考點(diǎn)01 互斥事件的概率計(jì)算
1．（2018·全國·高考真題）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
【答案】B
【詳解】設(shè)事件A為不用現(xiàn)金支付，
則
故選：B.
2．（2016·天津·高考真題）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿?br>A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】試題分析：甲不輸概率為選A.
【考點(diǎn)】概率
【名師點(diǎn)睛】概率問題的考查，側(cè)重于對(duì)古典概型和對(duì)立事件的概率考查，屬于簡(jiǎn)單題.運(yùn)用概率加法的前提是事件互斥，不輸包含贏與和，兩種互斥，可用概率加法公式.對(duì)古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化計(jì)數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后利用枚舉法、樹形圖解決計(jì)數(shù)問題，而當(dāng)正面問題比較復(fù)雜時(shí)，往往采取計(jì)數(shù)其對(duì)立事件.
考點(diǎn)02 古典概率
一、單選題
1．（2024·全國甲卷·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解法一：畫出樹狀圖，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分類討論甲乙的位置，結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解.
【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖，
由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，
其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，
故所求概率.
解法二：當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；
當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；
于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；
基本事件總數(shù)顯然是，
根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.
故選：B
2．（2023·全國乙卷·高考真題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】對(duì)6個(gè)主題編號(hào)，利用列舉列出甲、乙抽取的所有結(jié)果，并求出抽到不同主題的結(jié)果，再利用古典概率求解作答.
【詳解】用1，2，3，4，5，6表示6個(gè)主題，甲、乙二人每人抽取1個(gè)主題的所有結(jié)果如下表：
共有36個(gè)不同結(jié)果，它們等可能，
其中甲乙抽到相同結(jié)果有，共6個(gè)，
因此甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的結(jié)果有30個(gè)，概率.
故選：A
3．（2023·全國甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識(shí)即可得解.
【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，
其中這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的基本事件有，
所以這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為.
故選：D.
4．（2022·全國甲卷·高考真題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：先列舉出所有情況，再從中挑出數(shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即可.
【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】無序
從6張卡片中無放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.
[方法二]：有序
從6張卡片中無放回抽取2張，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，
其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12種情況，故概率為.
故選：C.
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：將抽出的卡片看成一個(gè)組合，再利用古典概型的概率公式解出，是該題的最優(yōu)解；
方法二：將抽出的卡片看成一個(gè)排列，再利用古典概型的概率公式解出；
5．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.
【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有種不同的取法，
若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，
故所求概率.
故選：D.
6．（2021·全國甲卷·高考真題）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【詳解】解：將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可以是：
，
共10種排法，
其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：
，
共6種方法，
故2個(gè)0不相鄰的概率為，
故選：C.
7．（2019·全國·高考真題）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】男女生人數(shù)相同可利用整體發(fā)分析出兩位女生相鄰的概率，進(jìn)而得解.
【詳解】?jī)晌荒型瑢W(xué)和兩位女同學(xué)排成一列，因?yàn)槟猩团藬?shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查常見背景中的古典概型，滲透了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取等同法，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解題．
8．（2019·全國·高考真題）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的概率為
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本題首先用列舉法寫出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概率的計(jì)算公式求解．
【詳解】設(shè)其中做過測(cè)試的3只兔子為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的所有取法有，共10種．其中恰有2只做過測(cè)試的取法有共6種，
所以恰有2只做過測(cè)試的概率為，選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概率的求解，題目較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．應(yīng)用列舉法寫出所有基本事件過程中易于出現(xiàn)遺漏或重復(fù)，將兔子標(biāo)注字母，利用“樹圖法”，可最大限度的避免出錯(cuò)．
9．（2018·全國·高考真題）從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分別求出事件“2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)”的總可能及事件“選中的2人都是女同學(xué)”的總可能，代入概率公式可求得概率.
【詳解】設(shè)2名男同學(xué)為，3名女同學(xué)為，
從以上5名同學(xué)中任選2人總共有共10種可能，
選中的2人都是女同學(xué)的情況共有共三種可能
則選中的2人都是女同學(xué)的概率為，
故選D.
10．（2018·全國·高考真題）我國數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】分析：先確定不超過30的素?cái)?shù)，再確定兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的取法，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.
詳解：不超過30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有種方法，因?yàn)?，所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.
點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法： (1)列舉法. (2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法. (3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化. (4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.
11．（2017·天津·高考真題）有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】選取兩支彩筆的方法有種，含有紅色彩筆的選法為種，
由古典概型公式，滿足題意的概率值為.
本題選擇C選項(xiàng).
考點(diǎn)：古典概型
名師點(diǎn)睛：對(duì)于古典概型問題主要把握基本事件的種數(shù)和符合要求的事件種數(shù)，基本事件的種數(shù)要注意區(qū)別是排列問題還是組合問題，看抽取時(shí)是有、無順序，本題從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，是組合問題，當(dāng)然簡(jiǎn)單問題建議采取列舉法更直觀一些.
12．（2017·山東·高考真題）從分別標(biāo)有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張．則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】標(biāo)有，，，的張卡片中，標(biāo)奇數(shù)的有張，標(biāo)偶數(shù)的有張，所以抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是 ,選C.
【名師點(diǎn)睛】概率問題的考查，側(cè)重于對(duì)古典概型和對(duì)立事件的概率考查，屬于簡(jiǎn)單題.江蘇對(duì)古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化計(jì)數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后一般利用枚舉法、樹形圖解決計(jì)數(shù)問題，而當(dāng)正面問題比較復(fù)雜時(shí)，往往采取計(jì)數(shù)其對(duì)立事件.
13．（2017·全國·高考真題）從分別寫有的張卡片中隨機(jī)抽取張，放回后再隨機(jī)抽取張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，
基本事件總數(shù)n=5×5=25，
抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m=10個(gè)基本事件，
∴抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率p=
故答案為D．
14．（2017·江西·高考真題）一袋中裝有大小相同，編號(hào)分別為的八個(gè)球，從中有放回地每次取一個(gè)球，共取2次，則取得兩個(gè)球的編號(hào)和不小于15的概率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】本題考查計(jì)數(shù)方法和概率的計(jì)數(shù)及分析問題,解決問題的能力.
一袋中裝有大小相同，編號(hào)分別為的八個(gè)球，從中有放回地每次取一個(gè)球，共取2次，所有的可能情況共有64種；取得兩個(gè)球的編號(hào)和不小于15的情況有（8,8），（8,7）（7,8）共3種；則取得兩個(gè)球的編號(hào)和不小于15的概率為故選D
15．（2016·北京·高考真題）從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】試題分析：從甲乙等名學(xué)生中隨機(jī)選出人，基本事件的總數(shù)為，甲被選中包含的基本事件的個(gè)數(shù)，所以甲被選中的概率，故選B．
考點(diǎn)：古典概型及其概率的計(jì)算．
16．（2016·全國·高考真題）小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】試題分析：開機(jī)密碼的可能有，，共15種可能，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是，故選C．
【考點(diǎn)】古典概型
【解題反思】對(duì)古典概型必須明確兩點(diǎn)：①對(duì)于每個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)來說，試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．只有在同時(shí)滿足①、②的條件下，運(yùn)用的古典概型計(jì)算公式（其中n是基本事件的總數(shù)，m是事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)）得出的結(jié)果才是正確的．
17．（2016·全國·高考真題）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】試題分析：將4種顏色的花中任選2種種在一個(gè)花壇中，余下2種種在另一個(gè)花壇中，有6種種法，其中紅色和紫色的花不在同一個(gè)花壇的種數(shù)有4種，故所求概率為，選C.
【考點(diǎn)】古典概型
【名師點(diǎn)睛】作為客觀題形式出現(xiàn)的古典概型試題,一般難度不大,解答中的常見錯(cuò)誤是在用列舉法計(jì)數(shù)時(shí)出現(xiàn)重復(fù)或遺漏,避免此類錯(cuò)誤發(fā)生的有效方法是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行列舉.
18．（2015·全國·高考真題）如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】試題分析：從中任取3個(gè)不同的數(shù)共有10種不同的取法，其中的勾股數(shù)只有3,4,5，故3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有1種，故所求概率為，故選C.
考點(diǎn)：古典概型
19．（2015·廣東·高考真題）已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品,現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為( )
A．0.4B．0.6C．0.8D．1
【答案】B
【詳解】件產(chǎn)品中有件次品，記為，，有件合格品，記為，，，從這件產(chǎn)品中任取件，有種，分別是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有種，分別是，，，，，，設(shè)事件“恰有一件次品”，則，故選B．
考點(diǎn)：古典概型．
20．（2015·廣東·高考真題）袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球．從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為
A．B．C．D．1
【答案】B
【詳解】試題分析：首先判斷這是一個(gè)古典概型，從而求基本事件總數(shù)和“所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球”事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，容易知道基本事件總數(shù)便是從15個(gè)球任取2球的取法，而在求“所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球”事件的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，可利用分步計(jì)數(shù)原理求解，最后帶入古典概型的概率公式即可．
解：這是一個(gè)古典概型，從15個(gè)球中任取2個(gè)球的取法有；
∴基本事件總數(shù)為105；
設(shè)“所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球”為事件A；
則A包含的基本事件個(gè)數(shù)為=50；
∴P（A）=．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟練掌握組合數(shù)公式和分步計(jì)數(shù)原理．
二、填空題
21．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 .
【答案】/0.5
【分析】將每局的得分分別作為隨機(jī)變量，然后分析其和隨機(jī)變量即可.
【詳解】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.
對(duì)于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲獲勝的出牌組合有六種，從而甲在該輪獲勝的概率，所以.
從而.
記.
如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對(duì)應(yīng)乙出2，4，6，8，所以；
如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對(duì)應(yīng)乙出8，2，4，6，所以.
而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.
所以，，兩式相減即得，故.
所以甲的總得分不小于2的概率為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量問題，利用期望的可加性得到等量關(guān)系，從而避免繁瑣的列舉.
22．（2024·全國甲卷·高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對(duì)值不大于的概率為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機(jī)事件的概率.
【詳解】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有種，
設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，
故，故，
故，
若，則，則為：，故有2種，
若，則，則為：，
，故有10種，
當(dāng)，則，則為：
，
，
故有16種，
當(dāng)，則，同理有16種，
當(dāng)，則，同理有10種，
當(dāng)，則，同理有2種，
共與的差的絕對(duì)值不超過時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為，
故所求概率為.
故答案為：
23．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是 ．
【答案】 24 112
【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果，即可求解.
【詳解】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，
則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，
第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，
所以共有種選法；
每種選法可標(biāo)記為，分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，
則所有的可能結(jié)果為：
，
，
，
，
所以選中的方格中，的4個(gè)數(shù)之和最大，為.
故答案為：24；112
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.
24．（2023·天津·高考真題）把若干個(gè)黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進(jìn)三個(gè)空箱子中，三個(gè)箱子中的球數(shù)之比為．且其中的黑球比例依次為．若從每個(gè)箱子中各隨機(jī)摸出一球，則三個(gè)球都是黑球的概率為 ；若把所有球放在一起，隨機(jī)摸出一球，則該球是白球的概率為 ．
【答案】 /
【分析】先根據(jù)題意求出各盒中白球，黑球的數(shù)量，再根據(jù)概率的乘法公式可求出第一空；
根據(jù)古典概型的概率公式可求出第二個(gè)空．
【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)分別為，所以總數(shù)為，
所以甲盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；
乙盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；
丙盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；
記“從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”為事件，所以，
；
記“將三個(gè)盒子混合后取出一個(gè)球，是白球”為事件，
黑球總共有個(gè)，白球共有個(gè)，
所以，．
故答案為：；．
25．（2022·浙江·高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則 ， ．
【答案】 ， /
【分析】利用古典概型概率公式求，由條件求分布列，再由期望公式求其期望.
【詳解】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
，
所以,
故答案為：，.
26．（2022·全國甲卷·高考真題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為 ．
【答案】.
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．
【詳解】從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)，有個(gè)結(jié)果，這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有個(gè)，故所求概率．
故答案為：．
27．（2022·全國乙卷·高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為 ．
【答案】/0.3
【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可
【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；
其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.
故答案為：.
解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為
甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率
故答案為：
28．（2021·浙江·高考真題）袋中有4個(gè)紅球m個(gè)黃球，n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則 ， .
【答案】 1
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根據(jù)隨機(jī)變量的分布列即可求出．
【詳解】，所以，
, 所以, 則．
由于
．
故答案為：1；．
29．（2020·江蘇·高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是 .
【答案】
【分析】分別求出基本事件總數(shù)，點(diǎn)數(shù)和為5的種數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．
【詳解】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為個(gè).
點(diǎn)數(shù)和為5的基本事件有，，，共4個(gè).
∴出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)和為5的概率為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
30．（2019·江蘇·高考真題）從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是 .
【答案】.
【分析】先求事件的總數(shù)，再求選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得出答案.
【詳解】從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿服務(wù)，共有種情況.
若選出的2名學(xué)生恰有1名女生，有種情況，
若選出的2名學(xué)生都是女生，有種情況，
所以所求的概率為.
【點(diǎn)睛】計(jì)數(shù)原理是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的形式有兩種，一是獨(dú)立考查，二是與古典概型結(jié)合考查，由于古典概型概率的計(jì)算比較明確，所以，計(jì)算正確基本事件總數(shù)是解題的重要一環(huán).在處理問題的過程中，應(yīng)注意審清題意，明確“分類”“分步”，根據(jù)順序有無，明確“排列”“組合”.
31．（2018·江蘇·高考真題）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為 ．
【答案】
【詳解】分析：先確定總基本事件數(shù)，再從中確定滿足條件的基本事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.
詳解：從5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，共有10種方法，其中恰好選中2名女生的方法有3種，因此所求概率為
點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法
(1)列舉法.
(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.
(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.
(4)排列組合法（理科）：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.
32．（2016·上?！じ呖颊骖}）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為正八邊形的中心，.任取不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P落在第一象限的概率是 .
【答案】
【詳解】試題分析：
共有種基本事件，其中使點(diǎn)P落在第一象限共有種基本事件，故概率為.
考點(diǎn)：古典概型
33．（2016·上海·高考真題）某食堂規(guī)定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲、乙兩同學(xué)各自所選的兩種水果相同的概率為______．
【答案】
【詳解】甲同學(xué)從四種水果中選兩種共種方法，乙同學(xué)從四種水果中選兩種共種方法，則甲、乙兩位同學(xué)選法種數(shù)共，
兩同學(xué)相同的選法種數(shù)為，
所以。
【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率的計(jì)算.解答本題時(shí)，關(guān)鍵在于能準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù)，利用概率的計(jì)算公式求解.本題能較好地考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力等.
34．（2016·四川·高考真題）從2、3、8、9任取兩個(gè)不同的數(shù)值，分別記為a、b，則為整數(shù)的概率= ．
【答案】
【詳解】試題分析：從2，3，8，9中任取兩個(gè)數(shù)記為，作為作為對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，共有個(gè)不同的基本事件，其中為整數(shù)的只有兩個(gè)基本事件，所以其概率.
考點(diǎn)：古典概型.
35．（2016·江蘇·高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是 ．
【答案】
【詳解】基本事件總數(shù)為36，點(diǎn)數(shù)之和小于10的基本事件共有30種，所以所求概率為
【考點(diǎn)】古典概型
【名師點(diǎn)睛】概率問題的考查，側(cè)重于對(duì)古典概型和對(duì)立事件的概率的考查，屬于簡(jiǎn)單題.江蘇對(duì)古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化計(jì)數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后一般利用枚舉法、樹形圖解決計(jì)數(shù)問題，而當(dāng)正面問題比較復(fù)雜時(shí)，往往利用對(duì)立事件的概率公式進(jìn)行求解.
36．（2015·江蘇·高考真題）袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為 ．
【答案】
【詳解】試題分析：根據(jù)題意，記白球?yàn)锳，紅球?yàn)锽，黃球?yàn)?，則
一次取出2只球，基本事件為、、、、、共6種，
其中2只球的顏色不同的是、、、、共5種；
所以所求的概率是．
考點(diǎn)：古典概型概率
考點(diǎn)03 條件概率
1．（2024·天津·高考真題）五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加.甲選到的概率為 ；已知乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為 ．
【答案】
【分析】結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求甲選到的概率；采用列舉法或者條件概率公式可求乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率.
【詳解】解法一：列舉法
從五個(gè)活動(dòng)中選三個(gè)的情況有：
,共10種情況，
其中甲選到有6種可能性：，
則甲選到得概率為：；
乙選活動(dòng)有6種可能性：，
其中再選則有3種可能性：，
故乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為.
解法二：
設(shè)甲、乙選到為事件，乙選到為事件，
則甲選到的概率為；
乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為
故答案為：；
2．（2023·全國甲卷·高考真題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（ ）
A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4
【答案】A
【分析】先算出同時(shí)愛好兩項(xiàng)的概率,利用條件概率的知識(shí)求解.
【詳解】同時(shí)愛好兩項(xiàng)的概率為，
記“該同學(xué)愛好滑雪”為事件,記“該同學(xué)愛好滑冰”為事件，
則，
所以.
故選:.
3．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為 ；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為
【答案】
【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到A的條件下，第二次抽到A的概率.
【詳解】由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,
則.
故答案為：；.
考點(diǎn)04 全概率公式與貝葉斯公式
1．（2024·上?！じ呖颊骖}）某校舉辦科學(xué)競(jìng)技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，他題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是 ．
【答案】0.85
【分析】求出各題庫所占比，根據(jù)全概率公式即可得到答案.
【詳解】由題意知，題庫的比例為：，
各占比分別為，
則根據(jù)全概率公式知所求正確率．
故答案為：0.85．
（附加）2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；
（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；
（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．
【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
所以，
.
（2）設(shè)，依題可知，，則
，
即，
構(gòu)造等比數(shù)列，
設(shè)，解得，則，
又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
即．
（3）因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，，
故．
【點(diǎn)睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識(shí)求解．
考點(diǎn)05 正態(tài)分布指定區(qū)間的概率
1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）（多選）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動(dòng)茶葉出口.為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（ ）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的原則以及正態(tài)分布的對(duì)稱性即可解出.
【詳解】依題可知，，所以，
故，C正確，D錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>而，B正確，A錯(cuò)誤，
故選：BC．
2．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則 ．
【答案】/．
【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出．
【詳解】因?yàn)?，所以，因此?br>故答案為：．
3．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．越小，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大
B．該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5
C．該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等
【答案】D
【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】對(duì)于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；
對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為，故B正確；
對(duì)于C，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯(cuò)誤.
故選：D.
4．（2015·山東·高考真題）已知某批零件的長(zhǎng)度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為
（附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布 ，則 ，
．）
A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%
【答案】B
【詳解】試題分析：由題意故選B．
考點(diǎn)
十年考情（2015-2024）
命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 互斥事件的概率計(jì)算
（10年2考）
2018·全國卷、2016·天津卷
1.理解、掌握古典概率的定義，并會(huì)相關(guān)計(jì)算，古典概率是新高考卷的常考內(nèi)容，一般考查古典概型的概率計(jì)算及互斥、對(duì)立事件的辨析及計(jì)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練
2.會(huì)條件概率和全概率及貝葉斯概率的計(jì)算，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般結(jié)合條件概率、全概率及貝葉斯概率綜合考查，需重點(diǎn)強(qiáng)化復(fù)習(xí)
3.理解、掌握正態(tài)分布的定義及指定區(qū)間的概率計(jì)算
考點(diǎn)2 古典概率
（10年10考）
2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅰ卷、2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國乙卷、2023·全國甲卷、2023·天津卷、2022·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷、2022·浙江卷、2022·全國甲卷、2022·全國乙卷、2021·全國甲卷、2021·浙江卷、2020·江蘇卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷、2017·天津卷、2017·山東卷、2017·全國卷、2017·江西卷、2016·北京卷、2016·全國卷、2016·全國卷、2015·全國卷、2015·廣東卷、2015·廣東卷、2019·江蘇卷、2018·江蘇卷、2016·上海卷、2016·上海卷、2016·四川卷、2016·江蘇卷、2015·江蘇卷
考點(diǎn)3 條件概率
（10年5考）
2024·天津卷、2023·全國甲卷、2022·天津卷
考點(diǎn)4 全概率公式與貝葉斯公式
（10年2考）
2024·上海卷、2023·全國新Ⅰ卷
考點(diǎn)5 正態(tài)分布指定區(qū)間的概率
（10年5考）
2024·全國新Ⅰ卷、2022·全國新Ⅱ卷
2021·全國新Ⅱ卷、2015·山東卷
乙甲
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6

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專題07 事件與概率（古典概率、條件概率、全概率公式、貝葉斯公式）小題綜合（學(xué)生卷）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國通用）
近十年（2015-2024）高考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編專題07事件與概率（古典概率、條件概率、全概率公式、貝葉斯公式）小題綜合（Word版附解析）

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高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題 條件概率、條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用、全概率公式、貝葉斯公式（原卷版+解析版）

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