為 DE?平面
平面 B1CD，所以 AC1∥平面 B1CD.圖 D50
(2)因為AA1⊥底面A1B1C1，所以CC1⊥底面A1B1C1，所以CC1⊥A1C1，因為∠ACB＝90°，即∠A1C1B1＝90°，所以A1C1⊥B1C1，又因為B1C1，CC1?平面BCC1B1且B1C1∩CC1＝C1，所以A1C1⊥平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C，因為AA1＝BC，AA1＝CC1，所以CC1＝BC，

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