專題10.已知極值點（極值個數(shù)）求參數(shù)的通性通法一.基本原理題型1：已知極值點求參數(shù)的值.1.已知函數(shù)有極值點，求參數(shù)的值或范圍,一般有兩種情況：（1）由可以解出參數(shù)的值，這類題較為簡單，只需由求出參數(shù)的值，再代回去研究的單調(diào)性，確認在處取得極值即可.（2）由不能解出參數(shù)的值，這類題一般需要對參數(shù)進行分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性，當的表達式較為復雜時，可能需要用到二階導數(shù)，甚至三階導數(shù).當我們知道函數(shù)的具體極值點是極大值還是極小值求參數(shù)時，也可以利用下面高觀點方法，當然，這個方法僅供有興趣的同學了解，并非通法，它在解決一些問題時要方便一些.2.極值第二充分條件：若，且，則若，則在處取得極大值；若，則在處取得極小值.證明：將函數(shù)在處二階泰勒展開可得：          由于在存在極值，故且對求導數(shù)可得                由代入上式可知：                    顯然，若，則時，時，故為的極大值點，證畢.注：此證明方法僅供需要弄清結(jié)論原理的讀者使用，若不需，則可直接記住結(jié)論內(nèi)容就行.3.極值第二充分條件：若在處具有直到階的連續(xù)導數(shù)，且，但，則：當為偶數(shù)時，為函數(shù)的極值，當為奇數(shù)時，不是函數(shù)的極值.題型2：已知極值個數(shù)求參數(shù)的范圍這類問題的形式就是已知存在幾個極值點，求參數(shù)的取值范圍. 這類問題實質(zhì)是考察導函數(shù)的變號零點個數(shù)，注意：是“變號”零點.通常情況下，這類問題可通過求導后討論導函數(shù)的零點個數(shù)來完成，首選分離參數(shù)的方法解決，若不行，再將導函數(shù)作為一個新的函數(shù)來討論其零點個數(shù).二．典例分析題型1.已知極值點求參數(shù)的值例1．若函數(shù)在處有極值10，則（    ）A．6 B． C．或15 D．6或解析： ，，又 時 有極值10 ，解得 或 ，當 時，，此時 在 處無極值，不符合題意經(jīng)檢驗， 時滿足題意，，故選：B例2.（2021年乙卷第10題）1．設，若為函數(shù)的極大值點，則（    ）A． B． C． D．解析：分析1：分類討論若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.依題意，為函數(shù)的極大值點，當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D點評：按照傳統(tǒng)的解法，此題應該先求一階導數(shù)，再分析在處何時出現(xiàn)左負右正，引入分類討論，而對于多數(shù)中等水平學生而言，分類討論是他們痛處，所以我們有必要思考如何避免上述做法.分析2：第二充分條件依題，再次求導            由于為極大值點，故，代入上式可得：，故選D.點評：二階導方法顯然更加具有實用性，不用分類討論，步驟也很明確，考試必備的好幫手.小結(jié)：已知為函數(shù)的極大值或極小值，求參數(shù)問題.第一步：求二階導數(shù)；第二步：若，則在處取得極大值；若，則在處取得極小值.例3.已知函數(shù)，其中.（1）若，求在處的切線方程；（2）若是的極大值，求a的取值范圍.解析：（1）若，則，所以，故，又，所以在處的切線方程.（2）解法1：由題意，，，，所以，若，則，，所以不是的極值，不合題意；若，則，，所以是的極大值，滿足題意；若，則，，所以是的極小值，不合題意；綜上所述，a的取值范圍是.解法2：由題意，，①當時，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值，不合題意；②當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，若，則，可知當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值，不合題意；若，則，恒成立，從而在上單調(diào)遞減，故無極值，不合題意；若，則，可知當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故是的極大值，滿足題意；綜上所述，a的取值范圍是.題型2.已知極值點個數(shù)求參數(shù)的范圍基本步驟：第1步求導，第2步令導函數(shù)為零后分離參數(shù)，第3步做出不含參數(shù)函數(shù)的圖象后討論合適出現(xiàn)滿足題意的變號零點個數(shù)，即為參數(shù)范圍.例4．已知函數(shù)有極值，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．解析：，∵，∴當時，恒成立，時，恒成立，當時，有解，且在解的兩側(cè)的符號相反，即有極值．故選：A．例5．已知函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．解析：因為，所以. 因為函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，所以只需方程在有兩個不相等實根.即，令，則.在遞增，在遞減.∴， 故選D.例6．已知函數(shù)有且只有一個極值點，則實數(shù)構(gòu)成的集合是（　?。?/span>A．且 B． C．或 D．解析：由題意，求得函數(shù)的導數(shù)，令，即.則．設，得．當時，得；當時，得或，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．因為函數(shù)有且只有一個極值點，所以直線與函數(shù)的圖象有一個交點，所以或．當時恒成立，所以無極值，所以．故選D．例7．已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍為___________.解析：由題意，函數(shù)，可得，因為函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個極值點，所以在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)根，即方程在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)根，因為時方程的根，所以方程在區(qū)間上沒有實數(shù)根，即方程在區(qū)間上沒有實數(shù)根，等價于與的圖象在上沒有交點，又由，所以在上單調(diào)遞增，所以，且當時，，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：三．習題演練1．已知函數(shù)在區(qū)間上有極小值無極大值，則實數(shù)的取值范圍（　?。?/span>A． B． C． D．解析：∵函數(shù)，∴，∵函數(shù)在區(qū)間上有極小值無極大值，∴在區(qū)間上有1個實根，上有1個根．，解得．故選A．2．已知函數(shù)在處取極小值，且的極大值為4，則（    ）A．-1 B．2 C．-3 D．4解析：，所以因為函數(shù)在處取極小值，所以，所以，，，令，得或，當時，，所以在單調(diào)遞增，當時，，所以在單調(diào)遞增，當時，，所以在單調(diào)遞增，所以在處有極大值為，解得，所以.故選：B3．若函數(shù)在處取得極大值，則實數(shù)的取值范圍是______．解析：，當時，，當時，，當時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時只有極小值，沒有極大值，當時，當或時，，當時，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，當時，，當且僅當時取“=”,在R上單調(diào)遞增，沒有極值，當時，當或時，，當時，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，得，綜上得，.故答案為：4．已知函數(shù)，若是函數(shù)在區(qū)間上的唯一極值點，則實數(shù)的取值范圍是______．解析：函數(shù)，所以，只需滿足在上恒無變號零點即可，由于遞增，故只需恒成立即可，綜上：，故答案為：.5. 設，（1）令，求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知在處取得極大值.求實數(shù)的取值范圍.解法1：分類討論(2)由(1)知，.若時，，單調(diào)遞減.所以當時，，單調(diào)遞減.當時，，單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，不合題意.②當時，，由(Ⅰ)知在內(nèi)單調(diào)遞增，可得當時，，，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，不合題意。③當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以當時，，從而單調(diào)遞減，不合題意。④當時，，從而當時，，從而單調(diào)遞曾，當時，，從而單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，符合題意. 綜上：解法2：（極值第二充分條件）（2）由題：計算得：，，若，由極值第二充分條件知：是的極小值點，不合題意。①．若，由極值第二充分條件知：是的極大值點，符合題意，此時.②.若，由極值第三充分條件知：不是的極值點，不合題意.綜上： 

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